初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似《2三角形中位线》教学设计
华东师大版数学九年上23.2《相似图形》教学设计
2.在判定相似图形时，对判定方法的选择和应用不够熟练，容易混淆。
3.在解决实际问题时，学生可能难以发现相似图形的应用场景，缺乏将理论知识运用到实际中的能力。
针对以上情况，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.加强对相似图形定义的讲解，通过实例让学生直观地感受到相似图形的特点。
"提前预习，有助于同学们在课堂上更好地消化吸收新知识，提高学习效率。"
作业布置要求：
1.作业要按时完成，保持字迹清晰，书写规范。
2.对于难题和疑问，要及时与同学或老师交流，确保作业质量。
3.家长要关注孩子的作业进度，给予适当的指导和支持。
"今天我们学习了相似图形，它们具有对应角相等、对应边成比例的性质。我们通过AA、SAS、SSS相似准则来判断两个图形是否相似。这些知识不仅可以帮助我们解决几何问题，还可以应用到生活中的各种场景。"
2.强调相似图形在实际生活中的重要性，激发学生对数学学科的兴趣。
3.鼓励学生在课后继续探索相似图形的知识，为下一节课的学习打下基础。
（2）准备丰富的实物模型，让学生直观地感受相似图形的性质和判定方法。
（3）提供丰富的练习题库，满足不同层次学生的学习需求。
5.教学关注点：
（1）关注学生的几何直观能力培养，提高学生对几何图形的认识和理解。
（2）关注学生的逻辑推理能力，培养学生的几何思维能力。
（3）关注学生的应用意识，将相似图形知识运用到实际问题中，提高学生的实践能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的相似图形为例，引导学生观察、思考，导入新课。
（2）新知传授：详细讲解相似图形的定义、性质和判定方法，结合实例进行分析。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似三角形
∴ ∴CE＝6AE，∴AE:AC＝1:7.
ACEE＝ACGB＝16，
【答案】D
11．△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，以AC为斜边作△ACD与△ABC相 似，则AD的长为________．
(1)若BD＝20，求BG的长；
DFCF＝32
解：(1)∵GF∥BC，
∵DFBCFD＝＝2320，，∴∴BDFGC＝F＝8. DBGG＝32.
(2)求CCMD的值．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DMG∽△BAG，
∴DAMB ＝DBGG，∴DAMB ＝32， ∴DCMD ＝32，∴CCMD ＝12.
2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为( )
C
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
3．【中考·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝( )
BC
B
B′C′
A．2
4 B.3
C．3
D.196
4．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，△ADB∽△ABC，AD＝4，CD＝8. (1)求AB的长；
HS版九年级上
第23章 图形的相似
23.3相似三角形 1.相似三角形
新知笔记 1 成比例；相等 2 见习题 3 相似
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5A
答案显示
6A 78 8 见习题 9C 10 D
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似图形(2)
知识点 1 相似多边形的定义
知1－导
问题（一）
图23.2.1是大小不同的两张地图，当然，它们是相似 的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地图 中相应的三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两 张地图中A(A′)与B(B′)两地之间的图上距离和B(B′)与 C(C′)两地之间的图上距离，用量角器量一量∠ABC 和∠A′B′C′的大小．
解：∵两个四边形相似， ∴，18 x 12 18 ∴x＝27.
根据对应角相等，可得
α＝360°－(77°＋83°＋116°)
＝84°.
知2－讲
总结
知2－讲
利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对 应”二字，找准对应边和对应角是解决问题 的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角 是直接相等．
1下列四组图形中，不是相似图形的是( )
知2－练
知2－练
2若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三 角形的最长边的长为21，则最短边的长为( ) A．15B．10 C．9D．3
知2－讲
思考 两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形 呢？两个等边三角形呢？
1.相似多边形的定义可作为判断两个多边形是否相 似的判定，即在多边形中，只有“边数相同” “角分别相等”“边成比例”这三个条件同时成立 时，才能说明这两个多边形是相似多边形． 2.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关． 3.相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．
第23章图形的相似
23.2相似图形
1 课堂讲解 相似多边形的定义
相似多边形的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定 相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左 边的照片放大得来的．尽管它们大小不同，但形状相 同．
华东师大版数学九年级上册23.3.2相似三角形的判定优秀教学案例
2.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强他们的自信心，培养他们克服困难的意志。
3.学生能够认识到数学与生活密切相关，增强他们的数学应用意识，提高他们的数学素养。
4.学生能够尊重事实，遵循逻辑规律，培养他们严谨的学习态度和良好的学习习惯。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过展示实际生活中的图片，如建筑物的平面图、电路图等，引导学生发现相似三角形的应用，激发学生的学习兴趣，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
2.问题情境：设计具有挑战性和探究性的问题，如“判断两个三角形是否相似？”、“为什么相似三角形的对应边成比例？”等，激发学生的好奇心，引发学生的思考。
（二）过程与方法
1.学生通过自主学习、合作交流、探讨研究等方法，掌握相似三角形的判定方法和性质。
2.学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现相似三角形的判定规律，培养他们的逻辑思维能力和解决问题能力。
3.学生能够在解决实际问题的过程中，运用相似三角形的知识，提高他们的实践操作能力。
（三）情感态度与价值观
3.鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维和创新能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享自己的观点和思考，培养学生的沟通能力和团队协作能力。
2.设计具有挑战性和探究性的小组活动，如探究相似三角形的判定方法、相似三角形的性质等，让学生在合作中思考，在思考中合作。
3.教师在小组合作过程中给予及时的指导和反馈，帮助学生建立正确的数学观念，提高他们的数学素养。
3.知识情境：通过回顾全等三角形的知识，引导学生发现全等三角形与相似三角形的联系和区别，为学习相似三角形奠定基础。
华东师大版数学九年级上第23章图形的相似 23.3.2相似三角形的判定 课件 (21张PPT)
D 1
E
4C O
3
A
F
2 B
证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED
课堂总结
相似三角形4种判定方法的综合应用。 （1）先看题中是否有平行条件，如果有平行，就去找“A”型
或“X”型相似。 （2）找是否有两角对应相等。 （3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例。 （4）识别掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径。
证明：∵
AB 6 1 , BC 8 1 , AC 10 1 , AB 18 3 BC 24 3 AC 30 3
∴ AB BC AC AB BC AC
∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似)
新知讲解
识别相似
看已知条件
选方法
找出识别方法中所 需的条件
相似三角形的判定定理2： 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
如果相等的角不 是成比例的两边 的夹角，那么这 两个三角形还相 似吗？画画看， 看看是不是不一
定相似？
新知讲解
A
D
A'
B
C
B'
C'
已知：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于D， 连结BD，则BD＝BA.求证△A’B’C’ 和△BCD是否相似
那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定 两个三角形相似呢？
新知讲解
观察，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与
△ABC相似呢？
C
华东师大版九年级上册数学第23章《图形的相似》教案2
课题相似三角形的判定(一)【学习目标】1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题；2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯；3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值．【学习重点】掌握有两个角相等的相似三角形判定定理．【学习难点】应用三角形相似的判定定理．一、情景导入生成问题问题：1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？2．还有判断两个三角形相似的方法吗？3．思考：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？二、自学互研生成能力知识模块一两角对应相等的两个三角形相似阅读教材P64～P67的内容．问题：已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.问题：如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？归纳：三角形相似的判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似．知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用范例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C与∠C′都是直角，∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例1：如右图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∴∠ADE ＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：BD·DC＝DE·DF.证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠C，∴△BDF∽△EDC，∴BDDE＝DFDC，∴BD·DC＝DE·DF三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两角对应相等的两个三角形相似知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用仿例(方法二)还可利用对顶角相等：∠AEF＝∠CED四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________课题相似三角形的判定(二)【学习目标】1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题．【学习重点】三角形相似的判定方法．【学习难点】三角形相似的判定方法的灵活运用．一、情景导入生成问题到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？二、自学互研生成能力知识模块一两边成比例且夹角相等的两个三角形相似阅读教材P67～P69的内容．问题：1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？2．图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为13，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE等于AC的三分之一时，△ADE与△ABC似乎相似，此时AD∶AB＝__1∶3__．猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．下面我们来证明上述猜想．已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC，∴ABAD＝ACAE，∵ABA1B1＝ACA1C1，AD＝A1B1，∴AE＝A1C1，在△ADE和△A1B1C1中，∵AD＝A1B1，∠A＝∠A1，AE＝A1C1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.结论：相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．范例：证明如图中的△AEB和△FEC相似．证明：∵AEFE＝5436＝1.5，BECE＝4530＝1.5，∴AEFE＝BECE，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)知识模块二三边对应成比例的两个三角形相似探索：三边对应相等的两个三角形全等，那么三边对应成比例的两个三角形相似吗？在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数，画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？结论：相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．范例：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵ABA′B′＝618＝13，BCB′C′＝824＝13，ACA′C′＝1030＝13，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的判定定理2知识模块二相似三角形的判定定理3四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________课题相似三角形的性质【学习目标】1．掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念；2．能运用相似三角形的性质定理来解决有关问题；3．通过由特殊情况猜想到一般情况，渗透由特殊到一般的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质．【学习重点】理解相似三角形的性质定理并能初步运用．【学习难点】相似三角形的性质定理的证明．一、情景导入生成问题1．什么叫相似三角形？2．如何判定两个三角形相似？3．相似三角形的对应边有什么特征？对应角有什么特征？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方阅读教材P71～P72的内容．问题：两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如在右图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比是k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？这两个三角形的面积之比又是多少？归纳：△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似，因此ADA′D′＝ABA′B′＝k.由此可以得出结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似比．由ADA′D′＝BCB′C′＝k，可得S△ABCS△A′B′C′＝12AD·BC12A′D′·B′C′＝ADA′D′·BCB′C′＝k2.由此可以得出结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形对应角的平分线之比等于相似比、对应边上的中线之比等于相似比、周长之比等于相似比思考：如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又有什么关系？以周长为例探究一下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝k，∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，AC＝kA′C′，∴C△ABCC△A′B′C′＝AB＋BC＋ACA′B′＋B′C′＋A′C′＝kA′B′＋kB′C′＋kA′C′A′B′＋B′C′＋A′C′＝k结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比．相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．相似三角形的周长之比等于相似比．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方知识模块二相似三角形对应角的平分线之比、对应边上的中线之比、周长之比等于相似比四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________2．存在困惑：______________________________________________课题相似三角形的应用【学习目标】1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题；2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主探索的新型学习观；3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学学习的浓厚兴趣．【学习重点】通过建立相似三角形模型解决实际问题．【学习难点】如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型．一、情景导入生成问题问题：1.识别两个三角形相似的方法有哪些？2．相似三角形有哪些性质？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形的应用一阅读教材P72～P74的内容．范例：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′与金字塔的影长AB垂直，即可近拟算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.解：∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)．∴OBO′B′＝ABA′B′，∴OB＝AB×O′B′A′B′＝274×12＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．范例：如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ABEC＝BDCD.解得AB＝BD×ECCD＝120×5060＝100(米)．知识模块二相似三角形的应用二范例：如右图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点．且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ADAC＝AEAB，∴AD·AB＝AE·AC.仿例1：如图，AE＝12EC，AD＝12DB，测得DE＝20米，求池塘宽BC是多少米？解：∵AC＝12EC，AD＝12DB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AEAC＝13，∵DE＝20米，∴BC＝60米．答：池塘宽BC为60米．仿例2：小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5米的位置上，已知如图，求球拍击球的高度h？(设网球作直线运动)解：∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴DE∥BC，∴DEBC＝ADAB，∵DE＝0.8，AD＝5，AB＝15，∴0.8BC＝515，∴BC＝2.4米．答：球拍击球高度为2.4米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的应用一知识模块二相似三角形的应用二四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________。
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似相似三角形的应用(测量)
课题相似三角形的应用教学目标【学习目标】1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题；2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主探索的新型学习观；3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学学习的浓厚兴趣．【学习重点】通过建立相似三角形模型解决实际问题．【学习难点】如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型．教学过程一、情境创设、引入新课胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻“世界古代七大奇观之一”。
塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米。
据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低。
你有办法测量它现在的高度吗？二、合作交流、探究新知（1）老师演示实验（2）议一议：如何利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯,或树,或烟囱)的高度？方法1：利用镜子的反射.1.图中的两个三角形是否相似?为什么？2.利用镜子反射测量旗杆高度，需要测出哪些数据才能计算出高度？应用：若学生眼睛距地面高度是,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度.方法2：利用阳光下的影子.1.图中有相似三角形吗?为什么？2.利用阳光下的影子，测量旗杆高度，需要测出哪些数据才能计算出高度？应用：若学生身高是,其影长是2m,旗杆影长5m,求旗杆高度.方法3：利用标杆.讨论:1.如何在图中通过添辅助线转化为相似三角形的问题?2.利用标杆测量旗杆高度，需要测出哪些数据才能计算出高度？应用：若学生眼睛距地面高度是,标杆是2m，学生距标杆1m,标杆底部距旗杆底部是5m,求旗杆高度.三、典例精析、归纳方法古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′与金字塔的影长AB垂直，即可近拟算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.解：∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)．∴OBO′B′＝ABA′B′，∴OB＝AB×O′B′A′B′＝274×12＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．四、课堂小结、内化知识五、巩固训练、应用方法如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ABEC＝BDCD.解得AB＝BD×ECCD＝120×5060＝100(米)．探究：结合上题你还能想出别的方法测量河宽吗？我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的一边选点D和 E，使DE⊥AD，然后，再选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C.此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了.五、布置作业、细化知识1. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)2．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是米．3．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，测出CD＝150米，且OB＝3OD，OA＝3OC，则AB＝米．4．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长16m，当短臂端点下降时，长臂端点升高多少m？5．为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，已知小明的眼睛距地面米，求树的高度．6．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为，求路灯杆AB的高度．六、板书设计七、教学反思。
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似相似三角形基本模型
E A B C DF EA B C D 相似三角形中的基本模型教案教学目标知识与技能：相似三角形常见模型过程与方法：利用相似三角形的判定及其性质进行有关判断及计算，培养培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力情感态度与价值观：使学生认识数学与生活的密切联系，体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，通过合作交流学习，培养他们的团队合作精神，增强学习数学的兴趣和信心教学重点相似三角形常见模型教学难点培养培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力类型一：平行线型例1.如图,DE ∥BC ,AD =1, BD =2,图中的相似三角形是 ,相似比是 ,DE:B C =练习1. 如图所示，在△ABC 中，P 是AC 上一点,PQOB练习2 如图，已知E 是□ABCD 中AD 边上一点，且AE :DE ＝3:2,CE 交BD 于点F ,BF＝15cm ，求DF 的长.类型二：相交线型例3 如图，要判断△ADE 与△ACB 相似，添加一个条件，不正确的是：（ )练习3 如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 的交点为E ，AE =3，DE =5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ,D 的对应点分别为A ，C 那么线段CE 的长是 .88.2...3.73A B C D . ...ADE C B AE A AE DE AE AD C D AB CB A AC B B D ∠=∠=∠=∠=A B C D类型三：子母型 例4 如图，△ABC 中，∠A =∠DBC ，BC =3 ,CD =2,则AC = .例5 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高线，则图中相似三角形共有 对.练习4. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角（∠A 、∠B ）向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，AD =3,BC =5，则EF 的长为 .练习5. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，连接BE 并延长BE 交CD 的延长线于点F ，交AC 于点G .(1)若FD =2，ED :BC =1:3 ，求线段DC 的长.(2)求证: EF GE BF GB挑战题如图所示，△ABC 是直角三角形，∠C =90°，点D 是直角边AC 上一点，过D 点的直线截三角形的两边得到小三角形，如果得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有 ( )条..1.2.3.4A B C D。
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《三角形的中位线》教学设计一、教材分析：1、教材中所处的地位：本节课是华东师大数学教材九年级上册第二十三章第四节内容。
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想。
由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于发展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、推理及应用的全过程，对于今后的学习具有重要的指导意义。
2、教学背景：通过教材和班级的实际情况，对教材中的三个地方需要稍加处理，才更适合我们的学生的实际情况，更符合学生的认知发展规律，抓住学生的最近发展区，提高课堂教学效率。
（1）设计困惑：①课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形”这个问题过于费时，学生很多想不到，就算是做出来也不明白为什么。
②教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生基本上都无法理解。
③中点四边形的证明如何作辅助线、为什么要这样作辅助线学生感到很困难。
（2）教材处理：①我校正在开展协同教育课题研究，学生是通过我校协同平台来完成学习任务的，于是我充分利用资源，让学生登陆协同平台完成我发布的作业，通过三个问题作铺垫：学生很快就搞定了。
②通过动画演示及教具演示，让学生直观感受中位线倍长法与旋转法、平行法的联系。
③通过教具演示，加上温馨提示，学生自然就明白作辅助线的奥妙了。
二、目标分析：1、教学目标：（一）知识目标：（1）理解三角形中位线的定义；（2）掌握三角形中位线定理证明及其应用。
（3）理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
（新增）（二）能力目标：（1）通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。
（2）通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。
（三）情感目标：鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“观察、归纳、猜想、推理及应用”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透化归思想。
2、学生实情：从学生的年龄特点和认知特点来看,初三的学生已经具备了较强的逻辑思维能力，有比较强烈的自我发展意识，他们能静下心来思考问题，比较喜欢一些更有深度的严格的推理证明。
3、教学重点：（1）三角形中位线定理证明及其应用。
（2）培养学生的化归思想。
4、教学难点：（1）三角形中位线定理证明及其应用。
（2）理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
（新增）（3）培养学生适当添加辅助线的能力。
（新增）5、教学准备：（1）学生准备：课前先预习本节课的内容。
①如何把一个平行四边形剪拼成两个全等三角形？②如何把一个平行四边形剪成两部分后拼成一个三角形？③如何把一个三角形剪成两部分后拼成一个四边形？④如何把一个三角形分为四个全等的三角形？（2）教师准备：三角形、平行四边形纸片、三角形中位线定理多功能演示器及协同平台上传资料和课件。
三、教法学法分析：1、教法：为了充分调动学生的积极性，我采用了“引导探究”的教学方法，充分体现以教师为主导，学生为主体的教学原则。
我们要把学习的主动权交给学生，让学生动起来，活起来，真正成为课堂的主人。
2、学法：学生的发展才是老师的成就，所以本节课的预设构思都是为了关注学生有什么收获。
因此学生是遵循“小组合作、自主探究”的方式来进行学习与研究。
四、教学流程框图：预计时间教学内容教师活动学生活动教学评价6分一、预习展示引出概念1、成果展示：让学生展示课前准备的预习成果，并简要说明自己的思路。
让学生上讲台把自己的拼图贴在黑板上。
2、概念同化：直接给出三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。
3、概念强化与明晰：思考：三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？理解三角形中位线概念的含义。
学生通过小组讨论，得出：中位线是两边中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。
1、让学生在课前根据老师发布的课件提示，充分利用互联网和协同平台的优势，通过动手操作，进行拼摆，培养学生动手操作能力和空间想象能力。
2、通过对比，让学生分清中位线与中线的区别，明晰概念的内含。
20分二、创设情境，自主探索1、创设问题情境：已知：如图，仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一沙堆底部两端Ａ、Ｂ间的距离？(注意﹕不能直接测量)只要我们学习了本节课以后，就明白其中的道理了。
我们可以把刚才的实际问题抽象出来，变为一个数学模型来进行研究。
如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，那么DE与BC之间存在什么样的位置关系和数量关系呢？2、自主探索，验证猜想：（1）首先利用几何画板，演示当三角形的形状与大小都发生变化时，中位线始终等于第三边的一半。
（2）根据学生课前上网查找的证明方法，让学生先进行小组讨论，形成共识，然后再由组员来汇报。
21==ACAEABAD21=BCDE212121∴四边形BCFD是平行四边形∵DE=21DF∴DE‖BC，DE=21BC。
学生回答：定理的结论有二个：一个是表明位置关系——平行，另一个是表明数量关系——倍、分。
学生一看就明白了，非常开心。
答1：联想到三角形的中位线。
答2：现在图形中没有中位线所在的三角形。
答3：我会连接AC构造三角这个环节要做到提高课堂的有效性，就要让学生真正地动起来，让学生充分做到手动、眼动、口动、脑动、心动。
1、利用生活中的数学问题引入新课，调动了学生学习数学的热情。
让学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，让学生感受到生活中处处有数学。
2、鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法，让学生经历“观察、归纳、猜想、推理及应用”的全过程。
3、利用几何画板验证猜想，直接且准确。
4、让学生利用课前上网查找的证法，并通过小组讨论，对三角形中位线定理的证明过程有更深层AB CD EFAD EB CAB CDEFGH4分三、反思回顾总结提升从知识性、思想性、应用性等方面进行总结。
可以先放手让学生自我回顾总结，如果学生总结有困难，就通过下列问题帮助学生进行总结提升。
答1：学习了三角形中位线的定义、性质以及定理的证明还有应用。
答2：明白了化归思想的重要性。
答3：知道利用中位线可以解决实际生活中的问题。
1、让学生知道从知识性、思想性、应用性等方面进行总结。
2、理解数学知识来源于生活，也运用于生活中。
3、让学生理解三角形中位线定理的本质与核心，体会到化归思想的重要性。
9分四、当堂训练，及时反馈1、如图1：在△ABC中，DE是中位线（1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？2、如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长= cm3、已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点。
求证：四边形DEFG是平行四边形。
1、新课标指出，要关注不同层次的学生。
这组训练题由浅入深，循序渐进，让不同的学生得到不同的发展。
2、对于三角形中位线定理的应用，需要培养学生的化归思想，关键要让学生明白怎样才能使边和角都动起来。
1分五、课后拓展应用升华1、请课后了解三角形中位线定理其它更多的证法。
2、连接菱形四边中点的四边形是什么形状？为什么？连接矩形中点呢？拓展学生学习、研究的时间与空间，激发学生数学学习的兴趣，培养了学生思维的灵活性和发散思维能力。
五、评价分析：本节课，我力求体现新课程的教学理念，紧紧围绕教学目标，从预习展示 自主探索 练习反馈 总结提升 应用升华来完成本节课的教学任务，让学生经历从实际问题中抽象出数学模型并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程。
我特别重视重视思想、方法的提取过程，知识的形成、解题思路的探索过程，培养学生的知识迁移的能力和化归思想，培养学生的几何直观感觉，从而使学生多方面、全方位的发展，达到良好的效果。