11-14年一模数学分析
2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）下列结果中，是负数的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣1|C．3×2D．0×（﹣4）2．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（）A．25.3×104B．2.53×104C．2.53×105D．0.253×106 3．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各图中，可看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC6．（3分）如图，直线l1∥l2，含有30°的直角三角板的一个顶点C落在l2上，直角边交l1于点D，连接BD，使得BD⊥l2，若∠1＝72°，则∠2的度数是（）A．48°B．58°C．42°D．18°7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）A．B．C．D．8．（3分）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣3 9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q 从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知实数a，b满足4a2+b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：2x﹣8x3＝．13．（4分）底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为cm2．14．（4分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．15．（4分）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为．17．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为．18．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝3．20．（8分）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB ∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．21．（10分）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用A、B、C、D表示）和4个化学实验考查内容（用E、F、G、H表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．（1）小刚抽到物理实验A的概率是；（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．22．（10分）青年大学习是共青团中央为组织引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神持续引向深人组织的青年学习行动．某校举办了相关知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图两幅统计图．成绩用x表示，并且分为A、B、C、D、E五个等级，并且分别是：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．七、八年级成绩的平均数、中位数众数如下表：平均数中位数众数七年级76m75八年级777678其中，七年级成绩在C等级的数据为77、75、75、78、79、75、73、75；八年级成绩在E等级的有3人．根据以上信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是，表中m的值为；（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由；（3）请对该校学生“青年大学习”的掌握情况作出合理的评价．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，⊙O的切线CD与AB的延长线相交于点D．（1）求证：BD＝BC；（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．24．（13分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？25．（13分）如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）补全图形，求∠AFE的大小；（2）用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；（3）连接CE，G是CE的中点，AB＝2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．26．（14分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．【分析】利用相反数的意义及绝对值的性质化简A、B，再利用乘法法则计算即可得到C、D．【解答】解：∵A、﹣（﹣2）＝2，∴A项不符合题意；∵B、﹣|﹣1|＝﹣1，∴B项符合题意；∵C、3×2＝6，∴C项不符合题意；∵D、0×（﹣4）＝0，∴D项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，掌握绝对值的性质是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：253000＝2.53×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．5．【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠DCB∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据平行的性质可得∠DEB＝∠1＝72°，根据三角形的外角的定义可得∠ADC＝42°，再根据平角进行计算即可得到答案．【解答】解：如图，设AB与l1相交于点E，∵l1∥l2，∠1＝72°，∴∠DEB＝∠1＝72°，∵∠A+∠ADC＝∠DEB＝72°，∠A＝30°，∴∠ADE＝42°，∵∠ADC+∠BDE+∠2＝180°，BD⊥l2，∴∠2＝48°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义是解题的关键．7．【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键．8．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞a，∴该不等式组的解集是a＜x≤2，∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，∴这三个整数解是0，1，2，∴﹣1≤a＜0，故选：A．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．9．【分析】当0＜t≤1时，点P在OE上，当1＜t≤2时，点P在OF上，分别求出S与t 的函数关系，即可解答．【解答】解：如图，当0＜t≤1时，由题得，PE＝BQ＝t cm，∵正方向ABCD是边长为2cm，∴P到BC的距离为（2﹣t）cm，∴S＝t•（2﹣t）＝﹣t2+t，如图，当1＜t≤2时，由题得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm，∴四边形CFPQ为矩形，∴PQ＝CF＝1cm，∴S＝t•1＝t，故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键．10．【分析】由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0，因为b≠2a，所以2a+b﹣＝0，得b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）+2a＝n，配方法求极值．【解答】解：由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，∴（4a2﹣b2）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0∵b≠2a∴2a+b﹣＝0，∴b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）2+2a＝n，整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a﹣）2+5≥5，∴自然数n的最小值为6故选C．【点评】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：2x﹣8x3＝2x（1﹣4x2）＝2x（1+2x）（1﹣2x），故答案为：2x（1+2x）（1﹣2x）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．13．【分析】先求出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为10cm，∴圆锥的母线为＝20（cm），∴圆锥的侧面展开图的面积为×（2π×10）×20＝200π（cm2）．故答案为：200π．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．14．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+10t＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣0.25（t﹣20）2+100，∵﹣0.25＜0，∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故答案为：20．【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．15．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD 的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案为：600．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．16．【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出a +b ＝5，a 2＝5a +2，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：∵a ，b 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个实数根，∴a +b ＝5，a 2﹣5a ﹣2＝0，即：a 2＝5a +2，∴，故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，，x 1•x 2＝．也考查了一元二次方程的解．18．【分析】过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，由△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍以及E 是AB 的中点即可得出S △ABC ＝2S △ABD ，结合CD ＝k 即可得出点A 、B 的坐标，再根据AB ＝2AC 、AF ＝AC +BD 即可求出AB 、AF 的长度，根据勾股定理即可算出k 的值，此题得解．【解答】解：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC ＝2S △BCE ，S △ABD ＝2S △ADE ，∴S △ABC ＝2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC ＝2BD ，又∵OC •AC ＝OD •BD ，∴OD ＝2OC ．∵CD ＝k ，∴点A 的坐标为（，3），点B 的坐标为（﹣，﹣），∴AC ＝3，BD ＝，∴AB ＝2AC ＝6，AF ＝AC +BD ＝，∴CD ＝k ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）先化简，然后算加减法即可；（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝3+﹣1﹣＝+；（2）＝•＝＝＝，当x＝3时，原式＝＝﹣5．【点评】本题考查实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠FDE，根据等式的性质可得AC＝DE，再由SAS 证明△ABC≌△DFE即可；（2）先根据三角形的外角可得∠DOC＝74°，由平行线的性质可得∠B＝∠DOC，最后由全等三角形的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CE，∴AD+CD＝CE+CD，即AC＝DE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小刚抽到物理实验A的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．【分析】（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．【解答】解：（1）由条形统计图可得，调查人数为2+5+8+2+3＝20（人），扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是360＝90°，将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数是75分，即m＝75，故答案为：90°，75；（2）八年级学生的成绩较好，理由：八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；（3）青年学生对深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．23．【分析】（1）连接OC，可证明△BOC是等边三角形，则∠BOC＝∠BCO＝60°，由CD 与⊙O相切于点C，得∠OCD＝90°，即可求得∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，所以∠BCD＝∠D，则BD＝BC；（2）作CE⊥OB于点E，则CE＝OC•sin60°＝3，可求得S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝6π﹣9．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝∠BCO＝60°，∵CD与⊙O相切于点C，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，∴∠BCD＝∠D，∴BD＝BC．（2）解：作CE⊥OB于点E，则∠OEC＝90°，∵OC＝OB＝6，∴CE＝OC•sin60°＝6×＝3，∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9，∴阴影部分的面积是6π﹣9．【点评】此题重点考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，70﹣20＝50（元），答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m为正整数，答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；（3）设总利润为w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．【分析】（1）由轴对称的性质可得∠DAP＝∠EAP＝70°，AD＝AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；（2）先求出∠AFE＝45°，通过证明△CDF∽△BDE，可得BE＝CF；（3）先确定点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；设∠BAP＝x，∴∠DAP＝90°﹣x，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴∠DAP＝∠EAP＝90°﹣x，AD＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2x，AB＝AE，∴∠E＝∠ABE＝45°+x，∴∠AFE＝180°﹣（90°﹣x）﹣（45°+x）＝45°；（2）BE＝CF；证明：如图2，连接DF，DE，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∠CDB＝45°，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴DF＝EF，∠DFA＝∠AFE＝45°，∴∠DFE＝90°，∴∠FDE＝45°＝∠CDB，DE＝DF，∴∠CDF＝∠BDE，，∴△CDF∽△BDE，∴，∴BE＝CF；（3）如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，又∵G是CE中点，∴OG＝AE＝AD＝1，∴点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴点P从点B运动到点C，点G的运动到BD上时DG的值最大，且DG的最大值为DO+OG，∵OD＝AD＝，∴DG的最大值为1．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x 得B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案；（3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x ﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m＝﹣，从而得M的坐标为（0，﹣）．【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；故答案为：③；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣，解得x＝2或x＝﹣2，∵x＞0，∴A（2，﹣2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，解得x＝﹣，∴B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），∴AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，若AB＝BC，则2（2+）2＝+（2+）2，解得b＝﹣3；若AB＝AC，则2（2+）2＝4，解得b＝﹣3﹣6或b＝3﹣6；若BC＝AC，则+（2+）2＝4，解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；∴b的值为﹣3或﹣3﹣6或3﹣6或0；（3）设M（0，m），m＜﹣1，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：﹣x＝﹣x2+2x+2m，∴x2﹣3x﹣2m＝0，∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即9+8m＝0，∴m＝﹣，∴M的坐标为（0，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，等腰三角形，一元二次方程根的判别式，旋转变换等知识，解题的关键是读懂新定义，利用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。
吉林省长春市十一中2025届高考数学一模试卷含解析
吉林省长春市十一中2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B C ．73D2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或33．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>- D ．m n m n mn +>->6．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =10．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．411．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+12．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。
2022-2023学年安徽省淮南市高三上学期一模数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年安徽省淮南市高三上学期一模数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，，对应的点分别为，则对应的点为.( )A. B. C. D.3. 为迎接北京2022年冬奥会，小王选择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱上运动”如图健身活动.依据小王2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程单位：十公里数据，整理并绘制的折线图如图根据该折线图，下列结论正确的是.( )A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程的极差小于15C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大4. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2023项的和为.( )A. 2023B. 2024C. 2696D. 26975. 在中，，，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，，若，则直线AP经过的.( )A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心6. 近年来，淮南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多.某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上窑森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件甲和乙选择的景点不同，则( )A. B. C. D.7. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，点M在C的准线上，若为等边三角形，则( )A. B. 6 C. D. 168. 若，，，则实数a，b，c的大小关系为.( )A. B. C. D.9. 已知函数，则.( )A. 的值域为B. 直线是曲线的一条切线C. 图象的对称中心为D. 方程有三个实数根10. 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，，，，则.( )A. 平面平面ABCDB. 直线AB与PC所成的角的余弦值为C. 直线PC与平面ABCD所成的角的正弦值为D. 该四棱锥外接球的表面积为11. 已知函数图象过点，且存在，，当时，，则.( )A. 的周期为B. 图象的一条对称轴方程为C. 在区间上单调递减D. 在区间上有且仅有4个极大值点12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交C的右支于点A，B，若，则.( )A. B. C的渐近线方程为C. D. 与面积之比为13. 若角的始边是x轴非负半轴，终边落在直线上，则__________.14. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB 的方程为__________的面积为__________.15. 设直线与曲线，分别交于A，B两点，则的最小值为__________.16. 在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段，，的中点，点M在正方形内含边界，记过E，F，G的平面为，若，则BM的取值范围是__________.17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：求角A的大小;求BC边中线AD长的最小值.条件①条件②18. 2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了3 D打印的薄壁蒙皮点阵结构打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，3 D打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台3D打印设备打印出品的零件内径单位：服从正态分布若该台3D打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件.度量其内径分别为单位：，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么?参考数据：，，，19. 已知数列满足，求数列的通项公式;记，数列的前2n项和为，证明：20.在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，求证：若，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.21. 已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为求C的方程;若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线BF上，求n的值及面积的最大值.22. 已知有两个不同的零点，求实数a的取值范围;若，且恒成立，求实数的范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查交集运算，属于基础题．化简集合A，B，即可求出结果．【解答】解：因为，，所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，以及复数的除法运算，属于较易题.由已知可得复数，，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：复数，在平面内对应的点分别为，，，，，则对应的点为故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查折线图，属于较易题．对折线图数据分析处理，逐一检验选项即可得解．【解答】解：对于A，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A错误；对于B，月跑步里程的极差为，故B不正确；对于C，月跑步里程数对应的月份从小到大排列为2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；对于D，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程波动性更小，变化比较平稳，所以1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故D错误．故选4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查数列的周期性，以及并项法求和，属于较易题．先由题设写出斐波那契数列的一些项，进而写出新数列的一些项，再由数列的项的规律求得结果即可．【解答】解：由题意得，，，，，，，，，，，，，，，故，，，，，，，，，，，，，，故数列的周期为6，则数列的前2023项和为故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的加减与数乘混合运算，以及向量在平面几何中的应用，属于较易题.由题意判断四边形ADPE是菱形，直线AP为角A的内角平分线即可得.【解答】解：在中，，，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，，，，四边形ADPE是菱形，直线AP为角A的内角平分线，故直线AP经过的内心.故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查条件概率的概念与计算，属于较易题.根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【解答】解：事件M发生的个数种，事件M、N同时发生的个数，故故选7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线中的弦长问题，以及两点间距离公式，属于较易题.由题意得直线AB的方程为，与抛物线方程联立得A、B坐标，再利用两点间距离公式可得的值.【解答】解：，准线方程为，F点坐标为，不妨设点A在第一象限，由抛物线定义和为等边三角形，得，，则AM垂直于准线，即轴，直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程得，解得，或，点坐标为，B点坐标为故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对互化，以及利用导数比较大小，属于较难题.由指对互化得，令，，则，，再利用导数研究函数的单调性进行求解，即可得.【解答】解：，，，，，即，令，，则，，，令，，则，函数在上单调递增，，，又，，函数在上单调递增，，，，故故选9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查求函数的值域，方程的根的个数，函数的对称性，以及求曲线上一点的切线方程，属于中档题.利用基本不等式求函数的值域判断A；利用导数的几何意义判断B；利用平移变换与对勾函数的对称性判断C；根据函数的值域并结合对勾函数图象判断【解答】解：对于A，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，故的值域为，故A错误；对于B，函数，，当时，解得，当时，，函数在处的切线方程为，当时，，函数在处的切线方程为，故B正确；对于C，由对勾函数的对称性知，函数的对称中心为，函数的图象是函数的图象向右平移1个单位可得，函数图象的对称中心为，故C错误；对于D，方程，解得或，的值域为，结合函数的图象，当时有2个实数根，当时有一个实数根，方程有三个实数根，故D正确.故选10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查面面垂直的判定，异面直线所成角，直线与平面所成的角，以及球的表面积，属于中档题.根据面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角可判断B；根据直线与平面所成的角可判断C；求出外接球的半径，根据球的表面积公式判断【解答】解：对于A，，，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，，，，，故，，，AB，平面PAB，平面PAB，又平面ABCD，平面平面ABCD，故A正确；对于B，，直线AB与PC所成的角，即直线CD与PC所成的角或其补角，，又，平面PAB，平面PAB，又平面PAB，，，，故直线AB与PC所成的角的余弦值为，故B正确；对于C，取AB的中点H，连接PH，CH，侧面PAB为等边三角形，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角为，，，直线PC与平面ABCD所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，设AC、BD的交点为M，设O为四棱锥外接球的球心，设半径为r，连接MH，OD，OP，平面ABCD，，底面ABCD为矩形，，，，，，过O作，平面ABCD，平面ABCD，，四边形OMHN是矩形，，，，，，解得，故四棱锥外接球的表面积为，故D正确.故选11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查判断正弦型函数的单调性，正弦型函数的周期性，求正弦型函数的对称轴，以及函数极值点的概念，属于中档题.先根据，求得，再根据当时，，求得，可得，由此结合各选项逐项判断即可.【解答】解：由题可知，即，，，，当时，，，，即，，，，则，，又，，，，，，对于A，，故A正确；对于B，令，，解得，，函数图象的对称轴为直线，，当时，解得，不合题意，故B错误；对于C，令，，解得，，令，得，故是函数的一个单调递减区间，故C正确；对于D，，，在区间上有且仅有4个极大值点，故D正确.故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及其应用，双曲线中的面积问题，向量与双曲线的综合问题，以及双曲线的渐近线，属于较难题，由题意得，可判断A；由题意得，，用双曲线的定义与几何性质可得，可判定C；由C结论及可得，可判定B；由，可计算出与面积之比，可判断【解答】解：对于A，，，，故A正确；对于C，，，设，由A得，则在中，，，，①，，②，由①②得，，则，，即，故C正确；对于B，由C可得，在中，，即，，，即，双曲线C的渐近线方程为，故B正确；对于D，由C得，，，，，故D错误.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二倍角余弦公式，任意角的三角函数的定义，以及诱导公式——型，属于较易题.利用任意角的三角函数定义求得，化简得到，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系即可求解.【解答】解：角的终边落在直线上，，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的公共弦，点到直线的距离，以及直线与圆的弦长，属于中档题．两圆相减，即可求出直线AB的方程；先求圆心C到直线AB的距离，然后根据圆的几何性质求出AB的长度，再利用面积公式直接求出三角形面积.【解答】解：将两圆的方程相减得，公共弦AB所在直线的方程为；圆的标准方程为，圆心C的坐标为，半径，圆心C到直线AB的距离为，，的面积为故答案为；15.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的最值，属于中档题.构造函数，利用导数求函数的最小值即可.【解答】解：由题意得，，令，，则，令，，则在上恒成立，在上单调递增，存在唯一的使得，即，，，当时，，则，当时，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查空间几何体的截面问题，以及面面平行的判定，属于中档题.做出平面与正方体截面，证明平面平面，点M在上运动，求出范围即可.【解答】解：如图，连接GE，延长GE与DA、的延长线分别交于点K、R，连接RF，交于点H，延长RF交DC的延长线于点N，连接KN交AB，BC分别于点Q，P，连接EQ，FP，平面EQPFHG为平面与正方体的截面，点E，F，G分别是线段，，的中点，点H，Q、P分别为，AB，BC的中点，P，F分别为BC，的中点，，又，所以，，Q分别为，AB的中点，，又，所以，，、平面，平面平面，则点M在上运动，取中点O，则，，，，故BM的取值范围是故答案为17.【答案】解：选条件①，由正弦定理可得，即，，又，；选条件②，由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，，又，；由知，，的面积为，，，由平面向量可知，，，当且仅当时，等号成立，边中线AD长的最小值为【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，向量的数量积的概念及其运算，以及由基本不等式求最值，属于中档题.选条件①由正弦定理可得，再由余弦定理得出，可得角A 的大小；选条件②由余弦定理可得，再由正弦定理可得，，所以，可得角A的大小；由知，，由的面积为，得，由平面向量可知，结合向量的数量积和基本不等式可得AD长的最小值.18.【答案】解：由题意知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，，，，，故；服从正态分布，且，内径在之外的概率为，为小概率事件，而，则根据原则，机器异常，需要进一步调试.【解析】本题考查正态分布的概率和二项分布的均值，属于中档题.由题意知，一件产品的质量指标值位于区间的概率即为，由正态分布的性质计算，再由二项分布可得结果；服从正态分布，根据原则，可得结论.19.【答案】解：，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，；证明：，数列的前2n项和，设，，由于函数在上单调递减，，又，，，，故【解析】本题考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.由题意得，再由等差数列的性质可得数列的通项公式;由，再由裂项相消求和得出数列的前2n项和，研究单调性，即可得证.20.【答案】解：证明：取AC的中点为E，连结SE，BE，，，在和中，，≌，，的中点为E，，，SE、平面SBE，平面SBE，平面SBE，；过S作平面ABC，垂足为D，连接AD，CD，，，，，SA、平面SAD，面SAD，面SAD，，同理可得，底面为等腰直角三角形，，四边形ABCD为正方形且边长为2，以D为原点，DA，DC，DS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面SAC的法向量为，则，即，取，则，，，设平面SBC的法向量为，则，即，取，则，，，设平面SAC与平面SBC的夹角为，，平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为【解析】本题主要考查线面垂直的性质和平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.先证明平面SBE，再由线面垂直的性质即可得证；建立空间直角坐标系，得出平面SAC的法向量和平面SBC的法向量，由空间向量求解即可.21.【答案】解：由题意可得，设M点坐标为，F点坐标为，，，，，，又椭圆C的离心率，，则，即，，椭圆C的方程为；设A点坐标为，B点坐标为，由得F点坐标为，由题意得，，，化简整理得，①设直线l的解析式为，联立直线与椭圆方程，化简整理可得，，，②由根与系数的关系可得，，③将，代入①，得，④再将③代入④，得，解得，直线l的解析式为，且由②可得，，即，点到直线l的距离，，令，，则，当且仅当时，即时等号成立，面积S最大值为【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆中三角形的面积，属于较难题.设M点坐标为，F点坐标为，则，由题意得，又椭圆C的离心率，得出a、c，即可得椭圆C 的方程；易得，化简整理得，设直线l的解析式为，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系化简得，即直线l的解析式为，再得出点到直线l的距离，再计算，利用基本不等式研究其最大值即可.22.【答案】解：函数的定义域为，，当时，，则在上单调递增，不合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有两个不同的零点，，解得，又，，，，，取，，在，各有一个零点，即实数a的取值范围为；由题意得，，则，设，，，恒成立，又，，即恒成立，设，恒成立，，当时，，，在上单调递增，恒成立，注意到，符合题意，当，，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，不满足恒成立，综上所述，【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，利用导数研究函数的零点，属于较难题.先求导，分为当时，不合题意，当时，，可得实数a的取值范围；由题意得，两式相减，合理等价转化，再构造函数，再利用导数的符号变换确定函数的单调性和最值.。
天津市杨村第一中学2025届高考数学一模试卷含解析
天津市杨村第一中学2025届高考数学一模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2 C ．52 D ．254．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．205．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12- 6．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x << 7．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）8．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e =的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-10．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 11．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( )A ．34B ．43C ．-43D ．-3412．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题含解析
金华十校2024年11月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （）A.{}1,0,1- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0- D.{}0,1【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可.【详解】因为集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，所以M N = {}1,0,1-.故选：A.2.在复平面中，若复数z 满足1i 1z =-，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】D 【解析】【分析】由复数的计算化简得到复数z ，再求模长.【详解】∵1i 1z =-，∴11i i z -==-，∴1i z =-，∴=故选：D.3.若,a b ∈R ，则a b =是22a b =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件概念，结合指数函数性质判断即可.【详解】考虑条件a b =.这意味着a 和b 要么相等，要么互为相反数.考虑等式22a b =.由于2x y =是单调递增的，所以22a b =当且仅当a =b .如果a =b ，那么a b =必然成立.但是，如果a b =，a 和b 可以互为相反数，此时22a b =不一定成立.因此，我们得出结论：a b =是22a b =的必要不充分条件.故选：B.4.已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点()3,M m 在抛物线C 上，且4MF =，则抛物线C的方程为（）A.2y x =B.22y x= C.24y x= D.26y x=【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得p ，即可求得抛物线方程.【详解】根据题意，连接MF ，过M 作MH 垂直于抛物线的准线2px =-，垂足为H ，作图如下：由抛物线定义可知3422M p pMF MH x ==+=+=，解得2p =，故抛物线方程为：24y x =.故选：C.5.已知πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos αα⋅=（）A.14B.4C.12-D.32【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得tan α的值，再将弦化切，即可求解.【详解】由πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得πtan αtan6π1tan αtan 6+=-3tan α3+=3tan α3=，所以222sin cos tan αsin cos sin αcos αtan α1αααα⋅⋅==++2333413==⎛+ ⎝⎭，故选：B.6.已知函数()32f x x ax bx c =+++的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（）A.2a =，1b =B.1a =-，2b =C.2a =-，1b =D.2a =，1b =-【答案】C 【解析】【分析】由图象可知：()f x 在()0,∞+内有两个极值点，即()0f x '=有两个不同的正根，结合二次函数的零点分布列式求解即可.【详解】因为()32f x x ax bx c =+++，则()232f x x ax b '=++，由图象可知：()f x 在()0,∞+内有两个极值点，即()0f x '=有两个不同的正根，则()2Δ41200300a b a f b ⎧=->⎪⎪->⎨⎪=>⎩'⎪，可得0a b ⎧<⎪⎨>⎪⎩对比选项可知：ABD 错误，C 正确.故选：C.7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A 、B 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（）A.选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数B.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数C.选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数D.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.【详解】设选辩题A 的男生有x 人，选辩题A 的女生有y 人，选辩题B 的男生有m 人，选辩题B 的女生有n 人.已知该班女生人数多于男生人数，即y n x m +>+；又知选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，即x y m n +>+.将这两个不等式相加得到：22y x n m x n ++>++，两边同时消去x n +得到22y m >，即y m >.这就意味着选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数.故选：A.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 为正方体内部一动点，球O 为正方体内切球，过点P 作直线与球O 交于M ，N 两点，若OMN 的面积最大值为4，则满足条件的P 点形成的几何体体积为（）A.32π3B.C.16π3-D.32π3-【答案】D 【解析】【分析】根据几何性质可得OM ON ⊥，则2OP R ≥，从而可得满足条件的P 点形成的几何体，根据几何体的体积计算即可得结论.【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则正方体内切球球O 的半径12R =⨯=，所以11sin sin 4sin 22OMN S OM ON MON MON MON =⋅⋅∠=⨯∠=∠ ，因为[]0,MON π∠∈，则()max sin 1MON ∠=，若OMN 的面积最大值为4，即OM ON ⊥，由于P 在MN 上，则22222OP R ≥=⨯=，则满足条件的P 点形成的几何体为正方体去掉以O 为球心，2为半径的球体，故其体积为(33423π-⨯=32π3-.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()3,4a = ，()4,b m =，则（）A.5a = B.min1a b-= C.若a b ∥，则3m = D.若a b ⊥，则3m =【答案】AB 【解析】【分析】运用平面向量的模长计算公式计算，根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解．【详解】解：向量()3,4a =，A ．||5a ==，故正确，符合题意；B ．()3,4a = ，()4,b m = ，则()1,4a b m -=--，所以a b -= ，当4m =时，min1a b-= ，正确，符合题意；C ．若a b ∥，则3160m -=，解得163m =，故错误，不符合题意；D ．若a b ⊥，则1240m +=，解得3m =-，故错误，不符合题意；故选：AB ．10.设函数()sin5sin cos xf x x x=⋅，则（）A.()f x 的图象有对称轴B.()f x 是周期函数C.()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项由偶函数得到y 轴是其中一条对称轴；B 选项用周期的定义找到其中一个周期为2π；C 选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭不是单调递增；D 选项由中心对称的定义验证是否成立即可.【详解】∵()()()()()sin5sin5sin5sin cos sin cos sin cos x x xf x f x x x x x x x---====-⋅--⋅⋅，∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，故A 正确；∵()()()()()sin 52πsin 52πsin 2πcos 2πsin cos x xf x f x x x x x++===++，∴2πT =是函数()f x 的一个周期，故B 正确；()2sin5sin2x f x x =，∵π2sinπ220ππ10sin sin55f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，π2sin π2π5sin 5f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，显然ππ105f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调递增，故C 错误；()ππsin5sin5ππcos5cos5220ππππ22cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+=+= ⎪ ⎪⋅⋅-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-⋅-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称.故选：ABD.11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n 次时恰好为第一次回到A 点的概率为()n P n +∈N ，恰好为第二次回到A 点的概率为()n Q n +∈N ，则（）A.329P =B.4127Q =C.2n ≥时，1n nP P +为定值D.数列{}n Q 的最大项为427【答案】A 【解析】【分析】根据题意计算3P 判断A 选项，发现规律求出n P 和1n P -的关系判断C 选项，根据规律求出4Q 判断B 选项，寻找规律求出1n nQ Q +，求出数列{}n Q 的最大项判断D 选项.【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为13，10P =，213P =，第三次行走时，若第二次行走在A 点，那么第三次行走不可能到A 点，若第二次行走不在A 点，那么第三次行走到A 点概率为13，所以3212033913P ⨯+⨯==，故A 选项正确；第四次同理，均满足111110[1]33n n n n P P P P ----⨯+-⨯==，所以1n nP P +不为定值，故C 选项错误；因为第一次行走不可能回到A 点，所以第二次行走最多即第一次到A 点，所以120Q Q ==，若第二次行走到了A 点，则第三次行走不可能到A 点，假设第二次行走没到A 点，则第三次行走是第一次行走到A 点，所以30Q =，因为40Q ≠，所以只能是第2次和第4次行走到A 点，所以4212332713Q ⨯⨯==，故B 选项错误；52212121833333338113Q ⨯⨯⨯+⨯⨯==⨯，从6Q 开始寻找规律，第2和第6次行走到A 点，第3和第6次行走到A 点，第4和第6次行走到A 点，7Q 则为第2和第6次行走到A 点，第3和第6次行走到A 点，第4和第6次行走到A 点，第5和第7次行走到A 点，所以13123n n Q Q n n +⋅=--，所以1239n nQ n Q n +-=-，因为(2)(39)27n n n ---=-+在5n ≥小于0，所以1n n Q Q +<在[6,)+∞恒成立，所以5Q 为最大值881，故D 选项错误.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解题意找出规律求出n P 和1n P -的关系和1n nQ Q +.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 为等差数列，11a =，238a a +=，则6a =______.【答案】11【解析】【分析】根据等差数列的公式求解公差d ，即可得6a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为11a =，所以23123238a a a d d +=+=+=，解得2=d ，所以61515211a a d =+=+⨯=.故答案为：11.13.从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种【答案】16【解析】【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可.【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有36C 20=种选法，其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种，所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种.故答案为：1614.已知双曲线C ：221x y -=，F 为右焦点，l 与C 交于M ，N 两点，设点()11,M x y ，()22,N x y ，其中120x x >>，过M 且斜率为1-的直线与过N 且斜率为1的直线交于点T ，直线TF 交C于A ，B 两点，且点T 为线段AB 的中点，则点T 的坐标为______.【答案】()【解析】【分析】设()00,T x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，根据题意可得直线TM ，TN 的方程，从而得()()()()12121212,22x x y y x x y y T ⎛⎫++--++ ⎪⎝⎭.设MN 中点为G ，则0OG OT k k -=，从而知O G T ，，三点共线，再根据题中数据进行计算即可.【详解】设()00,T x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则直线TM ：()11y y x x -=--，直线TN ：22y y x x -=-，两直线联立，解得()()()()12121212,2,2x x y y x x x y y y ⎧++-=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩即()()()()12121212,22x x y y x x y y T ⎛⎫++--++ ⎪⎝⎭.设MN 中点为G ，则1212,22x x y y G ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()()()121212121212OG OT x x y y y y k k x x x x y y -+++-=-+++-()()()()()()()()()121212121212121212y y x x y y x x x x y y x x x x y y ⎡⎤⎡⎤+++--+-++⎣⎦⎣⎦=⎡⎤+++-⎣⎦()()()()()()()12121212121212y y y y x x x x x x x x y y +--+-=⎡⎤+++-⎣⎦()()()()()()()()()()()2222222212121212121212*********yy x x xx x x x x x x y y x x x x y y --------===⎡⎤⎡⎤+++-+++-⎣⎦⎣⎦，所以O G T ，，三点共线.因为()()222212121212222212121212111OG MNx x y y y y y y k k x x x x x x x x ---+--⋅=⋅===+---，且MN k =，所以22OG k =，所以22OT k =.同理知1OT AB k k ⋅=，即1OT TF k k ⋅=，设,2T t t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22212t=，解得t =，所以()2T .故答案为：()2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()2cos cos c B A =.（1）求B ；（2）若ABC V 为等腰三角形且腰长为2，求ABC V 的底边长.【答案】（1）π6B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得B ；（2）分别讨论当B 为顶角和B 为底角时的底边长即可.【小问1详解】()2cos cos c B A -=，由正弦定理得：()2sin cos cos C A B B A=2sin cos C C B =，∵sin 0C ≠3cos 2B ∴=，∵()0,B π∈，π6B ∴=【小问2详解】当B 为顶角，则底边2π44222cos 86AC =+-⨯⨯⨯=-，AC ∴=当B 为底角，则该三角形内角分别为π6，π6，2π3，则底边为故ABC V 的底边长为-或16.如图，三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，AD DB DC BC ===，E 为AB 中点，M 为DE 中点，N 为DC 中点.（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）连EC ，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.（2）根据给定条件，作出三棱锥D ABC -底面上的高，利用几何法求出线面角的正弦.【小问1详解】连EC ，由M 为DE 中点，N 为DC 中点，得//MN EC ，又EC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .【小问2详解】设AD DB DC BC a ====，由AD ⊥平面BCD ，,BD BC ⊂平面BCD ，得,AD BC AD DB ⊥⊥，则1222DE AB a ==，取BC 中点F ，则DF BC ⊥，又,,AD DF D AD DF =⊂ 平面ADF ，则⊥BC 平面ADF ，又⊂BC 平面ABC ，于是平面ADF ⊥平面ABC ，又平面⋂ADF 面ABC AF =，过点D 在平面ADF 内作DH AF ⊥于H ，于是DH ⊥平面ABC ，连EH ，则DEH ∠为直线DE 与平面ABC 所成的角，在Rt ADF 中，,2DF a AD a ==，AF ==，7AD DF DH a AF ⋅==，在Rt DEH △中，42sin 7DH DEH DE ∠==，所以直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值7.17.已知函数()()21ln 12f x x a x a x =-+-，()0a >.（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若()22e f x ≥-，求a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()1,+∞，减区间为()0,1（2）(]0,e【解析】【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间；（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.【小问1详解】当1a =时，()()()21111x x x f x x x x x-+-='=-=()0,1x ∴∈时， t ， t h ∞时， t ； 的单调增区间为 t h ∞，单调减区间为tt 【小问2详解】()()()1x a x f x x-+'=()0,x a ∴∈时， t ，(),x a ∞∈+时， t()()2min ln 2a f x f a a a a ∴==--+又()2e 2f x ≥- ，22e ln 22a a a a ∴--+≥-令()2ln 2a h a a a a =--+则()ln h a a a '=--，显然()h a '单调递减，且102h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，()10h '<∴必然存在唯一01,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h a =当()00,a a ∈，()0h a '>，()h a 单调递增，当()0,a a ∞∈+，()0h a '<，()h a 单调递减由于(]0,1a ∈时，()2e ln 1022a h a a a ⎛⎫=--+>>- ⎪⎝⎭，成立当()1,a ∞∈+时，()h a 单调递减，且()2e e 2h =-，因此(]1,e a ∈成立综上，a 成立的范围为(]0,e18.已知()2,0A 和1,2B ⎛ ⎝⎭为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点（D ，E 不在x 轴上）.（i ）若ADE V ，求直线l 的方程；（ii ）直线AD 和AE 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值.【答案】（1）2（2）（i ）10x ±+=；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定的点A 和B 在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；（2）（i ）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii ）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.【小问1详解】由()2,0A 可知24a =，求出2a =，代入31,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，得213144b +=，21b =，则2413=-=c ，c =，可知椭圆C 的离心率为32c e a ==.【小问2详解】（i ）由（1）可知椭圆C 的方程为2214x y +=，设()11,D x y ，()22,E x y ，过点()1,0-的直线l 为1x my =-，与2214x y +=联立得：()224230m y my +--=.()22Δ41240m m =++>恒成立.所以12224m y y m +=+，12234y y m -⋅=+12211336224ADE m S y y m =⋅⋅-=⋅==+ 得22m=，所以m =，直线的方程l 为：10x ±+=.（ii ）由（i ）可知，()12122824x x m y y m -+=+-=+()2212121224414m x x m y y m y y m -+⋅=⋅-++=+直线AD 的方程为()1122y y x x =--，令0x =，得1122M y y x -=-直线AE 的方程为()2222y y x x =--，令0x =，得2222N y y x -=-，记以MN 为直径的圆与x 轴交于P ，Q 两点，由圆的弦长公式可知，222222M N M N M N PQ y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12121212122242224y y y y x x x x x x --⋅=-⋅=---⋅-++222222121214436441634444m m m m m m --++=-=-=-++++++所以233PQ =，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.19.已知正n 边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T ，其将正n 边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记n 个顶点上的n 个数顺时针排列依次为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，则()112i i i a a T a -++=，i 为整数，21i n ≤≤-，()212n a a T a +=，()112n n a a T a -+=.设()()()()n i i T a T T T a =⋅⋅⋅（共n 个T ，表示n 次变换）（1）若4n =，i a i =，14i ≤≤，求()21T a ，()22T a ，()23T a ，()24T a ；（2）对于正n 边形，若()i i T a a =，1i n ≤≤，证明：121n n a a a a -==⋅⋅⋅==；（3）设42n k =+，k *∈N ，{}{}12,,,1,2,,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，证明：存在m *∈N ，使得()()1,2,,m i T a i n =⋅⋅⋅不全为整数.【答案】（1）()212T a =，()223T a =，()232T a =，()243T a =.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算，按照变换公式逐步计算即可.（2）需要利用假设和变换公式进行推导，结合等差数列性质公式，证明所有数相等.（3）运用反证法，要结合整数整除性质来证明存在这样的m .【小问1详解】当4n =时，()2i T a 的变换如下：所以()212T a =，()223T a =，()232T a =，()243T a =.【小问2详解】()i i T a a = ，112i i i a a a -++∴=，()21i n ≤≤-{}n a ∴成等差数列，令公差为d ，又()2112n a a T a a +==，则()11121a a n d a d =+-++，0d ∴=，则121n na a a a -==⋅⋅⋅==【小问3详解】反证法，假设对任意m *∈N ，()()1,2,m i Ta i n =⋅⋅⋅均为整数由于()112i i i a a T a -++=，()i T a 为整数，故1i a -与1i a +的奇偶性相同，故1341,,,k a a a +⋅⋅⋅同奇偶，2442,,,k a a a +⋅⋅⋅同奇偶，而{}{}1242,,,1,2,,42k a a a k +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+，1242,,,k a a a +⋅⋅⋅中有21k +个奇数，21k +个偶数，故可不妨设1341,,,k a a a +⋅⋅⋅为奇数，设2442,,,k a a a +⋅⋅⋅为偶数.()()()13352421353222244a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，又()23T a 为整数，且341a k =+或()43k k N +∈，1a ∴和5a 除4的余数相同同理()()()57796825797222224a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，5a ∴和9a 除4的余数相同，()()()43414141424243414141222224k k k k k k k k k k a a a a T a T a a a a T a ---+---+-++++++=== ，43k a -∴和41k a +除4的余数相同.15941,,,,k a a a a +∴⋅⋅⋅除4的余数相同.()()()41113422241131222224k k k a a a a T a T a a a a T a +++++++++=== ，41k a +∴和3a 除4的余数相同()()()35574623575222224a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，3a ∴和7a 除4的余数相同.()24543414324k k k k a a a T a ----++= ，45k a -∴和41k a -除4的余数相同41371141,,,,k k a a a a a +-∴⋅⋅⋅除4的余数相同.综上，1341,,,k a a a +⋅⋅⋅除以4的余数都相同，而{}{}1242,,,1,2,,42k a a a k +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+，矛盾！假设不成立，所以存在m *∈N ，使()()1,2,m i T a i n =⋅⋅⋅不全为整数.【点睛】关键点点睛：本题关键读懂新定义“变换”，结合等差数列和反证法解题，属于难题.。
2024年广东省深圳市盐田区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省深圳市盐田区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．代数式3x -的意义可以是（）A ．3-与x 的和B ．3-与x 的差C ．3-与x 的积D ．3-与x 的商【答案】C【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据3x -中的运算关系解答即可．【详解】解：代数式3x -的意义可以是3-与x 的积．故选C ．2．《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（）A ．武汉地铁B ．重庆地铁C ．成都地铁D ．深圳地铁【答案】D【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【详解】解：A 、该图案不是中心对称图形，故A 不符合题意；B 、该图案不是中心对称图形，故B 不符合题意；C 、该图案不是中心对称图形，故C 不符合题意；D 、图形是中心对称图形，故D 符合题意．故选：D ．3．小梅沙海滨公园预计将于今年五一期间开放．园区占地面积约20.53万平方米，用水面积约100万平方米，开放后将成为滨海休息、沙滩活动及婚庆产业、活动赛事的重要承载空间．20.53万用科学记数法表示为（）A ．32.05310⨯B ．42.05310⨯C ．52.05310⨯D ．62.05310⨯4．计算()323a 的结果是（）A ．63aB ．527a C ．69a D ．627a 【答案】D【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可．【详解】解：()326327a a =，故选D ．5．已知不等式组11x a x b->⎧⎨+<⎩的解集是10x -<<，则2024()a b +的值为（）A ．1-B ．1C ．0D ．2024【答案】B【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a b 、的值，再代入计算即可．【详解】解：11x a x b ->⎧⎨+<⎩①②，由①得：1x a >+，由②得：1x b <-，解集是10x -<<，11,10a b ∴+=--=，解得2,1a b =-=，则原式2024(21)1=-+=，故选B ．6．“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（）A ．80和81B ．81和80C ．80和85D ．85和807．如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为()A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，则可列方程为（）A ．1( 4.5)12x x +=-B ．1( 4.5)12x x +=+C ．1(1) 4.52x x +=-D ．1(1) 4.52x x -=+9．一次函数y kx b =+的图象与与反比例函数my x=的图象交于(,2)A a ，(2,1)B -，则不等式mkx b x+>的解集是（）A ．10x -<<或2x >B ．1x <-或1x >C ．<2x -或02x <<D ．1x <-或02x <<【答案】D【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，利用函数图象得到当一次函数∵反比例函数my x=的图象过(A a ∴22(1)m a =⨯=-，∴1a =-，∴()1,2A -，由函数图象可知，当一次函数y =10．在平面直角坐标系中，二次函数22y x mx m m =++-（m 为常数）的图象经过点(0,12)，其对称轴在y 轴右侧，则该二次函数有（）A ．最大值394B ．最小值394C ．最大值8D ．最小值8【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m 的值是解题关键．依据题意，将(0,12)代入二次函数解析式，进而得出m 的值，再利用对称轴在y 轴右侧，得出23m =-，再利用二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：由题意可得：212m m =-，解得：14m =，23m =-．二次函数22y x mx m m =++-，对称轴在y 轴右侧，二、填空题11．口袋中有红色、黄色、蓝色的玻璃球共80个，小华通过多次试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是45%、25%，则估计口袋中篮球的个数约为个．【答案】24【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．【详解】∵红球、黄球的频率依次是45%、25%，∴估计口袋中篮球的个数≈（1﹣45%﹣25%）×80=24个．故答案为24．【点睛】解答此题关键是要先计算出口袋中篮球的比例再算其个数．部分的具体数目=总体数目×相应频率．12．若直线1y x =-向上平移2个单位长度后经过点()2,m ，则m 的值为．【答案】3【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点()2,m 代入即可求得m 的值．【详解】解： 直线1y x =-向上平移2个单位长度，∴平移后的直线解析式为：1y x =+．平移后经过()2,m ，∴213m =+=．故答案为：3．13．如图，在ABC 中，6cm AB AC ==，60BAC ∠=︒，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为．∵OD OB =，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∴C ODB ∠=∠，14．如图，点,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭和,B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在反比例函数(0)y k x =>的图象上，其中0a b >>，若AOB 的面积为8，则ab=．15．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，过点D 作边AB 的垂线，交AB 于点E ，连接CE ，若2DE =，4AE =，则CE =．∴AD BC ⊥，DE ⊥ 90BDE ADE ∠+∠=∴∠=∠BDE DAE ，∴BED DEA ∽ ，DE BE三、解答题16．计算：22112sin 60|1|2-⎛⎫--︒++- ⎪⎝⎭17．先化简，再求值：2124x x ⎛⎫÷- ⎪+-，其中2x =．18．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某中学八年级组织了一场手抄报比赛，要求每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，年级随机抽取了部分同学统计所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．(1)八年级共抽取了______名学生；并补全折线统计图；(2)该活动准备在七年级开展，七年级共有568人，根据八年级样本的数据统计估计七年级选取C、D两个主题共有______名学生；(3)若七年级的小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．（2）解：510 56821340+⨯=名，∴根据八年级样本的数据统计估计七年级选取故答案为：213；（3）解：画树状图如下：由树状图可知共有16种等可能的结果，其中小林和小峰选择相同主题的结果有∴小林和小峰选择相同主题的概率为41 164=．19．尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多50%，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．【答案】(1)购进甲种笔记本80本，乙种笔记本90本(2)第二次购买乙种笔记本60本20．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ．点F 在AC 的延长线上，且12∠=∠CBF CAB ．(1)求证：直线BF 是O 的切线；(2)若3AB =，sin 5CBF ∠，求BF 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两21．【项目式学习】项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．（4）探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．22．如图，等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为BC 边上一点，CE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ．(1)求证：22AE AC ED CD=；(2)当EF 平分AEC ∠时，求BC DC的值；(3)当点D 为BC 的三等分点时，请直接写出AF FC 的值．（3）解：作DP BF∥交当23 CDBC=时，∴23CPCF=，tan ECD∠22AE ACED CD=，2 DE CD∴=，。
数学质量分析报告（精选11篇）
数学质量分析报告（精选11篇）数学质量分析报告篇1一、试卷的基本情况1、试卷结构试卷整体结构合理，贴近教材的呈现方式，层次清楚，重点突出，同时注意结合具体问题背景考察学生解决实际问题的能力。
试题满分100分。
2、试卷特点（1）全卷试题覆盖面广，重视对基础知识、基本技能的考核。
重视考查“必备”的基础知识和基本技能，关注学生的学习兴趣，改变了课堂上过分注重机械的技能训练。
（2）试卷层次分明，难易有度。
全卷试题考察学生的知识面较广，试题形式多样灵活，一年级学生想得100分不容易，能较好的反映教师在日常教学中优势与不足，体现一定的坡度，能较好的体现学生的整体素质。
（3）试卷具有人文特点。
试卷注意了学生的情感和心理，具有人文的特点。
试卷改变了过去“冷、硬”的面孔，卷首给出了激发学生兴趣和调节心理的语言，还提供了生活中图片，图文并茂。
（4）关注数学应用的社会价值。
（5）考查学生对数据、图表的处理能力和表达能力。
要求学生正确地获取、理解信息，并通过处理数据、图表所表达的信息去表达解决问题。
（6）设计了考查数学思想方法的问题。
二、效果全班31人经过统计，此次考试的及格率达100%，优秀率都在75%以上，平均分是84分。
三、体会1、学生的思维受定势的影响比较严重。
具体反映在比较简单的与例题类似的典型题目学生解答正确率高，对于比较陌生的题目解答则不太理想，正确率较低。
2、学生综合运用知识及分析、判断的能力较差。
四、学生感想经调查，大部分学生走出考场时，自我感觉良好，认为很好考，可是有少数平时读题认真的学生认为很难，在检查时发现很多错误，如果不仔细很容易犯错。
还有学生说题目的字太小，太密集，很难认。
大部分字平时都已经认识了，也没必要写拼音了。
五、教学建议（1）从统计的数据和学生解题时暴露出问题可以发现教师用新理念实施新课程的教学是有效的，每一位教师都认识到必须进一步认真学习新课标，更新旧的教学观，领悟新教材的呈现方式对教学的要求，关注学生的学习过程。
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一模数学出题分析
一、一模数学各年级考点所占分值比例
1、初二年级的内容在一模考试中占据重要的地位，占总分的三成左右。
初二年级的四边形，一次函数，分式，勾股定理等内容考察频繁。
2、九年级上册的内容每年考察都占近四成，是模考中的绝对重点，其中几何证明，一元二次方程应用题，反比例函数，概率统计都是必出的解答题。
3、最近的两年（及2012年和2013年）中初三下学期的考察比例有明显的上升，解直角三角形必出解答题，二次函数在最后两道解答题中出现。
二、11-13年数学考点变化
1.2012年中考数学的题型发生改变，最具借鉴意义且对2014年最具指导作用的一模试卷当属2013年无疑，需要重点研究。
2.圆的考察仍会以选择填空的形式出现，主要考察圆中三大基本定理。
3.每年都有一个反比函数的解答题出现，通常结合一次函数进行出题，难度中等。
4.概率与统计、分式、解直角三角形的考察非常固定分别为15分、8分、9分，难度较底、题型固定，往年此部分真题是最佳复习题。
5.几何证明类的题目考察力度有所下降，相应的二次函数的考察比重有明显的上升，考察分值在14分左右。
三、2014年一模数学需要格外注意的四个变化：
1.二次函数在一模考试中势必会占据一道解答题，而13年一模最后一题的二次函数题目完全模拟中考出题，需要着重注意这个变化，备考应当以往年河南中考23题为重点练习对象。
2.解答题中出现旋转类的题目可能性大增，在复习中需要重点注意。
3.动点问题的考察难度会有一定的下降，但考察的可能性依旧很高。
4.一元二次方程应用题的考察趋势非常明显，以销售问题为主要题型，分值10分，非常重要。
四．难易点分布
1.近几年一模数学容易、中等、困难三类题目的比例大致在35%、45%、20%，中等题比例有继续增加的趋势。
2.难题主要是三个地方，填空最后一题和解答题最后两题，以折叠问题、几何证明和二次函数为主。
3.中等题主要分布：反比例函数，一元二次方程，解直角三角形，几何证明题，一般有7—9个题目。
想要在一模数学中优秀的成绩，必考的中等难度题目需要做到不丢分。
4.容易题主要分布：实数，不等式，三视图，分式，概率与统计。
集中在选择题前5题，填空题前4题，解答题的前3题。
基础不过关的同学需要尤其注意这部分。
五、2014年一模考题预测：针对2011~2013的三年考卷深入分析，现对2014年九年级一模考试数学做如下预测，希望大家能对照复习，争取好成绩。
必考题型1：直角三角形或矩形中的折叠（对称）问题仍会作为填空题的压轴题考查。
必考题型2：解直角三角形，概率与统计仍会延续过去的考法：解直角三角形在考察实际应用的解答题。
必考题型3：概率计算和中位数的概念各自以客观题的形式出现，统计中的柱状图饼状图在18题出现。
必考题型4：一元二次方程降价销售问题一定会出现，放在21题的可能性最高。
预测题型1：依据2013年中考题目，解答题第一题有从分式化简求值向乘法公式转变的趋势。
预测题型2：二次函数结合几何图形的问题作为压轴大题的可能性非常高，近五年河南中考第23题是最佳参照题目。