辽宁省凌源市2021届高三3月尖子生抽测 数学 Word版含答案

凌源市高中尖子生抽测试题
高三数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3.本卷命题范围：高考范围。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|2x2－5x－3<0}，N＝{－2，1，2，4}，则M∩N＝
A.{－2，1，2}
B.{1，2}
C.{1，4}
D.{1，2，4}
2.设复数z＝1－(1－i)3，则|z|＝
A.1
B.2
C.5
D.13
3.如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE ＝
A.
11
BA BC
36
-- B.
11
BA BC
63
-- C.
51
BA BC
63
-- D.
51
BA BC
63
-+
4.设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一
定时间t后的温度T将满足T－T a＝
1
()
2
t
h·(T0－T a)，其中T a是环境温度，h称为半衰期。

现
有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
A.12
B.14
C.16
D.18
6.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝k(x＋2)与抛物线C交于点A(1，2)，B，
则|FB|＝ A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点A i ，A j (1≤i<j ≤6)得到线段A i A j ，则|A i A j |∉{1，2}的概率为
A.16
B.13
C.25
D.35
8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且AD ＝33。

若该三棱柱的外接球O 的表面积为12π，则AA 1＝
2 B.2 5 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。

问各得几何。

”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。

问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)。

关于这个问题，下列说法正确的是
A.甲得钱是戊得钱的2倍
B.乙得钱比丁得钱多12
钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多
13钱 10.已知函数f(x)＝4sin(2x －
4π)－1，则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在[3,88ππ
-]上单调递增
C.将函数f(x)图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移
6π个单位后关于y 轴对称 D.函数f(x)在[,48
ππ-]上的最小值为－2－1 11.若0<x<y<1，则下列结论正确的是
A.log xy (11x y +)<log xy 2－12
B.e x >e x －y
C.x n <y n ，n ∈N *
D.log x y>log y x 12.已知函数f(x)＝x 2＋sinx ，则下列说法正确的是
A.f(x)有且只有一个极值点
B.设g(x)＝f(x)·f(－x)，则g(x)与f(x)的单调性相同
C.f(x)有且只有两个零点
D.f(x)在[0，2
π]上单调递增 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.当a 为常数时，(
21x
＋ax)6展开式中常数项为15，则a ＝ 。

14.在△ABC 中，若a b sinB sinA +＝2c ，则△ABC 是 三角形。

15.已知圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0，圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，则圆N 的标准方程为 。

16.若xe x ＝5，lny －5e y
＝1，则xy ＝ 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
从条件①2b －a ＝2ccosA ，②ctanC －acosB ＝bcosA ，③ccosB －a ＝
45b 中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答。

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b
， ，求△ABC 的面积。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。

18.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)。

(1)若{a n }为等差数列，a 1＝－1，65119
a a =，求S n 和a n 的表达式； (2)若数列{S n }满足12S 1＋212S 2＋…＋12
n S n ＝3n ＋5，求a n 。

19.(本小题满分12分)
为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验。

为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”。

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%把握认为“成绩优良”与教学方式有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++。

临界值表
(2)现从上述乙班的20人中，随机抽取3人，记3人中成绩不低于90分的人数为X，求X的分布列及数学期望。

20.(本小题满分12分)
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD//BC，且AB＝AD
＝1
2
BC＝1，AA1＝DC＝2。

(1)求证：平面BDD1B1⊥平面CDD1C1；
(2)求二面角C－BD1－C1所成角的余弦值。

21.(本小题满分12分)
如图所示，已知A、B分别是椭圆C：
2
4
x
＋y2＝1的左、右顶点，点S是椭圆C上位于x轴
上方的动点，点S'与点S关于x轴对称，直线AS、BS'与y轴分别交于M、N两点。

(1)求线段MN的长度的最小值；
(2)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为1？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由。

22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e x－kxln(x＋1)－1。

(1)求f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线的方程；
(2)若f(x)≥x在[0，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围。