【人教版】2018年秋九年级数学上册：第24章圆小结与复习课件
2
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四 圆中的计算问题
例5 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O
是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分
的面积等于___23_p___．
例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其 中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10， 求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得
a
a
c· d
b
O·
例8 如何作圆内接正五边形怎么作？
A B 72O° E
·
C
D
（1）用量角器作72°的中心角， 得圆的五等分点； （2）依次连接各等分点，得圆 的内接正五边形.
课堂小结
圆的概念
圆是中心对称图形
圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一 条直径所在直线都是它的
圆的性质
对称轴 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
B D
AB=8mm.
（
针对训练 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
周角等于90 ”构造出直角三角形，为进一步
利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
针对训练
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O， 四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积；
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25.
因此有 2 r 2r ，解得 r 2 2 .
A
D
O
BM
C
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
针对训练
5. ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置 关系是（ D ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角.
四、 圆中的计算问题 1.弧长公式
n R
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=__18_0_____. 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= _n_36_R0_2或____12_l_R__. 3.弓形面积公式
解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上
120创p 12 p
\ S扇形OEF =
360
= 3
针对训练
7.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径4为0cm . （2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面 积为_2_4__3__.
圆
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
与圆有关的 位置关系
直线与圆的 位置的关系
切线
切线长定理 三角形的内切圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
课后作业
见《学练优》本课时练习
C
AP
P1 E
P2 B
D 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与
直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
例4 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
过 AB 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC， ∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE， ∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC. ∴∠DOE＝ 1 ∠AOB.
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2r .
(3)圆锥的侧面积为 lr . (4)圆锥的全面积为 lr r2 .
5.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为
劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的
度数是 135°
.
A
D
O
B
C
图Pa
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点，
∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线
于点E,则∠E等于
50 . °
C
AO
BE
D 图b
·
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依
次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形 的外心.
[注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
⑵∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= 1 2（1800-∠OFG）
=
1 2
（1800-1500）=150.
考点五 与圆有关的作图 例7 如何解决“破镜重圆”的问题：
AC= AC'2 +CC'2 = 162 +82 =8 5
∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5
∴正方形ABCD的边长为 AB= AC 4 10 2
S阴影=（ 4 5）2 （4 10）2 =80 160
方法总结
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出 直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为
8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8mm.
C
解析 设圆心为O，连接AO,作出过
点O的弓形高CD，垂足为D,可知
O
8mm
AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 A 进行计算，AD=4mm，所以
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆
的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心， OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °,
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条___直__径__所在的直线
都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角 相等
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 弧
弦
两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 相等
n
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四 圆中的计算问题
例5 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O
是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分
的面积等于___23_p___．
例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其 中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10， 求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得
a
a
c· d
b
O·
例8 如何作圆内接正五边形怎么作？
A B 72O° E
·
C
D
（1）用量角器作72°的中心角， 得圆的五等分点； （2）依次连接各等分点，得圆 的内接正五边形.
课堂小结
圆的概念
圆是中心对称图形
圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一 条直径所在直线都是它的
圆的性质
对称轴 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
B D
AB=8mm.
（
针对训练 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
周角等于90 ”构造出直角三角形，为进一步
利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
针对训练
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O， 四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积；
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25.
因此有 2 r 2r ，解得 r 2 2 .
A
D
O
BM
C
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
针对训练
5. ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置 关系是（ D ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角.
四、 圆中的计算问题 1.弧长公式
n R
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=__18_0_____. 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= _n_36_R0_2或____12_l_R__. 3.弓形面积公式
解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上
120创p 12 p
\ S扇形OEF =
360
= 3
针对训练
7.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径4为0cm . （2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面 积为_2_4__3__.
圆
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
与圆有关的 位置关系
直线与圆的 位置的关系
切线
切线长定理 三角形的内切圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
课后作业
见《学练优》本课时练习
C
AP
P1 E
P2 B
D 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与
直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
例4 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
过 AB 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC， ∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE， ∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC. ∴∠DOE＝ 1 ∠AOB.
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2r .
(3)圆锥的侧面积为 lr . (4)圆锥的全面积为 lr r2 .
5.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为
劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的
度数是 135°
.
A
D
O
B
C
图Pa
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点，
∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线
于点E,则∠E等于
50 . °
C
AO
BE
D 图b
·
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依
次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形 的外心.
[注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
⑵∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= 1 2（1800-∠OFG）
=
1 2
（1800-1500）=150.
考点五 与圆有关的作图 例7 如何解决“破镜重圆”的问题：
AC= AC'2 +CC'2 = 162 +82 =8 5
∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5
∴正方形ABCD的边长为 AB= AC 4 10 2
S阴影=（ 4 5）2 （4 10）2 =80 160
方法总结
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出 直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为
8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8mm.
C
解析 设圆心为O，连接AO,作出过
点O的弓形高CD，垂足为D,可知
O
8mm
AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 A 进行计算，AD=4mm，所以
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆
的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心， OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °,
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条___直__径__所在的直线
都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角 相等
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 弧
弦
两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 相等
n
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
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秋九年级数学人教版上册课件：第24章整理与复习 (共10张PPT)
第24章 整理与复习
• 复习目标：
1．复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识 体系．
2．体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法．
知识梳理，体系构建
1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？ 垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它 所对的圆心角有什么关系？ 3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和 圆呢？怎样判断这些位置关系？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2 如图， ⊙O 的弦 AB=8 cm，直径CE⊥AB 于 D， DC=2 cm，求半径 OC 的长．
E
• 复习目标：
1．复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识 体系．
2．体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法．
知识梳理，体系构建
1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？ 垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它 所对的圆心角有什么关系？ 3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和 圆呢？怎样判断这些位置关系？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2 如图， ⊙O 的弦 AB=8 cm，直径CE⊥AB 于 D， DC=2 cm，求半径 OC 的长．
E
人教版九年级数学上册第二十四章 圆的复习课件
点在圆外
d﹥r
●A 点在圆上
d=r
点在圆内
d﹤r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
人教版九年级数学上册第二十四章复习课件
练习
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5， AB=13,则△ABC的外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过
网格点A，B，C，
其中B点坐标(4,4)，
则该圆弧所在圆的
人教版九年级数学上册第二十四章复习课件
圆
复习课件
人教版九年级数学上册第二十四章复习课件
一、知识结构
圆的基 本性质
弧、弦与圆心角 圆周角及其与同弧上圆心角 圆的对称性
圆
与圆有 关的位 置关系
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系
圆 切线 的 切 线 切线长
扇形面积,弧长, 圆中的计算
相等;并且这一点和圆心的连线平
分两条切线的夹角.
人教版九年级数学上册第二十四章复习课件
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
人教版九年级数学上册第二十四章复习课件
直线与 圆心与直线 直线 直线与
l
圆的位 的距离d与
置关系
圆的半径r的 关系
名称
圆的交 点个数
d
●r
相离
d﹥r ——
0
相切
d=r
切线
1
相交
d﹤r 割线
2
切线的判定定理 经过半径的外端,并且垂直于
第24章 圆的复习-九年级数学上册教学课件(人教版)
原 所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
理
C
精
炼
O
8mm
A
B
提
D
升
与圆有关的概念
典 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
例 2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.
原 4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
理 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
炼 【注意】(1)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点.
(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
提
(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
升
(4)一个三角形的内切圆是唯一的.
点与圆的位置关系
典 1.在△ABC中,∠C=90º,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆 例 心,1为半径作⊙C,则( C )
原 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦, 理 并且平分这条弦所对的两条弧；
精 3.垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 炼
提 升
圆的基本性质
典 1.圆的对称性： 例 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
原 2.有关圆心角、弧、弦的性质：
理
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、
° 精 炼
提 升
典 6.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点 例 E.若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形．
原 理
精 炼
提 升
典 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC. 例 (1)若∠CBD=39º,求∠BAD的度数； 原 (2)求证：∠1=∠2. 理
人教版初三数学上册第二十四章圆的小结与复习
第24章圆小结与复习、圆的概念集合形式的概念：i、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
练习题：一个圆的直径为8cm，到圆心的距离为则该点在圆_______________三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离— d • r = 无交点;2、直线与圆相切— d =r―有一个交点;3、直线与圆相交—d r―有两个交点;1、点在圆内— d :: r—点C在圆内;2、点在圆上― d = r―点B在圆上;3、点在圆外— d r—点A在圆外;5cm,、点与圆的位置关系练习题：、一个点到圆的最短距离为 3cm ，到圆的最长距离为 9cm ，则这个圆的半径为四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:六、圆周角定理①AB 是直径② AB _CD③CE =DE ④弧BC =弧BD⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在O O 中，T AB // CD•••弧 AC 二弧 BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。
2018年秋九年级数学上册(人教版)课件第二十四章 《圆》章末考点复习与小结 (共31张PPT)
◎第二关
◎第三关
）
◆考点突破
◆考前过三关
（
◎第一关
◎第二关
◎第三关
）
◆考点突破
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人教版数学九年级上册第二十四章圆小结与复习课件
A
D
O
B
C
P
例2 如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC， BC=CD，在下列四个说法中：① AC2CD；②AC=2CD； ③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确说法的个数是（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由OB⊥AC可知OB垂直平分AC，则 AB=BC=CD.∴ A B B C C D . 点C是 B D 的中点，易得OC⊥BD， ∠AOB=∠BOC=∠COD，即∠AOD=3∠BOC. 易知AB+BC＞AC，即2CD＞AC.综上可知， 正确的说法有3个.
[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆 或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
3.与切线相关的定理： (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
提示：遇切线，通常连接圆心 和切点，构造直角三角形求解.
C
AO
BE
D
针对训练
6.如图，BE是⊙O的直径，点A是圆上一点，过点A作⊙O的 切线交BE延长线于点C，若AB=AC，CE=2，⊙O的半径为 __2___．
例6 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线
与AB延长线相交于点P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC是
∵PB为的切线，∴∠OBE=90°.
设OB=r,则OE=12-r. 在Rt△OBE中，由勾股定理得r2+82=(12-r)2. 解得r= 1 0 .
3 D E O E r, D E 1 2 r r 1 6 .
人教版数学九年级上册第24章圆章末复习课件(39张PPT)
半圆（或直径） 所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的
C
· O
C2
C1
C3
A
·O
B
弦是直径.
A B
举一反三
1.如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，
AD，BD.若∠ADB = 70°，则∠ABC的度数是（ A ）
A.20°
B.70°
C.30°
D.90°
2.如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则
第24章 圆 章末复习
R·九年级上册
复习目标
（1）梳理全章知识点，能画出它的知识结构框图. （2）总结解题方法，提升解题能力.
知识框架
圆的有关性质
圆
点、直线和圆 的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
圆的对称性
弧、弦、圆心角之间的关系 同弧上的圆周角和圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形的内切圆
知识梳理
确定圆的两个要素：圆心、半径
AB是⊙O的__弦____，CD是⊙O的__直__径__，
C
直径是最长的弦
圆上任意两点之间的部分叫做___弧___，
小于半圆的叫_劣__弧___，如： A⌒D 大于半圆的叫_优__弧___，如：C⌒BA
·O
E
A
B
D
在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
∠ACB的度数为（ C ）
A.192
B.120°
C.132°
D.150°
点、线、圆和圆的位置关系
2018秋人教版九年级数学上册课件：第24章圆全章热门考点整合应用(共47张PPT)
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，
以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m. (1)求点O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
解：根据平行线间的距离处处相等，
得点 O 到 CD 的距离即为点 A 到 CD 的距离．
过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.根据∠D＝60°，AD＝m，利用
母，点P是FA延长线上的点，在 A，P之间拉一条长为12 cm的无 伸缩性的细线，一端固定在点A，
握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母 上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
B A．13π cm B．14π cm C．15π cm D．16π cm
返回
12．(中考·昆明)如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥
半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π＋8) cm2 B．(4π＋16) cm2
A
C．(3 π＋8) cm2 D．(3π＋16) cm2
返回
14．(中考·重庆)如图，以AB为直径，点O为圆心的半
圆经过点C，若AC＝BC＝ ，则图中阴影部分
的面积是( )
2
A
π A.4
B.21＋π4
π C.2
(2)若∠B＝70°，求
︵ DE
的度数；
解：如图，连接OD，OE. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20° ，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°.
∴ D︵E的度数为40°.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD， 设AC＝x，则AD＝x－2. ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°. 在Rt△BCD中，BC＝2BE＝6，
直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾
以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m. (1)求点O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
解：根据平行线间的距离处处相等，
得点 O 到 CD 的距离即为点 A 到 CD 的距离．
过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.根据∠D＝60°，AD＝m，利用
母，点P是FA延长线上的点，在 A，P之间拉一条长为12 cm的无 伸缩性的细线，一端固定在点A，
握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母 上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
B A．13π cm B．14π cm C．15π cm D．16π cm
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12．(中考·昆明)如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥
半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π＋8) cm2 B．(4π＋16) cm2
A
C．(3 π＋8) cm2 D．(3π＋16) cm2
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14．(中考·重庆)如图，以AB为直径，点O为圆心的半
圆经过点C，若AC＝BC＝ ，则图中阴影部分
的面积是( )
2
A
π A.4
B.21＋π4
π C.2
(2)若∠B＝70°，求
︵ DE
的度数；
解：如图，连接OD，OE. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20° ，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°.
∴ D︵E的度数为40°.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD， 设AC＝x，则AD＝x－2. ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°. 在Rt△BCD中，BC＝2BE＝6，
直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾