五年级奥数数阵图与幻方
五年级奥数第4讲：数阵-课件
练习五（选做）
如下图的五个连环，他们相交后分成九个区域，现在两个区域 里已分别填进数字10和6，请在另外七个区域里分别填上2、3、4、 5、6、7、9这七个数，使每个圆内数字的和都是15。
10 5
6 72
96
3
4
排除法
从两头做为突破口
两数之和等于 15-9=6
6=2+4
总结
运用数的总和与每行和的总和关系，利用数和倍数的 特点，先确定几个数，然后用排除法找出正确答案。
8
9
b2 4 8 c3
2573
小结
1. 理解幻方里总和、幻和、阶数的概念，总和=幻和×阶数， 奇数阶幻方中心数=幻和÷阶数。 2. 解决封闭数阵的时候，学会用总和的思想求顶点数，同时 利用自然数、倍数等数的特性辅助求解，并对得出的组合逐一 排除，最后得到正确答案。
2、3、5倍数的特征 什么是偶数？
还有其它填法吗？
（61，2，89）（67，2，83）（71，2，79） 两两组合共有3种
例题五（选讲）
将1～9这九个数分别填入下图的○里，使外三角形边上○内数 之和等于里面三角形边上○内数之和。
1
两个三角形2共同的点
637 45
三个数的和等于 三个数的和
618
想想符合这样的组合？
37
2
8
94
9
5
你们还能想到更多的答案吗？
所2是有质的偶数数都2不8是是质偶数数吗？ 3个质数相加是偶数 奇数+偶数+奇数=不同的质数，其中的四个数都在60～90之间， 要使横行、竖行的三个数的和都是152，可以怎么填？
61 67 2 83
89
3个质数相加是偶数 奇数+偶数+奇数=152 又是偶数又是质数的是2
奥数幻方与数阵图
幻方与数阵图练习
三阶幻方的口诀是：9子斜排上下对易左右相更四维挺出
角块等于对角两棱快之和的一半
练习
1、用
2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个
数编制三阶幻方，并求幻和。
2、2、用1、2、
3、7、8、9、13、1
4、15这九个
数数编制三阶幻方，并求幻和。
3、在右边的幻方的空格中填入恰当的数，使幻和
等于27.
4、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使
它
成为一个三阶幻方。
9
5、将3、
6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
6、将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条
直线上的三个字之和等于20。
7、将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等
8、将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法) 9 7
5。
五年级奥数幻方(一)学生版
1.五年级奥数幻方（一）学生版2.了解偶数阶幻方相关知识点3.深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连；二七六郎赏月半,周围十五月团圆．”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央,后数依次右上连．上出框时往下填,右出框时往左填．排重便在下格填,右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”,中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 第20讲-幻方与数阵图拓展
知识点回顾⏹幻方：行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图称为幻方。
这个相等的和叫做幻和。
⏹一、各种幻和补全问题：通过不同组幻和之间的比较，从而求出一些特殊位置上的数。
最常用的方法就是“两条直线去掉公共格之后，剩下的数仍然相等”。
这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与“相等和数”有关的数阵图问题。
⏹幻方：⏹二，三阶幻方的三条重要性质：aA cb1，幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，如图所示，即幻和=3A；2，所有经过中心方格的行、列或对角线上的三个数，均构成等差数列；3，位置如a,b,c所示的三个格子满足如下关系：b+c=2×a复杂数阵图：一，学会观察一个数阵图，找出其中哪些数是可以直接确定的，哪些数之间是相关联的，哪些位置是最特殊的，要填进去的数中，有没有哪些数对位置有特殊要求的。
二，重数分析和整体分析的思想。
求出公共的“和数”，并确定一些特殊位置上的数之间的关联。
【1】将1，2，3，…，24，25分别填入下图的各个方格中（有些数已填好），使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少?【2】请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．【3】(1)在下图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少?【3】(2)请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。
【4】如下图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．【5】将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人下图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．【6】请将1至9这9个数填入下图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?【7】请将1至10填入下图中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．【8】在下图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．【9】请在下图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．【10】请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边)；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是多少?【11】将数字1、2、3、4、5、6、7填人下图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。
幻方和数阵
ii）a=1，b=3，c=5
d=s-（a+b）=6
e=s-（a+c）=4
f=s-（b+c）=2
?
?
iii）a=2，b=3，c=4
d=s-（a+b）=5
e=s-（a+c）=4
因为数字出现重复，所以不合题意。
?
（3）当s=11时，a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有：
?
学法指导
解数阵图的一般方法：
（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。
?
因此在解答这类问题时，常用的知识有：
1．等差数列的求和公式
总和=（首项+末项）×项数÷2
2．数字的奇偶性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
?
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
知识网络
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了 这样的数阵图，也称做幻方。
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识集锦知识集锦数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。
数阵图和复合型数阵图三种形式。
幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
“洛书”的传说。
在3×3的方格里，的方格里，填上填上9个连续的自然数，个连续的自然数，使每行、使每行、使每行、每列、每列、每列、每条对角线上的每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。
类似的还有四阶幻方、五阶幻方……例题集合例题集合例1 1 把把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是行、竖列三个数的和都是1414。
练习1 1 将将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是2121。
例2 2 将将1111～～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是4040。
练习2 2 将将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是4747。
例3 3 把把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。
练习3 3 如下图，在五个小圆圈内分别填上如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。
之和都相等。
例4 4 将将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是2121。
练习4 4 将将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是2222，那么，那么A 、B 两个圆圈内不可能填（两个圆圈内不可能填（ ））。
①1和7 7 ②②4和8 8 ③③3和5 5 ④④2和6例5如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相5 如下图，将等。
小学数学思维方法：幻方与数阵图
幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。
二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。
第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。
第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。
【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
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数阵图与幻方
知识集锦
数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。
幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。
类似的还有四阶幻方、五阶幻方……
例题集合
例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横
行、竖列三个数的和都是14。
练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。
例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。
练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是
47。
例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。
练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字
之和都相等。
例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。
练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。
①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6
例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
求x的值。
练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。
求x的值。
例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。
练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
课堂练习
1、将1到10这十个数字分别填入下图中的十个圆圈中，使每条线上的四个数之和都是21。
问其
中的x的值是多少？
2、在左图的圆圈内填上6个不同的自然数，而且每个数都是上一行相邻两数之和。
请按此规律，
在右图的圆圈内填上不同的自然数。
3、在下图的空格中填上适当的数，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
4、把1到7和七个数，填在下图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都是12。
5、将1到6这六个自然数分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三个数字之和为11。
6、如下图的五个连环，它们相交后分成九个区域，现在两个区域里已分别填进数字10和6，请在
另外七个区域里分别填上2、3、4、5、6、7、9这七个数，使每个圆内数字的和都是15。
7、下图的大圆上有7个小椭圆，用一个数或者用两个相邻的数相加的和，可以表示出1到14这十
四个不同的数。
如图，可以表示的数有五个：1，2，3 = 1＋2，7,8 = 1＋7。
请你填完剩下的4个数。
家庭作业
1、在下图的每个没有数的格内填入一个数，使每行、每列以及每条对角线上的三个格中的三个数
之和都是19.95，那么画“？”的格内所填的数是多少？
2、下图中的A =________,B =________,C =________,D =________,E =________时,它能构成一个
三阶幻方。
3、10个连续的自然数，9是其中第三大的数，把这10个数填到下图的10个方格中，每格只能填
一个数，要求图中三个2×2的正方形中四个数之和相等。
那么这个和数的最小值是________。
4、将1到7这七个数字分别填入下图的小圆圈内，使图中每个圆周和每条直线上的三个数之和都
相等。