报童模型

G n 0 n a b r b c n r p r d n r a b n r d pr
接下来只需要对G (n)关于n求导后找G(n)的最大点
计算 d dG n abnn p0nbcprdr
abnpnnabprdr
bc0nprdrabnprdr
令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为 0
pr
dr
n
1，所以
prdr
ab
0
ac
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr
下的两块面积，则
pr
P1 a b
P2 b c
P1
P2
O
n
r
n
G n E ( Y ) a b r b c n r fr a b n fr
r 0
r n 1
问题归结为在 f(r),a,b,c已知时，求n 使G (n)最大。
模型求解：
通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，故可以将 r 视为 连续型随机变量，以便于分析和计算，此时需求量 r 的分布规律 f(r)转化为概率密度 p(r)来处理,则G (n)变为
赚的钱 ab 与退回一份赔的钱bc 之比。
结论：
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时, 报童购进的份数就应该越多。且现实生活中，订购服装销售问 题可以类似解决。但如果遇到打折销售时，要作一定的改变。
如：某衣服零售商每个季度从批发商处购进一批衣服销售，设 每件衣服购进价b元，零售价a元，每个季末，如有未售完衣服， 零售商将以c元打折销售，而折价销售后还有剩余的衣服，将由 批发商以d元价格回收，试确定零售商的订货量使获利最大。
k0
kn1
所以
n1
qn1P(rn1) pk,而1qn1 pk
k0
kn
E ( n ) E ( n 1 ) ( b c ) q n ( a b ) ( 1 q n ) 0
E ( n ) E ( n 1 ) ( a b ) ( 1 q n 1 ) ( b c ) q n 1 0
(ab)(n1)pk kn1
所以
n
E (n ) E (n 1 ) (b c ) p k (a b ) p k 0
k 0
k n 1
n 1
E (n ) E (n 1 ) (a b ) p k (b c ) p k 0
k n
k 0
n
若记qn P(rn) pk,则1qn pk；
Xn且XYn Xn且XYn
anbn
Xn
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(rk)pk ，试确定商家的最佳订货量。
报童的诀窍
问题描述： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖
掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖
不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。而市场对 报纸的需求量是一个随机变量。试为报童筹划一下每 天购进报纸的数量，以获得最大收入。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
P(rn1)，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
f(r,n ) (a (b a ) rb )( n b c )(n r)0 0 n r r n 1
因其 为中 当P 1购进0 np nr 份d 报r纸,P 2 时 ，Pn 1 pr 0npd r .rdr是需求量 r 不超过
n 的概率，即卖不完的概率；P2
prdr是需求量 r
n
超过 n 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份
数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份
模型分析：
购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已 经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性，
即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是
f r r0,1,2,
有了f r和 a, b, c 。就可以建立关于购进量的优化模型。
模型建立：
假设每天购进量是n份，需求量 r 是随机变量，r可以 大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天 的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标 函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平 均收入，即报童每天收入的期望值。
记报童每天购进n份报纸的平均收入为Gn，如果这天的需
求量 rn ，则售出 r份，退回 nr 份，此时报童的收入
为 a b r b c n r；如果需求量rn
则n份将全部售出，没有退回。此时报童的收入为 a b n
故利润随机变量 Y ((a a b b))n r(bc)(nr)
rn rn
根据已知需求量 r 的分布规律 f(r)，得平均收入为
结论：
qn1
ab ac
qn
上式就是最佳进货量 n 应该满足的不等式
此时期望收益的最大值为：
n
M a x E (n )= ( a c )k p k n (a b )( 1 q n ) (b c )q n
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 YnX时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 YnX时，售出n-X份，没有退回。
2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
则利润随机变量为
aXcYb(XY)(bd)(nXY)
ZaXc(nX)bn
所以 E (n)E （ f(r,n)）
n 1
= (ab)k(bc)(nk)pk (ab)npk
k0
kn
设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式
E(n) ≥ E(n+1)且E(n) ≥ E(n－1)
而
n
E(n1)=(ab)k(bc)(n1k)pk
k0
(ab)(n1)pk kn1
n2
E(n1)=(ab)k(bc)(n1k)pk k0