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2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π32．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=923．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．164．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝05．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32a B ．√33a C ．√55a D ．√155a 6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．3657．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√10108．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝012．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为 ． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2．（1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面为矩形，平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D ，且CC 1＝CD ＝DD 1=12C 1D 1=2．（1）证明：AD ⊥平面CC 1D 1D ；（2）若∠A 1CD 1=π3，求平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π3解：A(0，√3)，B （3，0），则k AB =0−√33−0=−√33，所以直线的倾斜角为5π6．故选：A ．2．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=92解：由直线x +y ＝0为圆的切线，得圆的半径r =|1−2|√1+1=1√2， 所以所求圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=12． 故选：A ．3．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16解：∵a →与b →为共线向量，∴2x 1=13=39，解得x =16，故选：D ．4．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝0解：联立{x +y =22x −y =1，解得x ＝1，y ＝1，即交点为（1，1），因为直线的一个方向向量v →=（﹣3，2），所以直线的斜率k =−23， 所以直线方程为y ﹣1=−23（x ﹣1），即2x +3y ﹣5＝0． 故选：A ．5．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32aB ．√33aC ．√55aD ．√155a解：设AB →=i →，AD →=j →，AA 1→=k →，则{i →，j →，k →}构成空间的一个正交基底．可得MN →=MB →+BC →+CN →=12i →+j →+12(−j →+k →)=12i →+12j →+12k →，故|MN →|2=14a 2+14a 2+14a 2=34a 2，所以MN =√32a ．故选：A ．6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．365解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A 为圆（x +2）2+y 2＝5上的点，B 为直线x +2y ＝4上的点，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的几何意义为圆上的点A 与直线上的点B 的距离的平方， 圆心（﹣2，0）到直线x +2y ＝4的距离为d =|−2−4|√5=6√55＞√5， ∴|AB|min =6√55−√5=√55， ∴|AB |2的最小值为15．故选：B ．7．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√1010解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4， 当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC =√2，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B 1（0，√2，4），C （0，0，0），A （√2，0，0），B （0，√2，0）， B 1C →=（0，−√2，﹣4），BA →=（√2，−√2，0），BB 1→=（0，0，4）， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA →=0n →⋅BB 1→=0，即{√2x −√2y =04z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，0），设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，直线B 1C 与平面ABB 1A 1的法向量n →所成的角为α， 则sin θ＝cos α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√2√2+16⋅√2=√26，∴直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√26． 故选：C ． 8．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352解：已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，则c =√9−6=√3，又O 为原点，P 为椭圆上一点， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 不妨m ＞n ，可得m +n ＝6，①结合余弦定理可得：4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos ∠F 1PF 2， 又cos ∠F 1PF 2=35，即12=m 2+n 2−65mn ，② 结合①②可得mn =152，m 2+n 2＝21， 又PO →=12(PF 1→+PF 2→)，可得|PO|2=14(PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→⋅PF 2→)=14(m 2+n 2+2mncos∠F 1PF 2)=14(m 2+n 2+65mn)=14(21+65×152)=152． 可得|PO|=√302． 故选：B ．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 解：对于AB ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)， 所以n →⋅u →=−2−8−2=−12≠0， 所以n →与u →不垂直， 又u →=−2n →， 所以u →//n →，所以l ⊥α，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，，所以n →⋅m →=1+0−1=0， 所以n →⊥m →，所以α⊥β，故C 错误，D 正确； 故选：BD ．10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切解：根据题意，方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，变形可得（x ﹣2）2+（y +4）2＝20﹣2a ， 依次分析选项：对于A ，a ＝10时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝0，不能表示圆，A 错误； 对于B ，当a ＜10时，20﹣2a ＞0，方程表示圆心为（2，﹣4）的圆，B 正确，对于C ，当a ＝0时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝20，表示圆心为（2，﹣4），半径为2√5的圆，C 正确；对于D ，当a ＝8时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝4，表示圆心为（2，﹣4），半径为2的圆，与y 轴相切，D 正确； 故选：BCD ．11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．12．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2解：设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 由图可得2a cos45°＝2√2，解得a ＝2， 又b =√2，c ²＝a ²﹣b ²＝4﹣2＝2，解得c =√2， 所以椭圆的长轴长为4，故A 正确； 离心率e =ca =√22，故B 错误； 椭圆的方程为x 24+y 22=1，故C 正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2，故D 正确； 故选：ACD ．三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为√102． 解：两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则3m ＝6，即m ＝2， 直线6x +my +4＝0化为：3x +y +2＝0，于是√32+12=√102． 所以所求距离为√102． 故答案为：√102． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 2√3 ． 解：由已知圆x 2+y 2＝4的圆心为A （0，0），半径r 1＝2，圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0，即x 2+（y +1）2＝7的圆心为B （0，﹣1），半径r 2=√7， 联立{x 2+y 2=4x 2+y 2+2y −6=0，作差可得2y ＝2，即y ＝1，所以公共弦l 所在的直线方程为y ＝1， 所以点A （0，0）到直线l 的距离d ＝1，所以弦长为2√r 12−d 2=2√4−1=2√3． 故答案为：2√3．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 √10 ．解：AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2=(AB →+AD →+AA 1→)2 =AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→＝1+1+4+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°＝10， 所以AC 1=√10． 故选：B ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 [﹣7，1] ．解：设M （x ，y ），因为A （0，3），C （0，0）， 又因为|MA |＝2|MO |，所以x 2+（y ﹣3）2＝4（x 2+y 2），化简整理可得：x 2+（y +1）2＝4，动点M 的轨迹是以C （0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆，因为直线l ：ax ﹣y +3a ＝0过定点（﹣3，0），若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ， 由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P 到圆心的距离达到最大，此时为√2r ， 所以点P 到圆心的距离小于等于√2r ， 也即√1+a 2≤√2×2，解之可得：﹣7≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是[﹣7，1]，故答案为：[﹣7，1]．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．解：（1）∵平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1）， ∴CD 直线的斜率，即直线AB 的斜率，为3−21+1=12，故直线CD 的方程为y +1=12（x ﹣3），即x ﹣2y ﹣5＝0． （2）∵点E 是线段BC 的中点，∴点E 坐标为（2，1）． 根据直线CD 的方程：x ﹣2y ﹣5＝0，设点D （2m +5，m ）， 则由AD ∥BC ，可得他们的斜率相等，即m−22m+5−(−1)=3+11−3， 求得m ＝﹣2，可得点D （1，﹣2），故直线DE 的斜率为1+22−1=3．故过点A 且与直线DE 垂直的直线的斜率为−13，故过点A 且与直线DE 垂直的直线为y ﹣2=−13（x +1），即x +3y ﹣5＝0． 18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 由于E 为DD 1的中点，O 为AC 的中点，则EO ∥BD 1， 又因为EO ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2a ，则C （0，2a ，0），D 1（0，0，2a ），A （2a ，0，0），E （0，0，a ）， 所以CD 1→=（0，﹣2a ，2a ），AE →=（﹣2a ，0，a ）， 设CD 1与AE 所成角为θ， 则cos θ＝|cos ＜CD 1→，AE →＞|=|CD 1→⋅AE →||CD 1→||AE →|=|2a 2|√8a 2×√5a 2=√1010，所以CD 1与AE 所成角的余弦值为√1010． 19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2． （1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）， 圆心C （1，1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =|1+1−1|√2=√22， 则r 2=d 2+(√22)2=12+12=1，所以圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）①当切线斜率不存在时，设切线：x ＝2，此时满足直线与圆相切． ②当切线斜率存在时，设切线：y ﹣3＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +3， 则圆心C （1，1）到直线y ＝kx ﹣2k +3的距离d =|k−1−2k+3|√k +1=1，整理得4k＝3，解得k=3 4，则切线方程为3x﹣4y+6＝0，综上，切线方程为x＝2和3x﹣4y+6＝0．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1=12C1D1=2．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若∠A1CD1=π3，求平面A1AC与平面ABC夹角的余弦值．解：（1）证明：如图，在梯形CC1D1D中，因为CC1=CD=DD1=12C1D1=2，作DH⊥D1C1于H，则D1H＝1，所以cos∠DD1H=12，所以∠DD1C1=π3，连结DC1，由余弦定理可求得DC1=2√3，因为DC12+DD12=D1C12，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且交于DD1，DC1⊂平面CC1D1D，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC．DC∩DC1＝D，DC，DC1⊂平面CC1D1D，所以AD⊥平面CC1D1D．（2）连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1=π3，在Rt△A1CD1中，因为CD1=2√3，所以A1D1＝6，因为A1C1∥AC，所以平面A1AC与平面A1ACC1是同一个平面．以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A 1（6，0，0），C(0，3，√3)，C 1（0，4，0）， 所以A 1C 1→=(−6，4，0)，A 1C →=(−6，3，√3)， 设平面A 1AC 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ）， 则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1C →=0，即{−3a +2b =0−6a +3b +√3c =0，令a ＝2，则b ＝3． c =√3，故n →=（2，3，√3）， 由题意可知m →=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，所以|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√31×4=√34，故平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为√34．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．解：（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立坐标系，则可得M （0，10），N （8√3，8），设P （s ，t ），过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N ′，则N ′（8√3，2t ﹣8）， ∴PM +PN ＝PM +PN ′≥MN ′＝2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）；（2）设三段水管的总长为L ，则由（1）知L ＝PM +PN +PQ ≥t +2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）； ∴（L ﹣t ）2＝4（t 2﹣18t +129）在t ∈（0，8）上有解， 即3t 2+（2L ﹣72）t +（516﹣L 2）＝0在t ∈（0，8）上有解， Δ＝（2L ﹣72）2﹣12（516﹣L 2）≥0，即L 2﹣18L ﹣63≥0 ∴L ≥21或L ≤﹣3，∴L 的最小值为21，此时对应的t ＝5∈（0，8）， 故N ′（8√3，2），MN ′的方程为y ＝10−√33x ，令y ＝5得x ＝5√3，即P （5√3，5），∴PM =√(5√3)2+(5−10)2=10，PN =√(5√3−8√3)2+(5−8)2=6，∴满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线5√3km ，此时污水处理站到小区M ，N 的水管长度分别为10km 和6km ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．解：（1）根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为（0，b ），左、右焦点的坐标分别为（﹣c ，0），（c ，0）， 由题意可知b c ⋅(−b c )=−45，即b 2=45c 2，又a 2＝b 2+c 2，所以a 2=95c 2，即c 2a 2=59，c a =√53，可得椭圆C 的离心率e =√53．（2）由|AB |＝6，得2a ＝6，即a =3，c =√5，b =2， 所以椭圆C 的方程为x 29+y 24=1．如图所示：设M （x 0，y 0），则x 029+y 024=1，即y 02=36−4x 029，又A （﹣3，0），B （3，0），则直线MA 的方程为y =yx 0+3(x +3)，直线MB 的方程为y =yx 0−3(x −3)；因为直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ， 可得P(5，8y 0x 0+3)，Q(5，2y 0x 0−3)， 所以OP →⋅OQ →=(5，8y 0x 0+3)⋅(5，2y 0x 0−3)=25+16y 02x 02−9=25+16(36−4x 02)9(x 02−9)=25−649=1619． 即OP →⋅OQ →=1619．。
合肥新华国际学校入学条件
合肥新华国际学校入学条件国际学校招生主要会审查孩子的国籍、户籍和入学测试成绩。
国际学校按招生要求分为只招收纯外籍学生、中外籍都招收（私立）、只招收中国籍学生（公立）三类；除此之外，大多数学校还会举行入学考试（笔试+面试），通过测试者才能入学。
1、学生国籍和户籍。
目前在国内开办的国际学校大致分成三种：只招生外籍学生的国际学校、中外籍都招的私立国际学校、公办学校国际部。
其中只招收外籍学生的国际学校和中外籍都招收的国际学校对学生户籍一般没有要求，但是公办学校国际部只招收籍学生，不招收外地学生。
2、中考分数及入学测试。
一般公办学校国际部和部分私立国际学校在招收学生时会对学生的中考成绩有一定要求，但是不管哪所国际学校或者是国际班，都有入学测试，孩子需要**学校自己组织的入学测试才能入学。
入学测试考试通常分成笔试和复试两个部分，笔试通常托福数学和英语，部分学校文凭物理和化学;复试通常就是氢铵英语复试，大多就是学校外教展开，有的是外籍校长复试，只有都达标者才算合乎学校的录取建议。
一般情况下，市区重点、市重点考生可以进行入学测试，并且并不仅限一次入学考试机会，当然，孩子如果有特长，是会对孩子有加分的。
相同国际学校的录取条件也有所不同，家长们在小升初前要努力做到充份介绍；以下为部分北京国际学校录取条件举例：招生条件：幼-高阶段适龄儿童，中国公民子女，在京外籍学生以及港澳台和留学归国人员子女入学考试：根据学校统一安排，出席入学测试，笔试英语数学，口试英语。
贝拉国际高中入学条件：录取条件：无国籍户籍管制，适龄阶段学生；入学考试：英语口语测试及多种形式的中文测试。
录取条件：无国籍户籍管制，适龄阶段学生；入学考试：小学部面试择优录取，初高部，笔试(英语+数学)+面试。
北师大二附国际部入学条件：招生条件：无国籍户籍限制，适龄阶段学生；入学考试：1.剑桥英语语言能力测试2.科学、文化水平测试。
招生条件：无国籍户籍限制，适龄阶段学生；入学考试：氢铵英语的笔试+氢铵英语复试。
UCSE合订本电子版本
SAT 平均分： 语文 643 数学 656 大学升学率：99% 在读学生 GPA 统计： （GPA 分数在 101.7-73.44 之间） GPA 100 以上： 6 人 GPA 90-99.99： 59 人 GPA 82-89.99： 49 人
★
St. Francis High School
申请文件 申请人护照扫描件； 体现最近 2 年或更长时间的成绩单； 学校在读证明； 毕业证（如 9 年级毕业的学生需要提供） ； 填写完整的学校申请表； 教师推荐信（某些学校需要） ； SLEP 考试成绩； 。 个人陈述（某些学校需要）
申请程序
学校预审合格后，签发预录取给学生； 学生收到预录取后交付押金 5000 美元到学校账户； 学校签发正本录取文件及 I-20 表交学生办理签证； 获得签证后，学生付学费余额到学校账户，以便学校安排生活； 如果拒签， 学校将扣除 500 美元的申请手续费； 如果获得签证后不按时到学校上课，5000 美元押金将不可退还；
912年级认证机构middlestatesassociationschoolsromancatholicdiocese耗资200多万美元的技术设备40多台imac设备生物生态学8002009年ap成绩91的考生ap成绩在3以上19名学生ap考试高于3552名学生获得ap奖学金pj约翰高中select合唱团体育项目秋季女子排球冬季摔跤春季田径学生社团popejohnfirst机器人社团popejohn领导力协会popejohn视觉社团lionspride校新闻社世界语言荣誉组织年总费用40000美元包括申请注册费学费活动费档案费户外旅行费课程费住宿餐饮费网络费校车费保险费国际学生费校园舞会费用等其他费用应急押金2000美元毕业退还此费用余额12年级应付2000美元附加费用毕业典礼礼服大学申请毕业舞会年刊等课程设置18门ap课程34门荣誉课程2009届毕业生数据毕业人数239升入大学人数234年制217奖学金总量24172554美元18名学生获得bloustein杰出奖学金住宿方式学校宿舍与homestay双重选择规模大
合肥市私立高中排名一览表
合肥私立高中前10名
一、合肥私立高中前10名
1、合肥一六八中学
2、合肥新华实验中学
3、合肥皖智中学
4、合肥滨湖寿春中学
5、合肥润安公学
6、合肥光华学校
7、合肥中汇实验学校
8、合肥世界外国语学校
9、合肥卓越中兰
10、合肥育英高级中学
二、如何选择私立高中
普通高中优点
1、收费低、管理规范，师资相对稳定，流动性较小。
2、普通高中学校比较注重素质教育，管理比较宽松自由。
私立高中优点
1、更注重生源水平，选拔比较严格，学生整体水平、学校校风、学风整体比同等公立学校要稍好。
2、学校实行全封闭式管理，老师能及时了解学生在
校情况。
无缝对接 一以贯之
无缝对接一以贯之九年一贯制学校，就是将小学与初中合在一起作为一个整体，实行九年一贯制义务教育的学校。
顾名思义，就是在九年义务教育过程中，学生从一年级至九年级，在一所学校相继完成小学至初中教育，其间不间断、不选拔。
与之相适应，九年一贯制学校要实行统一的政、教育、教学管理，以保障培养目标的实现。
标签：九年一贯无缝对接学段重组生涯规划以大带小笔者所在的合肥市第六十一中学是包河区的一所九年一贯制学校，分为南、北两个校区。
北区拥有小学至初中共9个年级，21个教学班;南区目前有小学部6个年级12个教学班。
两校区共有学生1423人，95%以上学生为进城务工随迁子女。
“无缝对接，一以贯之”，学校规模和性质决定了我校的九年一贯制既有分部管理也有学段管理。
我们在实践中积极探索，在以下几方面进行了有益的探索。
一、熟悉环境，教育新要求在一所学校内，从三楼上到四楼就是升入初中，楼层的提升不仅是一个级别的提升，更是一个新阶段的开始。
为在熟悉的环境中保持新鲜感，强化初中生的角色认知，学校每年度主要落实以下活动：“我是初中生”主题微军训。
开学伊始，学校都会聘请专业团队或者本校经验丰富的老师对七年级新生进行为期两天的微军训，即有队列、军姿及军纪的训练，也有团队合作挑战自我的攻坚活动，同时有新角色适应性的心理健康教育。
在集体中、在合作中、在矛盾中、在解决问题的过程中，新生懂得怎样与别人合作、明白同伴之间要互相关爱和信任等，以此增加班集体的凝聚力，增强初中的角色意识，促进新生尽快地适应中学学习生活。
加强培养初中学生自主管理的能力。
“管是为了不管”，这是我们期待并努力实现的目标。
从去年起，学校在小初衔接段和学业提升段实行学生自主管理。
12：30～1：30，每个班摸排留校的学生，每天安排好值日生，轮流值班，学生可以在教室做作业、讲题目、看书或者休息。
学校领导班子成员进行巡查、值班，并认真做好记录。
每天静校后校长及时利用校园广播系统进行“点对点”的点评，表扬静校中表现好的班级和小组。
新华公学全明星管理团队集体亮相
重磅！3月16日合肥新华公学“全明星”管理团队将集体亮相在国际化教育广受关注的今天，合肥新华公学因其强大的集团基因、前沿的教育理念、独特的育人模式，在合肥教育圈引起不小的震动。
3月16日，新华控股集团董事长吴成柱先生将为学校总校长李建民先生及各级部校长举行受聘仪式。
合肥新华公学全明星管理团队将集体亮相。
届时，幼儿园园长李霞、小学部校长张宁、初中部校长严利华、美高校长Nolon 将亲临现场，和各年龄段学生家长近距离交流。
副校长吴晶晶也将在活动现场深入解答家长们关于学校运营等方面的问题。
在学校的高层管理层中，李建民先生是原河南实验学校校长，严利华女士是国际教育新锐专家，Nolon女士曾任多所国际学校校长，所有中外方管理者都拥有丰富管理经验和国际视野，这样强强联手的学校管理团队非常罕见。
秉承传统面向未来合肥新华公学由新华控股集团巨资打造。
秉承中外名校教育理念与管理经验，学校将坚持全人教育理念，在中西教育融合的基础上创建独特的校园文化。
通过卓越的课程体系、丰富的ECP活动课程、完善的寄宿关怀体系，打造世界一流的教育，最大化激发学生潜能。
中外名校校长携手，打造15年一体化国际教育。
学校秉承“世界的中国学校、中国的世界学校”办学思想及“合作、笃行、多元、责任”的价值观，传承和发扬中华文化的同时，开阔国际视野，着力打造“中国领先、世界一流”的国际化示范学校，为社会培养具有民族自信、勇于创新、敢于担当的未来世界杰出公民李建民：国家特级教师，享受国务院颁发的政府特殊津贴、全国名校长、广东省名校长。
李建民总校长曾任河南省实验中学校长、广州市广外附设外语学校校长、广东省民办教育协会副会长、广东省“生本教育中学校长学术研究会”常务副会长。
《光明日报》、《中国教育报》等报纸曾多次报道其办学经验。
凯莉•安•诺兰曾任中美洲院校联盟会员，在多个国家但任国际学校认证官。
先后获得佛罗里达大学教育学院教学与课程专业博士，弗雷明汉州立大学国际教育课程教育领导文学硕士，佛罗里达大学拉丁美洲研究中心文学硕士，东卡洛琳大学文学学士等学位。
合肥“学牛”班,48%升入世界前100名校
合肥“学牛”班，48%升入世界前100名校合肥工业大学国际预科班捷报频传，学生经过一年的奋斗，在春天迎来了丰硕成果。
所有学生均被海外大学“抢光”，全班31人，共收获79封录取通知书, 其中不乏老牌名校和世界百强大学。
而在一年前，他们还在夜以继日的奋战高考，高考失利后，他们都选择了合肥工业大学国际班。
然而经过国际预科半年的奋斗，今天，他们可以骄傲自豪的说：我们用实力证明！世界名校，我来了！”七名学生被世界第30位大学同时录取出乎意料，刘一帆，薛盈盈，狄子素等七名学生同时获得世界老牌名校英国曼彻斯特大学的录取。
曼彻斯特大学是英国大学中世界排名最高的八大著名学府之一，世界排名第30位、英国著名的六所“红砖”大学之首，英国“常春藤联盟”罗素大学集团的创世成员之一。
国际班老师介绍：“往届也有2-3人会被曼彻斯特大学录取，但是能像今年7个人一起被录取的情况，实在少见。
这些孩子可以一起留学同一所著名大学，继续校友缘分，在海外也可以互相照顾、扶持。
这让我们学校和家长都放心！”现在预科班的学生们正在努力的完成最后的学业，5月份课程结束后，他们将陆续的赴海外继续完成本科学业。
在英国的学哥学姐也做好了迎接的准备。
三所英国名校同时向郭子昂同学伸出橄榄枝郭子昂同学（图右一）同时拿到了英国排名第7、世界排名29位的布里斯托大学、排名英国第8位的约克大学、排名第22的纽卡斯尔大学三所名校的录取通知书。
“我也没有想到自己会取得这样的成绩”，见到记者时郭同学兴奋地说“在没有上预科班之前，我差点就觉得自己的名校之路结束了，今天有这样的成绩，特别感谢预科班所有的老师，感谢工大国际教育学院给我们提供的留学之路”。
张锐同学（图左一）收到了英国排名第14位的伯明翰大学录取通知书。
同学告诉我们：“在打算出国留学的时候，就考虑在国外学习预科?还是在国内学习预科。
最主要是找寻适到合自己学习习惯的预科，高中毕业直接出去，家人担心自己不够成熟，自己担心学习不适应，语言不达标等等有很多的担心和顾虑，而在国内学习预科既能提高学习成绩、做好适应海外课程的准备，节省一年学费，还能在这里找到一起出国留学的伙伴！”同学们的笑声表达了他们对未来的憧憬。
合肥国际双语学校招生条件
合肥国际双语学校招生条件
肥国双语学校招生条件：
一、招生对象
1. 年龄为3至18岁的未成年儿童；
2. 近三个月内具有良好的健康状况；
二、招生手续
1. 持正本护照面试；
2. 要求提交有效学籍证及原学校学习证明；
3. 提供有效解决家长或学生如派遣、移居、回国等一些证明文件；
三、招生费用
1. 学校报名费：每人收取150元；
2. 教材费：根据学校规定，根据课程不同收取相应教材费；
3. 其他费用：若需要接机、住宿等相关服务，学校还有相应的服务费。
四、入学测试及入学文件
1. 入学考试：根据学生的当前所学科目，老师安排语言能力、学科及素质教育的测试；
2. 入学文件：学生持有效证件入学时需提交学生信息登记表及体检证明。
五、面试及体检准备
1. 护照和照片准备：参见护照原件，照片要求2
寸白底近期正装照片2张；
2. 体检要求：出国当地均可安排体检，但需经过
专业医生签发有效体检证明，入学前有体检要求；
3. 面试要求：学生面试时需老师安排一次面试，
其中包括口语和写作等内容，以确定学生的英语
能力。
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污染物 名称
pH COD BOD5 NH3-N
SS 动植物油
西部组团污水处
理厂接管标准
（mg/L）
6～9 ≤350 ≤180 ≤35 ≤250
/
GB18918-2002 一 级标准中 A 标准
（mg/L）
6～9 ≤50 ≤10 ≤5 ≤10
1
（GB8978-1996） 中的三级标准
（mg/L）
6～9 500 300
合肥一中新华马克汉姆国际学校 （一期）建设项目阶段性竣工环境保护
验收监测报告表
建设单位：合肥市华明供应链贸易有限公司 编制单位：安徽应天环保科技咨询有限公司
2019 年 3 月
建设单位法人代表: 编制单位法人代表: 项 目 负 责 人: 填表人：
（签字） （签字）
建设单位
（盖章）
电话: 15205511017
监控点
浓度（mg/m3）
颗粒物
1.0
氮氧化物
周界外浓度最高点
0.12
二氧化硫
0.40
食堂油烟排放执行《饮食业油烟排放标准》（试行）（GB18483-
2001）中大型 规模要求。标准值详见下表：
表 1-3 食堂油烟排放标准
规模
小型
中型
大型
最高允许排放浓度
2.0
（mg/m³）
净化设施最低去除效
60
率（%）
1、项目营运期生活污水排放执行西部组团污水处理厂接管标准，西
部组团污水处理厂出水执行《城镇污水处理厂污染物排放标准》
（GB18918-2002）一级标准中的 A 标准；接管标准未做要求的执行
《污水综合排放标准》（GB8978-1996）中的三级标准。标准值见下
表。
表1-1 废水中主要污染物排放标准
验收监测评价 标准、标号、 级别、限值
75
85
3、营运期公建设备噪声排放执行《工业企业厂界环境噪声排放标
准》（GB12348-2008）中 2 类标准；宿舍楼、教学楼户外执行《声环
境质量标准》（GB 3096-2008）中 2 类标准。
具体排放标准见下表：
表 1-4 其他噪声排放标准 单位：dB(A)
类别
昼间
夜间
公建设备噪声：《工业企业厂界环境噪声排放标准》 （GB12348-2008）中 2 类
/ 400 100
2、项目废气排放执行《大气污染物综合排放标准》（GB12697-
1996）中无组织排放监测浓度限值，颗粒物、氮氧化物和二氧化硫标
准限值如下。
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合肥一中新华马克汉姆国际学校（一期）建设项目阶段性竣工环境保护验收监测报告表
表 1-2 无组织废气排放标准
污染物
无组织排放监测浓度限值
95000 万元
验收部分环保投资 313 万元 比例
0.33%
（1）《建设项目环境保护管理条例》（2017 年修订），国务院令第
682 号，2017 年事后监督管理办法》（环发[2015]163
号），2015 年 12 月 10 日施行；
（3）《建设项目竣工环境保护验收暂行办法》（国环规环评[2017]4
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号，生态环境部，2018 年 5 月 15 日施行； （7）合肥高新技术产业开发区经济贸易局：《关于合肥一中新华马 克汉姆国际学校（一期）建设项目备案的通知》（高经贸【2017】 453 号文），2017 年 9 月 27 日。 （8）安徽华境资环科技有限公司：《合肥一中新华马克汉姆国际学 校（一期）建设项目环境影响报告表》，2017 年 11 月； （9）合肥市环境保护局高新技术产业开发区分局：《合肥一中新华 马克汉姆国际学校（一期）建设项目环境影响报告表的审批意见》 （环高审（2017）129 号文），2017 年 11 月 14 日； （10）合肥市高新区建设发展局，《室外排水设施专项检查表》； （11）《肥一中新华马克汉姆国际学校（一期）建设项目竣工环境保 护验收监测委托》（2019 年 2 月）；
传真:/
邮编:230088
地址: 合肥市高新区长江西路与
天堂寨路（规划）交口东北角
编制单位 （盖章） 电话:0551-65330153 传真:/ 邮编: 230088 地址: 合肥市高新区环保产业园
F5 栋 1107 室
合肥一中新华马克汉姆国际学校（一期）建设项目阶段性竣工环境保护验收监测报告表
表一
环保设施设计 单位
合肥市环境保 护局高新区分
局
/
/ 开工建设时间 验收现场监测时间
环评报告 编制单位
环保设施施工单位
2017 年 12 月 2019 年 3 月 3 日-4 日 安徽华境资环科技有限公司
/
工程投资总概 算
100000 万元
工程环保投资总概 算
300 万元
比例
0.3%
验收部分实际 总概算
60
50
住宅楼户外执行《声环境质量标准》（GB 30962008）中 2 类标准
60
50
4、项目一般工业固体废弃物执行《一般工业固体废物贮存、处置场
污染控制标准》（GB18599-2001）及 2013 修改清单内容。
项目概况
合肥市华明供应链贸易有限公司投资 100000 万元在合肥市高新 区建设合肥一中新华马克汉姆国际学校（一期）建设项目，西临天堂 寨路（规划），东侧靠近双塘路，北侧靠近磨子潭路，南临长江西 路，其中幼儿园 14 个班，小学 20 个班，初中 20 个班，高中 20 个班，共约 1200 生。其中幼儿园不寄宿，小学、初中和高中大部分 寄宿。项目总用地面积 50462.43m2，总建筑面积约 48996m2，地上计 容建筑面积 29996m2，容积率 0.59， 建筑密度 20%，绿地率
号），环境保护部，2017 年 11 月 20 日施行； 验收监测依据 （4）关于印发《环境保护部建设项目“三同时”监督检查和竣工环
保验收管理规程（试行）》的通知，原环境保护部，环发[2009]150
号，2009 年 12 月施行；
（5）《关于建设项目配套建设的水、噪声、固体废物污染防治设施
验收有关事项的公告》，安徽省环保厅，2017 年 12 月 27 日施行； （6）《建设项目竣工环境保护验收技术指南 污染影响类》2018 第 9
建设项目名称
合肥一中新华马克汉姆国际学校（一期）建设项目阶段性验收
建设单位名称
合肥市华明供应链贸易有限公司
建设项目性质
√ 新建 改扩建 技改 迁建
建设地点
合肥市高新区长江西路与天堂寨路（规划）交口东北
主要产品名称
/
设计生产能力
/
实际生产能力
建设项目环评 时间
2017 年 11 月
调试时间
/
环评报告 审批部门