初中数学试题分类汇编：分式的化简计算专项训练2(培优 附答案)

例如：将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
方法一：解：由分母为 ，可设
则由
对于任意 ，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴
这样，分式 就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
方法二：解：
这样，分式 就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
（1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
14．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：① ，② ，③ ，④ 中，属于对称式的是(填序号)
(2)已知 ．
①若 ，求对称式 的值
②若 ，求对称式 的最大值
9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ，则 和 都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．
（1）当k＝3时，求x2 的值；
（2）当k＝ 时，求x﹣ 的值；
（3）小安设计一个填空题并给出答案，但被老师打了两个“×”小安没看懂老师为什么指出两个错误？如果你看懂了，请向小安解释一下．
16．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，并且假分数都可化为带分数．类比分数，对于分式也可以定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
【解析】
【分析】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设 ，则 ， ， ，代入所求式子即可；
（3）解法一：设 ，化简得： ①， ②， ③，，相加变形可得x、y、z的代入 中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得： ，拆项得 ，从而得 ， ，代入已知可得结论．
∴ 解得： ．
∴ x﹣2 ．
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为．
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝；
（3）已知一个六位整数 能被33整除，求满足条件的x，y的值．
15．已知 ，k为正实数．
19．已知 ， 且 ，求 的值．
20．计算题：
化简：
先化简再求值： ，其中
21．定义：若两个分式的和为 （ 为正整数），则称这两个分式互为“ 阶分式”，例如分式 与 互为“3阶分式”.
（1）分式 与互为“5阶分式”；
（2）设正数 互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
（3）若分式 与 互为“1阶分式”（其中 为正数），求 的值.
【详解】
解：原式=
=
=
=
解不等式组
得-1≤x< ，
所以不等式组的整数解有-1，0，1，2．
因为分式有意义时x≠±1，0．
所以x=2
x=2时，原式= = =0
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算以及不等式组的求解．
4．（1） ， ；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）由分式的混合运算，把分式进行化简，然后把 代入计算，即可得到答案；
（2）求出 的最小值．
13．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求 的值；
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
10．化简（ +a﹣2）÷ ．
11．已知分式A
（1）化简这个分式；
（2）当a＞2时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上4后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（2）将 的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
（2）由分式的混合运算，把分式进行化简，然后把 ， 代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
当 时，
原式= ；
（2）
=
=
= ；
当 ， 时，
原式= ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．（1） ；（2） ；（3） ．
22．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： .
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像 ， ，…这样的分式是假分式；像 ， ，…这样的分式是真分式.
类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
3． , x=2时，原式=0．
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求出不等式组的整数解，由分式有意义得出符合条件的 的值，带入求解即可．
（1）当 ， ， 时，求 的值；
（2）当 时,求 的值．
25．计算
(1) ;
(2)已知a、b是实数，且 + ＝0.求a、b的值
(3)已知abc＝1，求 的值
26．阅读理解：
把一个分式写成两个 分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将 表示成部分分式？
设分式 = ，将等式的右边通分得： = ，由 = 得： ，解得： ，所以 = ．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和．
12．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
解答：（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
【详解】
解：原式
所以不等式组的整数解是0,1,2,3
要使分式有意义，x的值只能取1，
所以原式 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及求不等式组的整数解等知识点，正确化简分式和求不等式组的整数解是解答本题的关键．
2．（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
【详解】
解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当 时， 的最小值为2；当 时， 的最大值为-2；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
解：令 则 ， ， ，∴
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
（3）若 ， ， ， ，且 ，求 的值．
6．a﹣p＝ （a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝
（1）计算：5﹣2＝；（﹣2）﹣2＝；
（2）如果2﹣p＝ ，那么p＝；如果a﹣2＝ ，那么a＝；
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： ，求代数式 的值．
解：∵ ，∴ 即
∴ ∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
（3）如果a﹣p＝ ，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
7．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第6个等式： ；
（2）用含有 的代数式表示第 个等式： ( 为正整数)；
（3）求 的值．
8．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如： ， ， ，…含有两个字母 ， 的对称式的基本对称式是 和 ，像 ， 等对称式都可以用 ， 表示，例如： ．