高考数学综合测试 专题3 理
高三数学综合测试三试题理新人教A版
安徽省亳州一中南校 高三综合测试（三）（理科）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 5名志愿者分到3所学校支教，每一个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方式共有（A ）150种(B)180种(C)200种(D)280种2. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点，则MA MB ⋅= 53B.52 33 D.323. 圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是(A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 4. 已知数列,n na b 的前n 项和别离是,n n A B ，且1001004,503,A B 若,()n n n n n n n C a B b A a b nN ,则数列100100n C T 的前项和为B. 499C.2012D. 20135. 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b y a x 和圆2C ： 2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其 中21,F F 为双曲线1C 的两个核心，则双曲线1C 的离心率为 A.3 B.21+C.13+D.26. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A.10πB.50πC.25πD.100π 7. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =,则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，取得函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是 A.0B. C. 2D.38. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，，30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A．B.C.D. 19. 函数()cos f x xπ=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A ．2B. 4C. 6D. 810. 函数)(x f y =为概念在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 知足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．()ln xf x x 的单调减区间是 .12设()f x 是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为13. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 14．已知概念在R 上的函数)(x f 是奇函数且知足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 知足11-=a ，且21n n S an n =⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .1五、给出下列四个命题：①函数f （x ）＝lnx －2＋x 在区间（1 , e ）上存在零点； ②若0()0f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④“a=1”是“函数x xae e a x f +-=1)(在概念域上是奇函数”的充分没必要要条件。
高三数学综合测试(三)数学(理)试题
高三综合测试（三）数学（理）试题本试卷选择题和非选择题两部分；满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前；考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上；用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案标号；不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答；答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动；先划掉原来的答案；然后写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁；考试结束后；将本试题卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题；每小题5分；共40分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p x R x p ⌝>+∈∀则,012,:2是 （ ）A ．012,2≤+∈∀x R x B ．012,2>+∈∃x R xC ．012,2<+∈∃x R xD ．012,2≤+∈∃x R x2．已知等差数列}{n a 的公差为2；若431,,a a a 成等比数列；则2a 的值为 （ ）A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10 3．已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为（ ）A ．97B ．95C ．94D ．92 4．已知向量)cos ,(sin ),4,3(αα==b a ；则=αtan ,//则b a（ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-5．在极坐标系中；曲线5)0(4,0=>==ρρπθθ和所围成的图形的面积是（ ）A ．25π B ．225πC ．625πD ．825π6．已知地球半径为R ；A 地在北纬45°东经120°；B 地在南纬75°东经120°；则A 、B 的球面距离为（ ）A ．R 3B ．6R π C ．65Rπ D ．32Rπ 7．若函数))4(,4(,cos )(f x x f 则函数图像在点=外的切线的倾斜角为 （ ）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角8．对一切实数x ；不等式01||2≥++x a x 恒成立；则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,(--∞B ．[)+∞-,2C ．]2,2[-D ．[)+∞,0第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分9．由曲线1,1,===y x e y x 所围成的图形面积是 . 10．如果函数82cos 2sin π-=+=x x a x y 的图象关于直线对称；那么a = .11．已知点P 是圆054:22=---+ay x y x C 上任意一点；P 点关于直线012=-+y x 的对称点也在圆C 上；则实数a= .12．编辑一个运算程序：1＆1=2；若1＆n=k ；则1＆（n +1）=k +3；则1＆的输出结果为 .13．若x 、y 满足22)1()1(,12020-+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤y x x y x y x 则的取值范围是 .14．如图；空间有两个正方形ABCD 和ADEF ；M 、N 分别为BD 、AE 的中点．．；则以下结论中正确的是 （填写所有正确结论对应的序号） ①MN ⊥AD ； ②MN 与BF 的是对异面直线； ③MN //平面ABF ④MN 与AB 的所成角为60°三、解答题：本大题共6小题；共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知集合}02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （1）当m=3时；求 A ；（2）若},41|{<<-=x x B A 求实数m 的值.16．（本小题满分12分）已知}{n a 是等差数列；其前n 项和为,153,11,93==S a S n 已知 （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{,log 2n n n b b a 证明=是等比数列；并求其前n 项和T n17．（本小题满分14分）在△AB C 中；A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ；已知C ab B ca A bc c cos cos cos 2++=（1）试判断△AB C 的形状；（2）若9,3=⋅-=⋅AC AB BC AB ；求角B 的大小.18．（本小题满分14分）如图；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；AD —AA 1—A ；AB=2；点E在棱AB 上移动.（1）证明：D 1E ⊥A 1D（2）AE 等于何值时；二面角D 1—EC —D 的大小为4π19．（本小题满分14分）已知函数b x x f +=)(的图像与函数23)(2++=x x x g 的图象相切；记).()()(x g x f x F =（1）求实数b 的值及函数F （x ）的极值；（2）若关于x 的方程F （x ）=k 恰有三个不等的实数根；求实数k 的取值范围.20．（本题满分14分）已知椭圆122,134:F y x C =+为其左焦点；A 为右顶点；l 为左准线；过F 1的直线l ′与椭圆交于异于A 的P 、Q 两点. （1）求AQ AP ⋅的取值范围；（2）若,,N l AQ M l AP == 求证：M 、N 两点的纵坐标之积为定值－9参考答案一、DBAA DDCB 二、9．e －2 10．－1 11．－6 12．6017 13．]2,21[ 14．① ③ 三、解答题15．解：}51|{≤<-=x x A（1）当}31|{,3<<-==x x B m 时则 =}31|{≥-≤x x x 或A ∴ =}53|{≤≤x x（2）},41|{<<-=x x B A.},42|{804242符合题意此时解得有<<-===-⨯-∴x x B m m16．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+153289911211d a d a 235,31+=∴==n a a d n 解得（2）,2223+==n a n nb)18(73281)81(32322.8}{82222513123531-=--=∴==∴====-++++n n n n an an n n n n T b b b b 又是的等比数列是公比为17．解：（1）由余弦定理得：222222222222222222222222sin sin sin sin sin sin )sin(sin )sin(sin )sin(sin sin 2cos sin sin cos sin cos sin sin sin :.222b a c B A C CB A B AC A C B C B A C C B A B C A C B C C ABC b a c abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc c +=+=++=+++++=++=∆∴+=∴-+⋅+-+⋅+-+⋅=从而有即由正弦定理得另解为直角的直角三角形是以角 （2）ABC Rt ∆ 中3cos ||||-=⋅-=⋅B BC AB BC AB ①9sin ||||cos ||||=⋅=⋅-=⋅B AC AB A AC AB AC AB ②3tan cos ||2==B BBC33tan π=∴=∴B B另解：（2）3||3||3)(32=∴=∴-=-∴-=⋅-=BC BC BC CA CB BC AB CA CB AB 又 同理3||=AC33||tan ,π=∴==∆B BC AC B ABC Rt 中在18．解法一：（1）ED D A AD D A D D AA AE 111111,:⊥∴⊥⊥平面证明（2）过D 作DH ⊥CE 于H ；连D 1H 、DE ； 则过D 1H ⊥DE4,3232360tan tan 60302,1,4,.11111ππ的大小为二面角时当由中在中在的平面角为二面角D EC D AE AE ECB BC BE ECB DCH DH CD DHC Rt DH DHD DH D Rt D EC D DHD ---=∴-=⇒=︒=∠=⇒︒=∠⇒︒=∠⇒=∆=∴=∠∆--∠∴解法二：以D 为坐标原点；直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴；建立空间直角坐标系；设AE=x ；则A 1（1,0,1）、D 1（0,0,1）、E （1,x,0）、A （1,0,0）、C （0,2,0） （1）.0)1,,1()1,0,1(11=-⋅=⋅x E D DA E D DA 11⊥∴（2）设平面D 1EC 的法向量为n=（a,b,c ）⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=-=-=0)2(02,00)1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(111x b a c b CE n C D n DD C D x CE 有由4,3232),,(32225)2(2,22||||4cos,)2,1,2(2,2,1121211ππ的大小为二面角时当舍去不合题意即由题意从而令D EC D AE x x x DD n DD x n x a c b ---=∴-=+=∴=+-=⋅=-=∴-=== 19．解：（1）依题意；令),(')('x g x f =；得1,321-=+=x x 故351,0)(')35)(1(3583)('254)22)(1()()1,0)2(42022),())(:(1)()0,1()()(2223222-=-==++=++=+++=+++=∴==--=∆=-++==+=-∴x x x F x x x x x F x x x x x x x F b b b x x x g x f b b x x f x g x f 或解得令故即故有唯一实数解即依题意方程或可得将切点坐标代入函数的图象的切点为的图像与函数函数x)35,(--∞35-)1,35(-- －1 ),1(+∞-)('x F+ 0 －0 + )(x F↗极大值274 ↘极小值0↗从上表可知1,273)(-=-=x x x F 在处取得极大值在处取得极小值. （2）由（1）可知涵数.)(大致图象如下图所示x F y =作函数k y =的图象；当)(x F y = 的图象与函数k y =的图象有三个交点时；关于x 的方程恰有三个k x F =)()274,0(:.∈k 结合图形可知不等的实数根20．解：（1）当直线PQ 的斜率不存在时；PQ 方程为134:,122=+-=y x C x 代入椭圆得]427,0(,)427,0(432743274)(2)2)(2(439)1()1)(1(43124,428),,(),,(01248)43(134:)0)(1(,427)23,3(),23,3()23,1(),23,1(2222121212121222121221221222122212211222222的取值范围是综上得设得代入椭圆方程为设的斜率存在时当直线AQ AP k kk y y x x x x y y x x AQ AP k k x x x x k x x k y y k k x x k k x x y x Q y x P k x k x k y x C k x k y PQ PQ AQ AP AQ AP Q P ⋅∈+=+=+++-=+--=⋅∴+=+++=++=∴+-=+-=+=-+++=+≠+==⋅∴--=-=∴---（2）AP 的方程为)26,4(4:)2(21111----=--=x y M x l x x y y 联立得的方程与。
专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析
专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为233.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为30？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值． 6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.15.如图，五面体11A BCC B -中，14AB =，底面ABC 是正三角形，2AB =，四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并说明理由； （2）当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．2.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）33,2【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；（2）∵CF ∥DE ，且AE 与CF 的夹角为60°，故AE 与DE 的夹角为60°，即60AED ∠=︒， 过D 作DP ⊥AE 交AE 于P ，由已知得DE ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴EF ⊥平面AED ， EF ⊥DP,又AE EF=E,∴DP ⊥平面AEFB ， 即DP 为点D 到平面ABFE 的距离，且3DP x =， 设DE ＝x ，则AE ＝BF ＝4﹣x ， 由（1）知GM ∥DF ，G BDF M BDF D MBF V V V ---===11131(4)3322MBF S DP x x ⎡⎤⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦()24333(4)x x x x -+=-⋅=，当且仅当4﹣x ＝x 时等号成立，此时x ＝DE ＝2． 故三棱锥G ﹣BDF 的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2． 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面(Ⅱ)当时，有平面平面过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以 解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M ，使平面．类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为23.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 30E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点， 于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()1110n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =，所以12122123cos ,721n n n n n n λλλ-⋅==-+30=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1CE =.【解析】（1）取1AB 中点G ，连结EG FG 、，则FG ∥1BB 且112FG BB =. 因为当E 为1CC中点时，CE ∥1BB 且112CE BB =， 所以FG ∥CE 且FG = CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1CF AEB ⊄平面，1EG AEB ⊂平面， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()01CE λλ=≤≤.以F 为原点，向量1FB FC AA 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()3,0,0A -，()13,0,2B ，()0,1,E λ，平面ABC 的法向量()0,0,1m =，平面1AEB 的法向量()333,3n λ=--，，()23cos 23991m n m n m nλ⋅===++-，，解得1λ=，所以存在满足条件的点E ，此时1CE =.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 (Ⅰ)取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q PC点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令()()()000000,,,,,1,0,2,1.Q x y z PQ x y z PC=-=-则()()000,,,10,2,1,PQ PC x y zλλ=∴-=-()0,2,1.Qλλ∴-又易证BC⊥平面PBD，()1,1,0.n PBD∴=-是平面的一个法向量设平面QBD的法向量为(),,,m x y z=(),0,0,2210,.0,1x yx ym DBy z z ym DQλλλλ=-⎧+=⎧⎧⋅=⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪-⎩则有即解得令21,1,1,.1y mλλ⎛⎫==-⎪-⎝⎭则60Q BD P 二面角为--，21cos,,22221m n m n m nλλ⋅∴===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得3 6.λ=±Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OBOP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ．又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ． （2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴2AD DE ==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，∴PAE △正三角形， ∴3OP =3OB =∵6PB =，∴222OP OB PB +=，∴OP OB ⊥．由（1）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，OE ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意得，各点坐标为()0,0,3P ，()1,0,0A -，()0,3,0B，()2,3,0C ，()1,0,0E ，∴(3,3PB =-，(3,3PC =-，()2,0,0AE =，设()01PQ PB λλ=<<，()1,333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()203330x x y λλ=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴0,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则15sin cos ,5PC nPC n PC nθ⋅===，即2331511011λλλλ+-=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155． 3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由m FCm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y azx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则3y=，23z=，所以取231,3,m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：22cos,41213m na==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD∠为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD∆中，tan3PDPBD aBD∠===，从而60PBD∠=︒，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60︒.4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=.（1）证明：BD PC⊥；（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（210；（3）存在，23PEPC=，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA BD⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC ⊥ （2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直， 因比，如图建立空间直角坐标系A xyz -(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，1y =，z =，则(1,1,2)m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，10sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ- 则(22,2))BE λλλ=--，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则0n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a bλλλ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈ 因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =， 2AD =，又22AB =，所以在ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥. 因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥. 由BD AD ⊥， BD DM ⊥， DM AD D ⋂=， 可得 BD ADM ⊥平面. 又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点， DA 为x 轴， DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B , ()1,0,1M ， 设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ. 设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-. 平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =. 二面角H AD M --为大小为于是.解得 或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O 为原点，分别以过O 点与DB 共线同向的向量， OD ， OP 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,0,0,0,3,O A B C P --()()()0,2,3,4,0,0,2,3,0AP BC AC ==-=-∴0AP BC ⋅= ∴AP BC ⊥ ∴AP BC ⊥（2）假设M 点存在，设AM AP λ=， (),,M x y z ，则(),2,AM x y z =+，∴()(),2,0,2,3x y z λ+=，∴0{22 3x y z λλ=+==，∴()0,22,3M λλ-， ∴()2,23,3BM λλ=--设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面APC 的法向量为()2222,,n x y z = 由110{n BM n BC ⋅=⋅=得()111122330{40x y z x λλ-+-+=-=，令11y =，可得1320,1,3n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由220{n AC n AP ⋅=⋅=得2222230{230x y y z -+=+=，令16y =，可得()29,6,4n =-，若二面角A MC B --为直二面角，则120n n ⋅=，得326403λλ--⋅=， 解得613λ=，∴613AM =故线段AP 上是否存在一点M ，满足题意， AM 的长为613. 12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置. 【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.。
2019年天一大联考高三阶段测试(三)数学【理】试卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5天一大联考（豫东豫北十所名校联考）高三阶段测试（三）数学（理）试题本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．已知全集，则图中的阴影部分表示的集合为2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的离心率为5．已知是定义在R上的奇函数，且当6．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节刘，则不同的安排方案种数为A．36 B．24 C．18 D．127．设，则它们的大小关系为第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设展开式中的常数项为（用数字作答）14．某天，小赵、小张、小李、小刘四人到电影院看电影，他们到达电影院这后发现，当天正在放映A、B、C、D、E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部分影片：小赵说：只要不是B就行；小张说：B、C、D、E都行；小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行；小刘说：除了E之外，其他的都可能据此判断，他们四人可以共同看的影片为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知向量（1）若的值；（2）将函数的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的最大值和最小值。
18．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为（I）求数列的通项公式及数列的前n项和；（II）判断数列是否为等比数列？并说明理由。
19．（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数据拥挤等级规定如下表：20．如图，在四棱锥P—ABCD中的三视图如图所示，且（I）求证：（II）若PA与平面PCD所成角的正弦值为，求AD的长。
2022-2021年南方新课堂·高考数学(理科)二轮复习测试：专题三第1讲等差数列与等比数列
专题三 数列第1讲 等差数列与等比数列一、选择题1．(2022·云南昆明一中第六次考前强化)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( )A ．28B ．32C ．56D ．24 解析：S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A.答案：A2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．－2或1B ．－1或2C ．－2D ．1解析：法一：若q ＝1， 则S 4＝4a 1，S 5＝5a 1，S 6＝6a 1， 明显不满足2S 4＝S 5＋S 6，故A 、D 错． 若q ＝－1，则S 4＝S 6＝0，S 5＝a 5≠0， 不满足条件，故B 错，因此选C. 法二：经检验q ＝1不适合， 则由2S 4＝S 5＋S 6，得2(1－q 4)＝1－q 5＋1－q 6，化简得q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)，q ＝－2. 答案：C3．(2022·吉林长春质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．答案：B4．(2022·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )(导学号 55460115)A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5. 答案：B5．(2022·辽宁东北育才学校五模)已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )(导学号 55460116) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q ＝q 2＝32＝9. 答案：D 二、填空题6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n≥2)，则S 2 016＝________．解析：由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.答案：4 0327．(2022·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列， ∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：1 1218．(2022·广东3月测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．解析：∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)． 答案：n 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(导学号 55460117) (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得 a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.10．(2021·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (导学号 55460118) (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，所以a 4＝78.(2)证明：当n ≥2时，有4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， 即4S n ＋2＋4S n ＋S n ＝4S n ＋1＋4S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)＝4(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)， 即a n ＋2＝a n ＋1－14a n (n ≥2)．经检验，当n ＝1时，上式成立．∵a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－14a n －12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n a n ＋1－12a n＝12为常数，且a 2－12a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以1为首项，12为公比的等比数列．(3)解：由(2)知，a n ＋1－12a n ＝12n －1(n ∈N *)，等式两边同乘2n ，得2n a n ＋1－2n －1a n ＝2(n ∈N *)． 又20a 1＝1，∴数列{2n －1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴2n －1a n ＝2n －1， 即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)．(导学号 55460119)(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明：S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，①S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.。
广东省潮州市2014届高三高考系列模拟测试数学理试题3
广东省潮州市2014届高三高考系列模拟测试数学理试题3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知复数z 满足i z i -=+1)1(，则复数z 的共轭复数为 ( )A ．i -B ． C. 1i + D ．1i - 2、命题“(,),,,2330x y x y R x y ∃∈++<”的否定是 （ ）A.(,),,,2330x y x y R x y ∃∈++<B.(,),,,2330x y x y R x y ∃∈++≥C.(,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥D.(,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++> 3、设A 、B 是非空集合，定义A ×B ={x x AB ∈且x A B ∉}，己知A ={22x x y x -=}，B ={22x y y =}，则A ×B 等于 （ ）A.(2，+∞)B.[0，1]∪[2，+∞)C.[0，1)∪(2，+∞)D.[0．1]∪(2，+∞) 4、右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为（ ）A ．16B ．163C ．64+163D ． 16+334 5、已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则( )A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a <<6、若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则M A M B ⋅=( )A.98B.913 C ．98- D ．913- 7、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出一列四个命题： ①若,α⊥m α//n ，则n m ⊥； ②若βα//，γβ//，,α⊥m 则γ⊥m ； ③若,//αm α//n ，则n m //； ④若γα⊥，γβ⊥，则βα//． 其中正确．．命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①()f x 的值域为M ，且M [],a b ⊆；正视图俯视图侧视图A②对任意不相等的[],,x y a b ∈， 都有|()f x －()f y |<|x －y |． 那么，关于x 的方程()f x =x 在区间[],a b 上根的情况是 （ ）A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．实数根的个数无法确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰at x d t x x x x f 02,30,lg )(，若1))1((=f f ，则a = ．10、一个总体共有600个个体，随机编号为001，002，… ，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600个个体分三组，从001到300在第1组，从301到495在第2组，从496到600在第3组．则这三组被抽中的个数依次为 ．11、72(x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).12、5名学生与两名教师站成一排照相，两名教师之间恰有两名学生的不同站法有 种.13、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是线段A 1B ，B 1C 上的不与端点重合的动点，如果A 1E=B 1F ，下面四个结论：①1EF AA ⊥；②EF//AC ；③EF 与AC 异面；④EF//平面ABCD ，其中一定正确的结论序号是 . 14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线3=ρ截直线14cos(=+πθρ所得的弦长为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图PM 为圆O 的切线，T 为切点， 3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、(本小题满分12分)已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值； （2）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．A C117、（本小题满分12分）全国第九届大学生运动会2012年9月8日至9月18日在天津举行，在大运会上，志愿者成为一道亮丽的风景线，通过他们的努力和付出，把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次大运会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45、23、23，他们考核所得的等次相互独立． (1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ．18、(本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形,且2,1AD AB ==,PA ABCD ⊥平面, E 为BC 上的动点.(1)当E 为BC 的中点时,求证：PE DE ⊥； (2)设1PA =，在线段BC 上有这样的点E ，使得 二面角P ED A --的大小为4π，试确定点E 的位置.19、（本小题满分14分）已知函数()sin (0)f x m x x m =>的最大值为2. (1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间；(2)ABC ∆中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且3,60==c C，求ABC ∆的面积.20、（本小题满分14分）定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91x x f x =+,(1)判断()f x 在()0,2上的单调性，并给予证明； (2)求()f x 在[]2,2-上的解析式；(3)当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？21、（本小题满分14分）已知x ax x f ln )(-=，x a ax x g )12(21)(2-+-=，.a R ∈ （Ⅰ）当(]e x ,0∈时，()f x 的最小值是3，求a 的值；（Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C .设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点.如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数)()()(x f x g x G -=，是否存在“中值相依切线”，请说明理由.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCADACBB二、填空题．9、 1 10、 25，17， 8 11、 84 12、 96013、 ①④ 14、三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、解：（1）∵与互相垂直，∴0cos 2sin =-=⋅θθb a ，即θθcos 2sin =，……2分代入1cos sin 22=+θθ 又(0,)2πθ∈∴55cos ,552sin ==θθ. ……6分 （2）∵20πϕ<<，20πθ<<，∴22πϕθπ<-<-， ……7分则10103)(sin 1)cos(2=--=-ϕθϕθ， ……9分 ∴cos ϕ22)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. ……12分 17、解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、两至少有一名考核为优秀”为事件D ,则事件,,A B C 是相互独立事件，事件ABC 与事件D 是对立事件 ……2分42244()1()1()()()1(1)(1)(1)53345P D P ABC P A P B P C =-=-=----= ……5分(2)随机变量ξ的可能取值是32，2，52，3，则 ……6分31()()245P P AB C ξ===，8(2)()()()45P P AB C P A BC P A BC ξ==++=520()()()()245P P ABC P ABC P ABC ξ==++=，16(3)()45P P ABC ξ===……8分∴ξ的分布列为……10分318520167723245452454530E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……… 12分18、（1）证明：当E 为BC 的中点时，1==CD EC ，从而DCE ∆为等腰直角三角形，则︒=∠45DEC 同理可得︒=∠45AEB︒=∠∴90AED ，即AE DE ⊥ ………2分又PA ABCD ⊥平面，ABCD 平面⊂DE ，DE PA ⊥∴ 又A AE PA = ，PAE DE 平面⊥∴ ………5分 ∴PE DE ⊥ ………6分（2）解：如图，以A 为原点，以AP AD AB ,,所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设)20(≤≤=a a BE ， ………7分则)0,2,0(),0,,1(),1,0,0(D a E P . 所以)0,2,1(),1,2,0(-=-=a由已知易知平面AED 的一个法向量为)1,0,0(=， 设平面PED 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-=⋅y a x yz y a x z y )2(20)2(02令1=y ，则)2,1,2(a -= ………9分所以2241)2(12,cos 4cos2=++-⋅==〉〈=a π……11分 ξ32 252 3 P14584520451645xzy解得：32+=a （舍去），或32-=a ………13分 所以点E 为线段BC 距B 点的32-处. ………14分 19、解：（1）由题意，()f x．………………2分 而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．………………………………………4分()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z ，即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ．……………………………………………………6分所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …………………………………7分(2) 设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得32=23sin sin60c R C ==化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，得sin sin sin A B A B +=．………………………………………………………9分由正弦定理，得()2R ab +=，a b +． ①由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2390a b ab +--=． ② …………………11分 将①式代入②，得()22390ab ab --=．解得3ab =，或 32ab =-（舍去）． ……13分1sin 2ABC Sab C ∆==．……………………………………………14分20、解：(1)设1202,x x <<<则121212330,130,(91)(91)0xxx x x x +-<-<++>1212121212)1233(33)(13()()09191(91)(91)x x x x x x x x x x f x f x +--∴-=-=>++++ 12()(),()f x f x f x ∴>∴在()0,2上为减函数 ………4分 (也可以用导数的方法证明0)19(3ln )91(3)('2<+-=x x x x f ) (2)当20x -<<时，3302,(),9191x xxx x f x --<-<-==++ 又()f x 为奇函数，3()()19xxf x f x ∴=--=-+， ………7分 当0x =时，由(0)(0)(0)0f f f -=-⇒= ………8分()f x 有最小正周期4，(2)(24)(2)(2)(2)0f f f f f ∴-=-+=⇒-== ………9分综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-+--∈<<+=02,193}2,0,2{,020,193)(x x x x f x x xx………10分(3)即求函数()f x 在[]2,2-上的值域当()0,2x ∈时由(1)知，()f x 在()0,2上为减函数，91(2)()(0)822f f x f ∴=<<=， 当()2,0x ∈-时，02x <-<，91()822f x ∴<-<， 19()(),282f x f x ⎛⎫=--∈-- ⎪⎝⎭当{2,0,2}x ∈-时，()0f x =()f x ∴的值域为{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ∴∈{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时方程方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解.…14分(第3问视情况酌情给分)21、解：（Ⅰ）/1()f x a x =-xax 1-= ……………………………1分 ① 当0≤a 时，因为(]0,e x ∈，所以/()0f x < ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……………………2分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增， 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ……………………4分③ 当e a≥1时，因为(]0,e x ∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……………………5分综上可得： 2e a = ……………6分(Ⅱ)假设函数()G x 存在“中值相依切线”.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y G x =上的不同两点，且120x x <<， 由题意x a ax x x f x g x G )1(21ln )()()(2-+-=-= 则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-. 2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++-- …………7分曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k G x '=12()2x x G +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+， …………8分 依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+. 化简可得：2121ln ln x x x x --122x x =+， ………9分 即21lnx x =21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+. …10分设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++, 即4ln 21t t +=+. ……11分 令4()ln 1h t t t =++,214'()(1)h t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0h t >，所以()h t 在(1,)+∞上递增,显然有()2h t >恒成立. 所以，在(1,)+∞内不存在,使得4ln 21t t +=+成立. ……13分 综上所述，假设不成立.所以，函数()G x 不存在“中值相依切线”. ……14分。
专题3-3 压轴小题导数技巧：构造函数-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
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1 e3
，即
f 1
1
f 4 的范围为 e6
,
1 e3
.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律 1. 对于f (x)+f (x) 0 （ 0），构造g（x）=ex f（x）， 2. 对于f (x)+kf (x) 0 （ 0），构造g（x）=ekx f（x）
3. 对于f (x)-f (x) 0
f (2) e2
f
(1) e1
，得出答案即可.
【详解】构造函数 g(x)
f (x) ex
，因为当
x
1
时，
f x
f
x ，所以 g (x)
f (x) ex
f (x)
0
可得在 x 1 时， g(x)
是单调递增的；因为
f
2 x
f
x e22x ，化简得
f
(2 x) e2x
f (x) ex
即 g(2 x) g(x)
【典例分析】
（2021·吉林·高三阶段练习（文））已知定义在 (0, ) 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 f (x) 0 ．当 x 0 时，f (x) 2 f (x) ．当 x 2 时，f (x) f (x) ，且 f (3 x) f (1 x)e22x ，其中 e 是自然对数的底数．则 f (1)
g 4 ，对其变形可得
f f
1 4
1 e3
，同理分析 h x 的单调
性可得
f f
1 4
1 e6
，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设 g x
f
x
ex
，（
x
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（三）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模]已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2A B =，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．[2019·湘赣联考]设复数()iia z a a -=∈+R 在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围 是（ ） A ．1a <-B ．0a <C ．0a >D ．1a >3．[2019·南通期末]已知向量(),2a =m ，()1,1a =+n ，若∥m n ，则实数a 的值为（ ） A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元3π3sin α⎛⎫+=，则cos2α=（ ）A ．12-B ．13-C ．13D ．126．[2019·临川]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．[2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．[2019·宜宾二诊]已知ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =30B =︒，则AB 边上的中线的长为（ ）A 37B ．34C ．3237D ．34379．[2019·江西九校联考]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．2845+B ．2882+C ．164285++D ．168245++10．[2019·汕尾质检]已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．[2019·临川]如图所示，1A ，2A 是椭圆22:194x y C +=的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与1A ，2A 重合，点N 满足11NA MA ⊥，22NA MA ⊥，则1212MA A NA A S S =△△（ ）A ．32B ．23C ．94D ．4912．[2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的 个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ）（1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4）当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末]已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．14．[2019·南京二模]若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______． 15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·南通期末]在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,A a ，()3,4B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明1n T <．18．（12分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图：x50 100 150 200 300 400 t906545302020（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令ln z x =，由散点图判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆy bz a =+哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程．（ˆb结果保留一位小数） （3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？（年销售额365L =⋅入住率⋅收费标准x ）参考数据：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，200x =，621325000ii x ==∑， 5.1z ≈，6112.7i i i y z =≈∑，621158.1i i z =≈∑，3148.4e ≈，19．（12分）[2019·凉山二诊]设矩形ABCD 中，4AD =，22AB =，点F 、E 分别是BC 、CD 的中点，如图1．现沿AE 将AED △折起，使点D 至点M 的位置，且ME MF ⊥，如图2．图1 图2（1）证明：AF ⊥平面MEF ； （2）求二面角M AE F --的大小．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，O 为坐标原点，OFP △的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 交C 于A ，B 两点，M 是AB 的中点，若12AB =，求点M 到y 轴的距离的最小值，并求此时l 的方程．21．（12分）[2019·石家庄质检]已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>．（1）将圆C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-． （1）求实数m 的值；（2）设a ，b ，c +∈R ，且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】A 【解析】因为{}2AB =，所以2m =或22m +=．当2m =时，{}2,4A B =，不符合题意，当22m +=时，0m =．故选A ． 2．【答案】A【解析】()()()()22222212i i i 12i i i i 111a a a a a az a a a a a a -----====-++-+++，z 对应的点在第一象限，222210101122001a a a a a a a ⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A ．3．【答案】C【解析】根据题意，向量(),2a =m ，()1,1a =+n ， 若∥m n ，则有()12a a +=，解可得2a =-或1，故选C ． 4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元，故选D ． 5．【答案】B【解析】因为3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由诱导公式得cos α=，所以21cos22cos 13αα=-=-，故选B ．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin 122112x x x xx xf x x x x f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．【解析】当1x =时，1x >不成立，则1112y x =+=+=， 011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=，20y <成立， 4x =，1x >成立，28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立，216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立，输出5i =，故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =，33c =，30B =︒，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3． 如图：CD 为AB 边上的中线，则13322BD c ==， ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得22233333626222CD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，或22233333323222CD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372，故选C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，25AC =CD AC ⊥，∴226AD CD AC =+=，1142545ADC S AC DC =⋅=⨯⨯=△在ABD △中，25AB =，42BD =，由余弦定理得，2223620321cos 226255AD AB BD DAB AD AB +-+-∠===⋅⨯⨯，∴22sin 1cos 5DAB DAB ∠=-∠=，∴112sin 62512225ABD S AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为1228452845+⨯+=+，故选A ． 10．【答案】A 【解析】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体A BCD -的球心，由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF 的边长为33，则63OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265133R OG BG ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴球O 的表面积为2520π4π33⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ． 11．【答案】C【解析】由题意以及选项的值可知：1212MA A NA A S S △△是常数，所以可取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的对称性可知，N 在x 的正半轴上，如图：则()10,2A ，2A 是()0,2-，()3,0M -，由射影定理可得21OM ON OA ⋅=，可得43ON =， 则12121212139214423MA A NA A A A OM S OM S ON A A ON ⨯⋅====⨯⋅△△，故选C ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =，[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时，[)0,3x ∈，[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时，[]{}0,1,,1x n ∈-，[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥， 当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=，没有整数解，故（2）错误． ()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以（3）判断正确．21221112222n a n n n +=+->=，222n n =，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+， 故当7n =时取得最小值，故（4）正确． 综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=， 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．14．【答案3【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=．所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 342πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3 15．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0，所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-，所以直线l '的方程为1y x =-+，易得切线l 与直线l '的 交点坐标为()1,0，因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】AB 的斜率44303a a k +-==-，()()2222304345AB a a -++-+，设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴115522S AB h h ==⨯=，即2h =， 直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离()2233543a a d ==+-，则应该满足321d R h <-=-=，即315a <，得35a <，得5533a -<<，故答案为55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-；（2）见解析． 【解析】（1）由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时，123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ，()()123121222222222112n nn n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223*********121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------， 当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）见解析；（2）0.5ln 3ˆy x =-+；（3）最大值约为27083元．【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．则()2426C 620C 155P ξ====，()112426C 81C 15C P ξ⋅===，()2226C C 1215P ξ===， ξ∴的分布列ξ0 1 2()p ξ25 815 115（2）由散点图可知ˆˆˆybz a =+更适合于此模型． 其中6162216 1.070.52.046ˆi ii ii z yzybzz ==--==≈--∑∑，ˆ3ˆˆay bz =-=， 所求的回归方程为0.5ln 3ˆyx =-+． （3）()3653650.5ln 3ln 10952L x x x x x -=-+=+， 365365ln 365322L x =--+⨯'，令50ln 5e 148.4L x x =⇒=⇒=≈'， ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额最大，最大值约为27083元．19．【答案】（1）见解析；（2）π3． 【解析】（1）证明：由题设知：AM ME ⊥， 又ME MF ⊥，AMMF M =，AM ，MF ⊂面AMF ，ME ∴⊥面AMF ，AF ⊂面AMF ，AF ME ∴⊥，在矩形ABCD 中，4AD =，22AB =，E 、F 为中点， 224218AE ∴=+=，22226EF =+=，228212AF =+=，222AE EF AF ∴=+，AF EF ∴⊥，又ME ，EF ⊂面MEF ，AF ∴⊥面MEF ，（2）AF ⊂面ABCE ，由（1）知面MFE ⊥面AFE ，且90AFE ∠=︒， ∴以F 为原点，FE 为x 轴，FA 为y 轴建立如图的空间直角坐标系，在MFE Rt △中，过M 作MN EF ⊥于N ，2ME =6EF =，2MF =，22236MN ∴==26cos 26FN MF MFE =∠==（也可用2MF FN FE =⋅） ()0,23,0A ∴、)6,0,0E、()0,0,0F 、2623M ⎝⎭， 面AFE 的一个法向量为()0,0,1=n ，设面AME 的一个法向量为(),,x y z =m ， 623EM ⎛= ⎝⎭、()6,23,0AE =-，由00EM AE ⎧⎪⎨=⎪⋅⋅=⎩m m ，即6230630x +=-=⎧⎪⎨，令1x =，则2y =，2z ， 221,22⎛∴= ⎝⎭m ，212cos ,212∴==⨯m n ，π,3=m n ， ∴二面角M AE F --为π3． 20．【答案】（1）24y x =；（2）最小值为5，直线方程为210x -=． 【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422p p +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时，因为12AB =，所以246x =，得9x =，所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,M x y ， 由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=，2122b x x k =，所以12AB ==， 即42911k kb k -=+，又因为2120222222191911151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++， 当且仅当2113k +=时取等号，此时解得k =， 代入12kb =-中，得k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以直线l的方程为y =或y =+，即直线方程为10x ±-=． 21．【答案】（1）见证明；（2）()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时，e cos 0x x ->，即()0f x '>．所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=． 因此对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时，()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，综上所述，使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e x x g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数． 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2．【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数， ∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．（2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点， 4cos OB α∴=，π2α≠，点A 的直角坐标为(，2OA ∴=，()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒-14cos sin 2ααα⎫=-⎪⎪⎝⎭22sin cos ααα=- )1cos2sin2αα=+-()2sin 602α=︒-+()2sin 260α=--︒+∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值2S =．23．【答案】（1）1m =；（2【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =．（2）依题意得2221a b c ++=（0a b c >，，）由柯西不等式得，23a b c ++≤当且仅当23b ca ==，即a b =c =∴23a b c ++。
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专题三综合测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0解析：x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7， 圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1， 故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：A2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x－2y ＋7＝0.答案：A3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922 C.1122D.91010解析：曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案：A4．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1C.12D ．2解析：曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D.答案：D5．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析：圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 2＋－12＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1<r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y2＝9的位置关系是相交．答案：B6．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25 B ．(x ＋1)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝5解析：设圆心为O ，则O (－1,0)，在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |2＋|AP |2＝4＋1＝ 5. 答案：B7．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，由题意得－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.答案：C9．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )A.1e 21＋1e 22＝4B ．e 21＋e 22＝4 C.1e 21＋1e 22＝2D ．e 21＋e 22＝2解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②.①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C.答案：C10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a2＝－1，则b 2＝a 2，双曲线的离心率为e ＝c a ＝2a 2a＝2，选B.答案：B11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D ．2解析：焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝5，所以e ＝ 5.答案：C12．(2011·济南市质量调研)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)解析：依题意得，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D. 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案：1514．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝3，b 2a 2＝3，c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝ca＝2.答案：215．(2011·潍坊2月模拟)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析：双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.答案： 616．(2011·郑州市质量预测(二))设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解析：∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p2，|BF →|＝y 2＋p2，∴|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10. 答案：10三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即点M 的轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 18．(本小题满分12分)(2011·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设动圆C 的圆心C (x ，y )，半径为r .两个定圆半径均为2，圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，且|F 1F 2|＝2 5.若⊙C 与⊙F 1外切与⊙F 2内切，则 |CF 1|－|CF 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝4 若⊙C 与⊙F 1内切与⊙F 2外切，则|CF 2|－|CF 1|＝(r ＋2)－(r －2)＝4. ∴||CF 1|－|CF 2||＝4且4<2 5.∴动点C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为4的双曲线． 这时a ＝2，c ＝5，b ＝c 2－a 2＝1，焦点在x 轴上．∴点C 轨迹方程为x 24－y 2＝1.(2)若P 在x 24－y 2＝1的左支上，则||PM |－|PF ||<|MF |. 若P 在x 24－y 2＝1的右支上，由图知，P 为射线MF 与双曲线右支的交点，||FM |－|PF ||max ＝|MF |＝ ⎝⎛⎭⎪⎫5－3552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2.直线MF ：y ＝－2(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －5x 24－y 2＝1得15x 2－325x ＋84＝0，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝655y 1＝－255，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14515<5y 2＝－58515舍，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫655，－255.19．(本小题满分12分)(2011·安徽)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy . ①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得 (1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 20．(本小题满分12分)(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，h ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2. 直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 21．(本小题满分12分)(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值； (3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：①当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称． 所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1. ①又因为S △OPQ ＝62.所以|x 1|·|y 1|＝62. ② 由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1， 此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0. 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0.即3k 2＋2>m 2. (*) 又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－22＋3k 2. 所以|PQ |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m22＋3k2.因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2.所以S △OPQ ＝12|PQ |·d＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k 2＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2又S △OPQ ＝62. 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 2＋3k 22－2×3m 2－22＋3k2＝3. y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．(2)解法一：①当直线l 的斜率不存在时．由(1)知|OM |＝|x 1|＝62.|PQ |＝2|y 1|＝2. 因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由(1)知：x 1＋x 22＝－3k 2m . y 1＋y 22＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m. |OM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2.|PQ |2＝(1＋k 2)243k 2＋2－m22＋3k 22＝22m 2＋1m 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m2，即m ＝±2时，等号成立． 综合(1)(2)得|OM |·|PQ |的最大值为52. 解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5. 即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52. (3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得：u 2＝x 21＝x 22＝32，v 2＝y 21＝y 22＝1. 因此，u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，因此D 、E 、G 只能在⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点．与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾． 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .22．(本小题满分14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k .(1)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .解：(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23， 因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43. 于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)证法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2记μ＝21＋2k2， 则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2， 其方程为y ＝k2(x －μ)， 代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0， 解得x ＝μ3k 2＋22＋k2或x ＝－μ. 因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3k 2＋22＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k2－μ＝k3－k2＋k23k2＋2－2＋k2＝－1k.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.证法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝0－－y1x1－－x1＝y12x1＝k2.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·y2－y1x2－x1·y2－－y1x2－－x1＋1＝2y22－2y21x22－x21＋1＝x22＋2y22－x21＋2y21x22－x21＝4－4x22－x21＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.。