平方根、立方根的探究规律
平方根与立方根的运算知识点总结
平方根与立方根的运算知识点总结平方根与立方根是数学中重要的运算概念，用来求解方程、计算面积和体积等问题。
了解平方根与立方根的运算规则和性质，对我们在数学和实际生活中的应用都具有重要的意义。
一、平方根运算平方根是对一个数的平方进行逆运算，即对一个数求出使其平方等于该数的非负实数。
通常使用符号"√"来表示平方根。
下面是一些关于平方根的运算规则和性质：1. 平方根的定义：对于非负实数a，若存在非负实数x，使得x²=a，则称x为数a的平方根，记作√a。
2. 平方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|3. 平方根的性质：(a) √a ≥ 0，即平方根的结果为非负数。
(b) 若a > b，则√a > √b。
(c) 若a > 0，则√a < √(a + 1)。
二、立方根运算立方根是对一个数的立方进行逆运算，即对一个数求出使其立方等于该数的实数。
通常使用符号"³√"来表示立方根。
下面是一些关于立方根的运算规则和性质：1. 立方根的定义：对于任意实数a，若存在实数x，使得x³=a，则称x为数a的立方根，记作³√a。
2. 立方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) ³√(a*b) = ³√a * ³√b(b) ³√(a/b) = ³√a / ³√b(c) ³√(a³) = a3. 立方根的性质：(a) ³√a ≥ 0，在实数范围内，立方根的结果为非负数。
(b) 若a > b，则³√a > ³√b。
(c) 若a > 0，则³√a < ³√(a + 1)。
平方根和立方根的计算和性质
平方根和立方根的计算和性质平方根和立方根是数学中的重要概念，它们的计算方法和性质对于数学运算和实际问题解决都具有重要意义。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，探讨它们的数学性质，并通过例题说明它们在实际应用中的作用。
一、平方根的计算和性质平方根是指一个数的二次方等于该数的非负实数。
平方根的计算可以通过开平方的方法得出。
在计算一个数的平方根时，可以利用求解方程的方法来进行计算。
设要求解的数为x，那么它的平方根即为满足方程x^2 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到平方根的计算公式：x = √a其中，√a表示a的平方根。
具体计算时，可以借助计算器等工具，或者利用牛顿迭代法逼近求解。
平方根具有一些重要的性质。
首先，平方根的值永远是非负的。
也就是说，对于任意的正数a，它的平方根√a总是大于等于0的。
而对于负数，其平方根则不存在于实数范围内。
其次，平方根满足数学上的运算规律。
如果a和b分别是两个非负实数，那么它们的平方根满足以下运算性质：（1）√(a*b) = √a * √b（2）√(a/b) = √a / √b （b ≠ 0）这些性质在实际问题的计算中十分有用，可以简化运算步骤，提高计算效率。
二、立方根的计算和性质立方根是指一个数的三次方等于该数的实数。
与平方根类似，立方根的计算也可以通过开立方的方法得出。
计算一个数的立方根时，可以利用求解方程的方法进行计算。
设要求解的数为x，那么它的立方根即为满足方程x^3 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到立方根的计算公式：x = ∛a其中，∛a表示a的立方根。
类似地，具体计算时可以借助工具或者迭代法进行逼近求解。
立方根也具有一些重要的性质。
与平方根类似，立方根的值可以为正数或者负数。
而在实际应用中，通常我们只考虑实数范围内的立方根。
此外，立方根满足一些运算规律。
如果a和b分别是两个实数，那么它们的立方根满足以下运算性质：（1）∛(a*b) = ∛a * ∛b（2）∛(a/b) = ∛a / ∛b （b ≠ 0）同样地，这些性质可以简化计算步骤，提高计算效率。
平方根和立方根
平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。
在代数学中，平方根表示一个数的二次方根，即一个数的平方根记作√x，其中x是被开方的数。
同样地，在代数学中，立方根表示一个数的三次方根，即一个数的立方根记作∛x，其中x是被求立方根的数。
平方根平方根是数学中常见的运算，用于求一个数的二次方根。
对于正实数x，其平方根可以通过不断逼近得到。
实际上，平方根也可以是复数。
数学上有多种方法来求得一个数的平方根。
其中，常见的方法有牛顿迭代法、试位法和二分法等。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来求平方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。
2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。
3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。
对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求平方根。
例如，对于完全平方数，其平方根是一个整数。
而对于非完全平方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。
立方根立方根是数学中常见的运算，用于求一个数的三次方根。
对于正实数x，其立方根可以通过不断逼近得到。
求一个数的立方根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。
与求平方根类似，我们可以使用牛顿迭代法来求立方根，具体步骤如下：1. 设初始猜测值x0。
2. 根据公式xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))，依次迭代求得下一个近似值。
3. 当所得近似值与前一个值之差小于给定误差时，迭代结束。
与求平方根类似，对于一些简单的数，我们可以使用手算的方法来求立方根。
例如，对于完全立方数，其立方根是一个整数。
而对于非完全立方数，可以通过列竖式的方式逼近求解。
总结平方根和立方根是常见的数学运算方法，用于求得一个数的平方根和立方根。
在实际应用中，我们可以利用数值计算方法来求解，如牛顿迭代法、二分法等。
同时，我们也可以使用手算的方法来逼近求解，特别是对于一些特殊的数。
立方根和平方根的计算
立方根和平方根的计算在数学中，立方根和平方根是两个常见的数学运算，用来求解一个数的平方根或立方根。
本文将介绍立方根和平方根的计算方法和应用。
一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方根，即该数的平方等于给定的数。
平方根的计算方法可以通过数学公式或计算器进行。
1.1 数学公式平方根的计算可以通过牛顿迭代法或二分法来进行。
其中，牛顿迭代法是一种常用的逼近算法。
假设要计算数x的平方根，首先选择一个初始值y，然后通过以下迭代公式逐步逼近平方根的值：y = (y + x/y) / 2重复这个迭代过程，直到y的值足够逼近x的平方根为止。
这个方法通常能够较快地得到平方根的逼近值。
1.2 计算器计算器是一种便捷的工具，可以快速计算一个数的平方根。
只需在计算器上输入待求平方根的数，然后按下“平方根”键即可得到结果。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方根，即该数的立方等于给定的数。
立方根的计算方法与平方根类似，也可以通过数学公式或计算器进行。
2.1 数学公式立方根的计算可以通过牛顿迭代法进行。
假设要计算数x的立方根，选择一个初始值y。
通过以下迭代公式逼近立方根的值：y = (2*y + x/(y^2)) / 3反复迭代上述过程，直到y的值足够逼近x的立方根为止。
2.2 计算器计算器也可以用来计算立方根。
输入待求立方根的数，然后按下“立方根”键即可得到结果。
三、立方根和平方根的应用立方根和平方根的应用十分广泛，在多个领域都有重要意义。
3.1 几何学在几何学中，立方根和平方根被广泛应用于计算图形的边长、面积和体积等相关问题，例如计算正方形的边长、正方体的体积等。
3.2 物理学在物理学中，立方根和平方根经常用于计算速度、加速度、力等物理量的大小，以及分析物体在运动过程中的相关问题。
3.3 工程学在工程学领域，立方根和平方根被广泛用于计算、设计和建模等方面，例如在结构力学、电气工程和信号处理等领域中的应用。
3.4 统计学在统计学中，立方根和平方根被用于求解数据的方差、标准差和相关系数等统计量，以及进行回归分析和预测模型的构建等。
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
平方根与立方根的计算方法
平方根与立方根的计算方法数学是一门重要的学科，也是中学阶段的必修课程之一。
在数学学习中，平方根和立方根是常见的概念，对于学生来说，掌握平方根和立方根的计算方法非常重要。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，并提供一些实用的技巧和例子，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于这个数的数值。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
计算平方根的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法是一种直观的计算平方根的方法。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的平方与给定的数相近。
例如，要计算√17，我们可以试着找一个数x，使得x²≈17。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x²≈17。
通过试探，我们可以得到√17≈4.123。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更精确的计算平方根的方法。
它基于一个数学原理：如果我们已经知道一个近似值x，那么下一个近似值可以通过迭代公式来计算。
对于计算√a，迭代公式为：x = (x + a/x) / 2。
通过多次迭代，我们可以得到更精确的平方根值。
例如，要计算√17，我们可以从一个近似值x=4开始，通过多次迭代，最终得到√17≈4.123。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于这个数的数值。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
计算立方根的方法也有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法也适用于计算立方根。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的立方与给定的数相近。
例如，要计算³√27，我们可以试着找一个数x，使得x³≈27。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x³≈27。
通过试探，我们可以得到³√27≈3。
2. 迭代法迭代法也可以用于计算立方根。
类似于牛顿迭代法，我们可以通过迭代公式来计算立方根。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．【答案】解：当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得a=4，此时，m=49．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【答案】例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.【答案】C例5．求下列式子中的x28x2-63=0．第2页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】±【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=72【解答】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．【答案】B2．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±D. ±【答案】A3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】B4．的平方根是（）A.B.C.D.【答案】A5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组【答案】D6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________【答案】±3|37．求x值：（x﹣1）2=25【答案】x=6，或x=﹣48．已知，则a﹣b的值是__________ ．第4页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】9．观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．【解答】【答案】二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）若与互为相反数，求的值．【解答】【答案】见解析例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。
负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。
注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
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0.000001 0.001
a
0.01
0.1
1
10
100
从上面表格中你发现什么?
归纳：被开方数扩大(缩小)1000倍， 它的立方根扩大(缩小)10倍. 归纳：被开方数的小数点向右（向左）每移动3位, 它的立方根就向右（向左）移动1位;
利用发现的规律做题：
3
3 1.442
3
3
3
0.003
3000000
1234321(1 2 3 4 3 2 1) 11112 4 2 44
试猜想
1234567654321(1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 2 1)
3
3000
若已知
3
6 1.817
3
60 3.915
3
ห้องสมุดไป่ตู้
600 8.434
则 0.6
探究3：互为相反数的两个方根的规律
1、填空： 3 8 ______，
3
8
______．
2．据1，当
3
a m 时，
3
a
____．
3．若 3 2 x 1 与 3 x 2 互为相反数，求x的值． 4．若
复习：
算术平方根 表示方法
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
平方根
立方根
3
a
a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0 没有
≠
0
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
开
方 是本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
用计算器计算 （经果保留 3 4为有效数字），并利用 你发现的规律说出 0.03 , 300 , 30000的近似值, 你能 根据 3的值说出 30是多少吗?
3 1.732
300 17.32
30000 173 .2
0.03 0.1732
探究2
a
3
先填写下表,再回答问题:
1 1000 1000000
观察下表，说说你能发现什么规律？
0.01 1 2.25 9 16 25 100
a
a
0.1
1
1.5
3
4
5
10
你肯定行！
探究1
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你 发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
…
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500 …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
…
归纳：被开方数每扩大（缩小）100倍； 它的算数平方根扩大（缩小）10倍 归纳：被开方数的小数点向右（向左）每移动2位, 它的算术平方根就向右（向左）移动 1位;
练习：
1、利用规律计算：已知
2 1.414
则
200
0.0002
52.5 =7.246，那 2、若 5.25 =2.291， 么 5250 =( ) A．22.91 B． 72.46 C．229.1 D．724.6
2x 4
和
3 y
互为相反数，求x+y的值．
5．讨论总结：对比3，4，你能得到什么样的规律？
试一试：
121 11
12321 111
1234321 1111
…… 试猜想
12345678987654321
试一试：
121(1 2 1) 112 22 22
12321(1 2 3 2 1) 1112 32 33