上海市位育中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题(新疆班,无答案)(新)
位育中学2014学年第一学期期中考试
高二年级 数学试卷（新疆班）
2014-11-14 班级_____，学号_____，姓名_____________
一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）
1．AB BC CA ++ =_______________．
2．已知矩阵2591A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，则A -2B =_______________．
3．二元一次方程组的增广矩阵为125318-⎛⎫
⎪⎝⎭
，通过矩阵的变换，得方程组解的增广矩阵 为_______________．
4．已知向量)1,3(),3,3(-==→→b a ，则向量→→b a ,的夹角大小是__________
5．三阶行列式42354112
k
---第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k =_______________．
6．直线2x +y -1=0的倾斜角大小为_______________．
7．直线3x -4y +2=0的单位法向量0n =
_______________．
8．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OD =_______________．
9．在数列}{n a 中，12a =且11
3
0n n a a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =
___________．
10．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b += _______________．
11．∆ABC 中，||5AB = ，AC 在AB 上的投影为3，则AB BC ⋅ 的值为_______________．
12．点(a ,b )在直线x +y +1=0上，则ab 的最大值为_______________．
13．已知(2,1),(,1)a b λ=--= ，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________．
14．经过点(2,2)A -且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小时的直线方程为_______________ 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）
15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是 （ ）
A ．AC
B ．BA
C C ．ABC
D ．AB -AC
16．下列命题中，正确的是 （ ）
A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =
B ．若//a b ，则222()a b a b ⋅=⋅
C ．若a c b c ⋅=⋅ ，则a b =
D ．若//a b ，则存在实数k ，使b ka =
17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
18．点P 是∆ABC 内一点，设AP mAB nAC =+ (m >0,n >0)，则m 、n 还需满足的条件是 （ ）
A ．m +n >0
B ．m +n <1
C ．m +n =1
D ．m +n >1
三、解答题（本大题满分46分）
19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．
若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当049
65x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．
20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．
已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，(1,2)a = ．
(1)
若||c = //c a ，求c 的坐标；
(2)
若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ．
21．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．
已知矩阵13m P m m ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭
，若PQ =M +N ． (1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组；
(2) 用行列式解上述二元一次方程组．
22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．
直角坐标系xOy 中，点A 坐标为( 2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1, 3)，且A M tA B = （t ∈R ）．
(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；
(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾
斜角θ的取值范围．
23．（本题满分12分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 设数列}{n a 的前n 项和为S n ，点(,)n S n n (n ∈N *)均在函数32y x =-的图像上。
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T
（3）求使得20n m
T <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 。
x
y。
位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷
原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷2015-11-6_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b =，3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的 （ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x )-4a x +1 (x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值；(2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到 函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=1422．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lg n na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14参考答案： 一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π- 5．10 6．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n -11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2) 二、选择题 15．C16．D 17．C18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分 原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设x t a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]x a a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求．20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B =56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，∴函数f (x )的最小正周期T =2π；(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象，又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=， 由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >，亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．14分注：也可直接如下证明○2 由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 1555k k ππππ+--+=->，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①，取2n =，得221222a a a =+ ②，又②-①，得 2212()a a a a -= ③ 若20a =，由①知10a =； 若20a ≠，易知211a a -=，④ 由①④得：11a =，22a =11a =22a =(2) 当10a >时,由(1)知，11a =，22a =当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． 10分(3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ， 当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 13分所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-． 16分23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((．即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==， 即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立，当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b恒成立． 则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ．(3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=．x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=141()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，…… 以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k ,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，15分201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时，综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，．18分(2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x a a x a x ba x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。
上海市位育中学2014-2015学年高二9月零次考试数学试题
位育中学高二年级数学（零次考试卷）一、填空题：（每题3分，共36分）1. 用辅助角公式可化简为2. 已知全集U=R，集合，则=3. 若数列的递推公式为，则4. 等差数列中，，则5. 在中，已知则6. 在中，已知,则形状是7. 不等式解集为8. 已知则角＝9. 函数单调递增区间10. 若函数，是定义域为上的偶函数，则的值域为11. 若数列的满足，且，则数列中最小值是12. 在等差数列中有如下结论：若其中，则有，将上述结论类比到等比数列中可得：二、选择题：（每题4分，共16分）13. 设集合，若，则（）（A）（B）（C） (D)14. 下列命题成立的是（）(A) 若存在,则与都存在(B) 若与都存在,则存在(C)若存在,则与都存在(D) 若与都存在,则存在15. 某命题与自然数有关,如果当该命题成立,那么可推到时命题也成立,现为了推得当时该命题不成立,那么需已知（）(A)时命题不成立 (B)时命题成立(C)时命题不成立 (D)时命题成立16. 若数列前项和为，则数列（）(A)是等比数列，且不是等差数列。
(B)是等差数列，且不是等比数列。
(C)可以是等差数列也可以是等比数列。
(D)可能是等比数列，且不可能是等差数列。
三、解答题17. 已知：，试用表示。
18. 已知数列。
（1）求；（2）求数列的前n项和19. 工程技术中经常用到二个函数，一个叫双曲正弦，另一个叫双曲余弦，它们有着与三角学中的正弦函数与余弦函数形式类似的许多运算公式。
如两倍角双曲正弦的公式为：（１）试证：（２）类比其它三角公式，写出一个与上述双曲函数有关的运算公式，并加以证明。
220．已知函数的定义域为，且，点P是图像上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别是,N，M。
（１）求的值；（２）是否是定值，若是求出定值，若不是说明理由；（３）求四边形OMPN面积最小值。
21．某县位于沙漠地带，为治理沙漠，该县重视植树造林，到2004年底该县绿化率为40%，从2005年起，原有沙漠面积的20%将要被绿化，同时原有绿化面积的5%将被沙漠化，该县全县面积为,2004年底的绿化面积为，从2005年起经过年后绿化面积为。
2024—2025学年上海市位育中学高二上学期10月期中数学试卷
2024—2025学年上海市位育中学高二上学期10月期中数学试卷一、填空题(★) 1. “直线和平面相交于点”的符号表达为 _____ ．(★) 2. 已知空间两个角和，若，，则__________ ．(★) 3. 一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为 ______ .(★) 4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________ .(★★)5. 已知球的表面积为, 则该球的体积为 ______ .(★★) 6. 已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________ .(★★) 7. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________ 条.(★★) 8. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是 _________ .(★★) 9. 圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为 ________ .(★★) 10. 三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 ________ 个部分.(★★★) 11. 如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 _____ ．(★★) 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是 _________ cm 3.二、单选题(★★★) 13. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要(★★★) 14. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则或(★★★) 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）A． 2B． 4C． 6D． 8(★★★) 16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）A．直线与直线CP可能相交B．直线与直线CP始终异面C．直线与直线CP可能垂直D．直线与直线BP不可能垂直三、解答题(★★★) 17. 用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明.(★★★) 18. 已知三棱锥满足.(1)证明：直线与直线是异面直线；(2)求异面直线与所成角大小.(★★★) 19. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点到平面的距离．(★★★) 20. 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，.(1)求证：平面；(2)求几何体的体积.(★★★★) 21. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M 为AD上一点，且，连接BM，CM.(1) ；(2)求二面角的大小.。
上海市位育中学2015届高三上学期期中考试数学试题
2014学年第一学期位育中学期中考试高三数学试题一、 填空题（每题4分，共56分）1. 已知i 为虚数单位，复数12,2,z a i z i =+=-且12,z z =则实数a 的值为__________________.2. 方程2cos 21x =的在[)0,x π∈上解是__________________.3. 不等式11111x x+<-的解为_____________________.4. 已知函数2log ,0().2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1(),2f a a ==则_________________. 5. 已知复数122,2,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为___________________. 6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos ,c A a C -=则cos A =_______________.7. 若函数[]2()23,0,f x x x x m =-+∈的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为__________________. 8. 要使函数k y x x =+在[)2,x ∈+∞上有最小值2,2kk +则的取值范围是______________. 9. 非零向量a 、b 夹角为060,且1,a b -=则a b +的最大值为__________________. 10. 已知等差数列{}n a 的公差2,d = n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n s 是递增数列，则1a 的取值范围是_________.11. ()()()sin f x x x θθ=++-为偶函数，则θ的值为____________. 12. 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞n S =______.13.已知数列{}n b 的各项都是正整数，且135,,2n n n nn k b b b b b ++⎧⎪=⎨⎪⎩n+1为奇数为偶数，k 是使b 为奇数的正整数 若存在*m N ∈，当n m >且b n 为奇数时，n b 恒为常数α，则α=_________.14. 对于定义在R 上的函数(),f x 有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点A （1,0）对称； ②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对,x R ∈有(1)(),f x f x -=-则2是()f x 的一个周期； ④函数(1)(1y f x y f x=-=-与的图像关于直线1x =对称。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
和平均值，则 lim H n =
。
xn
1 5 9 13 ... 117
5 10 15 20 ... 150
9 15 21 27 ... 183
14．给出 30 行 30 列的数表 A ：
，其特点是每行每列都构成等差数列，
13 20 27 34 ... 216
... ... ... ... ... ...
题类 得分值
上海市行知中学第一学期期中考试
高二年级 数学试卷
一
二
19
20
2l
22
23
总分
一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分 )
2
1．若 P1P
5 PP2 ，设 P1P2
PP1 ，则 的值为
。
2．已知 { an } 是等比数列，则方程组
a1x a2 y a4 的解的个数是 a5x a6 y a8
7. 设 f (n) 1
1
n1 n 2
1 ， n N * ，若 k N * ，则 f (k 1) f ( k) 2n
8. 已知 | a | 1 ， | b | 1 ， a 、 b 的夹角是 60°，若向量 c 满足 | c a b | 1 ，则 | c | 的最小
值为
9. 设函数 y 2nx n 和 y
15．如果 lim(1 2x)n 存在，那么 x 的取值范围是 ( ) x
(A) 0≤x<1 (B) 0< x <1 (C) 0≤x≤ 1 (D) 0< x ≤１
16．已知 m ， n 是夹角为 60°的单位向量，则 a 2m n 和 b 3m 2n 的夹角为 ( )
(A)30 ° (B)60 ° (C)90 ° (D)120 °
2014年上海高二第一学期期中考试数学试卷
开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是 否2014年高二第一学期期中考试数学试题 2014.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若矩阵cos60sin60sin60cos60A ︒-︒⎛⎫= ⎪︒︒⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21-2323-21-B ，则AB = . 2. 用火柴按照下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用的火柴数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系可以是________.3. 等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若,0,141=+=a a a k 则._____=k4. 在等比数列{}n a 中，,4,2141-==a a 则.______21=+++n a a a 5. 设(22,4)a k →=+，(1,8)b k →=+，若→a //b →，则k 的值为 __．6. 已知数列{}n a 满足,3,111n nn a a a +==+则数列._______=n a7. 已知两点()(),3,2.9.4--Q P 则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ 的比为_______.8. 程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ，那么数列{}n a 的通项公式为._______=n a 9. 行列式{}()2,1,1,,,-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是_______.10. 设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11(,)2n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________11. 用数学归纳法证明等式：aa a a a n n --=++++++111212（1≠a ，*N n ∈），验证1=n时，等式左边= ．12. 如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形 ,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，则=∞→n n S lim _____________.13. 已知数列{}n a 满足(),,,02,11**+∈∈=+-=N n N t a a t a n n 记数列{}n a 的前n 项的和的最大值为()t f ，则().___________=t f14. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是 ． 二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，满分20分） 15. 向量()(),3,2,2,1-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中0.≠∈n R n m 且）则=nmA ．21-B. 21C. -2D. 216. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是 A ．13． B ．13-． C ．1． D ．1-． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和5(nn S t t =+是实数)，下列结论正确的是A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 18. 一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为A. (31)n n π+B.(1)3n n π+ C. 2(31)n π- D. (1)n n π+三、解答题：（本大题共5小题，每小题必须写出必要的解题过程，满分74分） 19.（12分）用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21解的情况并求解20.（14分） 已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21. （14分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列{}n b 满足4log n n b a =. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当*N n ∈时，试比较12n b b b +++与()2112n -的大小，并说明理由.22. （16分）已知数列{}n a 满足：16a =，)2)(1(21++++=+n n a nn a n n 。
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学新疆班高二(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学新疆班高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）设a＜0，则a的平方根是．2．（4分）若（x+1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，则系数a0＝．3．（4分）在复平面内复数，对应的点分别为M，N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是．4．（4分）正四面体ABCD的棱AD与面ABC所成角的大小为．5．（4分）从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为．6．（4分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点D1到直线AE 的距离是．7．（4分）五个数1，2，5，a，b的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是．8．（4分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的体积是cm3．9．（4分）2100被9除的余数为．10．（4分）在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70，76，72，70，72，90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，则x等于．11．（4分）P是半径为1的球面上任意一点，P A、PB、PC是两两互相垂直的三条弦，则P A2+PB2+PC2＝．12．（4分）对任意一个非零复数z，定义集合M z＝{w|w＝z n，n∈N*}．设α是方程x+＝0的一个根，若在M a中任取两个数，则其和为零的概率P＝．13．（4分）已知球O l、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当r∈（1，+∞）时，的取值范围是．14．（4分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c＝0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数根x1、x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若z∈C，下列命题中，正确的命题是（）A．|z|＜1⇔﹣1＜z＜1B．z+＝0⇔z是纯虚数C．z2＝|z|2D．z2≥0⇔z是实数16．（5分）若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β17．（5分）n＝5是（n∈N+）的展开式中含有常数项的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（5分）C+++…++等于（）A．+B．（）2C．D．三、解答题（本大题共五题，满分74分）19．（12分）（1）复数z的实部为8，|z|＝10，求z的值；（2）i为虚数单位，z1＝sin2θ+i cosθ，z2＝cosθ+i sinθ，若z1＝z2，求θ的值．20．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝，CD＝，BC＝1．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积．21．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22．（16分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC 和DD1所在直线上的动点．（1）求∠EB1F的取值范围；（2）若E、F分别为AB、BC的中点，求二面角B1﹣EF﹣B的大小；（3）若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23．（18分）（1）求二项式（x+2）10展开式中系数最大的项；（2）记（x+2）n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；（3）给定不小于3的正整数n，试写出数列{}（k＝0，1，2，…，n）的单调性，并加以证明．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学新疆班高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．【解答】解：a＜0，当开偶次根式时，被开方数＜0，在复数范围内有意义．∵i2＝﹣1，∴﹣ai2≥0．所以：a＜0时，a的平方根是＝故答案为2．【解答】解：由（x+1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，令x＝1，则系数a0＝210＝1024．故答案为：1024．3．【解答】解：∵点P为线段MN的中点，∴点P对应的复数为＝＝，∴点P对应的复数是．故答案为：．4．【解答】解：在正四面体ABCD中，过D作DH⊥平面ABC于点H，高为DH，则H为底面正三角形ABC的外心，则∠DAH＝α，就是AD与平面ABC所成角，在Rt△ADH中，设棱长为a，则AH＝a××＝，∴cosα＝＝＝．α＝arccos．故答案为：arccos．5．【解答】解：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，选法种数共有（2，1，3），（2，1，5），（2，3，5），（4，1，3），（4，1，5），（4，3，5）六种，每一种选法可排列组成＝6个无重复数字的三位数，其中奇数的个数有4个，故六种选法组成的无重复数字的三位奇数共有4×6＝24个．故答案为：24．6．【解答】解：在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，连接D1F，因为几何体是正方体，所以DD1⊥平面ABCD，可知DD1⊥AE，又DD1∩DF＝D，可得：AC⊥平面DD1F，所以D1F⊥AE，D1F就是点D1到直线AE的距离．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，AD1＝2，E是棱BC的中点，AE＝，sin∠DAE＝＝，DF＝AD sin∠DAE＝，在△DD1F中，D1F＝＝＝．故答案为：．7．【解答】解：由题意得：，即，解得或，故这5个数是1、2、3、4、5，中位数是：3，故答案为：3．8．【解答】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，∴球的体积为πr3＝πcm3．故答案为：π．9．【解答】解：2100＝（23）33×2＝2（9﹣1）33＝2（+…+﹣1）＝2×9×（932﹣+…﹣×9+）+7﹣9∴2100被9除的余数为7．故答案为：7．10．【解答】解：在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70，76，72，70，72，90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，∴，解得x＝2或x＝4．故答案为：2或4．11．【解答】解：自半径为1的球面上一点P引球的两两垂直的弦P A、PB、PC，∴以P A、PB、PC为棱的长方体是球的内接长方体，长方体的对角线是球的直径，∴P A2+PB2+PC2＝4，故答案为：4．12．【解答】解：∵z是方程x2+1＝0的根，∴z1＝i或z2＝﹣i．不论z1＝i或z2＝﹣i，Mz＝{i，i2，i3，i4}＝{i，﹣1，﹣i，1}．∴P＝＝．故答案为：．13．【解答】解：令＝＝＝＝＝[（r+1）+﹣1]令t＝r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞）∵y＝t+在（2，+∞）上单调递增，当t＝2时t+＝故＝[（r+1）+﹣1]＞（﹣1）＝故的取值范围是（，+∞）故答案为：（，+∞）14．【解答】解：基本事件总数n＝5×5＝25．①当b＝0时，c＝0，2x2＝0成立；c＝1，2x2＝1，成立；c＝2，2x2＝2，成立；c＝3，2x2＝3，不成立；c＝4，2x2＝4，不成立．满足条件的基本事件有3个；②当b＝1时，c＝0，2x2﹣x＝0，成立；c＝1，2x2﹣x＝1，成立；c＝2，2x2﹣x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣x﹣3＝0，成立；c＝4，2x2﹣x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有4个；③当b＝2时，c＝0，2x2﹣2x＝0，成立；c＝1，2x2﹣2x﹣1＝0，成立；c＝2，2x2﹣2x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣2x﹣3＝0，成立；c＝4，2x2﹣2x﹣4＝0，成立．满足条件的基本事件有5个；④当b＝3时，c＝0，2x2﹣3x＝0，成立；c＝1，2x2﹣3x﹣1＝0，成立；c＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣3x﹣3＝0，不成立；c＝4，2x2﹣3x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有3个；⑤当b＝4时，c＝0，2x2﹣4x＝0，成立；c＝1，2x2﹣4x﹣1＝0，不成立；c＝2，2x2﹣4x﹣2＝0，不成立；c＝3，2x2﹣4x﹣3＝0，不成立；c＝4，2x2﹣4x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有1个．∴满足条件的基本事件共有：3+4+5+3+1＝16个．∴事件A发生的概率为p＝．故答案为．二、选择题（每题5分，共20分）15．【解答】解：|z|＜1⇔﹣1＜z＜1，显然不正确；z+＝0⇔z是纯虚数，也可能是z＝0，所以B不正确；z2＝|z|2左侧是复数，右侧是实数，所以不正确．z2≥0⇔z是实数，正确；故选：D．16．【解答】解：m∥α，m∥β，则α∥β，或α，β相交，不正确；根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知B正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β，或α，β相交，不正确；若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β或l，β相交，不正确，故选：B．17．【解答】解：展开式的通项为，当n＝2时，r＝0时为常数项，即推不出n＝5；反之，当n＝5时，＝0得r＝3，即展开式的第4项为常数项．故n＝5是的展开式中含有常数项的充分不必要条件．故选：A．18．【解答】解：∵（x+1）n（x+1）n＝（x+1）2n，比较等式两边的x n的系数可得：C+++…++＝．故选：C．三、解答题（本大题共五题，满分74分）19．【解答】解：（1）设z＝8+bi，（b∈R），∵|z|＝10，则64+b2＝100，得b＝±6，∴z＝8±6i．（2）由z1＝sin2θ+i cosθ，z2＝cosθ+i sinθ，z1＝z2，∴，∴sin，tanθ＝，解得θ＝2kπ+（k∈Z）．20．【解答】解：（1）几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为r＝BC＝1，圆锥的高为h1＝AB﹣CD＝，圆柱的高h2＝CD ＝．∴V＝+＝π．（2）圆锥的母线长l＝＝．∴几何体的面积S＝π×12+π×1×+2π×1×＝π+π+π．21．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于5（0分）的频率为：f1＝1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10＝0.1（3分）所以低于5（0分）的人数为60×0.1＝6（人）（5分）（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分）的为第一组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10＝0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%（（8分）．）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%（9分）．（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9．所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：（14分）22．【解答】解：（1）设BE＝x，BF＝y，则，，，∴，∴∠EB1F的取值范围为（0，）；（2）设EF与BD的交点为G，连接B1G，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴BG⊥EF，B1G⊥EF，则∠B1GB为二面角B1﹣EF﹣B的平面角．由Rt△BAD∽Rt△BGE，得，得，∴，则；（3）设EF与BD的交点为G，连接B1G，则由EF⊥BD，EF⊥B1B，BD∩B1B＝B，得EF⊥平面BB1D1D，于是平面B1EF⊥平面BB1D1D，在平面BB1D1D内过B作BK⊥B1G于K，延长后交D1D所在的直线于点M，则BM⊥平面B1EF，在平面BB1D1D内，由△B1BG∽△BDM，可得，又B1B＝a，BG＝，BD＝，∴DM＝．∴M在正方体棱D1D上，且恰好为D1D的中点．23．【解答】解：（1）由（x+2）10的展开式的通项公式Tr+1＝•2r•x r﹣1，∴，解得：≤r ≤，即r＝7，二项式（x+2）10展开式中系数最大的项T8＝x3•27＝15360x3；（2）证明：若n为奇数，则n+1为偶数，a n ＝＝，a n+1＝，∴a n+1＝＝+＞a n，若n为偶数，则n+1为奇数，a n ＝，a n+1＝＝，∴a n+1＝＝+＞a n，综上可知：数列{a n}单调递增；（3）数列{}（k＝0，1，2，…，n）离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大，证明：﹣＝﹣＝（n﹣1﹣2k），当k ＜时，＜，当k ＞时，＞，其中k＝0，1，2，…，n﹣1．若n 为奇数，＜＜＜…＜＜，＞＞…＞＞，若n 为偶数，＜＜＜…＜＜，＞＞…＞＞．第11页（共11页）。
上海市位育中学高一数学上学期期中试题(新疆班,无答案
位育中学2014学年第一学期期中考试试卷 高 一 数 学（新疆班） 一、填空题：(每小题3分，共36分) 1、不等式02312≤++x x 的解集是_________ 2、角错误!未找到引用源。
的终边经过点错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
3、若()()cos ,111,1x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩，则1433f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4、满足}5,4,3,2,1,0{}1,0{≠⊂⊆P 的集合P 的个数是_________5、命题“已知R y x ∈,，若2≠+y x ，则0≠x 或2≠y ”是_________命题(填“真”或“假”)6、函数x x x x f -+=||)1()(0的定义域是_________7、若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=________8、若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________ 9、已知集合{}22,, 0344A x k x k k B y y p p p p p 禳镲镲=-<<+蝂=<<睚镲镲铪，求则=B A I 10、设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________11、已知b a ,均为正数，且14122=+b a ，则21b a +的最大值为_________ 12、若11,62παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，化简=++α2cos 21212121 二、选择题：（每小题3分，共12分）13、下列命题中，正确的是 ( )(A) 终边相同的角是相等的角(B) 终边在第二象限的角是钝角(C) 若角α的终边在第一象限，则2α的终边也在第一象限 (D) 锐角是第一象限角14、下面四组函数中，)(x f 与)(x g 表示同一函数的是 ( )(A)1)(=x f ，0)(x x g = (B)||)(x x f =，2)(t t g =(C)x x f =)(，2)()(x x g = (D)x x f =)(，2)(x x g =15、设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合M 使得M A ⊆且)(M C B U ⊆”是“φ=B A I ” 的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件16、集合},42|{Z k k x x A ∈+==ππ，},24|{Z k k x x B ∈+==ππ之间关系是 ( ) (A)B A = (B)B A ⊆ (C)B A ⊇ (D)φ=B A I三、解答题：（共52分）17、(8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A Y ，}2{-=B A I ，求r q p ++的值18、(10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ， 集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P I19、(10分)解关于x 的不等式：12)1(<--x x m20、（12分）已知324ππβα<<<，且()123cos()sin 135αβαβ-=+=-，求 （1）角αβ-和角αβ+的取值范围；（2）cos2α的值21、(12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200，400)[400，500) [500，700) [700，900) …获得奖券的金额（元）30 60 100 130 …根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
【真题】15年上海市徐汇区位育中学高三(上)数学期中试卷含答案
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是．3．（4分）不等式：≤1的解集是．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是．11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为．12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=．14．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为±2．【解答】解：z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+（﹣1）2=5，整理a2=4，∴a=2或﹣2，故答案为：±2．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是或．【解答】解：方程2cos2x=1，即cos2x=，∵x∈[0，π），∴2x∈[0，2π），∴2x=，2x=，故该方程在x∈[0，π）上解为x=，或x=，故答案为：或．3．（4分）不等式：≤1的解集是{x|﹣1≤x≤0} ．【解答】解：不等式：≤1化为x（x+1）﹣（﹣1）≤1，即x2+x≤0，解得﹣1≤x≤0．因此不等式的解集为{x|﹣1≤x≤0}．故答案为：{x|﹣1≤x≤0}．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=﹣1或．【解答】解：当a＞0时，log2a=∴a=，当a≤0时，2a==2﹣1，∴a=﹣1．∴a=﹣1或．故答案为：﹣1或．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为﹣4．【解答】解：复数z1=m+2i，z2=2﹣i，===，∵为实数，∴m﹣4=0，即m=﹣4故答案为：﹣4．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是[1，2] ．【解答】解：通过画二次函数图象观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧，且在2的左侧（否则最大值会超过3）∴知m∈[1，2]．答案：[1，2]8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是（﹣∞，4] ．【解答】解：函数y=x+，可得y′=1﹣=．当k≤0时，y′在x∈[2，+∞）上恒为正数，函数y=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，x=2时函数取得最小值2+，满足题意．当k＞0时，x2﹣k=0，解得x=，要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上s是增函数，函数的最小值2+，可得，解得0＜k≤4，综上k∈（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．【解答】解：∵非零向量的夹角为60°，且，∴，即，则，∴，当且仅当||=||=1时取等号．∴||===，∴1＜2||||+1≤3，∴1＜||≤．∴的最大值是．故答案为：．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：若数列{s n}是递增数列，即是说，对于任意的正整数n，都有Sn＜Sn+1成立，移向即为a n+1＞0，∴a1+2n＞0，a1＞﹣2n．只需要a1大于﹣2n的最大值即可．当n=1时，﹣2n取得最大值﹣2，所以a1＞﹣2，a1的取值范围是（﹣2，+∞）故答案为：（﹣2，+∞）11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为kπ﹣（k ∈Z）．【解答】解：∵f（x）=sin（x+θ）+√3cos（x﹣θ）f（x）=sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ+√3sinxsinθf（﹣x）=﹣sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ﹣√3sinxsinθ∵f（x）是偶函数，f（x）=f（﹣x）∴cosθ+√3sinθ=0化简得：2sin（θ+）=0∴θ+=0+kπ，（k∈Z）解得∴θ=kπ﹣，（k∈Z）故答案为θ=kπ﹣，（k∈Z）12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=4πr2．【解答】解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列∴圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列∴S n==4πr2故答案为：4πr2．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=1或5．【解答】解：若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则b n=a，b n+1=3a+5，b n+2==a，∴（3﹣2m）a=﹣5，∵数列{b n}的各项均为正整数，∴当m=2时，a=5，当m=3时，a=1．故答案为：1或514．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是①②③④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①若f（x）是奇函数，则其对称中心是（0，0）由于f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，则f（x﹣1）关于（1，0）对称．故①是正确的．②由于f（x）的图象可以由f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，又由于函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即f（x）为偶函数．故②也正确．③由于若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=﹣（﹣f（x））=f（x），所以2是f（x）的一个周期．故③也正确．④由于f（x）=f（﹣x）时f（x）为偶函数，其对称轴是y轴即x=0，而f（1﹣x）=f（﹣（x﹣1））且f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，所以f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．故④也正确．故正确的是①②③④．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd【解答】解：由题意可得ab=1，c+d=2由于a，b，c，d的正负不确定A：例如a=﹣2，b=﹣，c=﹣8，d=10，此时a+b＞2cd，故A错误B：例如a=﹣2，b=﹣，c=1，d=1，此时a+b＜2cd，故B错误由于ab=1＞0，则a，b同号，|a+b|=|a|+|b|=2，当cd＜0时，c+d＞0＞2cd当cd＞0时，由c+d=2可知，c＞0，d＞0，则可知cd=1∴|a+b|≥2cd综上可得，|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【解答】解：当x＞2时，y=2x+a＞4+a当x≤2时，y=x+a2≤2+a2∵f（x）的值域为R，∴a2+2≥a+4解不等式可得，a≥2或a≤﹣1故选：A．18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．【解答】解：作出f（x）的图象由图知，只有当f（x）=1时有两解；∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x1，x2，x3，∴必有f（x）=1，从而x1=1，x2=2，x3=0．故可得x12+x22+x32=5．故选C．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．【解答】解：（I）根据题意，设f（n）=，（n∈N*）而f（1）=2，∴5+a=2，即a=﹣3．又5m+a=﹣3m+b，∴b=8m+a=8m﹣3，∴f（n）=．（n∈N*）由f（m）=57得m=12．∴f（n）=（n∈N*）前12天的销售总量为5（1+2+3++12）﹣3×12=354件．（II）第13天的销售量为f（13）=﹣3×13+93=54件，而354+54＞400件，∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行．设第x天的日销售量开始低于30件（12＜x≤30），即f（x）=﹣3x+93＜30，解得x＞21．∴从第22天开始日销售量低于30件．∵21﹣13=8，∴该服装流行的时间不超过10天．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…（5分）由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…（6分）（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…（7分）h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x=+sin=sin（﹣）+．…（10分）当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，∴当，即x=1时，h max（x）=．…（12分）21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a n=d1+d2+d3+…+d2n=…（3分）因为b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实数根．所以b2+b4=20，b2•b4=64…（4分）解得：b2=4，b4=16，所以：…（6分）（Ⅱ）由题知将数列{b n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4公比均是8，…（9分）T2013=（c1+c3+c5+…+c2013）+（c2+c4+c6+…+c2012）=…（12分）22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）∴a=1，b=0…（4分）∴g（x）=x2﹣2x+1，…（5分）（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即k…（9分）设，∴，∴k≤（t﹣1）2∵（t﹣1）2min=0，∴k≤0…（11分）（3）f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0，即|2x﹣1|++﹣3t﹣2=0．令u=|2x﹣1|＞0，则u2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）记方程①的根为u1，u2，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，记φ（u）=u2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或．…（16分）∴时满足题设．…（18分）23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）（2）当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．所以，当n是奇数时，a n=a n+2；当n是偶数时，a n+2=3a n．+2又a1=1，a2=2，所以a1，a3，…，a2n﹣1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以，a n =．（3）由（2），得S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n+n2﹣1﹣2×3n﹣1=3n﹣1+n2﹣1．所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1，则m===1+≤1+=3．显然，当m=1时，S2n=3n+n2﹣1≠1×3n﹣1+n2﹣1=S2n﹣1；当m=2时，由S2n=2S2n﹣1，整理得3n﹣1=n2﹣1．显然，当n=1时，31﹣1≠12﹣1；当n=2时，32﹣1=22﹣1，所以（2，2）是符合条件的一个解．当n≥3时，3n﹣1=（1+2）n﹣1=1+C n﹣11×2+C n﹣12×22+…≥1+2C n﹣11+4C n﹣12=2n2﹣1＞n2﹣1．当m=3时，由S2n=3S2n﹣1，整理得n=1，所以（3，1）是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
上海市位育中学高二数学上学期零次(9月)考试试题
位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________ 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________5、若等比数列}{n a 满足n n n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________6、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________ 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________ 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________ 10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________ 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________ 12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________二、选择题(每题3分，共12分) 13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+； （2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ） (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈)时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n =三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域； (2)求)(x f 的单调区间19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界， 已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否 为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________125- 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________]3,1[ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________)25,2[4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________225、若等比数列}{n a 满足n n n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________36、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________21>a 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________)4,1(-8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________38 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________2197π10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________215arcsin- 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________)49,(-∞12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________)4,22(二、选择题(每题3分，共12分)13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）C(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( )C (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+； （2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ）C (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈)时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）B(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n = 三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 解：(1)设数列}{n a 的公差为d ，由9123a a a =，得d d 81)21(2+=+得1=d ，所以，n a n =(2)204622210210=+++= S18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域；(2)求)(x f 的单调区间解： )62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f(1)周期π=T ，值域为]2,2[- (2)递增区间为]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈)， 递减区间为]32,6[ππππ++k k (Z k ∈) 19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T解：(1)⎩⎨⎧≥-==2,2111,10n n n a n ；(2) ⎩⎨⎧≥+-≤++-=6,51105,11022n n n n n n T n20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆ 的面积解：(1)由面积公式和余弦定理得：2=a ，2=b(2)由题意得：A A B A B 2sin 2)sin()sin=-++（，即 A A A B cos sin 2cos sin = 当0cos =A 时，2π=A ，6π=B ，334=a ，332=b 当0cos ≠A 时，A B sin 2sin =，即a b 2=，又ab c b a C 2cos 222-+=，故332=a ，334=b ，所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S 21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有Mx f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界，已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围解：(1) 当1=a 时，)(x f 在)0,(-∞上的值域为），（∞+3故不存在常数0>M ，使M x f ≤|)(|成立，所以)(x f 在)0,(-∞上不是有界函数(2)由题意得：3|)(|≤x f 在),0[+∞上恒成立，则3)(3≤≤-x f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+⋅+-≥+⋅+3)41()21(13)41()21(1x x x x a a变形得xxx xa )21(22)21(24-⋅≤≤-⋅-在),0[+∞上恒成立 根据函数的单调性，由分离参数法得：实数a 的取值范围为]1,5[-。