10-3位移法的基本未知量及基本结构
位移法基本未知量数目的确定和基本结构
1结构的结点位移独立结点线位移独立结点角位移¾确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。
未知量个数要最少。
7-3 位移法基本未知量数目的确定和基本结构三类单根杆件2由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。
一.独立的结点角位移未知量F PEI=常数l 2l2l基本结构1Z结点角位移未知量注意1：铰处弯矩为零,故铰处角位移不作为基本未知量(因为非独立量)。
3独立的结点角位移未知量4为简化计算，在确定独立的结点线位移未知量数目时，作如下假定：1.略去受弯直杆的轴向变形；2.弯曲直杆在受弯前、后其投影长度保持不变。
这样每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。
确定独立的结点线位移未知量数目时，在一般情况下每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
二.独立的结点线位移未知量5例P原结构基本结构单跨超静定梁的组合体Z 1Z 2Z 3在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁系为止。
独立的结点线位移未知量6独立的结点线位移未知量原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系10例4原结构增加附加约束单跨梁系Aiii30M ABCD ql q例原结构增加附加约束单跨梁系1124位移法的基本未知量与超静定次数无关确定独立的结点线位移数目: 铰化法12使此铰结体系成为几何不变，所需添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。
铰结体系13原结构铰结体系基本结构例54例614注意2：静定部分可由平衡条件求出其内力,故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量。
15考虑轴向变形的链杆受弯曲杆EA≠∞独立的结点线位移数目为216例确定两结构的位移法基本未知量。
1712考虑轴向变形的链杆具有无限刚性杆件的结构18注意3：弯曲刚度无穷大杆件两端的转角不作为未知量考虑。
07.位移法解析
P 4 5 6
将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目
12
2.位移法的基本结构 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨 超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时 变为一根单跨超静定梁。 通常的做法是
1 1
Z1
2 P
1
Z1 Z1
2
EI=常数 3
l 2 l 2
3
2
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法 首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基 本思路。
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时 以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。
例如图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
1 2 3
4
5
6
11
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位 移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微 小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每 一受弯直杆就相当于一个约束， △ △
1 2
3
△
结点1、2、3均无竖向位移。又 因两根横梁其长度不变，故三 个结点均有相同的水平位移△ 。
18
19
20
四、 建立位移法典型方程
1、无侧移刚架：
P
1 z1 2
① 确定基本未知量和基本体系
z1
1
P
2
z1
EI=常数
3
l
3
EI=常数
l/2
03-讲义：8.3 位移法的基本未知量和基本结构
第三节 位移法的基本未知量和基本结构一、位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量是结点位移，其计算单元是单跨超静定等截面直杆（或直梁）。
如果结构上每根杆件的杆端位移已求出，则全部杆件的内力即可由转角位移方程确定。
结点位移包括结点角位移和结点线位移。
下面讨论如何确定结点位移个数。
1、独立的结点角位移图8-6(a)所示刚架在荷载作用下将产生如虚线所示的变形。
固定端A 的转角位移和线位移均为零。
刚结点B 是自由刚结点，可以转动。
根据变形连续条件可知，刚结点B 处只有1个独立的结点角位移B θ。
若忽略杆件AB 、BC 的轴向变形，刚结点B 处没有线位移。
结点C 是铰结点，设C 处转角为C θ，由0CB M =可知C θ不独立，可以不作为位移法基本未知量。
所以该刚架用位移法进行求解时，基本未知量是刚结点B 处的角位移B θ。
当结构中存在组合结点时，因组合结点既有刚性连接部分又有铰接部分，此时仍需把刚接部分的角位移计入位移法基本未知量。
另外，对有阶形杆变截面处的转角，或抗转动弹簧支座处的转角，均应计入独立角位移的数目。
因此，图8-6(b)所示刚架中独立的结点角位移数目是4，它们分别是变截面G 处的转角1∆、组合结点E 处的转角2∆、刚结点F 处的转角3∆以及抗转弹性支座C 处的转角4∆。
综上所述，独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
图8-6 独立结点角位移的确定2、独立的结点线位移一般情况下，平面坐标系中每个结点均可能有水平线位移和竖向线位移。
但根据前述假设（忽略杆件轴向变形）可知，受弯杆件的两端距离在变形后保持不变，这样导致某些线位移为零或互等，从而减少了独立的结点线位移数目。
如图8-7(a)所示排架结构，支座A 、B 、C 为固定端，AD 、BE 和CF 杆长不变，故结点D 、E 和F 均没有竖向位移。
结点D 、E 和F 虽有水平位移，但由于杆DE 、杆EF 的长度不变，所以这些水平线位移应相等。
位移法的基本未知量
①
A
③
B
C
F
I
C
F
②
I
b)
“铰化结点” D
A B E
d)
G H A
基本未知量
Z1 Z7 Z2 B C D E Z3 G Z4 H I Z6 Z5
C
F
I
F
n = ny+nl = 4+3 =7
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4、两点说明
(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（EA ）的二力杆时
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1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
nY= 4
A Z6 D F E
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Z5 B C
G
3、结点独立线位移数
(1)简化条件
不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法 ）， 也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。 因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变 形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于 杆件的切线来代替。
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量 位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移 和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符 号Zi表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目 1、位移法基本未知量的总数目 位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独 立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之 和，即 n n y nl
位移法的基本结构及位移法方程
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
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A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
位移法
基本体系
EI/3
2EI/3
2EI/3
M1 图 Z2=1
4、解方程，求得
28.56 Z1 EI Z 46.7EI/2 22.5 45 45
M2 图
MP图
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图（见上页）
第6章
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P B A QAB0 QBA0
第6章
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。
三、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB QBA l t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
令：i
EI 称 为 “ 线 刚 度 ” 、AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
第6章
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA B' P q βAB t1˚C t2˚C B ΔAB
EI 30 6 Z1 32.02kN m l 8 EI 30 6 M BA 4 Z1 3.46kN m l 8 EI EI M BC 4 Z1 2 Z 2 3.46kN m l l EI EI M CB 2 Z1 4 Z 2 21.63kN m l l EI 10 6 2 M CD 3 Z2 21.63kN m l 8 M DC 0 M AB 2
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
位移法的基本体系.
3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)
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位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
不计轴向变形时，虽有刚结点， 但横梁不能转动，因此转角未知 量为０
注意: ①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一 端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 ② 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端 力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 Δ 定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作基本未知量，不需加 附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。 Δ
P
P
P P
2、基本体系的确定： 即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。 结论：原结构独立结点线位移的数目 相应铰结体系的自由度。
=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
=
• 位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨论)
结点位移包括角位移和线位移 独立角位移 na =刚结点数； 独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时： nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何不 变所需加的支杆数。 手算时 考虑轴向变形时： nl =结点数2–约束数 电算时 总未知量 n = na+ nl 。
FP
C
M BA 4iZ1
1 8
FP l
M BC 3iZ1 M BA M BC 0
Z1 M BA 1 56i 3 FP l 56 FP l
A
当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的 平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形 常数和载常数绘出各杆的内力图。
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角 -位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
D
Δ
C
B
E
A
l
③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 ④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶 线位移都相等。
a
基本结构与原结构有两点区别： 原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构 在外因作用下是无结点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。 消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。
θA
B 分析：
2）在附加约束上施加外力，使结构发生 与原结构一致的结点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致， 则其内力状态也完全相等； 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0， 按此可列出基本方程。
位移法基本思路
Z1P Z1
q C
q
结点转角 位移法基本未知量
数目=刚结点的数目 3 数目=铰结体系的自由度 2 =矩形框架的层数
独立结点线位移
在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。 1
结点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
§7-3 位移法的基本未知量和基本体系
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁 住后，得到的超静定梁的组合体。 1、基本未知量的确定： 为了减小结点线 位移数目，假定： ①忽略轴向变形， ②结点转角和弦转 角都很微小。 Δ 结点角位移的数目=刚结点的数目 Δ θD θC Δ Δ θC Δ
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。
96 EI
4 EI l
A
θA
位移法思路
先化整为零，再集零为整
通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件 的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系；
通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件 平衡条件建立关于结点位移的位移法方程； 解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。
位移法基本思路 P A
θA
C
荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA
θA
B
附加 刚臂
P A C A
θA
C
θA 附加刚臂限制结 点位移，荷载作
B
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
B
用下附加刚臂上
产生附加力矩
现结点位移状态的
一致性。
P A
实现位移状态可分两步完成
θA
C 1）在可动结点上附加约束，限制其位移， 在荷载作用下，附加约束上产生附加约 束力；
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q C
Z1 0 Z1 0
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/12
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A Z1P
A l
βA
C
Z1=0
A A
A
θA
A A
Z 1P ql 122源自EI=常数BB
A A
B
4 EI
ql2/12 Z11
2 EI l
l q
5ql2/48
i
8 FPl
8
AB
FP l 2
AE
在此基础上,由图示结点平衡得
M 0
Z1
l 2
FP EI=常数
l
l 2
FP
通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超 静定梁,称其为位移法基本结构,而附加约束的 位移称为位移法的基本未知量Z。受基本未知量 和外因共同作用的基本结构称为基本体系。
B
4 EI l
A
θA
l
A
A
A
4 EI l
θA
A
C
Z11
A
4 EI l
A
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4 EI l
A
A
C
Z 1 Z 11 Z 1 P 0 8 EI
2 EI l
3
A
B
2 EI l
B
l
ql2/48
A
ql 12
2
4i
2 EI l
0
A
ql
A
1.平衡方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解?
M FP FP
q
Δ
FPFP
力法未知数 个数为3,但 独立位移 未知数只 有一(A 点 转角,设为 ).
利用转角位移 方程可得:
M
M
M
M
AC
AD
M
ql
2
3 i
4 i
2.典型方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解? 以A 点转角做 M 基本未知量,设 FP 为 .在A 施加 FP q 限制转动的约 Δ 束,以如图所示 体系为基本体 FPFP 系(基本结构的 定义和力法相 仿).
根据两图结点平衡
可得附加约束反力