流体在管内的流动[专业知识]
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流体在管内的流动阻力
2.2 流体在管内的流动阻力本节重点：牛顿粘性定律、层流与湍流的比较。
难点： 边界层与层流内层。
2.2.1 牛顿粘性定律与流体的粘度 1. 流体的粘性流体的典型特征是具有流动性，但不同流体的流动性能不同，这主要是因为流体内部质点间作相对运动时存在不同的内摩擦力。
这种表明流体流动时产生内摩擦力的特性称为粘性。
粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流动性越小。
流体的粘性是流体产生流动阻力的根源。
2. 牛顿粘性定律与流体的粘度如图2-3所示，设有上、下两块面积很大且相距很近的平行平板，板间充满某种静止液体。
若将下板固定，而对上板施加一个恒定的外力，上板就以恒定速度u 沿x 方向运动。
若u 较小，则两板间的液体就会分成无数平行的薄层而运动，粘附在上板底面下的一薄层流体以速度u 随上板运动，其下各层液体的速度依次降低，紧贴在下板表面的一层液体，因粘附在静止的下板上, 其速度为零，两平板间流速呈线性变化。
对任意相邻两层流体来说，上层速度较大，下层速度较小，前者对后者起带动作用，而后者对前者起拖曳作用，流体层之间的这种相互作用，产生内摩擦，而流体的粘性正是这种内摩擦的表现。
平行平板间的流体，流速分布为直线，而流体在圆管内流动时，速度分布呈抛物线形，如图2-4所示。
实验证明，对于一定的流体，内摩擦力F 与两流体层的速度差.u d 成正比，与两层之间的垂直距离dy 成反比，与两层间的接触面积A 成正比，即图2-4 实际流体在管内的速度分布图2-3 平板间液体速度变化dyud AF .μ= （2-16） 式中：F ——内摩擦力，N ；dyud .——法向速度梯度，即在与流体流动方向相垂直的y 方向流体速度的变化率，1/s ； μ——比例系数，称为流体的粘度或动力粘度，Pa ·s 。
一般，单位面积上的内摩擦力称为剪应力，以τ表示，单位为Pa ，则式（1-26）变为dyud .μτ= （2-17） 式（2-16）、（2-17）称为牛顿粘性定律，表明流体层间的内摩擦力或剪应力与法向速度梯度成正比。
流体在管内的流动阻力
第四节流体在管内的流动阻力实际上理想流体是不存在的。
流体在流动过程中需要消耗能量来克服流动阻力，本节讨论流体流动阻力的产生、影响因素及其计算。
§1.4.1牛顿粘性定律与流体的粘度1、牛顿粘性定律设有间距很小的两平行板，两平板间充满液体(如图)。
下板固定，上板施加一平行于平板的切向力F，使上板作平行于下板的等速直线运动。
紧贴上板的液体层以与上板相同的速度流动，而紧贴固定板的液体层则静止不动。
两层平板之间液体的流速分布则是从上到下为由大到小的渐变。
此两板间的液体可看成为许多平行于平板的流体层，这种流动称为层流，而层与层之间存在着速度差，即各液层之间存在着相对运动。
运动较快的液层对与之相邻的运动较慢的液层作用着一个拖动其向运动方向前进的力；而与此同时，运动较慢的液层对其上运动较快的液层也作用着一个大小相等方向相反的力，从而阻碍较快的液层的运动。
这种运动着的流体内部相邻两流体层间的相互作用力称为流体的内摩擦力（粘滞力）。
流体流动时产生内摩擦力的这种特性称为粘性。
在上图中，若某层流体的速度为u，在其垂直距离为dy处的邻近流体层的速度为u+du，则du/dy表示速度沿法线方向上的变化率，称为速度梯度。
实验证明，内摩擦力F与两流体层间的接触面积S成正比，与速度梯度du/dy成正比。
即：F∝S·du/dy亦即：F=μS·du/dy剪应力τ：单位面积上的内摩擦力，即F/S, 单位N/㎡于是：τ=F/S=μ·du/dy——牛顿粘性定律μ为比例系数，称为粘性系数或动力粘度，简称粘度说明：①牛顿粘性定律可表达为剪应力与法向速度梯度成正比，与法向压力无关，流体的这一规律与固体表面的摩擦力的变化规律截然不同。
②牛顿粘性定律的使用条件：层流时的牛顿型流体。
③根据此定律，粘性流体在管内的速度分布可以预示为：如图紧贴壁面的流体受壁面固体分子力的作用而处于静止状态，随着离壁距离的增加，流体的速度连续地增大，至管中心处速度达到最大。
流体在流管中的流动
与雷诺实验结果一致。 由（1）式变形得：
l V2 hf ， d 2g 64 Vd （称为沿程阻力系数， 或摩阻系数）， e R Re
同样压强损失可表示为：
l V2 p gh f d 2 此即流体力学中著名的达西(Darcy)公式。
3、功率损失
128 lqv2 P gh f qV d4 ( p qV p A V FV )
V 4Q 2.73 m 2 s d
64 l v 2 又，损失：h f Vd d 2g
所以：
2 gd 2 2 9.8 0.0062 6 m 2 hf 4.23 8.54 10 s 64lV 64 2 2.73
ρ 900 8. 54 106 7. 69 103 Pa s
工程上常采用石列尔公式，当取Re=2320时，得
L*=66.5d
3、起始段的能量损失
① 如果管路很长，l L ，则起始段的影响可以忽略，用
64 ，计算损失。 Re
② 工程实际中管路较短，考虑到起始段的影响，取
75 。 Re
可见，起始段损失加大，因中心层加速，外 层减速，还有部分径向运动，都附加损失。
4.2.1 管中层流流速分布和流量
u
管中层流运动分析： 管中流动流线是平行的，流速以管轴为对称轴，在同一 半径上速度相等，流体做等速运动。
取筒状流体为分离体， 设壁厚为 dr，长度为 l， 半径为 r，则: 对于层流流动，该筒状 流体 做匀速运动，所有外力 在 管轴上投影为 0，即：
2rdr ( p1 p2 ) 2rl 2l (r dr )( d ) 2rdrlg sin 0 注意到： l sin z2 z1，忽略二阶微量，代入 整理得：
l V2 hf ， d 2g 64 Vd （称为沿程阻力系数， 或摩阻系数）， e R Re
同样压强损失可表示为：
l V2 p gh f d 2 此即流体力学中著名的达西(Darcy)公式。
3、功率损失
128 lqv2 P gh f qV d4 ( p qV p A V FV )
V 4Q 2.73 m 2 s d
64 l v 2 又，损失：h f Vd d 2g
所以：
2 gd 2 2 9.8 0.0062 6 m 2 hf 4.23 8.54 10 s 64lV 64 2 2.73
ρ 900 8. 54 106 7. 69 103 Pa s
工程上常采用石列尔公式，当取Re=2320时，得
L*=66.5d
3、起始段的能量损失
① 如果管路很长，l L ，则起始段的影响可以忽略，用
64 ，计算损失。 Re
② 工程实际中管路较短，考虑到起始段的影响，取
75 。 Re
可见，起始段损失加大，因中心层加速，外 层减速，还有部分径向运动，都附加损失。
4.2.1 管中层流流速分布和流量
u
管中层流运动分析： 管中流动流线是平行的，流速以管轴为对称轴，在同一 半径上速度相等，流体做等速运动。
取筒状流体为分离体， 设壁厚为 dr，长度为 l， 半径为 r，则: 对于层流流动，该筒状 流体 做匀速运动，所有外力 在 管轴上投影为 0，即：
2rdr ( p1 p2 ) 2rl 2l (r dr )( d ) 2rdrlg sin 0 注意到： l sin z2 z1，忽略二阶微量，代入 整理得：
化工原理管内流体流动现象
二、边界层的分离
B
A
S
A →C：流道截面积逐渐减小，流速逐渐增加，压 力逐渐减小（顺压梯度）；
C → S：流道截面积逐渐增加，流速逐渐减小，压 力逐渐增加（逆压梯度）；
S点：物体表面的流体质点在逆压梯度和粘性剪应 力的作用下，速度降为0。
SS’以下：边界层脱离固体壁面，而后倒流回来， 形成涡流，出现边界层分离。
f ( p,T )
液体 : f (T ) T ↑ → ↓ 气体 : 一般 f (T ) T ↑ → ↑
超高压 f ( p,T ) p ↑ → ↑
2. 粘度的单位 SI制：Pa·s 或 kg/(m·s) 物理制：cP(厘泊） 换算关系 1cP＝10-3 Pa·s
3.运动粘度
管截面上的平均速度 :
R.
u VS A
0
u 2rdr R 2
1 2
umax
层流流动平均速度为管中心最大速度的1/2。
u ( p1 p2 ) R2
8l
u ( p1 p2 ) R2
8l
p1
p2
8lu
R2
32lu
d2
哈根－泊谡叶方程
（3）
二、湍流时的速度分布
.
剪应力 ： ( e) d u
dy
e为湍流粘度，与流体的流动状况有关。
湍流速度分布 的经验式：
.
u
umax1
r R
n
1.3.4 流体流动边界层
一、边界层的形成与发展 流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，
即流速降为主体流速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
流体在平板上流动时的边界层：
界层区（边界层内）：沿板面法向的速 度梯度很大，需考虑粘度的影响，剪应力不 可忽略。
流体在管内的流动阻力
h ′f
= ζ
u 2 2
此式中的流速u均应采用小管内 的流速
2.当量长度法 2.当量长度法
该法是将流体流过管件、阀门所产生的局部阻力折合成相当于流体流过长 度为l 的同一管件的直管时所产生的阻力，这样所折合的管道长度l 度为le的同一管件的直管时所产生的阻力，这样所折合的管道长度le称为 管件、阀门的当量长度，其局部阻力所引起的能量损失可按下式计算
流体做层流运动时，管壁上凹凸不平的部位被有规律的流 体层所覆盖，且流速较小，故流体质点对管壁的凹凸部分 不会产生碰撞作用，所以层流时的摩擦系数与管壁粗糙度 无关。流体做湍流运动时，管壁出总存在着层流内层。 当层流内层的厚度δ大于管壁的绝对粗糙度，即δ>ε时， 当层流内层的厚度δ大于管壁的绝对粗糙度，即δ>ε时， 管壁粗糙度对摩擦系数的影响与层流相似。随着Re值的增 管壁粗糙度对摩擦系数的影响与层流相似。随着Re值的增 加，层流内层的厚度将逐渐变薄。 当δ<ε时，管壁的凸出部分将伸入到湍流区内与流体质点 δ<ε时，管壁的凸出部分将伸入到湍流区内与流体质点 发生碰撞，使流体的湍动程度加剧，此时管壁粗糙度对摩 擦系数的影响就称为重要因素。Re值越大，层流内层越薄。 擦系数的影响就称为重要因素。Re值越大，层流内层越薄。 这种影响就越显著。可见，对一定粗糙程度的管子，它既 可以表现为光滑管，也可以表现为粗糙管，取决于流体的 Re值。 Re值。 由以上分析可知，流体作层流流动时，摩擦系数仅与雷诺 由以上分析可知，流体作层流流动时，摩擦系数仅与雷诺 准数有关；而作湍流流动时，摩擦系数不仅与雷诺准数有 关，而且与管壁的粗糙程度有关。摩擦系数与雷诺准数及 关，而且与管壁的粗糙程度有关。摩擦系数与雷诺准数及 管壁粗糙程度之间的关系可由实验测定，其结果用穆迪图 表示。
第一章 流体流动
气体密度 一般温度不太低，压强不太高时气体可按理想气 体考虑，所以理想气体密度可由理想气体状态方程 导出： T0 p M pM m
v
RT
0
Tp 0
0 22.4 ，kg / m
3
混合气体密度
ρm= ρ1y1+ ρ2y2+ …+ ρnyn
MT0 p 22.4Tp 0
式 y1、y2……yn——气体混合物各组分的体积分数 ρ1、 ρ2、…、 ρn—气体混合物中各组分的密度，kg/m3; ρm——气体混合物的平均密度，kg/m3；
2.2 流体静力学基本方程的应用
1、压力的测量 (1) U型管压差计 构造： U型玻璃管内盛指示液A 指示液：指示液A(蓝色)与被测液B(白)互不相溶，且ρA＞ρB 原理：图中a、b两点在相连通的同一静止流体内，并且在 同一水平面上，故a、b两点静压力相等，pa=pb。 对a、b两点分别由静力学基本方程，可得 pa= p1+ρB· g(Z+R) pb= p2+ρB· gZ+ρAgR
三、流体的研究方法
连续介质假说：流体由无数个连续的质点组
成。﹠质点的运动过程是连 续的 质点：由许多个分子组成的微团，其尺寸比 容器小的多，比分子自由程大的多。 （宏观尺寸非常小，微观尺寸又足够大）
四、流体的物理性质
◆密度ρ 单位体积流体的质量，称为流体的密度，其表 m 达式为
V
式中 ρ——流体的密度，kg/m3; m——流体的质量，kg; V——流体的体积，m3。 流体的密度除取决于自身的物性外，还与其温 度和压力有关。液体的密度随压力变化很小，可 忽略不计，但随温度稍有改变；气体的密度随温 度和压力变化较大。
pA=p0+ ρgz pB=p0+ ρi gR 又∵ pA=pB
1流体流动基本知识
2011-8-26
定态流动：若在流动系统中，任意取两个截面 1 − 1' 及2 − 2' （排水管不同管径处），经测定发现，该两截面上的流速和 压强虽然不相等，但每一截面上的流速与压强并不随时间而 变化，这种情况属于定态流动。 非定态流动：若将水箱进 水管阀门关闭，箱内的水仍由 排水管不断排出，由于箱内无 水补充，则水位逐渐下降，各 截面上水的流速与压强也随之 而降低，此时各截面上水的流 速与压强不但随位置而变，还 随时间而变，这种情况属于非 定态流动。 后面的讨论都是基于定态流动 的问题。
m 其 xwi = i 中 m 总
V = 总
2011-8-26
xwA
ρ1
+
xwB
ρ2
+L +
xwn
ρn
=
m 总
ρm
∴
1
ρm
=
xwA
ρ1
+
xwB
ρ2
+L +
xwn
ρn
—液体混合物密度计算式 液体混合物密度计算式
4.与密度相关的几个物理量 与密度相关的几个物理量
1）比容：单位质量的流体所具有的体积，用υ表示，单位 为m3/kg。 在数值上:
S
=VS ρ
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2. 流速
流速：单位时间内流体在流动方向上所流过的距离，以u表示， 其单位为m/s。 实验证明，流体在管道内流动时，由于流体具有粘性，管道 横截面上流体质点速度是沿半径变化的。管道中心流速最大， 愈靠管壁速度愈小，在紧靠管壁处，由于液体质点粘附在管 壁上，其速度等于零。 平均速度:在工程计算上为方便起见，流体的流速通常指 整个截面上的平均流速，用u表示；单位为：m/s。
第五节 流体在管内的流动阻力
即由上式，其平均流速为
1 1 p 2 p f 2 p f 2 u umax R R d 2 2 4l 8l 32l
或
32 lu p f d2
因为 所以有
32 lu p f d2
2 u12 p1 u2 p2 gZ1 gZ2 hf 2 2
新的无缝钢管或镀锌铁管 新的铸铁管 具有轻度腐蚀的无缝钢管 具有显著腐蚀的无缝钢管 旧的铸铁管 干净玻璃管
非 金 属 管
橡皮软管
木管道 陶土排水管 很好平整的水泥管 石棉水泥管
0.01~0.03
0.25~1.25 0.45~0.60 0.33 0.03~0.8
当管道的绝对粗糙度恒定时，管壁粗糙度对 λ 的影响程度
流体流过粗糙管壁时的情况：
（a）层流内层的厚度＞管壁的绝对粗糙度 （b）层流内层的厚度＜管壁的绝对粗糙度
3、层流时的摩擦系数：
由上节的分析已知，层流时的速度分布为
p 2 2 u (r ) (R r ) 4l
流体在流过了长度为 l 的直管后，压强降低了
p ，造成压强降低没有其
他原因，只有流体的内摩擦，因此将由流体的内摩擦引起的压强降记作 p f
层流流动时，管壁上凸凹不平的地方被有规则的流体层覆盖，且流速又
比较缓慢，流体质点对管壁凸起的部分没有碰撞的作用，所以 层流时摩擦系数与管壁粗糙度无关。
湍流流动时，靠近管壁附近总有一层层流内层，即层流边界层。如果层
流内层的厚度大于管壁的绝对粗糙度，这时管壁粗糙度对 λ 的影响与层流
时相近。随着雷诺数的增大，层流内层变薄；当其厚度小于管壁的绝对粗糙 度时，流体质点对管壁凸起的部分发生碰撞作用，这时对摩擦系数的影响非 常明显。
1 1 p 2 p f 2 p f 2 u umax R R d 2 2 4l 8l 32l
或
32 lu p f d2
因为 所以有
32 lu p f d2
2 u12 p1 u2 p2 gZ1 gZ2 hf 2 2
新的无缝钢管或镀锌铁管 新的铸铁管 具有轻度腐蚀的无缝钢管 具有显著腐蚀的无缝钢管 旧的铸铁管 干净玻璃管
非 金 属 管
橡皮软管
木管道 陶土排水管 很好平整的水泥管 石棉水泥管
0.01~0.03
0.25~1.25 0.45~0.60 0.33 0.03~0.8
当管道的绝对粗糙度恒定时，管壁粗糙度对 λ 的影响程度
流体流过粗糙管壁时的情况：
（a）层流内层的厚度＞管壁的绝对粗糙度 （b）层流内层的厚度＜管壁的绝对粗糙度
3、层流时的摩擦系数：
由上节的分析已知，层流时的速度分布为
p 2 2 u (r ) (R r ) 4l
流体在流过了长度为 l 的直管后，压强降低了
p ，造成压强降低没有其
他原因，只有流体的内摩擦，因此将由流体的内摩擦引起的压强降记作 p f
层流流动时，管壁上凸凹不平的地方被有规则的流体层覆盖，且流速又
比较缓慢，流体质点对管壁凸起的部分没有碰撞的作用，所以 层流时摩擦系数与管壁粗糙度无关。
湍流流动时，靠近管壁附近总有一层层流内层，即层流边界层。如果层
流内层的厚度大于管壁的绝对粗糙度，这时管壁粗糙度对 λ 的影响与层流
时相近。随着雷诺数的增大，层流内层变薄；当其厚度小于管壁的绝对粗糙 度时，流体质点对管壁凸起的部分发生碰撞作用，这时对摩擦系数的影响非 常明显。
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1）流动系统的机械能衡算式
由热力学第一定律有：U
q' e
pdv v2
v1
q ' 流体与环境所交换的热 e 阻力损失 h f
即：qe' qe hf
U
qe
hf
v2 v1
pdv
代入U
gz
u2 2
pu
qe
We中，得：
高等教育
17
gz
u 2 2
Pv
v2 v1
pdv
We
hf
p
2 1
d
即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种
u2 2 2
p2v2
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15
令U U2 U1 gz gz2 gz1
pu p2u2 p1u1
u 2
u2 2
u2 1
2 22
U
gz
u 2 2
p
qe
We
——稳定流动过程的总能量衡算式
H U pv
H
gz
u 2 2
qe
We
高等教育
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2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程
高等教育
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质量为m流体的位能 mgZ(J )
单位质量流体的位能 gZ (J / kg)
③动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。
质量为m，流速为u的流体所具有的动能 1 mu2 (J ) 2
单位质量流体所具有的动能 1 u2 (J / kg) 2
④静压能（流动功） 通过某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量
u1
4
d12
u2
4
d
2 2
u1 u2
d2 d1
表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
高等教育
9
四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1）流体本身具有的能量 ①内能： 物质内部能量的
总和称为内能。 单位质量流体的内能以U表 示，单位J/kg。
②位能：流体因处于重 力场内而具有的能量。
gz1
u2 1
2
p1
gz2
u2 2 2
p2
hf
对于理想流体，当没有外功加入时We=0
gz1
u2 1 2
p1
gz2
u2 2 2
p2
——柏努利方程
高等教育
19
3、柏努利方程式的讨论
1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有 外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能 、 位能、静压能之和为一常数，用E表示。
高等教育
11
流体在截面处所具有的压力
F pA
流体通过截面所走的距离为
l V / A 流体通过截面的静压能 Fl pA V pV (J )
A
单位质量流体所具有的静压能 p V pv(J / kg)
m
所以，单位质量流体本身所具有的总能量为
U gz 1 u2 pv(J / kg) 2
高等教育
WS1 WS 2
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7
ws uA
u1 A11 u2 A2 2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
wS u1 A11 u2 A2 2 uA 常数
若流体为不可压缩流体
VS
wS
u1 A1
u2 A2
uA 常数
——一维稳定流动的连续性方程
高等教育
8
对于圆形管道，不可压缩流体稳定流动的连续性方程 可以写成 ：
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4
二、定态流动与非定态流动
定态流动
流动系统中流体的流速、压强、 密度等有关物理量仅随位置而改
变，而不随时间而改变
流动系统
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间 变化的流动。
例
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5
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6
三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。 衡算基准：1s 对于连续稳定系统：
为v2。
图
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14
取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水 平面的距离为z1，z2
根据稳定流动系统的能量衡算式有：
∑输入能量=∑输出能量
Σ输入能量
U1
gz1
u
2 1
2
p1v1
qe
We
Σ输出能量
U2
gz2
u22 2
p2v2
U1
gz1
u2 1 2
p1v1
qe
we
U2
gz2
12
2）系统与外界交换的能量
①热： 若流动系统中装有换热器，流体通过时便会吸热 或放热。
令单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为qe 质量为m的流体所吸的热=mqe[J]。 当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。
②功： 若在流动系统的管路上安装泵或鼓风机等流体输 送机械，就会对流体做功。
令单位质量通过划定体积的过程中接受的功为We 质量为m的流体所接受的功= mWe(J)
G
ws
VS
u
AA
对于圆形管道，A d 2
4
u
VS
d
2
4
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3
d 4VS
u
——管道直径的计算式
在管路设计中，适宜的流速的选择十分重要。 若流速选得太大，流体流过管路时的阻力增大 ，操作费 用增加 ； 若流速选得太小，管径增大，管路的基建费增加。 应在操作费与基建费之间通过经济权衡来确定适宜的流速 一般来说，液体的流速取0.5～3.0m/s，气体则为10～30m/s
高等教育
13
流体接受外功时，We为正，向外界做功时, We为负。 流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。
3）总能量衡算
衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。 衡算基准：1kg流体。 设1-1’截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积为A1，比 容为ν1； 截面2-2’的流体流速为u2，压强为P2，截面积为A2，比容pv2 源自1pdvp2 p1
vdp
代入上式得：
gz
u 2 2
p2 p1
vdp
We
hf
——流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2）柏努利方程（Bernalli）
当流体不可压缩时，
p2 p1
vdp
v p2
p1
p
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gz
u 2 2
p
We
hf
将z
z2
z1,
u 2 2
u22 2
u12 2
,
p p2 p1 代入：
体积流量和质量流量的关系是：
2、流速
WS VS
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速。
高等教育
2
以u表示，单位为m/s。
数学表达式为：
u
VS
A
流量与流速的关系为：VS uA WS uA
质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量 用G表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：
第一章 流体流动
第二节 流体在管内的流动
一、流量与流速 二、定态流动与非定态流动
三、连续性方程式 四、能量衡算方程式
五、柏努利方程式的应用
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一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量，用VS表示； 单位为m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量，用WS表示； 单位kg/s。
由热力学第一定律有：U
q' e
pdv v2
v1
q ' 流体与环境所交换的热 e 阻力损失 h f
即：qe' qe hf
U
qe
hf
v2 v1
pdv
代入U
gz
u2 2
pu
qe
We中，得：
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gz
u 2 2
Pv
v2 v1
pdv
We
hf
p
2 1
d
即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种
u2 2 2
p2v2
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令U U2 U1 gz gz2 gz1
pu p2u2 p1u1
u 2
u2 2
u2 1
2 22
U
gz
u 2 2
p
qe
We
——稳定流动过程的总能量衡算式
H U pv
H
gz
u 2 2
qe
We
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2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程
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质量为m流体的位能 mgZ(J )
单位质量流体的位能 gZ (J / kg)
③动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。
质量为m，流速为u的流体所具有的动能 1 mu2 (J ) 2
单位质量流体所具有的动能 1 u2 (J / kg) 2
④静压能（流动功） 通过某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量
u1
4
d12
u2
4
d
2 2
u1 u2
d2 d1
表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
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四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1）流体本身具有的能量 ①内能： 物质内部能量的
总和称为内能。 单位质量流体的内能以U表 示，单位J/kg。
②位能：流体因处于重 力场内而具有的能量。
gz1
u2 1
2
p1
gz2
u2 2 2
p2
hf
对于理想流体，当没有外功加入时We=0
gz1
u2 1 2
p1
gz2
u2 2 2
p2
——柏努利方程
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3、柏努利方程式的讨论
1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有 外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能 、 位能、静压能之和为一常数，用E表示。
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流体在截面处所具有的压力
F pA
流体通过截面所走的距离为
l V / A 流体通过截面的静压能 Fl pA V pV (J )
A
单位质量流体所具有的静压能 p V pv(J / kg)
m
所以，单位质量流体本身所具有的总能量为
U gz 1 u2 pv(J / kg) 2
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WS1 WS 2
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ws uA
u1 A11 u2 A2 2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
wS u1 A11 u2 A2 2 uA 常数
若流体为不可压缩流体
VS
wS
u1 A1
u2 A2
uA 常数
——一维稳定流动的连续性方程
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对于圆形管道，不可压缩流体稳定流动的连续性方程 可以写成 ：
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二、定态流动与非定态流动
定态流动
流动系统中流体的流速、压强、 密度等有关物理量仅随位置而改
变，而不随时间而改变
流动系统
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间 变化的流动。
例
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三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。 衡算基准：1s 对于连续稳定系统：
为v2。
图
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取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水 平面的距离为z1，z2
根据稳定流动系统的能量衡算式有：
∑输入能量=∑输出能量
Σ输入能量
U1
gz1
u
2 1
2
p1v1
qe
We
Σ输出能量
U2
gz2
u22 2
p2v2
U1
gz1
u2 1 2
p1v1
qe
we
U2
gz2
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2）系统与外界交换的能量
①热： 若流动系统中装有换热器，流体通过时便会吸热 或放热。
令单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为qe 质量为m的流体所吸的热=mqe[J]。 当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。
②功： 若在流动系统的管路上安装泵或鼓风机等流体输 送机械，就会对流体做功。
令单位质量通过划定体积的过程中接受的功为We 质量为m的流体所接受的功= mWe(J)
G
ws
VS
u
AA
对于圆形管道，A d 2
4
u
VS
d
2
4
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d 4VS
u
——管道直径的计算式
在管路设计中，适宜的流速的选择十分重要。 若流速选得太大，流体流过管路时的阻力增大 ，操作费 用增加 ； 若流速选得太小，管径增大，管路的基建费增加。 应在操作费与基建费之间通过经济权衡来确定适宜的流速 一般来说，液体的流速取0.5～3.0m/s，气体则为10～30m/s
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流体接受外功时，We为正，向外界做功时, We为负。 流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。
3）总能量衡算
衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。 衡算基准：1kg流体。 设1-1’截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积为A1，比 容为ν1； 截面2-2’的流体流速为u2，压强为P2，截面积为A2，比容pv2 源自1pdvp2 p1
vdp
代入上式得：
gz
u 2 2
p2 p1
vdp
We
hf
——流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2）柏努利方程（Bernalli）
当流体不可压缩时，
p2 p1
vdp
v p2
p1
p
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gz
u 2 2
p
We
hf
将z
z2
z1,
u 2 2
u22 2
u12 2
,
p p2 p1 代入：
体积流量和质量流量的关系是：
2、流速
WS VS
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速。
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以u表示，单位为m/s。
数学表达式为：
u
VS
A
流量与流速的关系为：VS uA WS uA
质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量 用G表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：
第一章 流体流动
第二节 流体在管内的流动
一、流量与流速 二、定态流动与非定态流动
三、连续性方程式 四、能量衡算方程式
五、柏努利方程式的应用
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一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量，用VS表示； 单位为m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量，用WS表示； 单位kg/s。