概率论与数理统计-东北师范大学考试及答案
概率论与数理统计练习题练习题及参考答案(东师)
《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)( Y D X D ，则4)( Y X D ；9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X是 的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDXp 1: 3． ,,,0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为则12 X 的概率分布为222)(21x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)( Y E a X E ，则 )(XY E )()(y f x f Y X8．设1 与2 是未知参数 的两个 0.99 估计，且对任意的 满足)()(21 D D ，则称1 比2有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2 N 抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0 ：H ，则当222121)()(n n Y D X D时，0)( X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （10 ），则犯第一类错误的概率是 .三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)( A P ，事件B 的概率6.0)( B P ，条件概率8.0)|( A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
《基础概率论》期末试题全集东北师大
概率论与数理统计B一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）(A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) 518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = 1.2.2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =__5____.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为__9.4_______. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)= πa ／4_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; 1/125 (2) 恰有一个盒子有2个球.72/125四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.a=1/ln4 0.5 (3/ln4)-1 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 0.27 1/3七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.36.254八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为____18.66____.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)概率论与数理统计B 答案一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分（3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2); 因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P但10.012.003.005.0≠，故ξ与η不相互独立。
2020年春季《概率论与数理统计》离线考核奥鹏东师参考答案
《概率论与数理统计》
2020年春季奥鹏东北师大考核试题标准答案
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满分100分
一、计算题（每题10分，共70分）
1、已知随机事件 的概率 ，事件 的概率 ，条件概率 ，试求事件 的概率 。
解：
因为 ， ，所以
。
进而可得 。
2、设随机变量 ，且 ，试求 ， 。
解：
因为随机变量 ，所以
5、若随机变量 在区间[0，1]上服从均匀分布，试求它的标准差 。
解：因为随机变量 在区间[0，1]上服从均匀分布，所以它的方差具有形式如下：
；
进而开根号可得它的标准差 ；
6、已知 ，试求 。
解：利用均值的性质可得 ；
又因为 ，所以 ；
代入上式可以求得 。
7、设 ， 是取自正态总体 的一个容量为2的样本。试判断下列三个估计量是否为 的无偏估计量： ， ， 并指出其中哪一个方差较小。
，
由此可得 ，解得 ， ；
3、已知连续型随机变量 ，试求它的密度函数 。
解：因为随机变量 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：
；
进而，将 代入上述表达式可得所求的密度函数为：
；
4、已知随机变量 的概率密度为 ，试求（1）常数 ；（2） 。
解：（1）由于
即 2A=1，A= ，所总体 的样本，所以 。
又因为 ，
，
，
所以三个估计量都是 的无偏估计；又因为
，
，
，
所以 的方差最小。
二、证明题（共30分）
设二维连续型随机向量 的联合密度函数为
证明: 与 相互独立。
证明：由二维连续型随机向量 的联合密度函数为
可得两个边缘密度函数分别为：
(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc
一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
(完整版)《概率论与数理统计》习题及答案选择题
·151·《概率论与数理统计》习题及答案选 择 题单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销"，则其对立事件A 为（ ）. (A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销"； (D ）“甲种产品滞销”。
解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===‘甲种产品滞销或乙种产品畅销'。
选C 。
2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）。
（A ）()A B B A B -=；(B ）()AB B A -=；（C)()A B AB ABAB -=；(D ）()()()A B C A C B C -=--。
解：()()()A B B AB B A B B B A B -=== ∴A 对。
()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠ B 不对 ()()().A B AB A B B A AB AB -=--= C 对 ∴选B.同理D 也对。
3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则( ）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-； (B ）()()()1P C P A P B ≥+-； (C)()()P C P AB =； (D)()().P C P A B =解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ⊂⇒≥=+-≥+-∴ 选B 。
4．设(),(),()P A a P B b P A B c ===，则()P AB 等于（ ）。
（A ）a b -； （B ）c b -; （C ）(1)a b -； (D ）b a -。
解:()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P A B c b =-=-=--+=- ∴ 选B 。
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。
则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
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《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布； 错2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；错 3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 错4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 错 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；错6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 对7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 对 8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 错9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量； 错10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
对 二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDX3．是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,0,1)(其他b x a a b x f4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =73.0 ；5．设随机变量X 的概率分布为则a 6．设随机变量X 的概率分布为7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)(==Y E a X E ，则)(XY E8．设1θ 与2θ 是未知参数θθ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H 00)(σμ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
答：解：因为5.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，所以4.0)|()()(==A B P A P AB P进而可得7.0)()()()(=-+=AB P B P A P B A P2. 设随机变量),(~p n B ξ，且28.1)(,6.1)(==X D X E ，试求n ，p 。
答：解：因为随机变量),(~p n B ξ，所以)1()(,)(p np X D np X E -==，由此可得28.1)1(,6.1=-=p np np ，解得8=n ，2.0=p ；3. 已知连续型随机变量)2,3(~-N X ，试求它的密度函数)(x f 。
答：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：4. 已知一元线性回归直线方程为x a y 4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ，试求a ˆ。
5.设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=,0,10,)1();(其它，x x x f θθθ式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。
由矩估计法知，令6.设nX X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。
已知估计量∑==ni i X k 122ˆσ是2σ的无偏估计量，试求常数k 。
7. 设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。
答 44/45或0.978四、证明题1.设二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他。
，；，，010104),(y x xy y x f证明:X 与Y 相互独立。
答：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他。
，；，，010104),(y x xy y x f可得两个边缘密度函数分别为：⎩⎨⎧<<==⎰∞+∞-其他。
，；，0102),()(x x dy y x f x f X⎩⎨⎧<<==⎰∞+∞-其他。
，；，0102),()(y y dx y x f y f Y从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，所以X 与Y 相互独立《概率论与数理统计》练习题二一、判断正误，在括号内打√或×.1．若0)(=AB P ，则AB 一定是空集；错 2．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； 错 3．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从),(2nN σμ分布； 对4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 错5．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 错 6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A ={甲胜乙负}，则A 为{甲负乙胜}； 错 7．设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、三个事件都不发生”；对 8．若B A 、为两个事件，则必有A B A AB =⋃； 对 9．设随机变量X 和Y 的方差存在且不为零，若)()()(Y D X D Y X D +=+成立，则X 和Y 一定不相关； 对10.设)1,(~μN X ，321,,X X X 来自于总体的样本，321515252ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量；对二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDX3．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,,0,1)(其他b x a a b x f4．对于随机变量X ，函数)()(xX P x F ≤=称为X5．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，)()(Y D X D 、分别为其方差，则=+)(Y X D)()(Y D X D + ；6．若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则其概率密度函数)(x p =7．设),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的联合密度函数,)(x f X 与)(y f Y 分别是关于X 与Y 的边缘概率密度,且X 与Y 相互独立,则有),(y x f 8．对于随机变量X ，仅知其3)(=X E ，251)(=XD ，则由契比雪夫不等式可知 ≥<-)2|3(|X P9．设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，X 与Y 相互独立，1,,,21n X X X 是X 的样本，2,,,21n Y Y Y 是Y 的样本，则-)(Y X D10．n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本的条件是：（1（2三、计算题1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
答：解：因为5.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，所以4.0)|()()(==A B P A P AB P 。
进而可得7.0)()()()(=-+=AB P B P A P B A P 。
2. 设随机变量),(~p n B ξ，且28.1)(,6.1)(==X D X E ，试求n ，p 。
答：解：因为随机变量),(~p n B ξ，所以)1()(,)(p np X D np X E -==，由此可得28.1)1(,6.1=-=p np np ，解得8=n ，2.0=p3. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,!2)(2===-k k e k X P k …，试求随机变量23-=X Z 的数学期望。
答：4)23(=-X E4.设连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他，，0,10,)(x b ax x f 且31)(=X E ，试求常数a 和b 。
答：0，25. 若随机变量X 在区间)6,1(上服从均匀分布，试求方程012=++Xy y 有实根的概率。
答：0.86.已知随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量72+-=Y X Z ，试求Z 的密度函数。
答：)10ex p(101)(2z z f -=π7、已知随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x p x,)(，试求（1）常数A ；（2）{}10<<X P 。
答：（1）由于12)(0===⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e Adx Aedx x p x x即 2A =1，A =21，所以xe x p -=21)(（2）2121}10{110---==<<⎰e dx e X P x得分 评卷人 十、证明题一个电子线路上电压表的读数X 服从[θ,θ+1]上的均匀分布，其中θ是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设n X X X ,,,21 是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值X 不是θ的无偏估计；(2)θ的矩估计是θ的无偏估计。
设),,,(21n X X X 是取自总体),0(2σN 的样本，试证明统计量∑=--ni i X X n 12)(11是总体方差2σ的无偏估计量。
答：1.证明：（1）由θ≠)(X E ，知X 不是θ的无偏估计；（2）θ的矩估计为21-X ，由θ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21X E ，知它是θ的无偏估计。
1.A. 错误B. 正确 【答案】B 【解析】2.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】3.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】4.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】5.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】6.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】7.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】8.A. -B. -C. -D. -【解析】9.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】10.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】11.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】12.A. 错误B. 正确【解析】13.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】14.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】15.A. -B. -C. -D. -【解析】16.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】17.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】18.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】19.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】20.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】21.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】22.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】23.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】24.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】25.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】26.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】27.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】28.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】29.A. -B. -C. -D. -【答案】C30.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】31.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】32.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】33.A. -B. -C. -D. -【解析】34.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】35.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】36.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】37.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】38.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】39.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】40.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】41.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】42.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】43.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】44.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】45.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】46.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】47.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】48.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】49.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】50.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】51.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】52.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】53.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】54.A. -C. -D. -【答案】A 【解析】55.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】56.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】57.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】58.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】59.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】60.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】61.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】62.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】63.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】64.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】65.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】66.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】67.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】68.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】69.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】70.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】71.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】72.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】73.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】74.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】75.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】76.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】77.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】78.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】79.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】80.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】81.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】82.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】83.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】84.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】85.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】86.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】87.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】88.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】89.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】90.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】91.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】92.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】93.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】94.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】95.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】96.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】97.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】98.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】99.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】100.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】101.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】102.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】103.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】104.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】105.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】106.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】107.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】108.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】109.A. -B. -C. -【答案】A 【解析】110.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】111.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】112.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】113.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】114.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】115.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】116.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】117.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】118.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】119.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】120.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】121.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】122.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】123.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】124.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】125.A. 错误B. 正确【答案】B 【解析】126.A. 错误B. 正确【答案】A 【解析】127.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】128.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】129.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】130.A. -B. -C. -D. -【答案】C【解析】131.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】132.A. -B. -C. -D. -【答案】D 【解析】133.A. -B. -C. -D. -【答案】A 【解析】134.A. -B. -C. -D. -【答案】C 【解析】135.A. -B. -C. -D. -【答案】B 【解析】136.。