南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵30页PPT
矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
南航双语矩阵论matrixtheory第五章部分习题参考答案
第五章部分习题参考答案#2. Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100015432λλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Solution（a ） 100010()0015432A λλλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭det (())A λ4322345λλλλ=++++100det 10101λλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()2345D λλλλλ=++++. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()2345d λλλλλ=++++Unfortunately, it is not easy to factorize 4324()2345d λλλλλ=++++ by hand. With the help of Maple or Matlab, we can see that ()A λ has four distinct linear elementary divisors. (b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λ #3. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. A and B have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other. #4. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar. ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.#11. How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.#12. Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =. Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭#14. If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we can verify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()0()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()k d k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.#20. Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()i d i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()i d i J λ is ()i d i λλ-. The minimal polynomial of J is the least common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime forj k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。
戴华《矩阵论》线性空间与内积空间PPT精品文档
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
.
17
.
18
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19
.
20
.
21
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵(课堂PPT)
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
南航《矩阵论》矩阵的因子分解-2省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
0
1
0
0
2
1
0
0 0 0 0 3 1 1
3c2 c3 3c2 c4
1 0
0 0
2 1
0 0
0 1 3 3
0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0
0
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3
3
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0
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c2 c3
1
0
2
0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
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到此知 A秩为2， 行、列变换矩阵分别为：
0.8 0.2
Q
( 1 ,
2,3
)
0.4 0.4
0.4 0.4
0.2 0.8
5 2 1
R
QT
A
0
2
1
0 0 2
0
2 2 2 2
0
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Gram-Schmidt方法实质上是一个投影类方法，
它将 C m 正交投影到空间 span(1,2, , j1 )。 在标准Gram-Schmidt方法中，1,2, ,n 是逐 步计算出来，需要计算 时j ，才用到 ，j 以 前不需要改动 值j 。
71/72
• 存放矩阵Ak只需要存放k个奇异值，k个m维向 量ui和n维向量vj全部分量，共计k（m+n+1）个 元素。
• 假如m=n=1000，存放原矩阵A需要存放 1000×1000个元素。取k=100时，图象已经非 常清楚了，这时存放量是100（+1）=00个数。
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第二步，对 An1 [2, , n] ，当 2 时，
存在Householder 矩阵 H2 ，使得
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
矩阵论简介及线性代数复习PPT课件
的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
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16
2) 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
n
cij aikbkj
k 1
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
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22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
yy21 aa1211xx11 aa1222xx22 aa1233xx33
是成立的, 即
|AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
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34
3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
A 1 00 0 ,B 0 01 0 ,C 0 00 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
A11 A21
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An2
,
Ann
叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
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思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘 运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.