圆锥曲线二级结论(1)
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
一般圆锥曲线（也称为双曲线）的定义为：在空间中，任一点到光源的距离（可以取
为两个焦点）的和等于它到曲线的距离。
因此，讨论一般圆锥曲线的两个焦点的性质则成
为讨论圆锥曲线二级结论的基础。
1. 一般圆锥曲线的两个焦点处都有曲线切线：
证明：设$F_1,F_2$分别为曲线$C$的两个焦点。
令$P$为曲线$C$上一点，$a$为$P$到$F_1F_2$的距离，则$P$到$F_1$的距离记为$b$，$P$到$F_2$的距离记为$c$。
又由距离公式，记$P$到曲线$C$的距离为$d$，有$b + c = a + d$
将直线$F_1F_2$上点$Q$作曲线上$P$的切线，由距离公式可得：$PQ = d$
由于$F_1,F_2$都是$C$的焦点，有$F_1P + F_2P = a$，令$PQ = b$
可得$F_1Q + F_2Q = a - b$
证明：设圆锥曲线$C$的两个焦点为$F_1,F_2$，当$F_1$和$F_2$越靠近时，曲线
$C$的形状越扁平。
当$F_1$和$F_2$在靠近时，$a$接近于0，则$F_1P + F_2P接近于0$，即$F_1P 接近
于- F_2P$，由弦距定义可知，$F_1P$ 和$F_2P$ 分别成正负对称，由此可知当$F_1$ 和$F_2$ 相越靠近时，直线$F_1F_2$ 和曲线$C$ 的斜率越加小，曲线$C$ 的形状越扁平。
综上所述，证明一般圆锥曲线的两焦点越近，曲线形状越扁平。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是平面上一类特殊的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，对于圆锥曲线，有一些常用的二级结论，它们的推导和应用具有重要意义。
本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，包括离心率和焦点与直径的关系、切线与法线的性质、以及曲线参数方程等。
一、离心率和焦点与直径的关系对于椭圆和双曲线而言，离心率是一个重要的参数，它描述了曲线的扁平程度。
对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线而言，离心率大于1。
离心率和焦点与直径之间存在着紧密的关系。
对于任意一点P在椭圆或双曲线上，假设焦点为F，直径为D，那么有以下结论：1. 离心率与焦点到点P的距离与直径之间的关系：离心率e等于焦点到点P的距离PF与直径D的比值，即e=PF/AD，其中AD为直径D 的长度；2. 焦点到点P的两条切线的夹角等于直径与椭圆或双曲线的短轴之间的夹角；3. 过焦点F的切线与过点P的切线的交点为曲线上的另一点P'，那么点P与点P'到直径D的距离之比等于焦点到点P的距离与焦点到点P'的距离之比。
二、切线与法线的性质曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线，它们有一些重要的性质。
1. 切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的；2. 切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数；3. 曲线上任意一点的切线与法线的交点即为该点在曲线上的坐标。
三、曲线的参数方程曲线的参数方程是描述曲线上每一点的坐标的函数。
对于圆锥曲线而言，它们都可以用参数方程表达。
1. 椭圆的参数方程为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，θ为参数；2. 双曲线的参数方程为：x = a*coshθ，y = b*sinhθ，其中a和b分别为双曲线的长轴和短轴的长度，θ为参数；3. 抛物线的参数方程为：x = a*t，y = b*t^2，其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
圆锥曲线部分二级结论
学习好资料_______________________________________________________________________________________________圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a 为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b ，b ）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，其二级结论也是备考中不可或缺的一部分。
这些结论可以帮助考生简化解题过程、加快解题速度，从而提高考试成绩。
以下是一些常见的圆锥曲线二级结论:
1. 过曲线上的点 P(x,y) 的切线方程为 y = mx + b，其中 m 为切线与曲线的斜率，b 为切线与曲线的截距。
2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：|AB| = |AC| ×√
(1-e^2),其中 A、B、C 分别表示直线与曲线相交的三点，e 为直线的倾斜角度。
3. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：设 MP = x，则 MP + PM = 2x，即 x = (MP + PM) / 2。
4. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是本身;曲线关于直线成轴对称的曲线是圆。
这些二级结论在高考圆锥曲线题目中经常会被用到，掌握它们可以帮助考生更好地应对高考考试。
同时，考生也应该注重对这些结论的推导和熟练掌握，以在实际考试中快速、准确地运用它们。
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一、焦点三角形周长
【知识讲解】
1、椭圆焦点三角形
直线l 过左焦点1F 与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为a 4。
2、双曲线焦点三角形
直线l 过左焦点1F 与双曲线左支交于A 、B 两点，则a AB B F A F 422=-+。
【典型例题】
1.设椭圆19
252
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上任意一点，则21F PF ∆的周长为（）。
2.过双曲线19
162
2=-y x 的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆的周长是（）。
【变式训练】
1.已知1F 、2F 是椭圆112
162
2=+y x 的左右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且7||=AB ，则1ABF ∆的周长是（
）。
2.若1F 、2F 是双曲线18
2
2=-y x 的两个焦点，点P 在该双曲线上，且21F PF ∆是等腰三角形，则21F PF ∆的周长为（
）。
二、通径公式
【知识讲解】
1、椭圆通径：过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为a
b 2
2。
2、双曲线通径：过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为a
b 22。
【典型例题】
1.设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别是21,F F ，P 是椭圆上的点，且满足212F F PF ⊥，︒=∠3021F PF ，则椭圆的离心率为（
）。
2.过双曲线18
2
2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，则|AB|=（）。
【变式训练】
1.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ∆为等边三角形，则这个椭圆的离心率是（
）。
2.过双曲线18
2
2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=16，则这样的直线有（）条。
三、焦半径公式
1、椭圆焦半径公式（1）
0201,ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。
2、双曲线焦半径公式（1）
|||,|0201ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。
【典型例题】
1.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别是21,F F ，若椭圆上存在一点P 使得||23||21PF e PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（）。
2.已知双曲线112
42
2=-y x 上一点M ，其横坐标为3，则M 到右焦点的距离是（）。
【变式训练】
1.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则该椭圆离心率的取值范围是（）。
2.设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，圆222c y x =+与双曲线在第一象限的交点为A ，且满足||3||221AF AF =，则双曲线的离心率为（）。