圆锥曲线二级结论小整理
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
圆锥曲线常用二级结论 -回复
圆锥曲线常用二级结论 -回复
圆锥曲线的二级结论包括以下几点：
1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，其中e越接近于0，椭圆形状越细长，e越接近于1，椭圆形状越圆。
2. 椭圆的长轴是短轴的两倍或多倍，且两轴的中点为椭圆的中心。
3. 双曲线的离心率e大于1，其中e越大，双曲线的形状越细长。
4. 双曲线的两支曲线无交点，且无端点或渐近线。
5. 抛物线的离心率为1，其焦点在顶点的对称轴上。
6. 抛物线的两面从焦点出发，无限延伸，无交点。
这些二级结论是在圆锥曲线的基础上通过观察和推理得出的，对于分析和解决一些几何问题具有重要的指导意义。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线常用二级结论及推导
圆锥曲线常用二级结论及推导
一级定理：
圆锥曲线以圆锥为开口的曲面，可以分为无穷类：双曲线、抛物线、圆环等，它们具有相同的曲线性质：
其曲线方程与相应圆锥的椭球坐标方程有关；
1. 每条曲线都由两个圆锥内切，且两个圆锥圆心恒定；
2. 每条曲线都内切于两个椭球相同的u轴对称，且保证轴线恒定；
3. 每条曲线都具有特定的v轴对称性，即它的曲线的曲线的v值是它的相反数；
4. 各曲线的曲率系数及曲率半径都是椭球坐标系中固定的；
5.曲线的凹凸性及其轮廓都是椭圆的图形而不受其开口的圆锥影响。
1. 椭圆圆锥曲线的抛物线曲线方程：
uV=C。
其中，C为椭球坐标系中定义的一个常量，用来表示曲线定义的空间维度。
证明：由三维圆锥的椭球坐标方程u2/ a2+v2 /b2=1，得到uV/a2b2=1，即uV=a2b2，故结论得证。
关于圆锥曲线的各种二级结论
关于圆锥曲线的各种二级结论圆锥曲线是高中数学中一个非常重要的内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在学习圆锥曲线的同时，我们还需要掌握它的一些二级结论，这些结论将更好地帮助我们理解、掌握圆锥曲线。
一、椭圆的二级结论
1. 椭圆的离心率小于1，离心率越小，椭圆越圆。
2. 对于任意一条线段 AB，以椭圆的焦点 F1、F2 为圆心，以 AB 长度为直径的圆，称为椭圆的内接圆。
3. 对于任意一条线段 AB，以椭圆的长轴的两个端点为圆心，以线段 AB 长度为直径的圆，称为椭圆的外接圆。
4. 一条连接椭圆的两个焦点的线段，称为椭圆的主轴，长轴的长度为 2a，短轴的长度为 2b。
5. 椭圆的面积为S = πab。
二、双曲线的二级结论
1. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线的两翼越开。
2. 双曲线是非闭合的曲线，它有两个分离的无限远点，称为双曲线的渐近点。
3. 双曲线的两支在无限远处渐进于两条直线，称为渐近线。
4. 双曲线的面积无限大。
三、抛物线的二级结论
1. 抛物线是一种非闭合曲线，它在顶点处为最小值或最大值。
2. 抛物线的对称轴为通过顶点，并垂直于焦点连线的一条直线。
3. 抛物线的离心率等于1。
4. 抛物线的面积为 S = (2/3) a^2。
以上就是圆锥曲线的一些二级结论，通过对这些结论的掌握，我们可以更好地理解和掌握圆锥曲线，从而在数学学习中取得更好的成绩。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线部分二级结论
圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b，b）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论圆锥曲线是由平面上一固定点（焦点）和一条固定直线（准线）构成的几何图形。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，常用的二级结论有以下几个：一、椭圆的性质1. 椭圆的离心率小于1：椭圆是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是椭圆的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，椭圆的离心率小于1。
2. 椭圆的两个焦点在长轴上：椭圆的两个焦点与长轴垂直，并且它们都在长轴上。
3. 椭圆是对称图形：椭圆具有对称性，即如果将它绕着中心旋转180度，它仍然保持不变。
4. 椭圆的周长公式：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，则椭圆周长公式为C=π(a+b)。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：双曲线是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之差等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是双曲线的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，双曲线的离心率大于1。
2. 双曲线有两条渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线趋近于无限远时重合。
3. 双曲线不具有对称性：与椭圆不同，双曲线不具有对称性。
4. 双曲线的渐近线方程：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则它的两条渐近线方程分别为y=±(b/a)x。
三、抛物线的性质1. 抛物线是对称图形：抛物线具有轴对称性，即如果将它绕着轴旋转180度，它仍然保持不变。
2. 抛物线焦点和准线相等距离：抛物线是由平面上所有点到一条直线（准线）的距离等于这些点到一个固定点（焦点）的距离的所有点构成的集合。
它的焦点和准线相等距离。
3. 抛物线方程：设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，则它的焦点坐标为(-b/2a,1/4a)，准线方程为y=-1/4a。
4. 抛物线与直线交点坐标：如果抛物线与直线y=kx+m相交，则交点坐标为(x,y)=(k^2a+bk+c-m,-ka^2-kb+m)。