数学建模-创意折叠桌
创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题
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）日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。
构建创意平板折叠桌的数学模型
构建创意平板折叠桌的数学模型引言随着科技的不断发展，平板电脑已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
然而，平板电脑使用时需要一个支撑桌面，在有限的空间内使用时，传统的桌子常常占用太多的空间。
为了解决这个问题，我们尝试构建一个创意平板折叠桌，它可以根据使用需求进行折叠和展开。
在构建这样一个创意平板折叠桌之前，我们需要先建立一个数学模型，以确保桌子在各种折叠和展开状态下的稳定性和平衡性。
本文将就如何构建这样的数学模型展开讨论。
问题描述我们的目标是构建一个创意平板折叠桌，这个桌子具备以下特性： 1. 可以根据使用需求进行折叠和展开； 2. 在折叠和展开状态下都能保持稳定性和平衡性； 3.桌子的大小和形状可以根据需要进行调整。
解决方案步骤1：定义桌子的基本参数首先，我们需要定义桌子的基本参数，包括桌子的长度、宽度、高度和形状。
这些参数将会对后续的计算和模型建立起重要的作用。
步骤2：建立桌子的结构模型根据桌子的基本参数，我们可以建立桌子的结构模型。
这个模型可以是一个简化的几何形状，例如矩形或三角形，也可以是一个更加复杂的数学模型，考虑到桌子的折叠和展开特性。
步骤3：确定桌子的支撑结构在建立桌子的结构模型后，我们需要确定桌子的支撑结构，以保证桌子在折叠和展开状态下的稳定性和平衡性。
这个支撑结构可以包括桌腿、强化梁等部件，我们需要考虑它们的材料、数量和位置等因素。
步骤4：计算桌子的平衡点在确定了桌子的支撑结构后，我们需要计算桌子在折叠和展开状态下的平衡点。
平衡点是桌子上所有质量受力平衡时的位置，它对桌子的稳定性至关重要。
通过计算桌子在不同状态下的平衡点，我们可以调整桌子的支撑结构，以确保桌子在使用时不会翻倒或失去平衡。
步骤5：优化桌子的设计最后，我们可以通过使用优化算法来优化桌子的设计。
这个优化过程可以考虑桌子的不同参数和约束条件，以找到一个最佳的设计方案。
优化的目标可以是最大化桌面面积、最小化材料使用量或平衡性等。
折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰
折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰摘要：一、折叠桌数学建模赛题背景1.折叠桌的设计与功能2.数学建模赛题的提出二、折叠桌数学建模赛题的解决思路1.问题分析与模型构建2.数学模型的求解三、折叠桌数学建模赛题的案例分析1.案例一：折叠桌的稳定性分析2.案例二：折叠桌的空间利用率优化四、折叠桌数学建模赛题的启示与应用1.对折叠桌设计的改进2.对其他工程问题的启示正文：折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰折叠桌，以其轻便、易收纳、多功能的特点，越来越受到人们的欢迎。
然而，在折叠桌的设计过程中，如何实现各种功能与性能的平衡，是一个值得探讨的问题。
数学建模赛题的提出，旨在通过数学方法解决这一问题。
一、折叠桌数学建模赛题背景折叠桌的设计与功能息息相关。
在设计折叠桌时，需要考虑的因素有：桌面大小、承重能力、折叠方式、收纳空间等。
这些因素之间往往存在矛盾，如增大桌面面积可能降低收纳空间，提高承重能力可能导致桌面变形。
因此，如何通过数学方法找到这些因素的最佳平衡点，成为了折叠桌数学建模赛题的核心问题。
二、折叠桌数学建模赛题的解决思路要解决折叠桌数学建模赛题，首先需要对问题进行分析，明确问题所涉及的因素，并构建合适的数学模型。
例如，可以将折叠桌的承重能力、收纳空间等性能指标转化为数学表达式，然后通过求解这些表达式，找到满足性能要求的折叠桌设计方案。
在数学模型的求解过程中，可以运用线性规划、图论、动态规划等数学方法。
这些方法能够帮助我们快速地找到问题的解决方案，并对其进行优化。
三、折叠桌数学建模赛题的案例分析为了更好地理解折叠桌数学建模赛题的解决过程，我们通过两个案例进行分析。
案例一：折叠桌的稳定性分析。
在折叠桌的设计过程中，稳定性是一个重要的性能指标。
我们可以通过建立力学模型，分析折叠桌在各种受力情况下的稳定性。
通过求解这个模型，我们可以得到折叠桌的最小尺寸和材料要求，以确保其在使用过程中的稳定性。
案例二：折叠桌的空间利用率优化。
数学建模——创意折叠桌
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
数学建模 创意平板折叠桌
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
2014数学建模b题
对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。
另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。
并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。
我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。
最后，给出了两种桌面的动态变化图。
关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
一种创意平板折叠桌的设计
一种创意平板折叠桌的设计文章针对折叠桌的加工设计问题，在三维直角空间坐标系中运用MATLAB 软件描绘出了折叠桌折叠后的三维图和长方形平板的俯视图，并对构建的模型进行了推广。
标签：折叠桌设计；三维坐标；几何分析法；动态变化1 符号说明（表1）2 模型的建立与求解2.1 模型的建立与求解2.1.1 模型准备根据2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题[1]，首先以桌面下平面的几何中心为原点建立了三维空间直角坐标系。
然后将圆边上任意一点到钢筋的向量及每根木条长度的向量在y、z平面上的投影用坐标表示。
最后，根据折叠桌面与木条以及钢筋的空间几何关系运用MATLAB编程得到了每根木条的开槽长度和每根木条铰链端到圆形桌面直径的距离。
并根据其中的一些参数画出了平板折叠前的俯视图。
2.1.2 模型假设（1）木条平直时，各槽顶端均紧贴钢筋。
（2）木条折叠完成后各槽底端紧贴钢筋。
（3）木条宽的中间点与桌面圆相交。
2.1.3 模型建立根据已知条件：木板宽50cm，则圆盘的半径为木板宽的一半即25cm。
我们以桌面下平面的几何中心为原点建立三维空间直角坐标系。
则桌面圆的方程为：■=25。
将钢筋、木条、桌面垂直投影于y、z平面上（下面仅标出y、z坐标）。
则第一根木条与桌面圆相交的一点的坐标为：（■，0即（7.806，0）；最长木条的长度2d为：A/2-■，d=26.097。
根据几何关系可得钢筋的坐标为：（dcos？坠+A/2-2d，dsin？坠）；圆边上任意一点到钢筋的向量为：（dcos？坠+A/2-2d-■，dsin？坠）；（-25？燮x？燮25，-60？燮y？燮60）将上述向量延长至长度与所对应的木条长度相等得：（A/2-■）/■×（dcos？坠+A/2-2d-■，dsin？坠）；则木条末端的坐标为：（y，z）=（A/2-■）/■×（dcos？坠+A/2-2d-■，dsin？坠）+（■，0）；运用几何关系再根据以上的坐标可以得出桌脚边缘线在y、z平面投影的两个坐标分别为：y=（A/2-■）/■×（dcos？坠+A/2-2d-■）+■；z=（A/2-■）/■×dcos？坠；（0？燮？坠？燮1.2798）给定一个？坠，便可得到一个桌脚边缘空间曲线。
2014全国大学生数学建模竞赛B题创意平板折叠桌程序
2014年全国大学生数学建模竞赛B题《创意平板折叠桌》Maple程序桌面形状可定制，但必须是上下对称，且上边缘线可用函数表示桌脚开孔位置可调此程序在Maple7下调试> restart:with(linalg):with(plots):W:=50: #板宽H:=120:#板长h:=2.5:#桌脚厚度d:=3:#板厚度q:=0.5:#最外边桌脚开孔位置（比例）ht:=50:#桌子最大高度n:=floor(W/h):#桌脚数#y=(x)-> -2/W*x^2+W/2: #桌面形状:抛物线方程y:=(x)-> sqrt((W/2)^2-x^2):#桌面形状:圆L:=(k)-> H/2-y(-W/2+k*h-h/2):#桌脚长度alpha_Max:=arcsin(ht/L(1)):#最外边桌脚与地面夹角P1:=(k,alpha)-> [-W/2+k*h-h/2, y(-W/2+k*h-h/2), 0]:#桌脚上端点坐标P2:=(k,alpha)-> [-W/2+k*h-h/2, y(-W/2+h/2)+q*L(1)*cos(alpha), -q*L(1)*sin(alpha)]:#桌脚上钢筋穿过的位置坐标s:=(k,alpha)->(P2(k,alpha)-P1(k,alpha))/norm(P2(k,alpha)-P1(k,alpha),2):#桌脚所在直线单位方向矢量P3:=(k,alpha)-> P1(k,alpha)+L(k)*s(k,alpha):#桌脚下端点坐标#计算开槽长度V:=[seq(norm(P2(k,alpha_Max)-P1(k,alpha_Max),2)-norm(P2(k,0)-P1( k,0),2),k=1..floor(W/h))];#作图--------------------------------------------------------------#--------------------------------------------------------------TableTop :=spacecurve({[t,y(t),0],[t,-y(t),0]},t=-W/2..W/2,color=black):#绘制桌面边缘Graph:=[]:for alpha from 0 by 0.1 to alpha_Max doTableFoot:=[seq(pointplot3d({P1(k,alpha),P3(k,alpha)},style=LINE ,color=black),k=1..n)]:#绘制桌脚pointplot3d({P2(1,alpha),P2(20,alpha)},style=LINE,color=black):#绘制钢筋Terminus :=pointplot3d([seq(P3(t,alpha),t=1..n)],style=LINE,color=blue):#绘制桌脚边缘线#作另一半图形，使用利用y轴对称TableFoot2:=[seq(pointplot3d({subsop(2=-P1(k,alpha)[2],P1(k,alpha)),subsop(2=-P3(k,alpha)[2],P3(k,alpha))},style=LINE,color=black),k=1..n)]:Axis2 :=pointplot3d({subsop(2=-P2(1,alpha)[2],P2(1,alpha)),subsop(2=-P2( 20,alpha)[2],P2(20,alpha))},style=LINE,color=black):Terminus2 :=pointplot3d([seq(subsop(2=-P3(t,alpha)[2],P3(t,alpha)),t=1..n)], style=LINE,color=blue):Graph:=[op(Graph),display([TableTop,Axis,Terminus,op(TableFoot),Axis2 ,Terminus2,op(TableFoot2)])]:#合成图形end do:display(Graph,insequence=true,scaling=CONSTRAINED,view=[-W/2..W/2,-H/2..H/2,-H /2..1]);#显示动画Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined:=V0.4.356435217.6637161210.3683770912.5925510014.3930214615.80311747 ,,,,,,, [,,,,,,16.8444905317.5314415217.8727996117.8727996117.5314415216.84449053,,,,,,]15.8031174714.3930214612.5925510010.368377097.663716124.356435210.>。
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创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
根据建立的模型设计创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。
二、问题分析本题研究的创意平板折叠桌问题，问题一至三，都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数，本着同样的思想，建立数学模型，全面的考虑各方面的影响因素，求出最优解。
问题一是利用所给的已知条件，求解折叠桌在运动及设计方面的问题。
首先使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度，再利用等效替代[]2的思想建立模型对折叠桌折叠的动态过程进行描述，最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。
问题二是求最优设计加工参数的问题，在折叠桌制作过程中影响因素有很多个，选取用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，建立模型，利用Lingo软件求取某些参数的最优解，借助这些最优参数，得出全面的最优设计加工参数。
问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立，首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型，观察建立的模型，找出其中的共同处，建立通解模型，在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据，求解，将得到的数据汇总，并用Matlab软件编程，绘制动态变化过程。
三、模型假设1、假设相邻木条间紧密相连，无缝隙，木条总宽度就是桌面的宽度；2、假设木板宽度等于圆桌面的直径；3、假设桌面与腿接口处的缝隙可以忽略不计；4、假设加工过程中的误差可以忽略不计；5、假设圆桌面的圆心与长方形模板的对角线的交点重合。
四、符号说明五、模型的建立与求解5.1实施过程1Step ：定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，使用弦长公式[]1，计算出除最外两侧的其余弦的长度，将数据导入Matlab 软件中使用cubic 方式拟合[]4，得出最外侧的弦长，从而得出最外侧腿的长度；2Step ：引用等效替代[]2的思想，建立数学模型，将折叠桌的动态变化转化为最外侧桌腿和竖直方向的角度的变化，编写程序；3Step ：根据观察出的桌腿与木槽长度的关系，对木槽求解。
对桌脚边缘线的描述，建立三维坐标系，引用空间直线方程[]3，求出边缘线上点的坐标，最后画出边缘线的图像。
5.2 1Step 的求解——计算弦长和桌腿长给定的长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽2.5 cm ，命圆桌面的弦长方向与木板长度方向平行，利用弦长公式[]1对除最外侧的18条弦长求长度，将求出的数据拟合，得出最外侧弦长的长度。
为求弦的半弦长，建立以下的数学模型：)2/1(22i )))i 11(*5.2(25(--=p 10,,3,2i =i 21i -=p p 19,,12,11i =i p ：从边缘最外侧数起第i 条半弦长 20,,2,1i =表1 折叠桌圆桌面的18条半弦长根据以上表1中的数据，因为呈对称性，所以随机选取右半边的数据导入Matlab 中编程拟合【见附录一】，得出i =1、20时的弦长。
图一 Matlab 软件对数据拟合由上图cubic 方式拟合，得出最外侧木条的半弦长为6.18cm ，因此可以得出折叠桌桌腿的长度Q 为53.82cm 。
5.3 2Step 的求解——建模求解创意平板折叠桌的折叠变化过程是很复杂的，由此引用等效替代[]2的方法将复杂的问题在不改变结果的情况下转化为简单明了的问题。
将折叠椅的变化过程转化为桌腿与桌高的夹角变化情况。
建立了以下的数学模型：πθ180*82.53arccos ⎪⎭⎫ ⎝⎛=H ()500≤≤Hθ：桌腿与竖直方向的夹角Q ：边缘最外侧桌腿的长度H ：桌子高度因为平板尺寸的厚度为3cm ,所以折叠桌的真实桌高为50cm 。
根据上述的模型利用Matlab 软件编写出程序【见附录二】，随意输入一个在范围内的桌高H 都可以得到桌子再此高度时桌腿与竖直方向的夹角，根据角度的变化，反映出折叠桌在折叠过程中的变化情况。
借用此模型求出在固定的位置桌腿与竖直方向的夹角为 717.21。
编写程序【见附录三】折叠桌折叠过程中的动态示意图：图二 折叠桌变化过程5.4 3Step 的求解——设计加工参数及桌角边缘线 5.4.1设计加工参数根据对所给题目的观察与理解，已知连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，由此可以得出所开木槽长的限制范围。
为了最后展现出桌脚边缘线的弧度，可以得出木槽长度由边缘到中间是逐渐递增的。
折叠桌是对称的，因此只取左半边作为研究即可。
为求木槽长度建立的数学模型是：ii 60p q -=20,,2,1i =i i q Q l -= 20,,2,1i = i p ：从边缘最外侧数起第i 条半弦长 i q ：从边缘最外侧数起第i 根木条的长度i l ：从边缘最外侧数起第i 根木条开槽的长度Q ：边缘最外侧桌腿的长度由以上的模型求解，将得到的解绘制成以下的表2：表2 折叠桌各桌腿的长度及开凿木槽长度5.4.2桌角边缘线的数学描述为了能客观且准确的描述出桌角边缘线，采用了三维坐标的描述方法，将桌面圆心作为坐标轴的原点，圆心地面的垂直方向向上作为三维空间坐标轴的z 轴，原点与木条长度延伸方向作为三维空间坐标轴的x 轴，原点与垂直弦的方向作为三维空间坐标轴的Y 轴，由此建立的坐标系，引用的空间直线方程[]3，求出桌角边缘线上点的坐标。
桌子撑开后，利用两点坐标求第三点未知坐标，通过第i 根木条与桌面的交点),,x 11i11i i i z y M （20,,2,1i =与第i 根木条的钢筋的位置的坐标点),,(2222i i i i z y x M 20,,2,1i =确定空间直线方程可以求出第i 根木条上桌脚边缘线的点),,(i i i i z y x M 。
空间直线方程：121121121i i i i i i i i i i i i z z z z y y y y x x x x --=--=-- 20,,2,1i =()111i i i z y x ，， ：第i 根木条与桌面的交点坐标 ()222i i i z y x ，， ：第i 根木条钢筋位置的坐标 ()i i i z y x ，， ：第i 根木条上桌脚边缘线的点的坐标根据以上的方程，把桌角边缘线上所有点的坐标求出来绘制表格，见下表3：表3桌角线上点的坐标将表3中的坐标点导入到Matlab软件中编写出程序【见附录四】，画出折叠桌折叠后的桌角边缘线的三维视图。
图三折叠桌折叠后的桌角边缘线三维视图六、最优设计加工参数6.1实施过程Step：先对折叠桌桌脚与钢筋受力分析，观察桌脚到桌面的投影，确定稳定性1最优点；Step：将用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，2建立最优化模型[]5，把建立的最优化模型使用Lingo软件编写程序求出最优解；Step：根据求出的最优解、各参数之间的关系，确定所求折叠桌的最优设计加3工参数。
6.2 1Step的求解——稳定性通过对不同状态的折叠桌做受力分析可以得知，四个受力脚在桌平面的投影是圆内切矩形时四个角的承受力最强，即桌子腿的四脚在桌面的投影是圆的内切矩形稳定性最好。
图四桌脚到桌面的投影及桌腿与地面夹角图α：边缘桌腿与地面的夹角p:最外侧边缘的半弦长Q:边缘最外侧桌腿的长度由图四分析出折叠桌稳定性最高的形式，并对其分析为2Step的求解做前提的准备条件。
6.3 2Step 的求解——建立最优化模型6.3．1建立最优化模型，求解在造型美观的基础上，将用材量作为目标函数，根据1Step 所做的前提，将其中的影响因素例如折叠桌的稳定性、加工是否方便作为约束条件，建立以下的数学模型：目标函数： d b **=80mi nααtan /)]70(tan *220[b p --=ααsin ))tan *220()220(()2/1(22pQ -+=)]70tan *220)(1(sin sin cos ))tan *220()220[((*2)(22)2/1(22b Q p d +--++=+=ααααα 约束条件： bQ p Q p ->>>+70080α：边缘桌腿与地面的夹角b :平板尺寸的厚度d :平板尺寸的长度p :最外侧边缘的半弦长 Q :边缘最外侧桌腿的长度根据以上的模型使用Lingo 软件，编写程序【见附录四】，求解出模型中未知量的最优解，结果如下：Variable Value Reduced CostA 1.213876 0.000000B 1.250397 0.000000X 2.261767 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 12800.00 -1.0000002 2.363894 0.0000003 8.867094 0.0000004 0.000000 -160.00005 11.25991 0.0000006.3．2最优平板尺寸由上面Lingo 对模型所求出的最优解，可以从上面的数据读取出以下最优平板尺寸：木板（条）的厚度cm 25.1=b桌腿与地面的夹角 57.69=α ，因此，桌腿与竖直方向的夹角 43.20=θ最外侧边缘的半弦长cm 0598.2p =木条的宽度cm 261767.2k =边缘最外侧桌腿的长度cm 53.78=Q木板（条）的长度cm 1796.161d =为了使加工方便，将木条的宽度取2.3cm ，于是，80cm 直径的桌面由34根宽为2.3cm 的木条和一根宽为1.8cm 的木条，为了秉持着加工方便及桌子的对称性原理，把1.8cm 的木条放在最中间。