高一数学课件 直线方程一般式
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直线的方程 (课件)-高中数学新教材选择性必修第一册
内容及其解析
（二）内容解析——内容本质（续）
直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础，两点式一方面是点斜式的“变式”表达， 另一方面也是对“两点确定一条直线”的代数刻画.这些方程都以斜率公式为纽带，将直线 上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点的坐标所满足的代数关 系.
直线的一般式方程揭示了直线方程的代数本质.任意一个二元一次方程表示一条直线， 任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程，两点式方程都可以化为一般式 方程.
内容及其解析
（二）内容解析——知识的上下关系
本单元在完成了对直线的重要几何要素之一（方向）完成了代数刻画之后，对直线进行 完全的代数刻画.这是学生第一次系统的用坐标法刻画一个几何对象，是学生学习和掌握坐 标法的重要一环，是后续用坐标法学习圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程的基础.
在后续的学习中，会进一步使用直线方程对直线的交点坐标、点到直线的距离、平行直 线间的距离进行定量计算.
4. 了解直线不同形式方程间的关系，进一步体会坐标法.
内容及其解析
（二）目标解析
1.学生知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，知道斜截式方 程是点斜式方程的特例.
会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程，并能够与斜截式方程的相 互转化.
2.学生知道两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达，知道截距式方程是两点 式方程的特例.
而对坐标法的进一步掌握，还会在“反哺”函数与向量的学习起到一定的作用.
内容及其解析
（二）内容解析——育人价值
通过直线方程概念的学习，发展学生的数学抽象核心素养； 通过直线方程及适用范围的学习，发展学生的逻辑推理、数学运算核心素养； 通过不同问题对直线的几何特征的关注，采用不同的直线方程求解问题，发展学生的直 观想象核心素养.
3.2.3直线的一般式方程课件
思考4:过点P(x0，y0)，且与直线l： Ax+By+C=0平行的直线方程如何？
思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在什么条件下有l1⊥l2？
A1A2+B1B2=0
理论迁移
例1 已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方 3 程.
3.2.3
直线的一般式方程
问题提出
1.直线方程有点斜式、斜截式、 两点式、截距式等基本形式，这些 方程的外在形式分别是什么? 2.从事物的个性与共性，对立与 统一的观点看问题，我们希望这些 直线方程能统一为某个一般形式， 对此我们从理论上作些探究.
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式方程都是关于x，y的 方程，这些方程所属的类型是什么？ 思考2:二元一次方程的一般形式是 什么？
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0 和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2， 求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和
l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一 条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的 形式吗？ 思考4:关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）， 当B=0时，方程表示的图形是什么？ 当B≠0时，方程表示的图形是什么？
高一数学直线的一般式方程(2019)
3
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言 诏以为太子舍人、门大夫、家令 秦又攻其垒 其顺者乃治之 报乙卒 有如万分之一 以次问之 高后欲立诸吕为 王 轸自为厚而为王薄也 是吾不肖 尽取齐之宝藏器 五在中国 赵得全 而逐武王后出之魏 四十二年 而忍卖之乎 又可尽亨之邪 放怪兽 田乞伪事高、国者 拔五城 予百家居之 子定公臧立 同宇 自命也； 昭
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
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高一数学直线方程的一般式
直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式， 及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.3 直线的一般式方程
答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 直线一般式的性质
例1 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_－__53_____. 解析 令y＝0，
2m－6 则 x＝m2－2m－3，
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
a－2 a＋1，
在y轴上的截距为a－2，
∵ aa－＋21≥0， a－2≤0，
得a<－1或a＝2.
解析答案
类型二 判断两条直线的位置关系
例2 判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0； 解 直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0， 由题意知－22＝－33≠44， ∴l1∥l2.
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
直线的一般式方程
直线的一般式方程教学目标：1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、过程与方法：⑴引导学生参与探究直线和二元一次方程关系的教学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感、态度与价值观：(1)通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力(2)通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(3)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：(课前板书课题)一、创设情境，引入新课师生活动：问题1：到目前为止，你学过直线方程有哪几种形式？从未知数的个数和次数考察,这些方程有何共同特点？[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。
复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。
问题2：下列方程有否具有上述特点？你能画出它们的图像吗?(1) 2x-3y+6=0 (2)3x+2=0(3) y-1=0（对照问题1，共同解答）问题3：结合上面的问题你能发现平面内的任一条直线与二元一次方程AX+BY+C=0(A.B不全为0)之间有何对应关系？（板书A=0,B=O时无意义）新知归纳:1由上面讨论可知(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.22从而得出定义：关于x的二元一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.[设计意图]：（二）讨论：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线和二元一次方程的关系。
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件 北师
【审题指导】由题目条件知，已知两点求直线方程，代入 直线方程的两点式或截距式可求得结果.
【规范解答】∵直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点，
由两点式得:
y0 3 0
x 5 3 5 ,
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0,2)、B(3,-3)两点，
由两点式得： y 2 x 0 .
【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的
方程为 x y 10 x 30.
30 20
设点P的坐标为(x,y),
则 y 20 2x .
3
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)
100 x(80 20 2x ) 2 x2 10x 25 50 6 000
y2 y1 x2 x1
y y2 x x2 ,但不能写成 y y1 x x2 .
y1 y2 x1 x2
y2 y1 x1 x2
(3)在直线方程的两点式中,由于x1≠x2且y1≠y2,因此它不 能表示与两坐标轴垂直的直线: ①当x1=x2,y1≠y2时,直线方程为x-x1=0, ②当y1=y2,x1≠x2时,直线方程为y-y1=0. (4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则此 方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1,y1), (x2,y2)的所有直线.
33
3
2 x 52 50 6 0000 x 30.
3
3
∴当x=5时,
Smax
6
000Βιβλιοθήκη 50 36
017，
此时点P的坐标为 (5, 50)，故以DC、DE为邻边，
【规范解答】∵直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点，
由两点式得:
y0 3 0
x 5 3 5 ,
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0,2)、B(3,-3)两点，
由两点式得： y 2 x 0 .
【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的
方程为 x y 10 x 30.
30 20
设点P的坐标为(x,y),
则 y 20 2x .
3
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)
100 x(80 20 2x ) 2 x2 10x 25 50 6 000
y2 y1 x2 x1
y y2 x x2 ,但不能写成 y y1 x x2 .
y1 y2 x1 x2
y2 y1 x1 x2
(3)在直线方程的两点式中,由于x1≠x2且y1≠y2,因此它不 能表示与两坐标轴垂直的直线: ①当x1=x2,y1≠y2时,直线方程为x-x1=0, ②当y1=y2,x1≠x2时,直线方程为y-y1=0. (4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则此 方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1,y1), (x2,y2)的所有直线.
33
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2 x 52 50 6 0000 x 30.
3
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∴当x=5时,
Smax
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017，
此时点P的坐标为 (5, 50)，故以DC、DE为邻边，
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(((154236)))yyyxx2544xy321(2x15 3)
x5 1 32 1
形式
条
件
方 程 应用范围
点斜式 斜截式 两点式
截距式
过点( x0,y0), 斜率为k
y y0 k( x x0 ) k存在
在y轴上的截距 y kx b
为b,斜率为k
k存在
过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
表示的是一条直线。
Ax By C 0( A, B不同时为0)
— —直线方程的一般式
直线方程Ax By C 0的系数A、B、C 满足什么关系时，有以下性质： （1）与两坐标轴都相交；（2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线 （5）是y轴所在直线
解（1）AB 0 (2)B 0, A 0,C 0
点斜式 : y y1 k( x x1 )
取点（0, b)
令k
y2 y1 x2 x1
斜截式:
y kx b
两点式 :
y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
取两点
（a,0),
(0,b)
截距式 :
x a
y b
1
练习：由下列条件，写出直线方程. （1）经过点（3，-2），斜率为-3 （2）经过点（-2，0）,垂直于x轴 （3）在x轴，y轴上的截距分别为-5，-3 （4）斜率为4，在y轴上的截距为－2 （5）经过点（－1，5），（2，－1） （6）经过点（－4，－4），（10，－4）
L:y=kx+b L:x=x1
Ax+B标系中任何一条 直线都可以用关于x, y的二元一次方程 Ax By C 0( A, B不同时为0)来表示.
问题2：任何一个关于x、y的二元一次方程是
都表示一条直线？
(1)当B≠0时,Ax+By+C=0
y AxC BB
在x 轴上的截
距为b,在y轴
上的截距为a
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
x y 1. ab
k存在
k存在且 k 0且 不过原点
思考:以上各种方程有何共同点?
问题1：上述所学四种形式的直线方程是否都是
二元一次方程？如果是能否写成统一的 形式 Ax By C 0 呢？
（1）若α≠90° （2）若α= 90°
表示斜率为 A，在y轴上的截距为 C 的直线
B
B
(2)当B=0时，Ax+By+C=0
xC
A
它表示一条与y轴平行或重合的直线
2.任何关于x, y的二元一次方程 Ax By C 0( A, B不同时为0)都可 以表示平面直角坐标系中的一条直线.
结论： 关于x、y的二元一次方程
Ax By C 0( A, B不同时为0)
(3)A 0, B 0,C 0 (4)A 0,C 0, B 0
(5)B 0,C 0, A 0
x5 1 32 1
形式
条
件
方 程 应用范围
点斜式 斜截式 两点式
截距式
过点( x0,y0), 斜率为k
y y0 k( x x0 ) k存在
在y轴上的截距 y kx b
为b,斜率为k
k存在
过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
表示的是一条直线。
Ax By C 0( A, B不同时为0)
— —直线方程的一般式
直线方程Ax By C 0的系数A、B、C 满足什么关系时，有以下性质： （1）与两坐标轴都相交；（2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线 （5）是y轴所在直线
解（1）AB 0 (2)B 0, A 0,C 0
点斜式 : y y1 k( x x1 )
取点（0, b)
令k
y2 y1 x2 x1
斜截式:
y kx b
两点式 :
y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
取两点
（a,0),
(0,b)
截距式 :
x a
y b
1
练习：由下列条件，写出直线方程. （1）经过点（3，-2），斜率为-3 （2）经过点（-2，0）,垂直于x轴 （3）在x轴，y轴上的截距分别为-5，-3 （4）斜率为4，在y轴上的截距为－2 （5）经过点（－1，5），（2，－1） （6）经过点（－4，－4），（10，－4）
L:y=kx+b L:x=x1
Ax+B标系中任何一条 直线都可以用关于x, y的二元一次方程 Ax By C 0( A, B不同时为0)来表示.
问题2：任何一个关于x、y的二元一次方程是
都表示一条直线？
(1)当B≠0时,Ax+By+C=0
y AxC BB
在x 轴上的截
距为b,在y轴
上的截距为a
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
x y 1. ab
k存在
k存在且 k 0且 不过原点
思考:以上各种方程有何共同点?
问题1：上述所学四种形式的直线方程是否都是
二元一次方程？如果是能否写成统一的 形式 Ax By C 0 呢？
（1）若α≠90° （2）若α= 90°
表示斜率为 A，在y轴上的截距为 C 的直线
B
B
(2)当B=0时，Ax+By+C=0
xC
A
它表示一条与y轴平行或重合的直线
2.任何关于x, y的二元一次方程 Ax By C 0( A, B不同时为0)都可 以表示平面直角坐标系中的一条直线.
结论： 关于x、y的二元一次方程
Ax By C 0( A, B不同时为0)
(3)A 0, B 0,C 0 (4)A 0,C 0, B 0
(5)B 0,C 0, A 0