《薛定谔方程》PPT课件

求解超出本课程的范围。结论：
一. 能量
En
(n
1 )
2
(n 0,1,2,)
能量量子化、
E
能级等间距。
E4
能量间隔 h
E3
（与黑体辐射理论同）
E2
但有零点能。
E1
E0
二. 波函数
0
n(x)
(
2n π
)1/ 2 n!
1 2x2
Hn(x)e 2
，
m
n
(
x
)
(
2n
π
n!
)1/
2
H
n
(x
)
e
E
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t
的方程
i d f f
Edt
可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 d2
2m d x2
U
E
……（★）
每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。
与 n =1,2,3.4 相应的波函数n 及概率密度 n 2 图
形如下，除两个端点外，驻波的节点数= n -1.
n
En
n 2
束缚态
n,
n
2a n
E4
n
4
, 4
a 2
E3
n
3
, 3
2a 3
E2
n 2 , 2 a
E1
n 1 ,1 2a
a0Leabharlann ax2 n 呈驻波状 2
1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。
说明：
（1）其它解是波一函个数复数Ψ偏r,微t 分是方一程个；复函数。
（2）它的解满足态的叠 加原理 若 Ψ1(r , t)和 Ψ2 (r , t) 是薛定谔方程的解， 则 c1Ψ1(r , t) c2Ψ2(r , t) 也是薛定谔方程的解。
因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
2.4 谐振子
2.4 谐振子
如果微观粒子的势能函数是
U(x)
U( x ) 1 kx2 2
就应该解一维定态薛定谔方程
2m
d2 d x2
1 2
kx
2
E
E
x 0
d2
d x2
2m 2 (E
1 kx2 )
2
0
… 二阶变系数 常微分方程
可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
（4）它是非相对论形式的方程。
二 .定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。 例如：
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子…… Ur 1 e2
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
5.由
En
n2
π2 2 2ma 2
,
n =1,2,3,4,5, 6,…
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x, t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
称为定态薛定谔方程。
小结：对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题，
只须解定态薛定谔方程（★）式，再乘上（★）式
还可以得到势阱中粒子的动量和波长。
h
Pn
2mE n n
a
n 2a
n
h Pn
2a n
2a, a, 2a , a ,
32
正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波。
宇称的概念:
on
2 sin n π x, aa
n 2,4,6,
有 o x o x, --奇函数
Aei
(
t
k x)
……沿
-
x
方向的单色平面波
动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。
在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。
2.2 无限深方势阱中粒子
2.2 无限深方势阱 中的粒子
一.一维无限深方势阱中粒子的 波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个
有限的范围 …… 称为束缚态。
1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
U
(x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！
按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
(x)
U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0
x
Ⅰ区是波动解，
0
a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅱ区是指数解，
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波；
即波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称，
并以宇称量子数为-1作为标记。
en
2 cos n π x, aa
n 1,3,5,
有 e x e x, --偶函数
即波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称，
并以宇称量子数为+1作为标记。
2.3 势垒穿透
2.3 势垒穿透
金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的 是一个高度有限的势垒。
讨论:
1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。 按经典理论……粒子的“能量连续”； 但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
1
e
i
p
x
2
e
i
p
x
所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解:
Ψ1( x, t) 1( x) f (t)
i
Ae
p
x
e
i
E
t
Aeik x ei t
Aei(
tk x)
……沿
+
x
方向的单色平面波
Ψ2( x, t) 2( x) f (t)
Ae
i
p
x
e
i
E
t
Ae ik x ei t
Ⅰ a Ⅱ
2
aⅢ x
2
区域的势能为无穷大）。
无限深方势阱
我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。 按照一维定态薛定谔方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，
显然应 = 0;
= 0，否则方程就无意义
了这也。说明粒子不可能在这两个区域出现，
第2 章 薛定谔方程
2.1 薛定谔方程
2.1 薛定谔方 程
一. 薛定谔方
程
i
(r ,
t
)
[
2
2
U
(r ,
t
)]
(r, t)
t
2m
式中 m……粒子的质量 U……粒子在外力场中
的势能函数（所处条件） 2……拉普拉斯算符
2
2 x2
2 y2
2 z2
奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961）
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
sin x, aa
2 n
en