北师大版初三数学下册正弦和余弦教学设计
北师大版数学九年级下册 正弦、余弦教案与反思
第2课时正弦、余弦原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修【知识与技能】1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义。
2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
【过程与方法】通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度】通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 【教学难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.一、情景导入，初步认知操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并且已知眼睛距离地面的高度为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了. 你想知道小明是怎样算出的吗？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望.二、思考探究，获取新知1.想一想：如图(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？ (2) 11AC BA 和22AC B A 有什么关系？111B C B A和呢？ (3) 如果改变B2在梯子AB1上的位置呢?你由此可得出什么结论？(4) 如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论？请讨论后回答.【教学说明】通过学生的观察、探索，加上教师的引导，使学生探究一步一步走向深入，并从中体会到探究的乐趣、知识的魅力，应用价值，开拓学生视野，锻炼学生思维，提高学生能力.【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即：sinA=A ∠的对边斜边∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即：cosA= A ∠的邻边斜边锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 化时，相应的的正切、正弦、余弦值也随之变化.【教学说明】让学生借助正切的概念，自己试着归纳正弦、余弦的概念。
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.理解正弦和余弦的概念。
2.掌握在直角三角形中，正弦和余弦的计算方法。
3.能够应用正弦和余弦解决实际问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：掌握正弦和余弦的计算方法、应用解决实际问题。
2.教学难点：引导学生理解正弦和余弦的概念。
三、教学过程1. 导入新知识本节课的学习目标是正弦和余弦。
让学生回想一下上课学习的三角函数的知识。
三角函数包括哪些？这些函数有什么用处？2. 正弦和余弦的概念1.向学生介绍正弦和余弦的定义和概念，让学生知道正弦和余弦对应的是直角三角形中的两个角。
2.给学生讲解正弦和余弦的符号体系，让学生明白正弦和余弦函数的定义域和值域。
3. 正弦和余弦的计算方法1.告诉学生正弦和余弦的计算方法，并通过几个例题来对计算方法进行讲解。
要求学生严格遵循计算方法执行计算过程。
2.对于计算方法中出现的各种函数，如正切函数、余切函数、弧度制和角度制等，对学生进行简要介绍和说明。
4. 应用正弦和余弦解决实际问题1.先向学生提出一个实际问题，让他们自己探讨思路，并在讨论中引领他们认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
2.分别对正弦函数和余弦函数的应用进行讲解，并让学生举出更多的实际问题，帮助他们进一步认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
5. 练习1.教师在课堂上布置练习题，要求学生在课堂上完成练习。
2.老师可以在课堂上给予学生针对性的指导和帮助，鼓励学生积极去思考，锻炼他们的问题解决能力。
四、作业布置1.布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
2.布置相关练习题目的同时，合理引导学生形成自主学习的习惯。
五、课后复习让学生合理安排时间，及时复习当天所掌握的知识，巩固知识点，为下一次教学做好准备。
六、课堂资源教师可以配备一些教具，如直角三角形模型、三角函数表等，增强学生学习过程中的 experience.。
北师大版九年级数学下册《1 锐角三角函数 正弦与余弦》公开课教案_20
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数（2）一、知识点1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：播放微课，有效复习上节内容，自然引入新课，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ；（2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.它的邻边与斜边的比值呢？B 1 B 2 AC 1 C 2设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念：1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_ _____.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示：（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA 的关系：sinA 越大，梯子 ；cosA 越 ，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC 和cosB.通过上面的计算，你发现sinA 与cosB 有什么关系呢? sinB 与cosA 呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 .设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、 及时检测1、如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍，sinA 的值（ ）A 、扩大100倍B 、缩小100倍C 、不变D 、不能确定2、已知∠A ，∠B 为锐角(1)若∠A=∠B ，则sinA sinB ；(2)若sinA=sinB ，则∠A ∠B.3、如图， ∠C=90°，CD ⊥AB ，sinB=( )=( )=( )设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握，同时体会在不同的直角三角形中，（如“双垂直模型”），一个锐角的三角函数可以有不同的表示方法，为日后的知识应用打下基础.七、 归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°, AC=3，AB=6，求∠B 的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度ABC例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=513，求AC和AB.类型三：利用已知三角函数值，求其它三角函数值例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，求cosA、tanB的值.类型四：求非直角三角形中锐角的三角函数值例4、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.设计意图：分类型进行演练，有利于学生掌握思路和方法，由特殊（直角三角形）到一般（非直角三角形），让学生懂得寻找或构造直角三角形是解决三角函数问题的一般思路.八、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.九、随堂小测1、如图，分别求∠α，∠β的三个三角函数值.2、在等腰△ABC中， AB=AC=13，BC=10，求sinB,cosB.3、在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4.求:CD和sinC.4、在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，BC=8，CD=5.求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.5、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求sinB,cosB,tanB.E A DFB6、如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=1/3.求∠A的三个三角函数值.设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.。
数学北师大版九年级下册正弦和余弦
4.1 正弦和余弦（1）教学目标：1、知识与技能：（1）让学生理解锐角正弦、余弦的定义。
（2）会求直三角形中锐角的正弦值、余弦值。
2、过程与方法：使学生经历探索正弦定义的过程。
逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
3、情感态度与价值观：（1）在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；（2）在讨论的过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；（3）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点：1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点：教学准备：课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程:一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
二、师生互动探究新知[活动2]请各组分别度量这两幅三角板的斜边和每个锐角所对边的长，并计算每个锐角的对边与斜边的比值你能发现什么规律吗？直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与斜边的比值随之确定；（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值（ ）。
我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别叫∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示.图19.3.1图19.3.2[活动3]观察图的Rt △AB1C1、Rt △AB2C2和Rt △AB3C3，它们之间有什么关系？(2)与同桌和前后桌的同学交流，你有什么发现？由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为30°直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是常数，它等于0.5。
正弦定理、余弦定理说课稿北师大版(优秀教案)
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（）已知两角和一边，解三角形：（）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标.知识与技能：()引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；()简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法..情感、态度与价值观：()通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；()通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用教学难点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
【北师大版】九年级数学下册：1.1第2课时正弦与余弦学案
1.1 锐角三角函数第 2 课时正弦与余弦学习目标：1.经历探究直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.可以运用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3.能依据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义 .学习要点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用 sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比 .3.能依据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.学习难点：用函数的看法理解正弦、余弦和正切.学习方法：探究——沟通法.学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义想想：如图(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系 ?(2)A1C1 和A2C2有什么关系?BC1 和BC2呢? BA1BA2BA1BA2(3)假如改变 A2在梯子 A1B 上的地点呢 ?你由此可得出什么结论 ?(4)假如改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论 ?请议论后回答.二、由图议论梯子的倾斜程度与sinA 和 cosA 的关系：三、例题：例 1、如图，在Rt △ABC中，∠ B=90°， AC＝ 200.sinA ＝0.6 ，求 BC的长 .例 2、做一做：如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， cosA ＝12， AC＝ 10，AB 等于多13少 ?sinB 呢?cosB、sinA 呢?你还可以得出近似例 1 的结论吗 ?请用一般式表达 .四、随堂练习： 1、在等腰三角形ABC 中， AB=AC ＝ 5，BC=6，求 sinB ，cosB ， tanB.2、在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， sinA ＝ 4，BC=20，求△ ABC 的周长和面积 .53、在△ ABC 中 . ∠ C=90°，若 tanA= 1，则 sinA= .24、已知：如图， CD 是 Rt △ABC 的斜边 AB 上的高，求证： 2BC ＝ AB · BD.( 用正弦、余弦函数的定义证明 )五、课后练习：1、在 Rt △ABC 中, ∠ C=90°,tanA=3, 则sinB=_______,tanB=______.42、在 Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=41,sinA=9, 则 AC=______,BC=_______.413、在△ ABC 中 ,AB=AC=10,sinC= 4, 则 BC=_____.54、在△ ABC 中 , 已知 AC=3,BC=4,AB=5,那么以下结论正确的选项是 ( )A.sinA=3 B.cosA=3 C.tanA=3 3454 D.cosB=53, 则BC 等于( )B5、如图 , 在△ ABC 中, ∠C=90°,sinA=AC5A.3B.4 C.3 D.44355AC6、Rt △ABC 中, ∠C=90°, 已知 cosA= 3, 那么 tanA 等于 ( )5A.4B.3 C.4 D.5 34547、在△ ABC 中，∠ C=90° ,BC=5,AB=13, 则 sinA 的值是2A．5B． 12C．5D． 12 13131258、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β ,若甲坡比乙坡更徒些, 则以下结论正确的选项是( )A.tanα <tan βB.sinα <sin β ;C.cosα <cos βD.cosα >cosβ9、如图 , 在 Rt△ABC中 ,CD 是斜边 AB上的高 , 则以下线段的比中不等于sinA 的是 ()A.CDB.DBC.CBD.CD BAC CB AB CB D10、某人沿倾斜角为β的斜坡行进 100m,则他上涨的最大高度是 ( )mA.100B.100sinβ100βAC. D. 100cosC sin cos11、如图 , 分别求∠α , ∠ β的正弦 , 余弦 , 和正切 .12、在△ ABC 中 ,AB=5,BC=13,AD 是 BC边上的高 ,AD=4. 求:CD,sinC.13、在 Rt△ABC中, ∠BCA=90°,CD 是中线 ,BC=8,CD=5. 求 sin ∠ACD,cos∠ACD 和 tan ∠A CD.14、在 Rt△ABC中, ∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?15、如图 ,已知四边形ABCD 中 ,BC=CD=DB, ∠ ADB=90°,cos∠ ABD=4.求：△ABD ： s△5sBCDCDA B3。
正弦定理、余弦定理教案北师大版(优秀教案)
《正弦定理、余弦定理》教课设计教课目标：进一步熟习正、余弦定理内容；可以应用正、余弦定理进行边角关系的互相转变； 可以利用正、余弦定理判断三角形的形状；可以利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教课要点： 利用正、余弦定理进行边角交换时的转变方向 教课难点 :三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 讲课种类： 新讲课 课时安排： 课时 教具：多媒体、实物投影仪教课方法 ：启迪指引式启迪学生在证明三角形问题或许三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的合用题型与所证结论的联系，并注意特别正、余弦关系的应用，比方互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；指引学生总结三角恒等式的证明或许三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角交换作用 教课过程 ： 一、复习引入：ab c R正弦定理：sin Asin B2sin C余弦定理： a 2b 2c 22bc cos A,cos Ab 2c 2 a 22bcb 2c 2a 22ca cos B,cos Bc 2a 2b 22cac 2a 2b22ab cosC ，cosCa 2b 2c 22ab二、解说典范：例在任一△中求证：a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0证：左侧 2Rsin A(sin B sinC) 2RsinB(sinC sinA) 2RsinC(sin A sin B)2R[sin AsinB sin AsinC sin BsinC sinBsin A sinC sin A sinC sin B] 右侧例在△中，已知 a3 ， b 2 ， 求、及解一：由正弦定理得：sin A asin B 3 sin 453 b22∵<即<∴或当时b sin C 2 sin 7562 csin B sin 452当时b sin C 2 sin 1562 csin B sin 452解二：设由余弦定理 b 2a2c22ac cos B 将已知条件代入，整理：x26x10解之： x 622当 c 62时2b 2c2 a 22(62 2 )2313cos A2bc622(31)2222进而，当 c 62时同理可求得：，2例在△中， , , ,是方程 x 223x20 的两个根，且()求（）角的度数（）的长度（）△的面积解：（） [()]() 1 ∴2（）由题设：a b 2 3a b2∴ ?? a 2b22ab cos120a 2b 2ab(a b) 2ab(2 3)2210即 10（） △ 1ab sin C1ab sin 1201 23 322222比如图，在四边形中，已知, , ,,求的长解：在△中，设则 BA 2BD 2 AD 22BD AD cos BDA即142x 2 10 22 10 x cos 60整理得： x 2 10x 96解之： x 116 x 26 （舍去）由余弦定理：BCBD ∴ BC16 sin 308 2sinCDBsinsin135BCD例 △中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角， 求最大角 ;求以此最大角为内角，夹此角两边之和为的平行四边形的最大面积解： 设三边 ak 1, b k, c k 1 kN 且 k 1∵为钝角∴ cosCa 2b 2c 2k4 0 解得 1 k42ac2(k1)∵ k N ∴ k 2 或但 k2 时不可以组成三角形应舍去当 k3 时 a2,b 3,c4,cosC1, C1094设夹角的两边为x, y xy 4xy sin Cx( 4 x)15 15 ( x 2 4x)44当 x2 时最大15例 在△中，＝，＝，为中点，且＝，求边长剖析：本题所给题设条件只有边长，应试虑在假定为ｘ后，成立对于 ｘ的方程 而正弦定理波及到两个角，故不行用 此时应注意余弦定理在成立方程时所发挥的作用因为为中点，所以、可表示为x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质成立方程2解：设边为 ｘ ，则由为中点，可得＝＝x，22x2 2在△中，＝AD 2 BD 2 AB 24( 2)52ADBD,2 4 x2x2 22在△中，＝AD 2 DC 2 AC 24 (2)32ADDC.2 4 x2又∠＋∠＝°∴＝（°－∠）＝－4 2 ( x) 25242 ( x) 232∴ 2 x 2 x 2 42 422 解得， ｘ＝, 所以，边长为评论：本题要启迪学生注意余弦定理成立方程的功能，领会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的合用题型此外，对于本节的例，也可考虑上述性质的应用来求解，思路以下： 由三角形内角均分线性质可得AB BD 5，设＝ ｋ，＝ ｋ ，则由互补角∠、∠的余ACDC3弦值互为相反数成立方程，求出后，再联合余弦定理求出，再由同角平方关系求出三、讲堂练习 ：半径为的圆内接三角形的面积为．，求此三角形三边长的乘积解：设△三边为，，则Ｓ ＝ 1 acsin B△2SABCac sin B sin B∴2abc2babcb 又2R ，此中为三角形外接圆半径sin B∴SABC1 , ∴＝ △ ＝××．＝abc4R所以三角形三边长的乘积为评论：因为题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：a b c Ｓ△sin Asin B2R ，此中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式sin C＝ 1acsin B 发生联系，对进行整体求解2在△中，已知角＝°，是边上一点，＝，＝，＝，求解：在△中，＝ AC2DC 2 AD 2 72 32 52 11 , 2 AC DC2 73 14又＜＜°，∴＝ 5 314在△中，ACABsin B sin C∴＝sin CAC 5 32 7 5 6 .sin B 142评论：本题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要修业生注意正、余弦定理的综合运用 在△中，已知＝3，＝5，求的值513解：∵＝3＜2 ＝°，＜＜ π52∴°＜＜° , ∴＝45∵＝5＜1＝°，＜＜ π132∴°＜＜°或°＜＜°若＞°，则＋＞°与题意不符∴°＜＜°＝12133 1245 16 ∴（＋）＝·－·＝5 13 5 13 65又＝°－（＋）16 ∴＝［°－（＋）］＝－（＋）＝－65评论：本题要修业生在利用同角的正、余弦平方关系时，应依据已知的三角函数值详细确立角的范围，以便对正负进行弃取，在确立角的范围时，往常是与已知角靠近的特别角的三角函数值进行比较四、小结 经过本节学习，我们进一步熟习了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常看法题方法与解题技巧的总结，不停提高三角形问题的求解能力五、课后作业 ：六、板书设计 （略）七、课后记及备用资料：正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形顶用到的主要定理，若将正弦定理代入得： ＝＋－这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这必定理解题，简捷明快，下边举例说明之［例］在△中，已知－－＝3 ，求的度数解：由定理得＝＋－，∴－＝3∵≠ ∴Β＝－3∴＝°2［例］求°＋°＋°°的值 解：原式＝°＋°＋°° 在＝＋－中，令＝°，＝°， 则＝°°＝°＋°－°°°＝°＋°＋°°＝（3）＝ 324［例］在△中，已知＝，试判断△的形状 解：在原等式两边同乘以得：＝， 由定理得＋－ Β＝， ∴＝ ∴＝故△是等腰三角形 一题多证［例］在△中已知＝，求证：△为等腰三角形证法一：欲证△为等腰三角形可证明此中有两角相等，因此在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得＝∴＝b sin A，即·＝＝（＋）＝＋sin Bb sin Asin B∴－＝即（－）＝，∴－＝ ｎπ （ ｎ∈ Ｚ）∵、是三角形的内角，∴＝，即三角形为等腰三角形证法二：依据射影定理，有＝＋， 又∵＝∴＝＋∴＝，即bcosB .ccosC又∵bsin B . ∴ sin B cos B , 即＝ csin C sin C cosC∵、在△中，∴＝ ∴△为等腰三角形证法三：∵＝ a2b 2c 2及 cosCa , ∴ a 2b 2c 2 a ,2ba2b2ab2b化简后得＝ ∴＝∴△是等腰三角形学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。
初三九年级数学下册《正弦与余弦》说课稿【北师大版】
正弦与余弦今天我将要为大家讲的课题是正弦与余弦首先，我对本节教材进行一些分析一、本节内容在章节中的地位：《正弦与余弦》是初中数学北师版九年级下册第一章第一节。
因此，在后面的学习中，占据举足轻重的地位。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1、知识目标：使学生初步了解余弦的概念，了解正、余弦的关系。
熟记特殊锐角的正、余弦值。
并能根据这些值说出对应角度。
2、能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
3、思想目标：渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等数学思想。
三、教学重点、难点、关键重点：正弦、余弦的概念难点：正弦、余弦的概念重点难点的确定依据：因为它是全章的预备知识，此概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，有了它，再学习正切，解直角三角形便有了基础。
为了讲清重点，突破难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：四、教法基于本节课的特点，应着重采用指导发现探索的教学方法。
即通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决。
五、学法自主探究式学习六、教学程序1、新知探究。
（1）复习正弦的定义。
sinA=∠A的对边/斜边（2）求sin300、sin600和sin450的值。
2、创设情境导入。
在4米高的墙上架一梯子，若要使梯子与地面成60度角，则梯子至少要多长？若要使梯子与墙成60度角，则梯子至少要多长？3、新知探究。
（1）若Rt△ABC∽Rt△DEF,则∠A=∠D，且AC/DF=AB/DE。
这说明了什么？（在直角三角形中，两个相等的角的邻边与斜边的比值也是一个定值）（2）余弦的定义及表示：cosA=∠A的邻边/斜边（3）求cos300、cos600和cos450的值. A（4）观察比较：特殊锐角的正、余弦值。
回答：A：猜测锐角的正弦、余弦值应该在什么范围？B：正弦与余弦从这些值上来看，有什么联系？4、学生练习。
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正弦和余弦》教学设计
一、课前准备部分
（一）教材分析
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着极为重要作用。
而研究图形之间各个元素间的关系，并且将这种关系用数量的方式呈现出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法。
本节内容是北师大版下册, 第一章《直角三角形边角关系》中，
1“从梯子的倾斜度谈起”的第二课时内容，是学生在学习了“正切”函数基础上继续学习的两个锐角三角函数，是锐角三角函数意义的完善、深化和延伸，是进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
（二）学生分析经过上节课的学习，学生对锐角三角函数的意义及对现实生活的观察、探索，揭示直角三角形中边角关系的学习打下了良好的基础，对本节内容，学生迫切了解揭示这种边角关系，还有没有存在其他的途径和方法。
虽然这节课知识较为抽象，学生应用知识解决问题会有一定的困难，但主要教师积极引导，让学生融入课堂，积极观察、探索就能学好知识，感受知识的魅力和乐趣。
（三）教学目标1-、经历直角三角形中边角关系的探索过程，理解锐角三角函数中的正弦和余弦的意义，并能举例说明。
2、能够运用sinA，cosA 表示直角三角形中两边的比。
3、通过合作交流，能够根据直角形中边角关系，进行简单的计算。
4、经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力。
（四）教学重点和难点
本课的教学重点是：理解并运用正弦、余弦表示直角三角形中的两边比。
难点是：裂解正弦、余弦的概念，用函数观点理解正弦和余弦。
（五）教学策略
1、教学方法：教师创设情景启发，引导学生观察、探索、思考、讨论，概括知识的规律，交流学习成果。
2、设计思想：新课标注重学生的主动学习，发挥教师的主导作用，保证学生的主体地位。
何为教师的主导作用，学生的主体地位。
中国教育学会实验研究会重点课题“‘两先两后' 中小学开放性教学研究” 总课题的主持人谢仲卿主任指出：“以学定教，打造以学生为主体，以训练为主线，以激发为主旨” ，实现高效课堂。
因此，本课在教学设计上将充分发挥学生的主观能动性，并与实践相结合，通过学生的观察、探索，加上教师的引导，使学生探究一步一步走向深入，并从中体会到探究的乐趣，知识的魅力，应用价值，开拓学生视野，锻炼学生思维，提高学生能力。
（六）教学用具投影仪、幻灯片、其他画图工具。
、课堂教学过程
回顾导入
（一）、做一做：3分钟内完成。
1、__________________________________________________________ 在Rt△ ABC中，/ C=9Q AC=5,AB=13贝卩tanA二 ______________ . tanB二
二—贝卩AC= _ .
2、在Rt △ ABC中, / C=9Q BC=3 , tanA
3、tanA的值越大，梯子_________ .
探索体验
（二八师生互动：1Q分钟完成。
教师操作投影，展现问题：如图（1），商场自动扶梯陡度与扶梯
高、长的比值有什么关系？商场自动扶梯陡度与扶梯水平宽度、长的比值有什么关系？
自动梯水平宽度
（图1）
学生互动：学生自学课本7——8页，讨论、合作、探究形成下列共
识:
B
12
(图2)
1、正弦定义：如图(2),在厶ABC中，/ C=90, / A是锐。
/ A的对边与斜边的比值叫做/ A的正弦(sine)，记作sinA,即：
si nA = • A的对边
斜边
余弦的定义：/ A的邻边与斜边的比值叫做/ A的余弦(cosine)，记作cosA,即：
cosA= • A的邻边
斜边
2、si nA的值越大，梯子________ , cosA的值越小，梯子_________ 。
3、已学过的锐角A的三角函数指____________ , ________ , ________ 。
(三八比一比：谁应用得更好，8分钟内完成。
1、我会填:
(1)______________________________________________________ 、已知Rt △ ABC 中，/ C=90° a=2.b=3.贝 S si nA = ____________ .cosA
(2)
、如图3,在厶ABC中, / C=90 , si nA二-，贝U ta nA = .
4
cosA= _______ . 八C
(图3)
3、我会解答.
如图（5）、在厶 ABC 中，/ B=90° , AC _200, cosC _0.6,求 BC 的长及△ ABC 的周长。
解1:
解2:
拓展创新
（四）、做一做，比一比，谁的能力强
2、我会选择:
(1)、 A. sin 根据图（4）真空，错误的是（ _3 a 二一 B. COS a 5 ),
(2)、 等腰三角形的底边长为
值是（）. 4 C. tan 5 16 cm ,周长为 D.
D. tan 36 cm ，贝卩底角的余弦
3 _
4 5
1、如图 6,在 Rt △ ABC 中,/ C=90°, cosA =
12 , AC=10,求 AB 及 13
sinB. (图6 )
学生互动： 求得 sinB =
12 13 学生发现： cosA = 12 , sinB = 12
，/ A 与/ B 互余。
13 13 探索规律: “正弦”和“余弦”的互化公式：
sinB = cosA , (/ B 是/ A 的余角)
即 si n(90°— A) = cosA
cos(90°— A) = sinA
2、猜一猜：如图 6,在 RfABC 中，/ C 二 90°, c* 1|, sin2A
与cosiA 关系如何？证明你的结论
由此可以发现：sin2\+cos2A 二 ________ 3、巩固深化・
填一填：（1）已知 si nA =-，贝卩 cosA= _________ , si nB = _____ ,
5
tanA= _______ ,
（2）、在 Rt △ ABC 中, / C=90°,a=8,b=15,求 sinA+ sinB+ sinC 的值 （提示:sin90°= 1）.
链接考试：如图（7）.在Rt △ ABC 中，/ C=9QCD 是斜边上中线，已
知CD= 2,假如你是考试命题人，你会加一个什么条件？要求应考人
求什么？
（图7）
三、课后反思：
（一）、学的反思
1、通过学习,你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识,对指导解决现实问题有什么意义, 你发现的规律或公式在解决问题中起到的什么作用。
2、你对自己本节内容学习满意吗？你想对老师说点什么？（二）教的反思
传统教学存在弊端,同时也具有合理的元素,因此,我的课堂教学特别强调通过情景引导,使学生掌握应用知识,通过探究,使学生知识引向深入,在整个过程中体现了教师的主导作用,学生的主体地位。
当在教学过程中, 如何保证每位学生都得到发展, 如何给予每个学生以发展平台,这是每位教师在课堂教学中必须做到的。