概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲
概率论常考题解析与讲解
概率论常考题解析与讲解在数学领域中，概率论是一门研究随机事件发生的可能性的学科。
它有着广泛的应用领域，并且在各个科学和工程领域中都扮演着重要角色。
概率论的研究对象包括基本概率模型、随机变量、概率分布等。
在学习概率论的过程中，经典概率、条件概率、随机变量及其概率分布、大数定律和中心极限定理等是常见的考题。
本文将对这些常考题进行解析与讲解。
一、经典概率经典概率是指当随机试验的样本空间为有限个元素时，利用计数原理进行概率计算的方法。
常见的经典概率问题包括：从一副扑克牌中抽取一张牌，求出抽到红桃的概率；从一个装有红、蓝、绿三种颜色球的袋子中抽取一颗球，求出抽到红球的概率等。
解答这类问题时，首先要确定样本空间和事件空间，然后利用计数原理计算出每个事件发生的可能性，并得出概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，样本空间为52张牌，事件空间为抽到红桃的牌，分析可知红桃有13张，因此红桃的概率是13/52=1/4。
二、条件概率条件概率是指在已知某事件发生的前提下，另外一个事件发生的概率。
条件概率的计算需要利用到贝叶斯定理或全概率公式。
常见的条件概率问题包括：在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，求抽到的是红桃的概率；某疾病在人群中的患病率是1%，一个新的检测方法能够准确地检测出病人患病的概率是99%，如果一个人被检测出患病，求他真正患病的概率等。
解答条件概率问题时，需要根据题目的描述利用贝叶斯定理或全概率公式计算条件概率。
例如，在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，事件A代表抽到红桃，根据条件概率的定义，所求的是P(A|B)，其中B代表抽到的是红心。
利用贝叶斯定理可得，P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)，其中P(A)=1/4，P(B|A)=12/51，P(B)=1/2。
代入计算可得，P(A|B)=1/2。
三、随机变量及其概率分布随机变量是指对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散型或连续型的。
概率分布是描述随机变量取值与其概率之间关系的函数。
概率论习题答案及答题范例
P( A) 1
202 212 22
242
311 1152
5
P59，习题34
6
(N 1)! 1
P( Ai )
N!
N
P( Ai Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN
P57，习题6
1Байду номын сангаас
P57，习题10
• 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只 白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两 球颜色相同的概率。
• 解：分别求出同取白、红、黑球的概率，再相加即可
P 3 10 7 6 15 9 207 25 25 25 25 25 25 625
15
P114，习题37
7
C7k 0.6k 0.47k 0.71
k 4
16
P115，习题41
P( A)
1
20 0!
e 2
5
0.484
P(B)
5 k3
C5k
1
20 0!
e 2
k
20 0!
e 2
5k
=0.98
17
P115，习题47
• 某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验人员从该 车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品， 能否据此断定该车间谎报合格率？
2
P58，习题13
• 从6双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概 率是多少？
• 解：
P C61C52C21C21 16
概率论练习题与解析
概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
概率论例题解析
P ( B | A)
P ( AB ) P ( B ) m 1 P ( A) P ( A) 2M m 1
(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格 品”。则
m M m M m 1 1 2 P (C ) M 2
例12 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽 车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。 如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概 率分别是1/4、1/3、1/12，而乘飞机不会迟到。 结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多 少？ 解: 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友 乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示 “朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 由贝叶斯公式，
(1) P ( Ak | A1 Ak 1 ) 1 1 n (k 1) n k 1
n1 n 2 1 1 n n1 n k 1 n
(2) P( Ak ) P( A1 Ak 1 Ak )
例10 某厂调进号码为1的箱子10个，号码为2 的箱子20个，其中号码为1的每个箱子有A等 品10件，B等品5件；号码为2的每个箱子有A 等品10件，B等品20件，现任取1个箱子并从 中任取1件物品，问取到A等品和B等品的概率 分别是多少？
例题解析
例1 写出下列实验的样本空间
（1）生产产品直到得到10件正品，记录生产产 品的总件数。
（2）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上 正品，不合格的盖上次品，如连续查出两个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检 查的结果。
答案：(1) {10,11,12,} (2) {00,100,0100 ,0101 ,0111 ,0110 ,1010 ,1011 ,1100 ,1101 ,1110 ,1111 }
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
概率论解题示例详解
概率论解题示例详解概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。
通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。
概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领域中都能看到它的身影。
本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。
示例一：抛硬币问题抛硬币是常见的概率论例题。
假设有一枚公平的硬币，正反两面出现的机会均等。
现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率是多少：1. 出现三次正面的概率2. 出现两次反面的概率3. 至少出现一次正面的概率解答：1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果，即正面和反面。
因此，出现三次正面的概率可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。
2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。
根据排列组合的原理，两次反面和一次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。
因此，出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。
3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的概率，然后用1减去该概率即可。
出现一次反面的概率可以表示为：(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。
因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。
示例二：生日悖论生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？解答：假设每个人的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。
我们可以通过计算每个人生日不相同的概率，然后用1减去该概率得到至少有两个人生日相同的概率。
第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个人的生日不能与第一个人相同，即概率为364/365。
第三个人的生日不能与前两个人相同，即概率为363/365。
《概率论与数理统计》习题及答案要点
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率与事件综合经典题(含详解答案)
概率与事件综合经典题(含详解答案)问题一：投色子小明和小王玩一个游戏，游戏规则为两个人轮流投掷一个均匀的六面色子，投到点数为6的人获胜。
若小明先投，请问小明获胜的概率是多少？解析：设小明获胜的概率为p，则小王获胜的概率为1-p。
若小明投到6，则小明获胜；若小明投到1、2、3、4、5，则轮到小王投掷。
所以小明获胜的概率为：p = 1/6 + (1-p) * 1/6 + (1-p)^2 * 1/6 + (1-p)^3 * 1/6 + ... ...化简得到：p = 1/7，即小明获胜的概率为1/7。
问题二：选球有10个编号为1到10的球，从中不放回地抽取3个，求编号之和为偶数的概率。
解析：球的编号之和为偶数有两种情况：1. 选出的三个球编号均为偶数。
2. 选出的三个球编号中有两个是奇数，一个是偶数。
情况1的概率为：C(5,3)/C(10,3) = 5/42。
情况2的概率为：C(5,2) * C(5,1)/C(10,3) = 10/42。
所以编号之和为偶数的概率为：5/42 + 10/42 = 5/21。
问题三：小球分组有10个编号为1到10的球，其中2个是红球，3个是黄球，5个是白球。
现从中任意抽取5个球，求其中恰好有3个白球的概率。
解析：从10个球中任意选出5个的组合数为：C(10,5) = 252。
从5个白球中任选出3个，从5个非白球中任选出2个的组合数为：C(5,3) * C(5,2) = 100。
所以恰好有3个白球的概率为：100/252 = 25/63。
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/ n
200
由于 u 1.875u1 1.645, 从而否定原假设 H 0 , 接受备择假设 H1, 即认为新工艺事
实上提高了灯管的平均寿命.
11
2．方差 2 未知情形 例 3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查了 9 袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 50, H1 : 50.
(2) 选择统计量T X 0 ~ t(n 1). Sn / n 1
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{| T |k} 查 t 分布表得 k t1 /2 t0.975 (8) 2.306, 从而拒绝域为 | t | 2.306.
570, 2 82 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即
仍有 2 82 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化?
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的
i 1
Xi
0|
0.2)
(10 0.2)0 0!
e100.2
e2
10
P(接受H0 | H1为真) P( Xi 0 | 0.1) i 1
10
1 P( Xi 0 | 0.1) 1 e1 i 1
4
8.3
解：H 0
: 1
2
0,
H1
: 12
2 2
0
P(接受H1
|
H 0为真)
P(
X
2 1
设两总体均为正.态且方差分别为已知值
2 1
,
2 2
,
现分别在两总体中取一样 X1, X 2 ,
, X n1
和 Y1,Y2 , ,Yn2 , 设两个样本独立.试给出上述假设 H 0 的拒绝域, 取显著性水平为 .
解
检验假设 H0 : 1 22 ,
H1 : 1 22 ,
采用
X
2Y
~
N 1
2
2
,
(4)
由于 x 1 10 10 i j
xi
575.20,
2
64,
所以
| u | x 0 2.06 1.96, / n
（5）拒绝 H 0 , 即认为折断力的均值发生了变化.
10
例 2 一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命 X 服从正态分布 N(,40000), 根据以往的 生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过 1500 小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了 新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺生产 的 25 只灯管的寿命, 其平均值是 1575 小时. 尽管样本的平均值大于 1500 小时, 试问: 可否 由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这 25 只灯管的平均寿命较长呢?
解 本题要求在水平 0.02 下检验假设 H0 : 5000, H1 : 2 5000. 现在
n 26,
2 0
5000,
2 1
/
2
(n
1)
2 0.99
(25)
44.314,
2 /2
(n
1)
2 0.01
(25)
11.524,
根据 2 检验法, 拒绝域为W [0,11.524) (44.314,)
寿命并不比公司宣称的寿命短.
13
单个总体方差的假设检验 例 5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差 2 5000 的正
态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变.现随机取 26 只
电池, 测出其寿命的样本方差 sn*2 9200. 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化(取 0.02)?
是否小于等于2的右边t检验. 检验统计量为： X Y 2
Sw
11 12 10
7
8.13 两个正态总体,未知知方差意义下，两个总体均值差
是否大于等于0的右边t检验. 检验统计量为： X Y
Sw
11 99
8.14 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否等于1的双边F检验.
检验统计量为：S1*m2 S *2
司制造的 6 套电池, 得到如下的寿命小时数:
19, 18, 22, 20, 16, 25
试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平
0.05).
解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 21.5
H1 : 21.5.
这可利用 t 检验法的左侧检验法来解.
2n
(其中m 7, n 8)
8.15 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否大于1的单边F检验. 检验统计量为：S1*m2 (其中m 8, n 9) S *2
2n
8
二、假设检验典型例题
9
单个总体均值的假设检验 1. 方差 2 已知情形 例 1 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力, 由经验判断 X ~ N (, 2 ), 其中
设甲、乙两厂生产同样的灯泡,
其寿命
X
,
Y
分别服从正态分布
N
(1
,
2 1
),
N
(
2
,
2 2
),
已知它们寿命的标准差分别为 84h 和 96h, 现从两厂生产的灯泡中各取 60 只,
测得平均寿命甲厂为 1295h, 乙厂为 1230h, 能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异
( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2.
解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力服从正态分布, 并作下述假设检
验: H0 : 2 64, H1 : 2 64.
上述假设检验问题可利用 2 检验法的右侧检验法来检验, 就本例中而言, 相应于
2 0
64,
n 10.
对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 0.05, 查附表知,
男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40
女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34
2 1
n1
4
2 2
n2
.
在 H 0 成立下
U
X 2Y (1 22 ) ~ N(0,1).
2 1
4
2 2
n1 n2
因此, 类似于右侧检验, 对于给定的 0, 则 H 0 成立时
(1
22 ),
接受域为：W
x 2y
2 1
4
2 2
n1 n2
u
.
17
2.
方差
12
,
2 2
未知,
但
2 1
2 2
2
例 9 某地某年高考后随机抽得 15 名男生、12 名女生的物理考试成绩如下:
X
2 2
c
| 1
2
0)
当1
2
0时,X12
X
2 2
2 0
:
2 (2)
P
(
X
2 1
X
2 2
c
| 1
2
0)
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
1
c
2 2
0 1
(2)
5
8.4 单个正态总体， 2已知情况下的的右侧（边）检验
用u检验法，检验统计量为：X 350 : N (0,1) 12 / 10
8.5 单个正态总体， 2未知情况下的的双侧（边）检验
用t检验法，检验统计量为：X 2.15 : t(9)
S
* n
/
10
8.6 单个正态总体，未知情况下的 2的双侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：13S
2 n
0.152
:
2 (12)
8.7 单个正态总体，未知情况下的 2的右侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：8Sn*2 0.0052
第八章 假设检验 部分习题与典型例题选讲
1
一、部分习题解答与提示
2
8.1 解：H0 : 6, H1 : 6.5 P(接受H1 | H0为真) P( X 6 u0.95 | 6) 而X : N (,16 /16) X : N (0,1) P( X 6 u0.95 | 6) P( X 6 u0.95 ) 0.05 P(接受H0 | H1为真) P( X 6 u0.95 | 6.5)
解 把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 1500, H1 : 1500.
从而可利用右侧检验法来检验, 相应于 0 1500, 200, n 25.