概率论经典试题
概率论试题(含解析)
1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则P(AB)2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数 ()f x 非负。
3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。
答：（ A ）6、某人投篮，每次命中的概率为23，现独立投篮3次，则至少命中3次的概率为.7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,x Ae x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A = . 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其它，则概率P(Y>2)= .9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则D(X+Y)=设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=,说明什么？某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第5次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）C 14P 2（1-p ）3 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
一、已知男人中有8%是肝病患者，女人中有0.35%是肝病患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是肝病患者，问此人是男性的概率是多少？ 四、11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。
现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。
（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品，0,1,2i =，则所求概率为2()(|)()...............................................................................(5')19181716181716150.810.10.1...........................(9')20191817201918170.9i i i P B P B A P A ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈∑43...................................................................................................(10'),03()2,3420,1;2()7312X kx x x f x x k X F x P X ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭设随机变量具有概率密度其它（）确定常数（）求的分布函数；（）求E （2x ）是否独立《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 解：1．3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>41e -=-.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．1，所以1是的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -=== 即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 263,55EX =⨯= 231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. （1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,Xx xf x f x y dy+∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Zf z f x z x dx+∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x xf x z x≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当0z<或1z>时()0Zf z=01z≤≤时()222z zZf z dx x z===⎰故Z的概率密度为2,01,()0,Zz zf z⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z的分布函数为20,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z zZ Zz zf z f y dy ydy z z zzz-∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.ZDzF z P Z z P X Y z dxdy zz⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.zz zz<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Zz zf z F z≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y=≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y rDe dxdy e rdrdπθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案导言：概率论是数学中的一门基础学科，主要研究随机现象的规律性和不确定性。
它广泛应用于统计学、金融、工程学、计算机科学等领域。
本文将给出一些概率论考试题及答案，旨在帮助读者加深对概率论知识的理解和掌握。
题目一：计算概率已知一副扑克牌，共有52张牌，其中13张为红心。
从中任意抽取5张牌，求至少一张红心的概率。
解答：首先计算没有红心的情况，即全是黑桃、方片和梅花的概率。
抽取第一张牌时，没有红心的概率为39/52；抽取第二张牌时，没有红心的概率为38/51；以此类推，抽取第五张牌时，没有红心的概率为35/48。
将每次抽取没有红心的概率相乘，即可得到全是非红心牌的概率为(39/52) * (38/51) * (37/50) * (36/49) * (35/48) ≈ 0.359。
因此，至少一张红心的概率为1 - 0.359 ≈ 0.641。
题目二：条件概率在一批产品中，有30%的次品。
已知次品中的20%是由机器A生产的，而合格品中的15%是由机器A生产的。
现从这批产品中随机选取一件，发现该件品质合格。
求此件产品是由机器A生产的概率。
解答：设事件B表示所选产品是由机器A生产的，事件A表示所选产品是合格品。
根据题意，已知P(B) = 0.3，P(A|B) = 0.15，需要求的是P(B|A)。
根据条件概率的定义，我们有P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
首先计算P(A∩B)，即既是合格品又是由机器A生产的概率，即P(A∩B) = P(B) * P(A|B) = 0.3 * 0.15 = 0.045。
其次，计算P(A)，即产品为合格品的概率。
合格品中由机器A生产的概率为0.15，由机器B生产的概率为1 - 0.15 = 0.85。
所以，P(A) = P(A∩B) + P(A∩B') = 0.045 + 0.85 * (1 - 0.2) ≈ 0.881。
最后，根据条件概率的公式，可得P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.045 / 0.881 ≈ 0.051。
概率论考试题和答案
概率论考试题和答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个选项是正确的？A. P(X > 0) = 0.5B. P(X < 0) = 0.5C. P(X = 0) = 0.5D. P(|X| > 1) = 0.5答案：A2. 如果随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于：A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A3. 假设随机变量X和Y是独立的，且X服从正态分布N(0,1)，Y服从正态分布N(1,4)，那么Z = X + Y的期望值E(Z)是：A. 1B. 0C. 2D. 4答案：A4. 对于二项分布B(n, p)，其方差Var(X)是：A. npB. np(1-p)C. nD. p答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：(a+b)/26. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么X的标准差是_________。
答案：σ7. 对于参数为p的伯努利分布，其方差Var(X)是_________。
答案：p(1-p)8. 如果随机变量X服从指数分布Exp(λ)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：1/λ三、计算题（每题15分，共30分）9. 已知随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X < 0)。
答案：因为X服从正态分布N(2, 4)，所以X的均值μ=2，方差σ^2=4，标准差σ=2。
我们需要求P(X < 0)，即求标准正态分布下，Z < (0-2)/2 = -1的概率。
根据标准正态分布表，P(Z < -1) ≈ 0.1587。
所以，P(X < 0) ≈ 0.1587。
10. 假设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求E(X)和Var(X)。
答案：因为X服从泊松分布，所以E(X) = λ = 2，Var(X) = λ = 2。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论复习题及答案
概率论复习题及答案一、单选题1. 随机事件A和B是互斥事件，则P(A+B)等于（）。
A. P(A)+P(B)B. P(A)-P(B)C. P(A)×P(B)D. P(A)÷P(B)答案：A2. 如果随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为（）。
A. f(x) = λe^(-λx)，x≥0B. f(x) = λe^(-λx)，x<0C. f(x) = λe^(-λx)，x>0D. f(x) = λe^(-λx)，x≤0答案：A二、填空题1. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其期望E(X)为______。
答案：np2. 若随机变量X和Y独立，则P(X>a且Y>b)等于______。
答案：P(X>a)×P(Y>b)三、计算题1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求其概率P(μ-2σ<X<μ+2σ)。
答案：P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9542. 设随机变量X和Y分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布，且X和Y相互独立，求Z=X+Y的分布。
答案：Z服从参数为λ1+λ2的泊松分布。
四、证明题1. 证明：若随机变量X服从标准正态分布，则E(X^2)=1。
答案：根据标准正态分布的性质，E(X)=0，方差D(X)=1，因此E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1。
2. 证明：若事件A和B相互独立，则P(A|B)=P(A)。
答案：由于事件A和B相互独立，根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
又因为A和B独立，所以P(A∩B)=P(A)P(B)，代入上式得P(A|B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)。
概率论复习题 (有答案)
选择题1.设事件A 和B 满足A B ⊂，()0P B >，则下列选项一定成立的是 ( B ) (A) ()(|)P A P A B < (B) ()(|)P A P A B ≤ (C) ()(|)P A P A B > (D) ()(|)P A P A B ≥2.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 ( B ) (A) 50 (B) 100 (C) 120 (D) 1503.随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数()G y =（ A ）(A) 11()33F y - (B) (31)F y + (C) 3()1F y + (D) 11()33F y - 4.设连续型随机变量X 的密度函数有()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则下列成立的有 ( C )(A) ()()F a F a -= (B) 1()()2F a F a -=(C) ()1()F a F a -=- (D) 1()()2F a F a -=- 5.设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2y x =与y x =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 A .(A)6,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (B)1/6,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它(C)2,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (D)1/2,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它6.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( C )(A)12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>7.设随机变量12,,,n X X X 独立同分布，且方差为20σ>.令11ni i Y X n ==∑，则. ( A ) (A) 21(,)/Cov X Y n σ= (B) 21(,)Cov X Y σ=(C) 21()(2)/D X Y n n σ+=+ (D) 21()(1)/D X Y n n σ-=+8.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( B )(A)12σσ> (B) 12σσ< (C) 12μμ> (D) 12μμ<9设随机变量n X X X 12,,,,相互独立且同服从参数为λ的指数分布,其中()x Φ是标准正态分布的分布函数，则 AA) lim ()ni n X n P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑B) lim ()ni n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C)lim ()n i n X P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑ D) 1lim ()n i i n X P x x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑ 11．已知()0.5,()0.4,()0.6,P A P B P A B ==⋃=则(|)P A B = A(A) 0.75 (B) 0.6 (C) 0.45 (D) 0.2 12、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(),01,02(,)0,a x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他，则常数a = D (A) 3 (B) 2 (C) 12 (D) 1313、已知(,)XB n p ，且8, 4.8EX DX ==，则n = B(A) 10 (B) 20 (C) 15 (D) 25 14、离散型随机变量X 的分布函数()F x 一定是 D(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 周期函数 (D) 有界函数15、随机变量X 的分布函数为40,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则EX = A(A)144x dx ⎰(B)133x dx ⎰(C)134x dx ⎰(D)150x dx ⎰16、设~(2,4)X N ，且~(0,1)aX b N +，则 C(A) 2,2a b ==- (B) 2,1a b =-=- (C) 0.5,1a b ==- (D) 0.5,1a b ==17、设,X Y 为两个随机变量，1,4,cov(,)1DX DY X Y ===，令122,2Z X Y Z X Y =-=-，则1Z 与2Z 的相关系数为 D(A) 0 (B) 1(C)(D)18、设随机变量~(0,1)X N ，21Y X =+，则~Y A(A) (1,4)N (B) (0,1)N (C) (1,1)N (D) (1,2)N19、．以事件A 表示“甲同学考试合格，乙同学考试不合格”，则事件 A 为 D (A) 甲、乙两同学考试均合格； (B) 甲同学考试不合格，乙同学考试合格； (C) 甲同学考试合格； (D) 甲同学考试不合格或乙同学考试合格. 20设随机变量X 和Y 的关系为32011Y X =+，若3DX =，则DY = A (A) 27 (B) 9 (C) 2020 (D) 2038 21．若事件,,A B C满足()P C =A ,B ,C 不满足 A(A) A B C ==; (B) A B C ≠≠;(C) A B ==Ω,C =∅; (D) ,()0A B P C ==Ω=. 22．设随机变量()()22,4,,5XN YN μμ,{}14P X μ=≤-，{}25P Y μ=≥+，则1P 与2P 的关系是 B(A) 12P P > (B) 12P P = (C) 12P P < (D) 与μ相关23．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙中产品滞销”则事件A 为（ D ）.A 甲种产品滞销，乙中产品畅销 .B 甲、乙两种产品均畅销.C 甲种产品滞销 .D 甲种产品滞销或乙种产品畅销24. n 张奖券中有m 张可以中奖，现有k 个人每人购买一张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）.A k n k mn m C C C 11-- .B k n C m .C k n k m n C C --1 .D ∑=ki kni m C C 1 25、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量Xe Y 21--= A.A 服从)1,0(上的均匀分布 .B 仍服从指数分布.C 服从正态分布 .D 服从参数为2的泊松分布 26、设随机变量),(Y X 的概率分布为已知随机事件)0(=X 与)1(=+Y X 相互独立，则（ C ） .A 3.0,2.0==b a .B 1.0,4.0==b a .C 2.0,3.0==b a .D 4.0,1.0==b a27、设)2.0,10(~B X ，)2.0,20(~B Y 且Y X ,相互独立，则~Y X +（ C ） .A )2.0,10(B .B )4.0,30(B .C )2.0,30(B .D )4.0,10(B28、已知随机变量)4,9(~N X ，则下列随机变量中服从标准正态分布的有（B ） .A 49-X .B 29-X .C 43-X .D 23-X 29、设Y X ,为任意随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则下述结论中成立的是（ A ） .A )()()(Y D X D Y X D +=+ .B )()()(Y D X D XY D = .C Y X ,相互独立 .D Y X ,不独立判断题1．二维正态分布的边缘分布是正态分布； T2．设有分布律：{}1(1)2/1/2(1,2,)n n np X n n +=-==，则X 的期望存在； F3．设 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的次数为m , 则 4n 次独立重复试验中，A 出现的次数为4m ； F4．若AB =∅，则事件,A B 一定相互独立； F5．X 与Y 相互独立且都服从指数分布()E λ，则~(2)X Y E λ+。
概率论_习题集(含答案)
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
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第一章 概率论的基本概念课外习题
一．单项选择题
1． 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，则下列成立的是（ ）
（A ）事件A 和B 互斥 （B ）事件A 和对立
（C ）事件A 和B 不独立 （D ）事件A 和B 相互独立
2．A 表示“既下雨又刮风”的事件，则的意义是（ ）
_
A (A)既不下雨又不刮风 (B)不下雨或不刮风 (C)不下雨但刮风 (D)下雨而不刮风
3．若P(AB)=0, 则（ ） )()()( )(B P A P B A P A +=∪ (B) P(A)=0或P(B)=0
(C) A,B 互不相容 (D) A,B 互为对立事件
4． 下列关于事件的运算中正确的有 ( )
(A) (A U B)-B=A (B) (A-B)∪B=A
(C) (A-B)B=A ∪B (D) (A-B)+B=(A B)-B
U ∪
5．设10张奖卷只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是( )
(A) 每个人中奖的概率相同 (B)第一个比第十个中奖的概率大
(C)“第一个人未中奖而第二个人中奖”的概率为
91 (D)每个人中奖与否是相互独立的 6． 对于事件A,B, 下列结论不正确的有 ( )
(A)若A,B 对立，则也对立 (B)若
A,B 独立, 则)()()()(1) (B P A P B P A P B A P +−−=,
(C)若A,B 对立, 则0)(=∪B A P (D)若A,B 互不相容,则P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).
7．，则（ ）
0)(=B A P A ．互不相容 B ．为不可能事件
B A B A
C ．未必为不可能事件
D ．B A 0)(=A P 或0)(=B P
8．设，，互不相容（即0)(≠A P 0)(≠B P B A ,φ=B A ），则肯定正确的是（ ）
A ．
B A ,互不相容 B ．B A ,相容
C ．
D ．
)()()(B P A P B A P =)()(A P B A P =−
9．同时发生时，C 必发生，则（ ）
B A ,A ．1)()()(−+≥B P A P
C P B ．1)()()(−+≤B P A P C P
C ．
D ．)()(B A P C P =)()(B A P C P U =
10．一系统由三元件并联，已知正常工作的概率分别为，则系统工作正常的概率为（ ）
C B A ,,C B A ,,C B A P P P ,,A ． B ．C B A P P P C B A P P P −1 C ．)1()1()1(C B A P P P −−−
D ．
)1()1()1(1C B A P P P −−−−
二．填空题
1．4
1)(,21)(,31)(===AB P B P A P , 则.)( ,)|( ,)|(=∪==B A P B A P A B P
2．设 P(A)=p>0, P(B)=q>0.
(1)若A,B 相互独立, 则,)(=∪B A P ,)(=−B A P
.)|( ,)|(==B A P B A P
(2)若A,B 互不相容，则P(A B)= ∪, P(A-B)= ,=)|(B A P , P(A|B)= .
(3)若A,B 相互对立, 则P(A B)= ∪, P(AB)= .
P(A-B)= , )|(B A P = , )|(B A P = .
3．在3重贝努利实验中,每次实验成功的概率为p,如果三次都成功与三次都失败的概率相同， 则p= .
21)|(,3`1)|(,2
1==B A P A B P 则=∪)(B A P . 4．已知P(A)=5．已知P(B)=0.3, , 则 6.0)(=∪B A P =(A P .
6．已知某元件能工作100小时的概率为 ，已知某元件能工作200小时的概率为，现这元件已工作100小时，那么它还能再工作100小时的概率为 6.04.0。
7．某校男女生比例为，女生有60%用红书包，男生有10%用红书包，今在校园内恰得一红书包，则这个书包是女生丢失的概率为 1:2。
8．袋中有50个球，20个黄的，30个白的，今有两人从中依次随机抽一球，取后不放回，
则第二个人取到黄球的概率为 。
9．设相互独立，都不发生的概率为B A ,B A ,91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则 =)(A P 。
10．设相互独立，已知只有B A ,A 发生的概率和只有B 发生的概率都为41，则 =)(A P 。
三．证明题
1．利用事件的运算律证明：)())((AC B C B B A ∪=∪∪.
2．证明：)(2)()())()((AB P B P A P B A B A P −+=∪
3．证明：1)()()()()()(−++≥++C P B P A P AC P BC P AB P
四．计算题
1．有12 个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个，用后放回，求第三次比赛时取到的3个球都是新球的概率。
2*．10个朋友随机地围饶圆桌而坐，求甲、乙二人坐在一起的概率。
3．某厂的产品中有5
3是合格品，其余是次品。
某验收装置有一定的误差：它以80%的概率将合格品检验为合格品；并以90%的概率将次品检验为次品。
现任抽取一件产品进行检验，求下列事件的概率。
(1)求抽得的产品为合格品的概率。
(2)求它被检验为合格品的概率。
(3)已知该产品被检验为合格品，求它确实是合格品的概率。
4． 一批产品有3
2是合格产品。
验收时规定先从中任取一件，若合格则放回，再取一件检查。
如果仍为合格品则接收这批产品，否则拒收。
求这批产品被拒收的概率。
5． 某考试中有十道单项选择题，每题1分，每道选择题有四个选项，某考生对所做之题一
窍不通，只好随机选择，问
a) 该考生在选择题上一分不得的概率是多少？
b) 该考生在选择题上至少得3分概率是多少？
c)
6． 乒乓球比赛中，甲乙两名选手对阵，根据以往的资料统计，每一局比赛甲选手获胜的概
率为0.6，比赛可采用三局两胜制或五局三胜制。
问在哪一种赛制下，甲最终获胜的可能性更大？
7． 在标有号码1，2，3,…,11的十一张卡片中随机抽取两张，
求两张号码之和为偶数的概率。
8*．设一昆虫产个卵的概率为i ,0,1,!i
e i i λλ−=L ，每个卵能孵化为虫的概率为，且孵
化是相互独立的，求这昆虫的下一代有只的概率。
p k
9*．某人写了n 封不同的信，欲寄往个不同的地方。
现将这n 封信随意的插入只具有
n n 不同通信地址的信封里，求：至少有一封信插对信封的概率。
10* ．袋内放有两个伍分，三个贰分，五个壹分的硬币，从中任取5个，求总钱额超过一角的概率。
第一章 答案
一．单选题 1。
D 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7.C 8.D
9.A 10.D
二．填空题 1. ;12
7 , 61 , 43 2. (1) p+q-pq , p-pq, 1-p, p ； (2) p+q, p, ,11q
q p −−− 0 ；(3) 1, 0, p, 0, 1; 3. 21 ; 4. 32 ; 5. 0.3. ； 6. 32 7. 43 8. 52 9. 32 10. 2
1 三．(略). 四．1。
146.03123930
312339=−=−∑C C C C C i i i i ; 2。
92 ； 3. ;1312 , 2513 ,53 4。
95； 5. （1）0563.0)4
3()41
(100010=C , （2） ; 4747.06．甲获胜的概率在三局两胜制下为0.648 , 在五局三胜制下为0.68256；
7。
.11
5 8． P r e r P λλ−!)( ， 9. 1-1−e ≈0.632 ， 10. 2
1。