典型例题(第一章概率论的基本概念) 古典概型
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
高中 古典概型 知识点+例题+练习
教学过程【训练2】(2014·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中
了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同
一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设
每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树形图法．
教
学
效
果
分
析。
典型例题(第一章概率论的基本概念) 古典概型
典型例题 Page 5 of 5
这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为 0.9，这里， 概率 0.75 是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率，而在得到信息（即生产出的第一件 产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即 0.9）叫做后验概率，有了后验概率我们就 能对机器的有进一步的了解。
解：
试验为从 1，2，……，N 个数中有放回地依次取 k 个数字，每 k 个数字的一个排列构
成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。
（1）因
k
个数字完全不同，实际为不可数的排列，基本事件个数为：
C
k n
⋅
k!
∴ P( A) = Cnk ⋅ k! Nk
(2) 同理 P(B) = (N − r)k Nk
例 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的．问是否可以推断接待时间是有规定的． 解:
假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能 的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003，即千万分之三。
按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计
算样本点总数：
C
a+b N
设 A：a+b 球中恰有 a 个白 b 个红，把 A 发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a
个球，再在红球中取
b
个球按乘法原则所含样点是
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析古典概型是概率论中的一种基本概念，用于描述事件发生的可能性。
它适用于试验结果等可能且独立的情况。
下面我将给出一个古典概型的例题，并对其进行解析。
例题，某班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
从中随机选择3名学生，求选出的学生中至少有2名男生的概率。
解析：首先，我们需要计算总的样本空间，即从30名学生中选择3名学生的可能性。
根据组合的计算公式，可以得到：C(30, 3) = 30! / (3! (30-3)!) = 30 29 28 / (3 2 1) = 4060。
其中，C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数。
接下来，我们需要计算选出的学生中至少有2名男生的情况。
根据古典概型的原理，我们可以将这个事件分解为两个互斥事件，选出3名学生中有2名男生和选出3名学生中有3名男生。
选出3名学生中有2名男生的情况：从10名男生中选择2名男生，再从20名女生中选择1名女生。
根据组合的计算公式，可以得到：C(10, 2) C(20, 1) = 10! / (2! (10-2)!) 20! / (1! (20-1)!) = 45 20 = 900。
选出3名学生中有3名男生的情况：从10名男生中选择3名男生。
根据组合的计算公式，可以得到：C(10, 3) = 10! / (3! (10-3)!) = 120。
因此，选出的学生中至少有2名男生的概率为：(900 + 120) / 4060 ≈ 0.249。
所以，选出的学生中至少有2名男生的概率约为0.249，或者可以表示为24.9%。
以上是对古典概型例题的解析，通过计算总的样本空间和符合条件的事件数，我们可以得到所求概率。
希望这个例题的解析能够帮助你理解古典概型的应用。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍古典概型例题及解析的重要性
2.古典概型例题：列举几个典型的古典概型例题
3.解析方法：介绍古典概型例题的解析方法
4.结论：总结古典概型例题及解析的作用
正文
一、引言
古典概型是概率论中的一个重要概念，它能帮助我们更好地理解随机事件的规律。
在古典概型的学习过程中，例题及解析起着至关重要的作用。
通过学习和分析例题，我们可以更深入地理解概念，熟练掌握解题方法。
本文将介绍几个古典概型的典型例题，以及如何解析这些例题。
二、古典概型例题
1.投掷一个均匀的六面体骰子，求点数为偶数的概率。
2.从包含 n 个红球，n 个蓝球，n 个黄球的袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
3.某商店出售的商品打九折，求顾客购买一件商品的概率。
三、解析方法
1.对于例题 1，我们可以直接观察骰子的点数，发现共有 3 个偶数，总点数为 6，所以点数为偶数的概率为 3/6=1/2。
2.对于例题 2，由于袋子中有 n 个红球，所以抽到红球的概率为
n/(n+n+n)=n/3n=1/3。
3.对于例题 3，由于商品打九折，所以顾客购买一件商品的概率为 1。
四、结论
通过以上例题及解析，我们可以看到古典概型在实际问题中的应用。
学习古典概型例题及解析，有助于我们更好地理解概率论的基本概念，提高解题能力。
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
古典概型练习题
古典概型练习题古典概型练习题古典概型是概率论中最基础的概念之一，它描述了一个试验中可能的结果以及每个结果发生的概率。
在学习概率论的过程中，我们经常会遇到一些古典概型的练习题，下面就让我们来看看一些常见的古典概型练习题。
第一题：抛硬币假设有一枚公正的硬币，我们进行一次抛掷。
试问，硬币正面朝上的概率是多少？解析：由于硬币是公正的，正反面朝上的概率是相等的，即1/2。
第二题：掷骰子假设有一颗公正的六面骰子，我们进行一次掷骰子。
试问，骰子上出现奇数点数的概率是多少？解析：骰子的点数为1、2、3、4、5、6，其中奇数点数为1、3、5，共3个。
所以，骰子上出现奇数点数的概率为3/6，即1/2。
第三题：抽扑克牌假设有一副扑克牌，共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每种花色有13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
我们从中随机抽取一张牌，试问，抽到红桃的概率是多少？解析：红桃的数量为13张，总牌数为52张，所以抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
第四题：摸球假设有一个装有10个红球和15个蓝球的袋子，我们从中不放回地摸取两个球。
试问，摸到两个红球的概率是多少？解析：首先，我们计算摸到第一个红球的概率。
第一个球是红球的概率为10/25。
然后，我们计算摸到第二个红球的概率。
由于第一个球已经摸取出来，剩下的球中红球的数量为9个，总球数为24个，所以摸到第二个红球的概率为9/24。
最后，我们将两个事件的概率相乘，得到摸到两个红球的概率为(10/25) * (9/24) = 9/60，即3/20。
通过以上几个练习题，我们可以看到古典概型的计算方法是相对简单的。
我们只需要确定每个结果发生的概率，然后根据题目要求计算即可。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更为复杂的情况，需要运用一些其他的概率计算方法。
总结：古典概型是概率论中的基础概念，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握这一概念。
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
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算样本点总数：
C
a+b N
设 A：a+b 球中恰有 a 个白 b 个红，把 A 发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a
个球，再在红球中取
b
个球按乘法原则所含样点是
C
a N1
⋅
C
b N
2
∴ P( A)
=
Ca N1
⋅
C
b N
这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。 在此例中，正确理解区分概率P（A|B1）与P（B1|A）是多么重要。概率思维是人们正确
观察事物必备的文化修养，这样说也许并不过份。
例 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的 数据。元件制造厂次品率提供晶体管的份额
1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只 晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分 析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。 解: 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”， 易知，B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有 P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05， P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03 （1）由全概率公式 P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125 （2）由贝叶斯公式
他们的生日各不相同的概率为
P( A)
=
Cr 365
⋅ r!
or
Ar 365
(365) r
(365) r
所以，至少两个人生日相同的概率为: p=1-P(A),
计算如下：
可得下述结果:
n 20
23
p 0.411 0.507
30 0.706
40
50 64
100
0.891 0.970 0.997 0.9999997
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典型例题（第一章概率论的基本概念）
古典概型 条件概率
古典概型
(一)取球问题
袋中共有 N 个球，N1 白，N2 红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出 a+b 个
球，试求这 a+b 个球中恰含 a 个白 b 个红的概率。
解：
[不放回] 试验从 N 个球中取出 a+b 个球，有两种理解 （1）一次取出 a+b 个球； （2）一个一个取，不放回，取 a+b 次；
设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”，已知 P（A|B）=0.9，P(A|B)=0.3,P （B）=0.75，P (B) =0.25，所需求的概率为 P（B|A），由贝叶斯公式
典型例题 Page 5 of 5
这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为 0.9，这里， 概率 0.75 是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率，而在得到信息（即生产出的第一件 产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即 0.9）叫做后验概率，有了后验概率我们就 能对机器的有进一步的了解。
其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？
解：
由贝叶斯（Bayes）公式
这表明，在已检查出呈阳性的人中，真患肝癌的人不到 1%，这个结果可能会使人大吃
典型例题 Page 4 of 5
一惊，但仔细分析一下，就可以理解了。因为肝癌发病率很低，在 10000 人只有 4 人左右。 而约有 9996 年不患肝癌。如对 10000 人用甲胎蛋白法进行检验。按错检的概率可知 4 位患 肝癌的都呈阳性，而 9996 位不患肝癌人中约有 9996×0.05≈500 个。呈阳性，在总共 504 个 呈阳性者中，真患肝癌的 4 人占总阳性中不到 1%，其中大部分人（500 人）是属“属报”， 在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人， 当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建设用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌 的发病率已显著提高了，比如说 P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得
Aa+b N
+
b)!
=
C C a b N1 N2 C a+b N
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A
所含样本点数为:（分析同（2））
C
a a+b
⋅
N1a
⋅
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
=
Ca a+b
⋅ N1a N a+b
⋅
N
b 2
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(3) 同理
P(C)
=
C
m k
⋅(N N
− 1) k−m
k
(4) 在这 k 个数字中，最大数不大于 M 的取法有 Mk 种。而最大数不大于 M-1 的取法有(M-1)k
种。
∴ P(D) = M k − (M − 1)k 。 Nk
典型例题 Page 3 of 5
例 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的，即都等于 1/365，那么随机选取 n （≤365）个人，求他们的生日各不相同的概率。 解：
(二) 放球问题
n 个球，随机的放入 N 个盒（n≤ N），每盒容量不限，观察放法：
(1)某指定的 n 个盒中各有一个球 A1,求 P(A1)；
(2)恰有 n 个盒中各有一球Ａ2,求 P(A2) ；
(3)某指定的盒子中恰有 k 个球 A3,求 P(A3).
解:
试验: 一个一个放 n 个球入 N 个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是 (1) P(A1) = n!N n
2
C a+b N
按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取 a+b 个球是有顺序的，
构成
a+b
个球的一个排列，样本点总数：
Aa+b N
A 的发生可分解为如下过程：
在这 a+b 个球的位置上，选 a 个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：
Ca a+b
⋅
Aa N1
⋅
Ab N2
∴
P( A)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）．现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生 了．因此有理由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者．即认为其接待 时间有规定的．
条件概率
例 据调查某地区居民的肝癌发病率为 0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1并记
解：
试验为从 1，2，……，N 个数中有放回地依次取 k 个数字，每 k 个数字的一个排列构
成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。
（1）因
k
个数字完全不同，实际为不可数的排列，基本事件个数为：
C
k n
⋅
k!
∴ P( A) = Cnk ⋅ k! Nk
(2) 同理 P(B) = (N − r)k Nk
(2)
P(A2)
=
C
n N
⋅ n!
Nn
or
ANn
(3) P(A3) =
C
k n
⋅ (n
− 1) n−k
Nn
（三）随机取数
1—N 个数字任取 k 个数字，一个一个的取，取后放回，求： （1）A：k 个数字完全不同； （2）B：不含 1，2，……，N 中指定的 r 个数字； （3）某指定的数字恰好出现 m（≤ k）次; （4）k 个数字中最大数恰好为 M。
P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.12。 以上结果表明，这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大。
例 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发 生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%，试 求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 解:
B2= B ， 则P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996。现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表
明不患肝癌，若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种特殊原因，是肝癌者
还未必检出阳性，不是患者也有可能检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为：
P（A|B1）=0.99
P（A|B2）=0.05
例 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的．问是否可以推断接待时间是有规定的． 解:
假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能 的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003，即千万分之三。
=
Ca a+b
⋅
Aa N1
Aa+b N
⋅
Ab N2
=Байду номын сангаас
(a + b)! ⋅ a!⋅b!
Aa N1
⋅
Ab N2
Aa+b N
=
Aa N1
⋅
AN 2
a! b!
Aa+b N
(a + b)!
=
Ca N1