晶体中电子在外场中运动

方向，m*的值不同。
一维情况：
1 1 d 2E 2 * m dk 2
三维情况：
1 1 2 E ( * )ij 2 , ( i , j x, y, z ) m ki k j
0, ( ) 0( )
2 E 若选k x , k y , k z为张量主轴，则有 k k
倒有效质量为对角张量
1 1 2 E ( * )ij 2 , ( i , j x, y, z ) m ki k j
2 E 0, ( ) 若选k x , k y , kz 沿张量主轴方向，则有 k k 0( )
2E 2 k x 1 1 * 2 0 m 0 0 2E 2 k y 0 0 0 2E 2 k z
1 dE (k ) 1 v(k ) (sin ka sin 2ka ) dk ma 4
m* 2 1 2 1 2 m(cos ka cos 2ka) m 2 3 k E a 2 k k
a
k
2
（B）能带底，
k (

a
,

a
,

a
)
1 0 0 2 m* 2 0 1 0 2 0 2a J 1 2a J 1 0 0 1
2
（C）布里渊区侧面中心X点，
2 2 2a J1 * m 0 0 0 2 2a 2 J1 0
§5-1准经典运动
二、有效质量 m * 与加速度的关系
（2）m*可以由能带函数E(k)获得。
1 v k k E k dk F dt
dv 1 *F dt m
d 1 dv k E k 1 dt dt * m F dk dt 1 1 * 2 kk E k m
第二种方法：把电子运动近似当作经典粒子来处理，一般的 输运过程问题，如均匀电、磁场中各种电导效应等属于这一 类型（当然须满足一定条件）。
§5-1准经典运动
讨论量子力学与经典力学的联系时，可 以把德布洛意波组成波包，用粒子的观点讨 论波包的运动。这一章就将用这个方法讨论 晶体电子在外场作用下 * m yy m * m zz
2E 2 k x 0 0 2
0 2E 2 k y 0
0 0 2 2 E 2 k z
m * x v x Fx * y Fy 或m y v m *v z z Fz

a
m*
k 0
2 1 2 m(cos ka cos 2ka) 1 2m 2 k 0 E k 2 k 0
§5-1准经典运动
2、晶体中的电子： 一般公式：
1 v k k E k
v (k )
k
晶体电子能量：可由能带理论 的两种近似理论求得，即能带 函数E(k)。
结论：速度 v k 是沿法线方向， 即与波矢 k 不同向。
§5-1准经典运动
* 二、 m 与 k m 二、有效质量 的关系 与加速度的关系
0 0 0 0 2E 2 22 k 2a zJ1 cos k z a
不同位置（即不同波矢）的有效质量计算
（A）能带底，k=(0,0,0)
1 0 0 2 * m 2 0 1 0 2 0 2a J 1 2a J 1 0 0 1
k (

a
,0 ,0 )
0 1 0 0 2 0 2 0 1 0 2a J1 0 0 1 2 2a 2 J1
例二：P584-5.1
已知:一维晶体, 电子能带为 2 7 1 E(k)= 2 ( cos ka cos 2ka) ma 8 8 求v(k )和能带底部和能带顶部的有效质量
* * 注：m* , m , m x y z 不一定相等
例题
以简立方晶格，紧束缚近似下的s带函数Es(k)为例，计算 有效质量。
E k s J 0 2J1 cosk x a cosk y a coskz a
s
2 2 2E 00 2 2 * k 2a J1cos k xa x m m* xx xx 2 2 * E ** * 2 m m 0 0 m yy myy 2 2 k 2 a J cos y k ya * m* 1 m zz zz 2 0 0 0 0


1 1 * 2 kk E k m 2E 2 k x x v dv 1 2E 1 y *F 2 v dt m k y k x v z 2E k k z x
第五章
晶体中电子在电场和 磁场中的运动
求本征态和本征值的方法： （1）近自由电子近似 （2）紧束缚近似
（第四章）电子在晶格周期场中的运动 波动方程：
2 2 2m V r E
应用：是研究有关电子运动问题的基础，如可根据统
计物理的一般原理，讨论有关电子统计的各种理论， 金属电子的热容量，半导体电子的热激发，电子的量 子跃迁问题，光吸收问题，电子散射问题等等。

2E k x k y 2E 2 k y 2E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E 2 k z
显然，m*为二阶张量，且由于等能面各向异性，故沿 k 不同
（本章）晶体中电子在外场中的运动
外场：可以是外加电场、磁场、掺入晶体的杂质势场等。
一般外加场总是比晶体周期场弱得多，应以晶体周期场 的本征态为基础进行讨论。讨论方法一般有两种： 第一种方法：解含有外场U的波动方程，近似求解。
2 2 2m V r U E
v k 与 k 的关系 一、
1、自由电子情况： 一般公式： 自由电子能量： 自由电子速度：
1 v k k E k 2 2 k E k 2m k v k m
§5-1准经典运动
v (k )
k
结论： v k 是沿球形等能面的法线方向 （或者说 v k 与 k 同向）
*
（1）m*是晶体中的电子对外力
F 的响应。
dv 1 ( F Fl ) dt m dv 1 * 引入m , 则有 *F dt m
的综合作用，即
晶体中的电子同时受到外力 F 和内部相互作用力 Fl
F * m m F Fl
即m*包含晶格周期场的作用，晶体中的电子对外力的响应， 好比具有质量为m*的自由电子。
布洛赫电子的运动可看作以k0为中心的波包运动
条件是：以k0为中心，将波矢在Δk内变化的布洛赫波
组成波包，当Δk比布里渊区的限度 2 小得多时（即波包 a 中心展宽的范围Δx>>a）。 晶体中电子 (1)可用类经典粒子所具有的速度，准动量，能量等经典 量来描述； (2)用有效质量m*来概括与晶格有相互作用的电子对外力 F的响应，则晶体中电子在外力作用下的加速度a与外力F 的关系写成类似牛顿第二定律形式： F=m*a