6.1 晶体中电子的运动特征
电子的运动和分布规律剖析
电子的运动和分布规律剖析
电子是构成物质的基本粒子之一，其运动和分布规律对于我们理解物质的性质和行为具有重要意义。在本文中，我们将探讨电子的运动和分布规律，并深入了解其在不同条件下的行为。
首先，我们来讨论电子的运动。电子是带负电荷的粒子，根据电磁理论，带电粒子在电场和磁场的作用下会受到力的作用而运动。在没有外力作用的情况下，电子会沿着惯性方向直线运动。然而，在存在电场或磁场的情况下，电子的运动将受到影响。
当电子处于电场中时，电场力会对其施加一个力，使其受到加速或减速。根据库仑定律，电子受力的大小与电场强度成正比，方向与电场强度的方向相同。因此，电子会沿着电场力的方向加速或减速运动。当电子从一个电场区域进入另一个电场区域时，其运动轨迹可能发生改变。
在磁场中，电子受到洛伦兹力的作用。洛伦兹力是由电子的运动速度和磁场强度决定的，其方向垂直于电子的速度和磁场的方向。因此，电子在磁场中将沿着一个弯曲的轨迹运动，这被称为洛伦兹力的磁场弯曲效应。这种效应在粒子加速器和磁共振成像等领域得到广泛应用。
除了受到外力的影响，电子之间的相互作用也会影响其运动。在导体中，电子之间存在库仑排斥力，即相同电荷之间的斥力。这种相互作用会导致电子在导体内部沿着复杂的路径运动，形成电流。电流的分布规律可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律等电路理论来描述。
接下来，我们来讨论电子的分布规律。在原子中，电子分布在不同的能级上。根据量子力学理论，电子的能级是离散的，且每个能级最多只能容纳一定数量的电子。这被称为泡利不相容原理。电子在能级之间跃迁时，会吸收或释放能量，产生光谱现象。 在固体中，电子的分布规律受到晶格结构和能带理论的影响。晶格结构决定了电子在固体中的周期性排列，而能带理论描述了电子在能量空间中的分布。根据能带理论，固体中的电子可以分为价带和导带。价带是最高占据能级以下的能级，而导带是最低未占据能级以上的能级。电子在固体中的运动和导电性质取决于价带和导带之间的能隙。
晶体中电子的能带理论图解
晶体中电子的能带理论
1 晶体中电子的能带理论
1． 价电子的共有化模型
设想物体由大量相同原子组成。这些原子在空间的排列与实际晶体排列相
同，但原子间距很大，使每一原子可看成自由原子，这时孤立原子中的电子组态
及相应能级都是相同的，成为简并能级。 简化模型
现设想原子间距按一定比例逐步减少，使整个原子体系过渡为实际晶体。每
一原子中电子特别是外层电子（价电子）除受本身原子的势场作用外，还受到相
邻原子的势场作用。其结果这些电子不再局限于某一原子而可以从一个原子转移
到相邻的原子中去，可以在整个晶体中运动，这就是所谓价电子的共有化。
布洛赫（F.Bloch）定理：
周期势场中运动的电子其势能函数应满足周期性条件：
U(x)=U(x+nl)
其中：l为晶格常数（相邻格点的间距）ｎ为任意整数电子满足定态薛定谔
方程为：
布洛赫证明：定态波函数一定具有下列特征：
布洛赫定理说在周期场中运动的电子波函数Φ(x)为自由电子波函数与具有晶体中电子的能带理论
2 晶体结构周期的函数u(x)的乘积，具有这种形式的波函数称为布洛赫函数或称为
布洛赫波。
克龙尼克—潘尼模型（Kronig-Penney Model）
考虑一粒子处在一维周期性方势阱中的运动
在0
在势阱内：
其中则
在势垒内：
其中则 由布洛赫定理：
且有：再结合波函数的单值有限连续可得：
由于-1
令：
超越方程为：f(E)=coskl K的变化使E变化，有的E可能使| f(E)|>1粒子不
可能取这样的能量——禁带。
特例：对自由电子：k1=k2=k
则：根据以上讨论，显然有在金属中
要量子化。
2． 固体能带
晶体中电子的能带理论
3 在晶体中，原来的简并能级即自由原子中的能级分裂为许多和原来能级很接
近的能级，形成能带。
理论计算表明，原先自由原子中电子的s能级分裂为和原来能级很接近N个
能级，形成一个能带，称为s能带。其中N为组成晶体的原子数。
例：N＝6 (晶体由6个原子组成)
电子空间运动状态和电子运动状态
电子空间运动状态和电子运动状态
一、电子空间运动状态 1、空间结构：电子空间运动状态表示电子在分子构型或晶体中的排列形式，最常
见的是由球面和椭球对泊松波函数构成的空间结构，如典型的SOF解析函数。 2、电子运动能量：电子空间运动状态通过电子运动能量来表示，电子运动能量主
要受哈密顿矩阵的影响。哈密顿矩阵包含了原子的排列信息，有助于描述电子状态；
同时，电子运动能量也受到斥和、电子-电子相互作用以及电子-核作用等因素的影
响。 3、电子-电子相互作用：电子空间运动状态不仅受原子排列影响，也受到电子-电
子相互作用的影响。电子-电子相互作用是由自旋、电荷和位置之间的耦合所决定
的，它可以描述不同原子之间电子状态的变化。 4、电子-核作用：电子空间运动状态也受到电子-核作用的影响。电子-核作用可以
通过电无量纲的色散势函数来表达，这种势函数可以描述电子与核交互的化学键。
二、电子运动状态 1、电子总能量：电子运动状态的最主要的表述形式是电子总能量，它不仅受到哈
密顿矩阵的影响，还受到电子-电子和电子-核相互作用的影响，它可以用来评价电
子运动状态的稳定性。 2、体系波函数：电子运动状态也可以用体系波函数来表述，除了描述电子在体系
中的总能量和电子态外，体系波函数还可以用来描述电子空间运动状态，例如电子
交换能量、电子-电子耦合能量等。 3、瞬时过程：电子运动状态还可以通过瞬时过程来表述，这是由瞬时的能级变化
以及电子状态的寿命所决定的，能够详细描述电子的瞬时活动状态。 4、量子选择规则：量子选择规则可以用来评价电子运动状态的稳定性，它在描述
电子态中起着重要作用，它可以帮助研究者确定电子空间中的运动状态。
周期结构中电子在电磁场中的运动
1 周期结构中电子在电磁场中的运动
周期结构中的电子在电磁场中的运动是现代物理学中的重要问题之一。周期结构是指晶体中重复的原子或分子排列形成的结构，在这种结构中，原子或分子的排列遵循一定的规律性，因此周期结构可以看作具有周期性的结构。周期结构的重要性在于它可以提供一种稳定的电子结构，并且在周期性的场中，电子的运动也表现出显著的规律性。
在周期结构中，电子的运动受到晶格结构和周期性电势场的影响。电子在晶体中的运动可以描述为自由电子模型加上晶格结构的影响。自由电子模型是指忽略晶格结构影响的电子模型，可以简化计算，但是在周期结构中不适用。因此，需要考虑晶格结构对电子运动的影响，并将其描述为位于晶格点上的原子核的电荷对电子施加的周期性电势场。
当电子处于周期性电势场中时，根据布拉格衍射理论，会发生衍射现象，即电子通过共同振荡，导致出现电子传播的禁带与电子不能通过的带。这些带的能量范围称为能带。在能带内，电子可以自由运动而不受阻碍，在禁带中则不能运动，因为电子的能量不足以击穿禁带。这种阻碍用禁带带来的效果，称之为能隙。因此，能带结构和能隙的存在是周期结构中电子运动的基本特征。
除了能带结构和能隙之外，周期结构中电子的运动还受到外部电场的影响。这是因为电场会给电子施加力，从而改变电子的能量和位置。在纯净的周期结构中，位置的变化很小，但是在实际应用中，晶体往往存在缺陷和杂质，从而导致电子的位置发生变化。因 2 此，在周期结构中，电子在电场中的运动不仅受到周期性电势场的影响，还受到外部电场和缺陷的影响。
在周期结构中，电子的运动是一个复杂的过程，需要综合考虑周期性电势场、能带结构、能隙、外部电场和缺陷等因素。通过研究这些因素的相互作用，可以深入理解周期结构中电子的运动，从而为实际应用提供帮助。例如，在其它领域中，周期结构被广泛应用于吸波材料、半导体和光学材料等领域中，这都离不开对周期结构中电子运动的深入研究。
第五章 晶体中电子能带理论
第五章 固体电子论基础
在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用 的研究。大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电 子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。这就是经典的自由电子气模型。自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态
作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
金属晶体中的自由电子运动
金属晶体中的自由电子运动
在我们生活的这个物质世界里，金属是一类极其重要且广泛应用的材料。从日常使用的锅碗瓢盆到高科技领域的精密仪器，金属无处不在。而金属之所以具有众多独特的性质，如良好的导电性、导热性和延展性，很大程度上都归因于金属晶体中自由电子的运动。
要理解金属晶体中自由电子的运动，首先得了解金属晶体的结构。金属晶体是由金属原子通过金属键结合而成的。在金属晶体中，金属原子失去部分或全部的外层电子，这些电子不再属于某个特定的原子，而是在整个晶体中自由运动，形成所谓的“自由电子气”。
想象一下，金属原子就像是一群有序排列的士兵，而它们失去的电子则像是在这个整齐队列中自由穿梭的小精灵。这些自由电子并不固定在某个位置，而是能够在整个金属晶体中快速移动。
那么，自由电子是如何运动的呢？从微观角度来看，它们的运动并非像我们平常所想象的那样沿着直线有规律地行进。实际上，自由电子的运动是一种无规则的热运动，就好像一群无头苍蝇在乱撞。然而，当我们对大量自由电子的运动进行统计分析时，会发现它们整体上呈现出一定的规律性。
在没有外加电场的情况下，自由电子向各个方向运动的机会均等，不会形成电流。但当我们在金属两端加上电场时，情况就发生了变化。电场力会对自由电子施加一个定向的作用力，使得它们不再是无规则的乱动，而是朝着电场的反方向发生定向移动，从而形成电流。这就好比原本混乱的人群在警察的指挥下有序地朝着一个方向前进。
自由电子的运动速度是相当快的。但这里需要注意的是，我们所说的电子定向移动速度，和通常所说的电流的传导速度并不是一回事。电流的传导速度实际上非常快，几乎接近光速，这是因为当电场在金属中建立起来后，几乎瞬间就能使整个金属中的自由电子都参与定向移动。而电子的定向移动速度则要慢得多。
自由电子的运动对于金属的导电性起着至关重要的作用。金属的导电性好坏主要取决于自由电子的浓度和它们在晶体中运动所受到的阻力。一般来说，自由电子浓度越高，运动阻力越小，金属的导电性就越好。例如，银、铜、金等金属具有良好的导电性，就是因为它们拥有较高浓度的自由电子以及相对较小的运动阻力。
周期结构中电子在电磁场中的运动 2
周期结构中电子在电磁场中的运动
一、背景介绍
周期结构是一种具有重复性的结构，最典型的周期结构是晶体结构。晶体结构是固体物质最有代表性的结构类型，也是最为复杂的结构。在晶体中，原子通过排列结合起来成为复杂的结构，而这些原子又由自己的电子环绕，这些电子之间又相互影响。
当电子受到电场与磁场的同时作用时，会产生在周期方向上的运动，这种运动产生的效应叫做“Hall效应”。Hall效应可应用于测量金属中电子的浓度及电子流的运动方向等信息，并具有很大的应用价值。
二、基本原理
在电磁场中，电子所受的洛伦兹力𝐹可以用公式表示：
$$ F = q(E + v \\times B) $$
其中，𝑞为电荷量，𝐸为电场强度，𝐵为磁场强度，𝑣为电子的速度。在一个垂直于磁场𝐵的电场𝐸中，按照公式所述的方式作用下，电子将会沿某个轴向运动，这个轴线方向与𝐸和𝐵的垂直方向相同。这个运动被称为“Hall运动”。
我们将样品的厚度取为𝑑，在样品上加一垂直于厚度方向的“基准电压”，从而在样品的两侧建立一个电势差。由于Hall效应，将会在样品中形成一个横向电势差，称为“Hall电势差”。同时，沿着厚度方向的电场将会使电子发生漂移运动，从而产生一定的电流，称为“Hall电流”。 三、实验操作
我们采用基本的“Hall Bar”结构来研究Hall效应。Hall Bar是用于研究Hall效应的一种设计。设P是一块垂直于轴向的长方形域片，其宽度为W，厚度为d，长度为L。我们在P的高度h处接入电流，从而在P上建立沿着长方向的“基准电压”，并通过外接电源施加一磁场𝐵0。当沿垂直于P平面的方向施加一方向垂直于基准电压的微小电场𝐸𝑧时，产生横向电势差𝑉𝐻，且当增加𝐸𝑧时，𝑉𝐻的大小此时会逐渐增大，但增加到一定程度后又会逐渐减小。此时测出的电势差为$V_H = \\frac{I_z
B_0 d}{W}$。
四、实验结果分析
第六章 能带理论2
11理学院物理系沈嵘
第六章能带理论II
6.1 电子运动的半（准）经典模型
6.2 恒定电场作用下电子的运动
6.3 恒定磁场中电子的运动
6.4 费米面的测量
6.5 金属的能带结构
6.6 能带理论的成就与局限
26.1 电子运动的半（准）经典模型
一晶体中电子的平均速度
在电子本征态
knvψ
电子速度没有确定值，只有平均值：
()∫∗=rp
mkv
knknnvvv
vvdˆ1
ψψ
()()ruer
knrki
knvv
vvv
v⋅=ψ∇−=hipˆ
由布洛赫定理:6.1 电子运动的半（准）经典模型
3()()∫+=∗rukpu
mkv
knknnvv
hvv
vvdˆ1
()ru
knv
v满足:
()()()()()rukrurVki
mknnknvvvvvh
vvε=
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
++∇−22
2
()
()()()rururV
mkp
kkkvvvv
h
vvvε=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
++
2ˆ2
()
()rV
mkp
H
kvv
h
v++
=
2ˆ
ˆ26.1 电子运动的半（准）经典模型
4取得:
kkvv
∂∂
=∇
()()()
()[]()()()rukrukruHrukp
m
knknknnkknkkkn
vvvvvvv
hh
vvvvvvvv
∇+∇=∇++
εεˆˆ()()ruruH
kkkkvv
vvvvε=ˆ
左乘对作积分:()ru
knv
v∗rv
()()()()()
()()()()()()rrurukrrurukrruHrurrukpru
m
knkknnknknnkknkkknknkn
vvvvvvvvvvvvvv
hvh
vvvvvvvvvvvv
dddˆdˆ
∫∫∫∫
∇+∇=∇++
∗∗∗∗
εε6.1 电子运动的半（准）经典模型
5()()kkv
nknv
hvv
vε∇=1
量子力学与经典力学对应: 波包
粒子分布在附近的范围内，动量取值为
附近范围内，与满足测不准关系。rv
rv
∆kv
h
kv
hrv
∆
粒子的位置--波包中心rv
粒子的动量--kv
h
晶体中: 用布洛赫波构成波包描述电子的运动。6.1 电子运动的半（准）经典模型
晶体的能带理论
晶体的能带理论
一、能带理论(Energy band theory )概述
能带理论是讨论晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电 子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它首先由 F.布洛赫和
L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理 论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价 电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶 体周期性的势场。
即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共 有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的 本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能 带。
二、能带的形成
1. 电子共有化
当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场 的作用，这时的势能曲线表示为图2。
当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场 的势能曲线具有和晶格相同的周期性！（如图3所示）
即：在N个离子实的范围内，U是以晶格间距d为周期的函数。实 际的晶对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实
电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。 图
图2 体是三维点阵，势场也具有三维周期性。
图3
分析：
1. 能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。因势垒较宽， 电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各 自的原子核周围运动；
2. 具有较大能量E3的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体 中自由运动；
3. 能量E2接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另 一个原子中。
这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电 子，称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显著！可借助图4理解电子共有化:
晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近.致使离 原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子 上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动 到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。