实验探究——面积与代数恒等式
新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 综合与实践 面积与代数恒等式》优质课教案_7
综合与实践——面积与代数恒等式教学设计一、教材分析本课题学习安排在第十二章《整式乘除》最后,以第十二章学过的计算公式为出发点,联系其几何意义,把数学代数式与几何图形紧密结合起来,充分体现了数形结合的数学思想.第十二章内容有许多法则和公式的推导都用到了几何图形的面积,因此对于第十二章涉及到的一些公式的几何意义就不再重复,所以在本节课题学习中,我精心选题,合理安排教学设计,使学生意识到第十二章法则公式的学习为本课题奠定了基础.没有必要选择特别复杂的代数恒等式,因为本课题主要是让学生探究学习,从中获取经验,体会数形结合的思想,特别复杂的代数恒等式只会加重学生负担,没有实际意义,所以选题时我主要由简到繁,符合学生认知规律,选取有代表性的代数恒等式,如：(ɑ＋b)²-(ɑ－b)²=4ɑb的验证.二、目标制定根据教材内容和本班学生的实际情况,确定本节的教学目标如下：·知识与技能目标：1、通过对几何图形面积关系的观察、分析、研究,从中抽象、归纳出代数恒等式；2、根据代数恒等式的特点,设计相应的图形验证其正确性；3、体会数量关系与图形之间的内在联系,了解一些代数恒等式的几何背景,体会它们的几何意义.·过程与方法目标：1、培养学生的观察、归纳、探索、交流、应用和主动获取知识的能力；2、培养学生的数学实验意识及渗透数形结合思想.·情感与态度目标：1、在学生解决问题的过程中,激发学生的创新意识,培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；2、在合作学习及相互交流中,培养学生团队精神.重点：从图形面积到代数恒等式.难点：从代数恒等式到图形面积.三、学法新课程标准明确指出：学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者,因此本节课始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的学习方法.四、教法1、针对八年级学生的认知特点,体现“以学生发展为本”的教育理念,发展学生的个性特长,让学生学会学习.本堂课主要采用引导启发、自主探索、合作交流的教学方法,教师引导为辅,学生自主思考解决问题为主.2、数学思想的学习比较抽象,我充分运用多媒体和教具辅助教学,增加课堂的趣味性,使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中,从而实现教与学的最优化,最终达成本节课的学习目标.五、课前准备导学案、多媒体课件、自制硬纸片等.六、教学过程课前预习课本，独立、高效完成课前、课堂教学设计，提高学生的自主思考、自我学习能力，从而节约课堂时间，留下更多的时间培养学生点评、质疑的能力和小组合作的能力！本节课我们就来学习研究这个问题,从而自然引出本节课的课题《面积与代数恒等式》把剩下的部分拼成一个等腰梯形,利用可以验证的乘法公式是拼成如图所示的大正方形,已知大正方）他用1张1号、1张2号和2张3号卡七、板书设计教学设计说明教案设计的整体构思：本堂课一开始从本章已学公式的几何解释提出问题,由问题引入数学新知识,从而激发学生研究问题、解决问题的欲望.接着,在一系列动手操作中,提高学生的注意力和学习兴趣,寄教于乐,直观地得出由图形→代数恒等式、由代数恒等式→图形,加深对数形结合数学思想的理解.其间不断进行学生的自主探究、小组合作交流,培养独立思考的能力和团队协作精神.最后,利用精心设计的一组练习,帮助学生理解数形结合的数学思想,大大提高学习效率.本堂课的教学特点：1、精心创设问题情景、突出数学的再发现过程.本堂课一开始从旧知中引出数学思想,目的是吸引学生的注意力,使他们产生学习的动力.同时,学生会直观地了解到数学问题来源于现实生活,数学可以解决我们生活中的许多问题.2、最大限度发挥课堂效益.使用多媒体,可以节省时间、加强效果、分散难点.让学生积极动脑动手,使课堂气氛紧张而活泼,既充分发挥教师的主导作用,又真正落实学生的主体地位.以此激发学生学习的主动性和积极性,使他们享受到探索和成功的乐趣.3、布置课后作业体现了“因人施教”教育思想.对一般的学生只做基础题,巩固本堂课知识；对一些接受能力强的学生,在巩固本堂课的基础上适当进行知识的归纳总结与延伸.4、采用生活中的例子,让学生当设计师,激励学生对数学的热爱.通过提供生活原型,反映了“数学是从人的需要中产生的”这一基本观点,寻机对学生进行热爱数学的宣传激励教育,点燃学生学习数学的兴趣之火,培养学生探究问题的意识.。
八年级数学上册《面积与代数恒等式》教案、教学设计
八年级的学生在数学学习上已具备一定的知识基础和思维能力，他们对平面几何图形有一定的了解，掌握了基本的面积计算方法。但在代数恒等式的理解和运用上，可能还存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，需要针对学生的实际情况，采取以下措施：
1.对于基础较好的学生，可以引导他们通过自主探究、拓展练习等方式，提高他们在面积计算和代数恒等式运用上的能力。
1.请学生完成课后练习题，包括不同类型的图形面积计算和代数恒等式的应用题，旨在让学生通过实际操作，加深对课堂所学知识的掌握。
2.设计一道综合性的实际问题，要求学生运用本节课所学的面积计算方法和代数恒等式解决问题。例如，计算一个不规则图形的面积，其中包含多个三角形、四边形和圆的组合，让学生学会将复杂的图形分解为简单的部分，并运用代数恒等式进行计算。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，树立正确的数学观念，认识到数学在生活中的重要作用。
2.激发学生的学习兴趣，鼓励他们勇于探索、积极思考，培养他们的创新意识和合作精神。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，让他们在解决问题的过程中，体会数学的精确性和严谨性。
4.引导学生关注社会、关注生活，将数学知识应用于实际，增强他们的社会责任感和使命感。
4.鼓励学生认真完成作业，培养他们良好的学习习惯和责任感，提高作业的完成质量。
6.融合信息技术，提高教学效果：运用多媒体、网络资源等现代信息技术，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
7.注重过程评价，激发学习动力：关注学生在学习过程中的表现，给予积极的评价和鼓励，激发他们的学习动力。
8.拓展延伸，提高思维品质：通过拓展练习、研究性学习等，培养学生的高阶思维，提高他们的思维品质。
2.对于基础一般的学生，要注重巩固他们对面积计算方法的理解，同时通过实例讲解和变式训练，帮助他们掌握代数恒等式的应用。
代数恒等式与面积
代数恒等式与面积冀氏中学孙国栋代数恒等式与面积一、教学目标知识目标：1、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；2、根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；数形结合，体会代数式的几何意义。
能力目标：培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力，渗透数形结合思想。
情感目标：在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生团队精神。
二、教学重点 ：从图形面积到代数恒等式教学难点 ：从代数恒等式到图形面积 三、教学过程 导入：1.请大家把预先准备好的长方形和正方形的硬纸片拿出来，摆在桌子上。
2.出示问题：你如何理解“代数恒等式”？ 举例：4a ·a=4a 2（不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫做代数恒等式） 新课：（一）首先请同学们观察用同种纸片拼成的几幅图形：从整体来看面积可表示为：2b ·2b 即（2b ）2 从局部来看面积可表示为：4b 2表示同意图形，所以可得：（2b ）2 = 4b 2学生表示（二）用两种纸片拼成的图像：整体表示面积：a(a+b) 局部表示面积：a 2+abbb b bb b b b aaa b可得：a(a+b) = a 2+ab 学生活动：例1 如图，请利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式(三)由三种纸片构成的图形：整体表示面积:(a+b)2 局部表示面积：a 2+2ab+b 2 可得：(a+b)2 = a 2+2ab+b 2学生活动：（1）看图，试利用图形面积写出一个代数恒等式。
（2）用图形面积解释代数恒等式：a ab b ccba baababaaab b（3a - b）(a - b)=3a2 - 4ab + b2四、课堂小结几何意义代数恒等式图形不同表达式五、作业导学《代数恒等式与面积（第一学时）》六、板书设计代数恒等式与面积1、代数恒等式2、由代数式到图形由图形到代数式七、教学反思。
综合与实践 面积与代数恒等式(等面积法)
问题分析与解决
问题分析
首先需要明确问题的背景和要求， 分析问题所涉及的数学知识点， 包括面积和代数恒等式的概念、 性质和应用。
解决方案设计
根据问题分析，设计合适的解决方 案，包括选择适当的数学方法和公 式，建立数学模型，并确定解题步 骤。
实施解决方案
按照设计的解决方案进行计算和推 理，得出积表示为基底与高的乘积。对于更复杂的图形，可 以通过分割、重组或近似等方法将其转化为简单的几何图形，再利用基底和高 的关系计算面积。
恒等式的几何意义
恒等式是数学中一个重要的概念，它描述了数或代数式之间 的等价关系。
恒等式的几何意义是将代数关系转化为几何图形。通过将代 数恒等式中的变量视为几何图形中的长度、角度或面积等参 数，可以直观地理解恒等式的几何意义。
课程展望
未来发展方向
研究等面积法在解决复杂 问题中的新方法和技巧。
培养学生对数学知识的综 合运用能力。
01
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探索面积与代数恒等式在其 他数学分支的交叉应用。
学生能力培养
提高学生的数学建模和解 决实际问题的能力。
THANKS
感谢观看
面积与代数恒等式的概念及其 关系。
重点与难点解析
难点：如何运用等面积法解决 实际问题。
后续学习建议
深化知识点
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探索等面积法在解决复杂问题中的技巧和 策略。
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02
进一步研究面积与代数恒等式在其他数学领 域的应用。
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实践与应用
结合实际问题，运用等面积法进行建模和 求解。
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06
参与数学建模竞赛，提高解决实际问题的 能力。
解决方案的验证与优化
面积与代数恒等式
面积与代数恒等式在数学中，面积与代数恒等式是两个重要的概念。
面积，作为几何学中的基本概念，是用于量化物体或图形占据的空间大小。
而代数恒等式则是数学中的一种基本工具，用于描述两个或多个数学表达式之间的等量关系。
面积在各个数学和物理领域中都有着广泛的应用。
在二维几何中，面积被定义为平面图形占据的区域大小。
比如，矩形的面积是长乘以宽，圆的面积是π乘以半径的平方。
在三维几何中，体积的概念类似，用来描述立体图形占据的空间大小。
代数恒等式是数学的基础组成部分，用于描述两个或多个数学表达式之间的等量关系。
比如，a² + b² = c²可以被认为是勾股定理的代数恒等式表示。
另外，代数恒等式也可以表示某些量在某些条件下的取值范围，比如二次方程判别式等等。
面积与代数恒等式的关系：面积和代数恒等式看似是两个没有交集的概念，但在一些特定的情况下，他们可以相互转化。
比如，在一些代数问题中，我们需要求解一些变量的值，而这些变量可能隐藏在一些几何图形的面积或者体积中。
同时，在一些几何问题中，我们可能需要使用代数恒等式来证明两个几何量之间的等量关系。
例如，在解析几何中，我们可以使用代数恒等式来描述和求解一些几何量的关系。
比如，在直角三角形中，我们可以使用勾股定理的代数恒等式a² + b² = c²来描述两条直角边的平方和等于斜边的平方的关系。
又比如，在极坐标系中，我们可以使用代数恒等式来描述和求解一些极径和极角的计算问题。
比如，极径的计算公式是ρ = x² + y²，极角的计算公式是tanθ = y/x。
综上所述，面积和代数恒等式都是数学的基础概念，在各个领域中都有着广泛的应用。
虽然它们看起来似乎是两个没有直接联系的概念，但在某些情况下，它们可以相互转化和结合使用，为我们的数学学习和研究提供更多的工具和方法。
在拼图中探索新知，感悟数形结合思想——课题学习《面积与代数恒等式》教学案例
课例研究了，我就理解了。
我们的绘本课堂除了听绘本、说感受，还要辅以丰富的活动。
画一画、看一看、做一做、搜一搜、拍一拍、录一录，让主题更突显，更有深度。
1.会声会色，图文并茂“说一说”是我们的绘本课堂出现频次最高的拓展手段。
让孩子走进绘本，走近人物，体验主人公的爱恨情仇：“你说他心里在想什么呢？”“他此刻的心情如何？”也要让孩子走出绘本，联结自己的生活：“你有没有干过相似的事情呢？”“你尝过的最好吃的水果是什么？”像这个绘本里让孩子续写故事：天空和小熊又去了哪？还会遇见谁，发生什么事呢？最后找到妈妈了吗？和美术学科相结合，做一做翻页书吧。
也可以给光头强的一封信，劝劝他不要再乱砍滥伐了。
低段重表达轻书写，可以让他们简单写写所说，画一画所想，甚至可以只画不说，选择自己最喜欢的方式把想说的表达出来。
2.观影体验，影像点缀影像相比文字、图片，是最清晰、最直观的表达方式。
它可以突破时间和空间的局限，让我们最大限度地了解一样事物。
视频不宜多，贵在精。
本次的绘本学习，我安排了百度视频里关于“海豹”的三分钟短频。
视频出现的时机很重要。
在孩子们充分提问、极度渴望的情况下，再播放学习。
课后布置了家庭作业：与父母同看科普纪录片《北极熊：夏日远行》。
在绘本学习接近尾声、孩子揭示主题之时，穿插了讲述全球气候变暖所带来的灾难性的影响的美国纪录片——《难以忽视的真相》。
课堂播放截取的短频，回家与父母观看整个纪录片。
观影体验，让我们深深感到缓解“全球变暖”刻不容缓。
低段绘本阅读指导，遵“寻”识斯真。
以“寻”为依托，充分尊重孩子的个性发展就是最好的教育；以“寻”为抓手，找疑点，找疑问，找活动。
绘本是用图画与文字共同奏响的协奏曲。
凝练灵动的语言，精致创意的画面，天马行空的想象，孩子在这样的文字与画面里浸淫着、熏陶着，让孩子养成仔细观察的习惯，品味图文之美。
由此，让孩子爱上绘本，插上阅读的翅膀。
【背景导读】“课题学习”作为初中数学四大领域（数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习）之一，是新课程标准的一大特色，它是一种新型的学习活动。
面积与代数恒等式(学案)
课题学习面积与代数恒等式学案班级_______姓名_________学号________一、已知图形写出相应的代数恒等式：例1、上图中的大正方形的面积可以表示为___________，还可以表示为________________，因为同一图形的面积相等，故____________=_____________。
这是一个代数恒等式。
练习1：下列图形可以解释什么代数恒等式？请填空：图(1)____________=_________________ 图(2)____________=_______________________________=_________________简单说明：图(3)练习2、如图(4)是L型钢条的截面积图，试利用这个图形来说明等式：2-+-+=---()()()()c a c c b c c ab a c b c图(4)练习3、如图(5)就是2002年国际数学大会会徽的图案，是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，此直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c。
你能根据该图形说明a，b，c之间存在什么代数恒等式吗？图(5)小结：________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________二、已知代数恒等式拼出相应的图形：例2、利用手中的纸片，拼出图形验证下列代数恒等式：（拼完后画出图形）练习4、分别设计一个图形来说明下列代数恒等式：（先拼图后画图）小结：________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2()a a b a ab+=+2222222(1)236(2)()2(3)(2)(2)232(4)()()a b ab a b a ab b a b a b a ab b a b a b a b ⋅=-=-++-=+-+-=-三、利用手中的纸片拼出一些图形并写出相应的代数恒等式，或者先写出代数恒等式再拼出相应的图形加以验证。
综合与实践 面积与代数恒等式教案(教学设计)
图2b b aa 图1a a aa 面积与代数恒等式一、教学目标知识目标：1、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；2、根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；3、体会数量关系与图形之间内在联系，了解一些代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义 能力目标：1、培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力；2、培养学生的数学实验意识及渗透数形结合思想。
情感目标：1、在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；2、在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。
二、教学重点 从图形面积到代数恒等式难点 从代数恒等式到图形面积三、教学方法与手段教学方法：引导启发、自主探索、合作交流教学手段：电脑教学四、教学过程（一）引入：1、有一张长方形纸片，如果按此方法将它分成四部分，该如何表示它的总面积？还可以怎样表示？由此能得到等式？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn2、说一说 首先请同学们观察用硬纸片拼成的几幅图形：这些图形面积的两种不同表示，可以用来解释什么等式？()2242a a =，()2222b ab a b a ++=+图3b b aa 3、利用同一图形面积的不同表示方法我们得到了三个等式。
式子中的字母无论取何值时，等式都成立吗？我们用学过的整式乘法来验证一下：计算(a+b)(m+n)=，()22a ，()2a b +=4、对比之前的等式，发现是一样的，也就是说无论字母取何值，上面的等式都成立。
像上述这种，不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫代数恒等式。
（板书：代数恒等式）5、刚刚这几个代数恒等式我们是如何建立的呢？（用两种不同的方式表示同一个图形的面积）6、今天我们就来学习面积与代数恒等式。
（板书：面积）（二）从图形面积到代数恒式：1、请仔细观察拼图过程，思考有此图可得到一个什么代数恒等式？ ()()22--a b a b a b +=2、做一做：小组合的形式进行研究要求：（1）在同一个图形中可以多次使用同一种纸片；（2）拼成的图形由2张或者2张以上但不超过4张的纸片构成，并且整体上是一个规则图形；（3）尽可能多的拼出不同的几何图形,并写出相应的代数恒等式。
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胡总中心学校数学教研组 汤传光编制
图3
胡总中心学校数学教研组汤传光编制
作
扣标展示请展示依标独学中的知识拓展，以及围标群学中的三个
问题
（小组对子之间用红色笔批改，并根据例题小组成员互
相讨论）
展示时，使用普
通话，抬头挺
胸，面向大家，
语言使用要规
范
达
标
测
评
达
标
测
1.画图，说明面代数恒等式的正确性.
(2ɑ＋b)(ɑ＋b)＝2ɑ²＋3ɑb＋b²
2.看图，写代数恒等式
（小组对子之间用红色笔批改，组长统计本组所做情况）
教师出示
答案，学生互批
进行查缺补
漏。
做完之后，别忘
记检查哦。
胡总中心学校数学教研组汤传光编制
胡总中心学校数学教研组汤传光编制。