初高中数学衔接教材参考答案
初升高暑假数学衔接教材含答案
初升高暑假数学衔接教材第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。
高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。
初高中数学衔接教材参考答案
初高中数学衔接教材参考答案第一讲 数与式的运算例1. 解：原式=22]31)2([+-+x x例2. 解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+例3. 解：（1）原式=333644m m +=+例7. 解：(1) 原式6==-(2) 原式ab(3) 原式=-+=-例8. 解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+(2) 原式=+=+例9.解：77 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=例10. 解法一：1．3．4．-5．例1. 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+例2. 解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-例3. 解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--例4. 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 例5. 解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+例6. 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-例7. 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 例8. (1) 24- 15(5)-=-例 例10. 例11. 练习1．(a +1(2645525216p -．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+ 4.322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+第三讲 一元二次方程根与系数的关系例1. 解：(1)2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+=例2. 2(2)4=--例3. 例4. (4) 12||x x -====例5. 解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，3例6. ∴ 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．练习1． B 2． A 3．A 4． 3 5． 9或3-6．1或47．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-8．3(1) (2)22k k ≥=第四讲 不 等 式例1. 解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，于是：3020x x +<⎧⎨-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩333222x x x x x x <->-⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨<>⎩⎩或或所以，原不等式的解是32x x <->或．例2.例3. 例4. 例5. 3(1)3k ⎪⎪-⋅=-⎪⎩例6. 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：解法(二) 原不等式可化为：3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<． (2) ∵ 22131(024x x x -+=-+>原不等式可化为：303x x +≥⇒≥- 例7. 解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223x x x x x x x x x x ++≥⎧--+-≤⇒≤⇒≥⇒⇒<-≥-⎨+≠+++⎩或例8. 解：原不等式可化为：(2)2m m x m ->-(1) 当202m m ->>即时，1mx >，不等式的解为1x m>； (2) 当202m m -<<即时，1mx <．无解．例9.1．(1)2．(1)x 3．5．(1)当2m >时，12m x m ->-；(2)当2m <时，12m x m -<-； (3) 当2m =时，x 取全体实数． 6．1k =- 7．1x ≠第五讲 二次函数的最值问题例1. 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2. 解：作出函数的图象．当1x =时， 1max-=y，当2x =时， 5min-=y．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3. 解：作出函数2(2)2y x x x x=--=-在0x≥内的图象．可以看出：当1x=时，min 1y=-，无最大值．例例5.∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习1．4 ， 14或2，322．2216lm3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值．4．当34x=时，min318y=；当2x=-时，max19y=． 5．5y≥-6．当56x =时，min 36y =-；当23x =或1时，max 3y =．7．当54t =-时，min 0y =． 第六讲 简单的二元二次方程组例1. 解：由(1)得：2y x = (3)22 例2.例3. 例4. ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 例5. 解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1)-(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是： 例6. 解：(1) 3(2)⨯-得：313 1 (3)x y y x -=⇒=-代入(1)得：212(31)33311x x x x x x -+=⇒=⇒==-或． 分别代入(3)得：1224y y ==-或．∴ 原方程组的解是：1211x x ==-⎧⎧⎨⎨或． 练习1．(1)x y ⎧⎨⎩2． (1)⎧⎨⎩3．(1)⎧⎨⎩44x y ⎧⎨⎩4．(1) ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩第七讲 分式方程和无理方程的解法例1. 解：原方程可化为：方程两边各项都乘以24x -：即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+= 解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．所以，原方程的解是1x =．例2. 解：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-． (1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；例3. (1)(2) 例4. 移项，合并同类项得：260x x +-=解得：3x =-或2x =检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根．把2x =代入原方程，左边 = 右边，所以2x =是原方程的根． 所以，原方程的解是2x =．例5. 解：3=-两边平方得：3293x x -=-+整理得：1427x x =-⇒=-两边平方得：29(3)4914x x x +=-+整理得：223220x x -+=，解得：1x =或22x =．检验：把1x =代入原方程，左边=右边，所以1x =是原方程的根． 把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根．所以，原方程的解是1x =．例6. 1．(1)x 2．x =3．(1)x 4．(1)5．(1)x 第八讲 直线、平面与常见立体图形例1. 解：正方体有6个面，12条棱，8个顶点，18对平行棱。
初高中衔接数学及参考答案
数 学代数部分第一讲 乘法公式一、知识要点1．平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-﹒ 2．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++﹒3．立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+﹒ 4．立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-﹒ 5．完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-﹒二、例题选讲例1、填空（1）=++-)9)(3)(3(2x x x _______________﹒ 解：原式=81)9)(9(422-=+-x x x ﹒ （2）=+--22)2()12(x x ______________﹒解：原式=383)44(144222--=++-+-x x x x x x ﹒ 例2、已知31=+xx ，求下列各式的值： （1）221x x +；（2）331xx +﹒ 解：（1）21112)1(22222++=+⋅⋅+=+xx x x x x x x Θ，7292)1(1222=-=-+=+∴x x xx ﹒ (2) 18)17(3)11)(1(12233=-⨯=+-+=+x x x x x x ﹒例3、已知2x y +=，求代数式336x y xy ++的值． 解：33226()()6x y xy x y x xy y xy ++=+-++2222(3)2()8x xy y xy x y =-++=+=﹒例4、 已知8,9,x y y z -=-=试求代数式222x y z xy yz xz ++---的值． 解：8,9,17x y y z x z -=-=∴-=Q ，2222221(222222)2x y z xy yz xz x y z xy yz xz ∴++---=++---22222211[()()()](8917)21722x y y z x z =-+-+-=++= 三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．计算=+-++-++-))(())(())((a c a c c b c b b a b a _________． 2．计算22()2()()()x y x y x y x y +-+-+-= ． 3．2200620082004-⨯= ． 4．已知2510x x -+=，则221x x += ． 5．计算16842321)13)(13)(13)(13(⋅-++++= ．6．计算222222221234562009201012345620092010----++++++++L +201220112012201122+-﹒7．已知2a c b +=+，则222222a b c ab bc ac ++--+= ．8．已知2x y -=，求代数式336x y xy --的值．9．已知1,3x y xy -==，试求下列各式的值： （1）22;x y +（2）33.x y -第二讲 因式分解一、知识要点1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式． 2．因式分解的基本方法：（1）提公因式法 )(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法 常见公式有：①22()()a b a b a b -=+-， ②2222()a ab b a b ±+=±， ③3322()()a b a b a ab b ±=±+m ， ④3223333()a a b ab b a b ±+±=±，⑤2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++， （3）十字相乘法：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题选讲例1、 因式分解：（1）244x x -+ ；（2）38x -；（3）33)2()2(a y a x ---﹒ 解：（1）244x x -+2(2)x =-（2）38x -3322(2)(24)x x x x =-=-++（3）33)2()2(a y a x ---=)()2()2()2(333y x a a y a x +-=-+-例2 、因式分解（1）256x x -+；（2）2215x x --；（3）26136x x -+﹒ 解：（1）256x x -+(2)(3)x x =--；（2）2215x x --(25)(3)x x =+-； （3）26136x x -+(23)(32)x x =--﹒例3、 因式分解225636x xy y x y -+-+ 解：225636x xy y x y -+-+(2)(3)3(2)x y x y x y =----(2)(33)x y x y =---例4、因式分解523325a ab a b b --+ 解：523325a ab a b b --+233233()()a a b b a b =---3322()()a b a b =-- 222()()()a b a b a ab b =-+++三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．将下列各式分解因式： （1）32x x y -__________________________________________________________________ （2）44-x__________________________________________________________________ （3）33125x y -__________________________________________________________________ （4）1322+-x x__________________________________________________________________ （5）2(1)x a x a -++__________________________________________________________________（6）32331a a a +++__________________________________________________________________ （7）222221a b ab a b ++--+__________________________________________________________________ （8）22122512x xy y ++__________________________________________________________________ （9）2226x xy y x y ++---__________________________________________________________________ 2．已知25a b -=，346a b +=，求多项式22328a ab b --的值．第三讲 因式定理一、知识要点定理1（因式定理）：若a 是一元多项式)(0111是非负整数n a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--的根，即00111=++⋅⋅⋅++--a a a a a a a n n n n ，则多项式0111a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--有一个因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根。
2024年暑期初升高数学衔接教材12讲-专项训练【含答案】
初高中数学衔接教材编者的话高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
2024年新高一数学初升高衔接《指数及其运算》含答案解析
第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x②当n 是偶数，0>a 时，x 的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n=a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数na n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂m na 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=有意义，但()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A3=-Bx=C2=D ．01a =【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【变式2-2】（23-24高一上·全国·；【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-，3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--=【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120aa =≥C．21320,0)x y x y ->>D ．3142(0)x x ⎤=->【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(2)154m⋅考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国·专题练习）下列等式一定成立的是（）A ．1332a a a⋅=B ．11220⋅=a a C ．329()a a =D ．111362a a a ÷=【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x =，103y =，则10x y +=．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =()2312222a ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x-+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 4．（23-24高一上·安徽淮南·月考）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120a a =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．166．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）AB ．C ．D 8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B1=C．mna-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a---+的值.第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x②当n 是偶数，0>a 时，x 的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n=a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数na n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂m na 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=有意义，但()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【答案】D【解析】A.R a ∈有意义；B.R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；D.a<0无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a 【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；对于B ，当a<0时，14a 无意义，B 不是；对于C ，23a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【答案】B102R a a -≥⎧⎨-∈⎩，解得1a ≥，所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为【答案】1(,2-∞【解析】由34(12)x --120x ->，解得12x <，故答案为：1(,2-∞．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A3=-B x =C 2=D ．01a =【答案】C【解析】A 3=，故A 错误；B x =，故B 错误；C2=，故C 正确；D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】+==a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b++==，所以，0+=.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·；【答案】6-=6(446-++=-．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-，3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --【答案】AC 【解析】由题意知412x <-，即4102x-<-，即202x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，3|2|3x =+-3523210,23523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--=【答案】A【解析】由于5353818-==，A 正确，B ，C 错误；()328--=D 错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【答案】AC【解析】对于A：4263a a ==A正确；对于B 5=，故B 错误；对于C：(2636===，故C 正确；对于D：23231aa-==D 错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120a a =≥C．21320,0)x y x y ->>D ．3142(0)x x ⎤=->【答案】BC【解析】对选项A：)130xx -=≠，错误；对选项B()1313220a a a ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，正确；对选项C22133212(0,0)y x y x y x-==>>，正确；对选项D ：33214432(0)x x x ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(2)154m⋅【答案】(1)14b ；(2)1【解析】（1111224b b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.（2）154m⋅111115324023651641m m m mm m m-⋅⋅====⋅.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国·专题练习）下列等式一定成立的是（）A ．1332a a a ⋅=B ．11220⋅=a a C ．329()a a =D ．111362a a a ÷=【答案】D【解析】对于A ：11311333262a a a a +⋅==，故A 错误；对于B ：11212221+⋅==a a a a ，故B 错误；对于C ：326()a a =，故C 错误；对于D ：1111132362a a a a -÷==，故D 正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x =，103y =，则10x y +=．【答案】6【解析】102x =Q ，103y =，101010236x y x y +∴=⋅=⨯=，故答案为：6．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =()2312222a ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【答案】1【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()231222232246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，又11322,2a b --===，所以原式6411223222221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)1a；(2)0.09【解析】（1）原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫--⎪⎝⎭-+--⋅====.（2）原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】C 【解析】∵1214416x --==，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】解：原方程即222502x x ⨯-+=，化简可得()2225220x x ⨯+⨯-=，令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【答案】1x =【解析】由422x x -=可得()22220x x --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．【答案】5x =或12x =【解析】由题意可得(2599222222xxx x x -+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以25922x x x -+=，即221150x x -+=，解得5x =或12x =，故答案为：5x =或12x =考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】A【解析】112221()2224a a a a-+=++=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【答案】6【解析】因为11223a a-+=，所以2112223a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即129a a -++=，所以17a a -+=，所以3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11122371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭，所以332211221863a a a a--+==+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x -+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【答案】4【解析】因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)13【解析】（1）由题意11223a a-+=，所以21112222327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭.（2）由题意11223a a -+=，所以()()1111212233222222213371331512744534a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 【答案】B【解析】对于A ，由221aa -=可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式13a 恒有意义；对于C，易知12a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．【答案】A【解析】332232232332555⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 【答案】A12a =，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120aa =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>【答案】B【解析】对于A()1313220a a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B选项，)334410xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，)21321210,0x y x y x-=>>，故C 正确；对于D，)()33321444320x x x ⎛⎫⎤===> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】由14x x -+=可得：()2122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100【答案】A【解析】原式()11133333112344131442222223221083331210810231-⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）A B ．C ．D 【答案】BCD【解析】对于A π44π=-=-，不合题意；对于B ，2=，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于D 22=-=，符合题意.故选：BCD8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B 1=C ．mna-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a ab a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab a a b a b b ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．【答案】4ab【解析】()((4222222a b ab a b +-⋅=⋅=.故答案为：4ab .10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．【答案】{1,2}-【解析】令2x t =，则0t >，方程可化为22940t t -+=，解得12t =或4t =，所以，122x =或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222αβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.52031103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】(1)52；(2)0【解析】（1）()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）20.52031103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222364493322220273444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a ---+的值.【答案】(1)3；(2)5【解析】（1）将11221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.（2）因为a 是正实数，令1122(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=，所以x 可得()33111222214a a a a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，所以332211225a a a a ---==+.。
初中升高中数学衔接：教材8讲word版配答案(行知版)
初高中数学衔接教材一、现有初高中数学知识存在以下“脱节〞：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1〞的分解，对系数不为“1〞的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基此题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系〔韦达定理〕在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这局部内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何局部很多概念〔如重心、垂心等〕和定理〔如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等〕初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
二、初高中数学衔接目录：前言第一讲数与式的运算〔两课时〕第二讲因式分解〔两课时〕第三讲一元二次方程根与系数的关系〔一课时〕第四讲不等式〔两课时〕第五讲二次函数的最值问题〔一课时〕第六讲简单的二元二次方程组〔一课时〕第七讲分式方程和无理方程的解法〔一课时〕第八讲直线、平面与常见立体图形〔一课时〕第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系〔一课时〕初高中数学衔接教材初高中衔接从观念开始----致即将毕业的初三同学一、初、高中的比拟和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你开展的前途。
最新暑期初高中数学衔接教程【含答案】
课堂笔记第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。
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初高中数学衔接教材参考答案第一讲数与式的运算例1. 解：原式=例2. 解：原式=例3. 解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=例4. 解：原式=例5. 解：原式=①②，把②代入①得原式=例6. 解：(1) 原式=(2)原式=例7. 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=例8. 解：(1) 原式=(2) 原式=例9. 解：原式=例10. 解法一：原式=解法二：原式=例11. 解：原式=练习1． C 2． A3．(1) (2)(3)4．5．第二讲因式分解例1. 解：(1)(2)例2. 解：(1)．(2)例3. 解：例4. 解：例5. 解：例6. 解：例7. 解：(1)．(2)例8. 解：(1)(2)例9. 解：(1)(2)例10. 解：(1)(2) 例11. 解：例12. 解：练习1．2．3．4.5．第三讲一元二次方程根与系数的关系例1. 解：(1) ，∴原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：，∴原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：，∴原方程没有实数根．例2. 解：(1) ；(2)；(3) 4-12k0 k； (4) 4-12k＜0 k＞．例3. 解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：例4. 解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)例5. 解：(1) ∵方程两实根的积为5∴所以，当时，方程两实根的积为5．(2) 由得知：①当时，，所以方程有两相等实数根，故；②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．例6. 解：(1) 假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根∴，又是一元二次方程的两个实数根∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．练习1． B 2． A 3．A 4． 3 5．9或6．1或47．8．第四讲不等式例1. 解：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．例2. 解：(1) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．(2) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．例 3. 解：(1) 不等式可化为∴不等式的解是(2) 不等式可化为∴不等式的解是(3) 不等式可化为．∴不等式无解。
例4. 解：显然不合题意，于是：例5. 解：由题意得：例6. 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：解法(二) 原不等式可化为：．(2) ∵原不等式可化为：例7. 解：原不等式可化为：例8. 解：原不等式可化为：(1) 当时，，不等式的解为；(2) 当时，．①时，不等式的解为；②时，不等式的解为；③时，不等式的解为全体实数．(3) 当时，不等式无解．综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．例9. 解：原不等式可化为：．所以依题意：练习1．2．3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．．5．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．6． 7．第五讲二次函数的最值问题例 1. 解：作出函数的图象．当时，，当时，．例2. 解：作出函数的图象．当时，，当时，．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3. 解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．例4. 解：函数的对称轴为．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：例5. 解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习1．4 ， 14或2， 2．3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．4．当时，；当时，． 5．6．当时，；当或1时，．7．当时，．第六讲简单的二元二次方程组例1. 解：由(1)得： (3)将(3)代入(2)得：，解得：把代入(3)得：；把代入(3)得：．∴原方程组的解是：．例 2. 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：．∴原方程组的解是：．例3. 解：由(1)得：∴或∴原方程组可化为两个方程组：用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：例4. 解：(1) –(2)得：即∴∴原方程组可化为两个二元一次方程组：．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：．例5. 解：(1) +(2)得：， (1) -(2)得：．解此四个方程组，得原方程组的解是：例6. 解：(1) 得：代入(1)得：．分别代入(3)得：．∴原方程组的解是：．练习1．2．3．(1)．4．(1)．(2) ．第七讲分式方程和无理方程的解法例1. 解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或．检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是．例2. 解：设，则原方程可化为：解得或．(1)当时，，去分母，得；(2)当时，．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，，都是原方程的解．例3. 解：设，则原方程可化为：．(1)当时，；(2)当时，．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是，，．例4. 解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．例5. 解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．例6. 解：设，则原方程可化为：，即，解得：或．(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解．检验：把分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是．练习1．2．3．（1）x=-1，（2）x=6，（3）x= 4．(1)．(2) ．5．第八讲直线、平面与常见立体图形例1.解：正方体有6个面，12条棱，8个顶点，18对平行棱。
例2. 解：①②；③；例3. 解：图一图二例4. 解：可以，如图过A、B1、D1的截面为正三角形，过A、A1、C、C1的截面为长方形设M、N、P、Q、R、S为对应棱的中点，则MNPQRS恰为正六边形练习1. （1）（2）（3）（4）（5）2. （1）（2）（3）3. ；第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系例1. 解：连结OD，交AB于点E。
弧BD=弧AD，O是圆心，在Rt BOE中，OB=5cm,BE=3cm,图3.3-5在Rt BED中，BE =3cm,DE =1cm,例2. 解：设圆的半径为，分两种情况（如图3.3-6）：（1）图3.3-6若在两条平行线的外侧，如图（1）， AB=，CD=6，则由，得，解得.（2）若在两条平行线的内侧（含线上）， AB=，CD=6，则由，得，无解.综合得，圆的半径为5.例3. 解：连交于，则，且为的中点，图3.3-8设，则，解得.故弦的长为.练习1．取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，.2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.3. 半径为3cm，OE=2cm.,OF=.4.外公切线长为12，内公切线长为.文档已经阅读完毕，请返回上一页！。