二元一次方程组的典型例题
二元一次方程组练习题多篇
二元一次方程组练习题多篇二元一次方程组练习题11)66x+17y=396725x+y=1200答案：x=48y=47(2)18x+23y=230374x-y=1998答案：x=27y=79(3)44x+90y=779644x+y=3476答案：x=79y=48(4)76x-66y=408230x-y=2940答案：x=98y=51(5)67x+54y=854671x-y=5680答案：x=80y=59(6)42x-95y=-141021x-y=1575答案：x=75y=48(7)47x-40y=85334x-y=2006答案：x=59y=48 (8)19x-32y=-1786 75x+y=4950答案：x=66y=95 (9)97x+24y=7202 58x-y=2900答案：x=50y=98 (10)42x+85y=6362 63x-y=1638答案：x=26y=62 (11)85x-92y=-2518 27x-y=486答案：x=18y=44 (12)79x+40y=2419 56x-y=1176答案：x=21y=19 (13)80x-87y=2156 22x-y=880答案：x=40y=12 (14)32x+62y=513457x+y=2850答案：x=50y=57(15)83x-49y=8259x+y=2183答案：x=37y=61(16)91x+70y=584595x-y=4275答案：x=45y=25(17)29x+44y=528188x-y=3608答案：x=41y=93(18)25x-95y=-435540x-y=2000答案：x=50y=59(19)54x+68y=328478x+y=1404答案：x=18y=34(20)70x+13y=352052x+y=2132答案：x=41y=50二元一次方程组练习题2实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想找出题目中的等式关系。
二元一次方程10道题带过程
二元一次方程10道题带过程【原创版3篇】篇1 目录1.引言：二元一次方程的概述2.二元一次方程的求解方法3.例题一：解一个简单的二元一次方程组4.例题二：解一个含有分数的二元一次方程组5.例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组6.例题四：解一个含有平方项的二元一次方程组7.例题五：解一个含有两个未知数的二次项的二元一次方程组8.例题六：解一个含有参数的二元一次方程组9.例题七：解一个含有矩阵的二元一次方程组10.例题八：解一个含有行列式的二元一次方程组11.例题九：解一个含有高次项的二元一次方程组12.例题十：解一个含有多个方程的二元一次方程组13.结论：二元一次方程的求解技巧和注意事项篇1正文二元一次方程是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组，是代数学中的基本内容之一。
在解决实际问题中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程的问题。
本文将通过十个例子，详细讲解如何解决二元一次方程。
首先，我们需要了解二元一次方程的求解方法。
一般地，我们可以通过以下步骤求解：1.列出方程组；2.消元，将方程组化为一个一元一次方程；3.解出一个未知数；4.将已知数代入原方程，解出另一个未知数。
下面，我们将通过十个具体的例子，详细讲解如何运用以上方法解决二元一次方程。
例题一：解一个简单的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, x - y = 2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 8，解得 x = 4，代入原方程解得 y = 2。
例题二：解一个含有分数的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, x - y = 1/2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 15/2，解得 x = 15/4，代入原方程解得 y = 11/4。
例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, |x - y| = 2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：x - y = 2 或 x - y = -2，解得两组解：x = 4, y = 2 或 x = 2, y = 4。
二元一次方程例题
二元一次方程（组）的应用例1、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，他们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干嘛！如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮的货物的袋数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8例2、在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话如图所示，试根据途中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省，请说明理由。
例3、小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据途中的数据（单位：m）解答下列问题：（1）写出用含x,y的代数式标示地面的总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？例4、经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出小熊能赚多少钱？例5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
安全检查中，对4道门进行了测试；当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生；（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5min通过这4道门安全撤离。
假设这栋大楼每间教室最多有45名学生，问建造的这4道门是否符合安全规范？请说明理由。
例6、市政府根据社会需要，对自来水价格句型了听证会，决定从今年4月份起水量是小晶家的1.5倍，请你通过上述信息，求出表中的x。
二元一次方程组的经典例题
借助方程不定解,分类计算寻找最省钱方案例 1 小明家新购置了一套经济实用房,房屋装饰需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖,装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包 50 块，价格为 30 元；小包装每包 30 块，价格为 20 块，若大、小包装均不拆开零售，那么制定什么样的购买方案才能使所付费用最少？分析：利用二元一次方程，求出两种规格的瓷砖各买多少包，再计算出每种方案所需要的费用，进行比较后作出决定.解：设需要大包装x 包,小包装 y 包.根据题意,可列方程 50x＋30y＝480.因为 x，y 都是非负整数, 所以方程的解有x＝0，y＝16x＝3，y＝11x＝6，y＝6x＝9，y＝1所以有四种方案，所需费用分别是20×16＝320（元）；30×3＋20×11＝310（元）；30×6＋20×6＝300（元）；30×9＋20×1＝290（元）.答：购买9 个大包装，1 个小包装所付的费用最少点评：虽然二元一次方程有无数个解,但 x，y 表示的是瓷砖的包装箱数,所以 x，y 是非负整数.本题主要是借助方程的解是非负整数,确定购买方案，再冲中找出最省钱的方案。
知道相应的距离，难以列出方程.由于小明与迎面而来的车相遇可视为行程问题中的相遇问题,而背后的车越过就是追及问题，故设间接未知数，即设小明和车的速度以及两辆车之间的距离可使问题巧妙获解.解：设公共汽车的速度为 x 米/分,小明的步行速度为 y 米/分，同一车站发的相邻两辆汽车相隔 m 米.根据题意，列方程组得12（x－y）＝m，4（x＋y）＝m.题中只要求求出汽车站每隔几分钟双方各发一趟车, 所以我们无需将三个未知数均解出来,只要求出mx 的值即可.由①＋②×3，得 24x＝4m，所以 m/x ＝6.。
《应用二元一次方程组-里程碑上的数》典型例题
《应用二元一次方程组---里程碑上的数》典型例题例1有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．例2下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价：股票每天交易结束时的价格）某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股．例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99．求这个三位数．例4一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．参考答案例 1 分析 若设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，则这个两位数是x y +10．再根据“个位上的数比十位上的数大5”，“新数与原数的和为143”可以列出两个方程．解 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+++=-.143)10()10(,5x y y x x y 整理，得⎩⎨⎧=+=-.13,5y x x y 解得⎩⎨⎧==.9,4y x 答：这个两位数是49．说明：本题若设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为)5(+x ，列出一元一次方程求解也很方便．例2 解 设该人持有甲、乙股票分别是x 、y 股，根据题意，得⎩⎨⎧=-+-=-+-,1300)3.139.13()5.129.12(,200)5.133.13()125.12(y x y x 解得⎩⎨⎧==.1500,1000y x 答：该人持有甲、乙股票分别为1000，1500股．例3 分析：这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上的数字．有三个相等关系：（1）百位上数字 ＋ 十位上数字＋个位上数字=13（2）十位上的数字=个位上数字＋2（3）百位上数字与个位上数字交换后的三位数=原三位数＋99解：设这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上数字为z ，根据题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++==++991010010100213x y z z y x x y z y x解方程组，得 ⎪⎩⎪⎨⎧===364z y x答：这个三位数是364．例4 分析：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，那么这个两位数是10x ＋y ，两个数字之和是（x 十y ），个位数字与十位数字对调后的两位数是10y十x ，由题意可列出两个等式．解：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+)2(5)(310)1(6)(710y x x y y x y x )4(2)3(-⨯得 ,93=y 3=y ，把3=y 代入（3），得8=x ．答：这个两位数是83．说明：数字问题要善于抓住其特征，正确地表示出三位数，然后找出等量关系，列出方程组．。
二元一次方程组经典例题
二元一次方程组经典例题一、例题例1：解方程组2x + y = 5 x - y = 1解析：1. 观察方程组的特点- 这个方程组中y的系数分别为1和-1，可以采用加减消元法。
2. 消元求解- 将方程2x + y = 5与方程x - y = 1相加，得到(2x + y)+(x - y)=5 + 1。
- 化简得2x+y+x - y=6，即3x=6，解得x = 2。
3. 回代求y- 把x = 2代入x - y = 1中，得到2 - y = 1，解得y=1。
所以方程组的解为x = 2 y = 1例2：解方程组3x+2y = 8 2x - 3y=-5解析：1. 选择消元方法- 为了消去其中一个未知数，我们可以给第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，然后再相加来消去y。
2. 消元计算- 方程3x + 2y = 8两边乘以3得9x+6y = 24。
- 方程2x - 3y=-5两边乘以2得4x-6y=-10。
- 将这两个新方程相加：(9x + 6y)+(4x-6y)=24+( - 10)。
- 化简得9x+6y + 4x-6y = 14，即13x=14，解得x=(14)/(13)。
3. 回代求y- 把x=(14)/(13)代入3x + 2y = 8中，得到3×(14)/(13)+2y = 8。
- 即(42)/(13)+2y = 8，移项得2y = 8-(42)/(13)。
- 2y=(104 - 42)/(13)=(62)/(13)，解得y=(31)/(13)。
所以方程组的解为x=(14)/(13) y=(31)/(13)例3：某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，问购买甲、乙两种票各多少张？设购买甲种票x张，购买乙种票y张。
根据题意可列方程组x + y = 40 10x+8y = 370解析：1. 消元方法选择- 由第一个方程x + y = 40可得y = 40 - x，我们可以采用代入消元法。
人教版苏科版初中数学二元一次方程组(经典例题含答案)
班级小组姓名成绩（满分120）一、认识二元一次方程组例1.方程：①10x +=；②2x y +=；③24x =；④2x y z ++=；⑤322x y x -=；⑥1xy =；⑦154y x+=；中,属于二元一次方程的有.②⑤（两个）例1.变式1.甲班有男生x 人,女生y 人,其中男生比女生的2倍少8人,列出关于x ,y 的二元一次方程是.28x y =-例1.变式2.若22113102n m x y +--+=是关于,x y 的二元一次方程,则m =,n =.1，-1例1.变式3.下列方程组中,二元一次方程组的个数是(C)()()()()()()11112241541234562423267336x y x x y y y x x x y x y x z x y x y x y ⎧⎧+==+===+=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨-=+=-=+=⎩⎩⎩⎩⎪⎪+=-=⎩⎩A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、求解二元一次方程组（一）代入法解二元一次方程组（二）加减法解二元一次方程组例2.已知360x y +-=，用含x 的代数式表示y 为，用含y 的代数式表示x为.66,636333x xy x y y --==--或例2.变式1.解方程组：31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩①②例2.变式2.解方程组：32725x y x y -=⎧⎨+=⎩①②()31331281,1221x y y y y y x x y =-----==-=-==⎧⎨=-⎩解：由①得 ③将③代入②得：解得：将，代入③得 则方程组的解为+1233325131x x x y y x y ===+===⎧⎨=⎩解：由①②得 4解得：将，代入②得 解得：则方程组的解为例2.变式3.长方形的周长为60cm，长和宽之差为20cm，则这个长方形的面积等于125cm².三、应用二元一次方程组——鸡兔同笼（一）列二元一次方程组解应用题例3.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树4周,则绳子还多1尺;若环绕大树5周,则绳子又少3尺.设这根绳子有x 尺,环绕大树一周需要y 尺,则下列所列方程组正确的是(B)A.4153y x y x =+⎧⎨=-⎩ B.4153y x y x+=⎧⎨-=⎩ C.4153x y x y+=⎧⎨-=⎩ D.4153x y x y-=⎧⎨+=⎩例3.变式1.某车间有56名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓16个或螺母24个,问怎样分配工人才能恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套?设分配x 人生产螺栓,y 人生产螺母,依题意列方程组是(A )A.5621624x y x y+=⎧⎨⨯=⎩ B.5622416x y x y+=⎧⎨⨯=⎩ C.561624x y x y+=⎧⎨=⎩ D.562416x y x y+=⎧⎨=⎩例3.变式2.如下图,一个大长方形是由七个一样大小的小长方形拼成,已知大长方形的周长34cm,求小长方形的长和宽.()25525342.x y x y x x y y y ==⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩∴解：设小长方形的长为 cm，宽为 cm，由题意得：解得：小长方形的长为 5 cm，宽为 2 cm 例3.变式3.8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．解：设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y 岁，－8＝4(y －8)，＋8＝2(y ＋8).解得＝40，＝16.所以父亲现在40岁，儿子现在16岁．四、应用二元一次方程组——增收节支（一）行程问题的应用例4.某人骑摩托车从A 地到B 地,以20km/h 的速度前进.回来因有事绕道而行,因而多走了8km.这时骑车的速度比原来每小时多行2km,并且比去时多用了15分钟,求A、B 两地的距离及此人去时所花的时间.km/h 20251552286045km/h .4x y y x x y x y =⎧=⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫+=+= ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩∴解：设A、B两地的距离为 ，去所花的时间为 小时，由题意得：解得：A、B两地的距离为 25 ，去所花的时间为 小时例4.变式1.从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？解：设小华到姥姥家上坡路有xkm ，下坡路有ykm ，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm ，下坡路xkm ，根据题意得：由①得：10x +6y =33③由②得：10y +6x =39④③×10得：100x +60y =330⑤④×6得：36x +60y =234⑥⑤﹣⑥得：x =1.5，将x =1.5代入③得：15+6y =33，∴y =3；∴，所以，小华到姥姥家有1.5km 上坡路，3km 下坡路，共有4.5km ．答：姥姥家离小华家4.5km ．例4.变式2.一列快车长168m，一列慢车长184m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16s，求两车的速度．解：设快车速度为x m /s ，慢车速度为y m /s .(x ＋y )＝168＋184，(x －y )＝168＋184，因此快车的速度为55m /s ，慢车的速度为33m /s .例4.变式3.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1min，整列火车完全在桥上的时间为40s，求火车的长度和速度．解：设火车的长度为x m ，火车的速度为y m /s，则根据题意，得000＋x ＝60y ，000－x ＝40y .＝200，＝20.所以火车的长度为200m ，火车的速度为20m /s .（二）工程问题的应用例5.某工厂接受一批订货,按计划规定的天数,如果每天平均生产26件,差38件不能完成任务;如果平均每天生产30件,可超额10件完成任务,则这批订货有多少件,原计划几天完成任务?26+38350301012.x y y x x y x y ==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩∴解：设这批订货有 件，原计划 天完成，由题意得：解得：这批订货有 350 件，原计划 12 天完成例5.变式1.零陵制衣厂某车间计划用10天时间加工一批出口童装和成人装共360件．该车间的加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件．①该车间安排几天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务？②若加工一件童装可获利80元，加工成人装一件可获利120元，那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元？解：①设该车间应安排x 天加工童装，y 天加工成人装，才能如期完成任务，则，解得：．答：该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装，才能如期完成任务；（2）∵45×4=180，30×6=180，∴180×80+180×120=180×（80+120）=36000（元），答：该车间加工完这批服装后，共可获利36000元．例5.变式2.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母，则一天生产的螺钉数为1200x个，生产的螺母数为2000y个．根据题意，得＋y＝22，×1200x＝2000y.＋y＝22，x＝5y，＝10，＝12.所以为了使每天生产的产品刚好配套，应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．例5.变式3.某地为了尽快排除堰塞湖险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前．根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？解：设原计划每天挖土石方x万立方米，增调人员和设备后每天挖y万立方米，依据题意，可列出方程组：＝2x＋1，x＋(5－2)y＝13.4.＝1.3，＝3.6.所以原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米．（三）增收节支问题的应用例6.我校八年级一班和二班去年参加植树活动时,一班比二班多种了50棵,今年参加植树活动时,一班比去年多种了12%,二班比去年多种了15%,结果一班仍比2班多种了50棵树,一班、二班去年各种了多少棵树?()()50250112%115%50200.x y x y x x y y =+=⎧⎧⎨⎨+=++=⎩⎩∴解：一班去年种了 棵树，二班去年种了 棵树，由题意得：解得：一班去年种了 250 棵树，二班去年种了 200 棵树例6.变式1.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两样菜只要36元.”爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨单价上涨20%.”小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元/斤).()()()()()()()()3+2=3623150%+2120%=4515150%=150%2=3120%=120%15=18x y x y x x y y x y =⎧⎧⎨⎨++=⎩⎩++⨯++⨯解：上月萝卜的单价是 元/斤，排骨的单价是 元/斤，由题意得：解得：这天萝卜的单价是元/斤排骨的单价是元/斤例6.变式2.某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？解：设去年的总产值是x 万元，去年的总支出是y 万元，由题意，得－y ＝500，1＋15%)x －(1－10%)y ＝950.＝2000，＝1500.所以(1＋15%)x ＝2300，(1－10%)y ＝1350.所以今年的总产值是2300万元，总支出是1350万元．例6.变式3.学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A 型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B 型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A 型毛笔和2支B 型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B 型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？解：设该家文具店A 型毛笔的零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每支y元，根据题意，得x ＋15y ＋25(y －0.6)＝145，x ＋20(x －0.4)＋15y ＋5(y －0.6)＝129.＝2，＝3.所以这家文具店A 型毛笔的零售价为每支2元，B 型毛笔的零售价为每支3元．五、应用二元一次方程组——里程碑上的数（一）数字问题的应用例7.一个两位数,个位数字为x ,十位数字为()2x +,则这个两位数可以表示为.()102+x x+如果将两个数字对调,则现在的两位数与原两位数的和为.2222x +例7.变式1.一个三位数,它的十位上的数字是百位上数字的3倍,个位上的数字是百位上数字的2倍,设这个三位数个位上的数字是x ,十位上的数字为y ,百位上的数字为z .（1）用含,,x y z 的代数式表示这个三位数:;10010z y x ++（2）用含z 的代数式表示这个三位数:;132z （3）写出所有满足条件的三位数:.132,264,396例7.变式2.一个两位数的十位数字与个位数字的和是8,如果这个两位数加上54,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位数.+=8110+54107.x y x y x x y y x y =⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩∴解：设原来的两位数十位数字为，个位数为，由题意得：解得：原来的两位数为17例7.变式3.有一个两位数,如果把这个数两个数位上的数字对调,那么所得的新数比原数小27;又若将这个两位数除以它的各位数字之和的2倍,商是3,余数是7,这个两位数是多少?()()1010=278103275.x y x y y x x x y x y y +-+⎧=⎧⎪⎨⎨+=⨯++=⎪⎩⎩∴解：设两位数十位数字为，个位数为，由题意得：解得：两位数为85六、三元一次方程组（一）三元一次方程组及其解的概念例8.三元一次方程组156x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是(A )A.105x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ B.124x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C.104x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D.410x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩例8.变式1.1039x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解为，它的解能使代数式8x my z -+的值为-16，则m =.82161x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩例8.变式2.解三元一次方程组232523z x yx y z x y z =+⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩①②③()()23254252333425223235235x y x y x y x y x y y y x y x x y z x y z -++=-=+-+===-=====+==⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解：将①代入②得：即：将①代入③得：即：将代入得：将，代入①得：方程组的解为例8.变式3.已知()282413830x y y z x -+-+-=，求x y z ++的值.8041083021434132344x y y z x x y z x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴++=++=解：由题意得：解得※七、二元一次方程与一次函数（一）二元一次方程与一次函数例9.方程22x y -=的解有个,用含x 的代数式表示y 为,此时y 是x 的函数.22,y x =-无数，一次例9.变式1.函数21y x =-+与39y x =-的图象交点坐标为,这对数是方程组的解.()392,3,21y x y x =-⎧-⎨=-+⎩例9.变式2.图中的两直线1l 与2l 的交点P 的坐标可以看成是方程组的解.11222y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩例9.变式3.某地区一种商品的需求量1y (万件)、供应量2y (万件)与价格x (元/件)分别近似满足下列函数关系式:160y x =-+,2236y x =-.需求量为0时,即停止供应.当12y y =时,该商品的价格称为稳定价格,需求量称为稳定需求量.（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量;（2）价格在什么范围时,该商品的需求量低于供应量?（3）当需求量高于供应量时,政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格,以提高供应量.现若要使稳定需求量增加4万件,政府应对每件商品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量?解：（1）当12y y =时,有60236x x -+=-,解得32x =,此时326028y =-+=,即该商品的稳定价格为32元/件,稳定需求量为28万件.（2）因为“需求量为0时,即停止供应”,所以,当10y =时,有60x =.又由图象结合可知,当价格大于32元/件而小于60元/件时,该商品的需求量低于供应量;（3）设政府部门对该商品每件应提供a 元补贴.则()28460284236x x a +=-+⎧⎨+=+-⎩解得：286x a =⎧⎨=⎩所以政府部门对该商品每件应提供6元补贴.※八、用二元一次方程组确定一次函数表达式（一）用二元一次方程组确定一次函数表达式例10.已知函数3y x b =+的图象经过点(-1,2)和(a ,4),则a =.13-例10.变式1.一个一次函数的图象平行于直线2y x =-,且经过点A(-4,2),求这个函数的表达式.()()=224,224262 6.y kx b y x k b b y x +=-∴=--=-⨯-+=-∴=-- 解：设所求一次函数表达式为，它的图象平行于直线 又其图象过点由题意得:解得：所求一次函数表达式为例10.变式2.直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标为-1,与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1,求直线l对应的函数表达式.二元一次方程组经典例题答案第11页共11页()()1211211,121,1=1110.x y x y l y x l y x y kx b k b k k b b y x =-=+=-∴=+--=-+++==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩∴=解：将 代入 得 ，与直线 的交点坐标为同理可以求出: 与直线 的交点坐标为设所求一次函数表达式为，解得：所求一次函数表达式为例10.变式3.一天早晨6点钟,汪老师从学校出发,乘车上市里开会,8点准时到会场,中午12点钟回到学校,他这一段时间内的行程s(km)(即离开学校的距离)与时间t(h)的关系可用下图中的折线表示,根据图示提供的有关信息,解答下列问题:（1）开会地点离学校多远?（2）求出汪老师在返校途中路程s(km)与时间t (h)的函数关系式;（3）请你用一段简短的话,对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述.解：（1）开会地点离学校有60千米;（2）设汪老师在返校途中s 与t 的函数关系式为()0s kt b k =+≠.由图可知,图象经过点(11,60)和点(12,0),116060120720k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得：则s 与t 的函数关系式为()607201112s t t =-+≤≤（3）如:汪老师由上午6点钟从学校出发,乘车到市里开会,行了40公里时,发生了堵车,堵了约30分钟才通车,在8点钟准时到达会场开了3个小时的会,会议一结束就返校,结果在12点钟到校.（言之有理即可）。
新例题-二元一次方程组
例11、如图，有一个正方形和长方形。若正方形的周长与 长方形的周长相等，求： （1）x，y的值 （2）正方形和长方形的面积
2x+y+1
3x-1
4x-2y
2x+3y
｛
(2)
(1) 4x-2y=2x+y+1 (2x+y+1)+(4x-2y)=(3x-1)+(2x+3y)
解得
｛
x=2 y=1
S正=6×6=36 S长=7×2=14
答：这批学生有240人，原计划租5辆45座客车。 当45座汽车租4辆，60座汽车1辆时，最合算。
例10、某天，一蔬菜经营户用60元从蔬菜批发市场 购进西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和 豆角这天的批发价、零售价（单位：元/千克）如下 表所示：
品名 西红柿 豆角 批发价 1.2 1.6 零售价 1.8 2.5
正方形边长：2x+y+1=6 长方形的长：2x+3y=7 长方形的宽：3x-1=2
答：x等于2，y等于1. 正方形面积是36，长方形面积是14.
解得
｛
x=15 y=20
答：甲种贷款15万元，乙种贷款20万元。
练7、某水果公司收购某种水果104吨，准备加工后 上市销售。该公司加工该种水果的能力：每天可以 精加工4吨或者粗加工8吨。现水果公司计划用16天 完成这项加工任务，则应安排几天精加工，几天粗 加工？
解：设精加工x天，粗加工y天。
｛
x+y=16 4x+8y=104
练5、小英家今年1月份用水20吨，交水费43元；2月 份用水18吨，交水费38元。该城市实行阶梯水价，14 吨以内按正常收费，超出部分则收较高水费。问：在 限定量以内的水费每吨多少元？超出部分的水费每吨 多少元？
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二元一次方程组的典型例题
分析我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”．
解：由(2)，得x=8-3y．(3)
把(3)代入(1)，得：2(8-3y)+5y=-21，16-6y+5y=-21，
-y=-37，所以y=37．
点评如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．
分析此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．
解：由(1)，得2x=8+7y，
(3)
把(3)代入(2)，得
分析本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．
解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以
x+y=2 (3)
解这个方程组．由(3)，得
x=2-y(4)
把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，
-6y=6，所以y=-1．
分析经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”．
解：(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3．把y=-3代入(2)，得：
6x-5×(-3)=17，6x=2，
所以：
点评若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．
分析方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．
解：(1)×3，得9x+12y=48 (3)
(2)×2，得10x-12y=66 (4)
(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得
3×6+4y=16，4y=-2，
点评将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．
例6 已知x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，求m和n的值．
分析根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n．解：因为x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，所以
解这个方程组．整理，得
(4)-(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所
分析因为x+y=2，所以x=2-y，把它代入方程组，便得出含y，m的新方程组，从而求出m．也可用减法将方程组中的m消去，从而得出含x，y的一个二元一次方程，根据x+y=2这一条件，求出x和y，再去求m．
解：将方程组中的两个方程相减，得x+2y=2，即
(x+y)+y=2．
因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m2-2m+1，得m2-2m+1=42-2×4+1=9．
例8 已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值．
分析已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决．
解：已知条件可转化为
整理这个方程组，得
解这个方程组．由(3)，得x=y-1 (5)
把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以
y=2．
把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以
x=1．
2x-y=0．。