造桥选址问题教案
造桥选址问题案例设计甘晓云
六、小结提升
（一）要使所得到的路径最短，就是要通过平移，使除河宽不变外，其他路径经平移后能在一条直线上.最后还是应用“两点之间，线段最短”解决问题.
（二）综合问题1、2，在解决最短路径问题时,我们通常可以利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短.
设计意图：拓展1是直接对问题2所总结方法的直接应用，加深对问题2的理解.
拓展2：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
二、目标与目标解析
（一）目标
能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想.
（二）目标解析
本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.
针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的：
通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程中，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力.并结合几何画板演示加深学生的理解。在教学模式上，以学生为主体，将课堂还给学生，给学生一个充分展示自己的舞台，在小组合作探究后，让学生代表在白板上演示自己小组的成果展示，使学生在这个过程中获得成功的体验，从而激发对数学的激情。在这节课堂教学中，充分利用白板、几何画板等现代多媒体工具，使学生对抽象、复杂的关系有了更直接、明了具体的感观，激发学生对数学的兴趣.
八年级-人教版-数学-上册-第2课时造桥选址问题
例 已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P， Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小．
分析：先在直线 l 上取PQ＝a（如图），
连接AP，QB，AB，此时在四边形 APQB中， A 线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当 AP＋QB最小时，四边形 APQB 的周长最小 ．
A
M
a
当 AM＋NB 最小时，
Nb
AM＋MN＋NB 最小．
B
问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋NB 最小？
能否通过图形的变化将问题转化为研究过的问题呢？
A
M
a
A
Nb B
N B
将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到 点 A′，则 AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
第2课时 造桥选址问题
如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA＋CB 最短． B
A
A
C
l
C
l
B 点 A，B 在直线 l 异侧
B′ 点 A，B 在直线 l 同侧
问题 （造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上
造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
（3）过 N 作 NM⊥a 于M，线段 MN 即为桥的位置．此时从 A 到 B
的路径 AMNB 最短．
A
a
M
你能试着证明一下吗？
A′
b
N B
证明：在直线 b 上任取一点N′ ，过点 N′ 作N′M′⊥a，连接 AM′， A′N′，N′B，
最短路径问题——造桥选址问题幻灯片课件
M N
P Q
G H
B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至 Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分 别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于 Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接 M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1, 此时所走路径最短.
最短路径问题——造桥选址问 题
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两 岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
Ｍ１
M
A1
L1
Ｎ１
问题：
N
L2
B
1、直接连接AB可以吗？
2、路径是哪些线段之和？
3、当桥的位置变化后，路径中哪些是始终不变的？ 哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径可以转化为其它哪些线段之和？
问题解决
如图，平移A沿与河岸垂 A
直的方向到A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河
A1Leabharlann 岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
归纳小结
人教版八年级上册数学课题学习造桥选址问题课件
交所直以线问a题于还点可M以，转当化点为N在：直当线点bN的在什直
么线位b的置什时么，位AM置+时M，N+ANMB+最N小B最？小？
思维分析
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
拓展应用
拓展1：如图，如果A、B两地之间有两
条平行的河，我们要建的桥都是与河岸
垂直的。我们如何找到这个最短的距离
呢？
A
河流1
方法
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
图像
河流2 B
பைடு நூலகம்
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
方法：将点A沿与第一条河流垂直的 方向平移一个河宽到A1，将B沿与第 二条河垂直的方向平移一个河宽到B1， 连接A1B1与两条河分别相交于P、M， 在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN， 所得路径AQPMNB最短。
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
造桥选址问题
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
教学目标
1、知识与技能： 理解利用平移的方法，解决最短路径问题。 2、过程与方法： （1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养 学生的实际动手能力； （2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验 并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感、态度与价值观 （1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困 难的勇气和信心； （2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题， 增强应用意识； （3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过 来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.A A1 A1 AM P Q N P Q
连接A1P交A1的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点A1、A2，使ＡA1＝ ＭＮ，A1A2＝ＰＱ ； 连接A2Ｂ交于Ｂ点相邻河 岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接A1Ｐ交A1的对岸于 Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路 径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ ＰＱ＋ＱＢ．
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB２+B２B１+B１B．
A
M N P Q B2 B1 B
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至A1点，沿垂直 于第二条河岸方向平移Ｂ点 至B1点，连接A1B1 分别交 A、B的对岸于N、P两点， 建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
数学人教版八年级上册教案设计
教案设计比赛设计稿 姓名：黄枚青题目:问题2 （造桥选址问题）如图13.4-6，A 和B 两地在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.）一、审题分析（一）题目背景 1.题材背景：本题出自新人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题的问题2.2.知识背景：(1)平移变换的相关知识.(2)两点之间，线段最短.3.方法背景：(1)会用平移的方法对一个图形进行变换.(2)会求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题.4.思想背景：化归思想.（二）学情分析1.学生特点：学生已在课本第85页的问题1学习了最短路径问题，本题是对最短路径问题的进一步探究.2.估计学生会遇到的困难和解决策略：（1）忽略条件“桥与河垂直”策略：给学生机会犯错，直接连接AB 分别交两直线于M 和N 两点，即为所求. 再引导学生发现问题.（2）对桥的长度固定不变的理解策略：利用几何画板进行探究，通过观察数据的变化，可知动点N 在移动过程中，线段MN 的长度始终不变，再结合题中给的条件：“两岸平行”和“桥与河垂直”进一步理解.（3）如何确定线段MN 的位置策略：引导学生通过平移，将问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题.（4）如何证明线段MN 的位置即为所求策略：引导学生任取异于MN 的线段GH,使GH ⊥a ,GH ⊥b,则利用三角形三边关系进行证明.图13.4-6（三）重、难点重点：探究利用平移性质和两点之间线段最短性质解决最短路径问题.难点：1.如何将实际问题转化为数学问题2.如何确定线段MN 的位置3.如何证明线段MN 的位置即为所求（四）教学方法 启发式教学（五）分析题意本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意，已知A 、B 两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线a 和b ，点A 和点B 是定点，分别位于两直线的两侧.现在要建一座桥MN ，要求桥与河垂直,即线段MN 与直线a ,b 垂直.所要求的问题是桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短，即线段ＭＮ位于何处时，可使AM+MN+NB 最小，从而将实际问题转化为数学问题,如图1所示.二、探究过程（一）探究线段MN 的大致位置学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB 分别交直线a ,b 于M 和N 两点，则线段MN 即为所求.如图2所示，引导学生思考此种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾.利用几何画板进行探究，当动点Ｎ在直线ｂ上来回移动时，这三条线段的长度之和在不断跟着改变，而线段MN 的长度始终是不变的，故只需确定另外两条线段的长度之和最小即可.通过观察具体数据的变化可知，点N 在移动过程中，AM+NB 对应的数值的变化情况，从而可以初步得到线段ＭＮ的大致位置.进而引导学生思考如何确定线段MN 的准确位置．（二）探究线段MN 的准确位置引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小问题，已知A 、B 两个定点分别位于一条直线l的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和图1 图2最小,根据两点之间，线段最短，连接AB与直线l交于一点，即为所求.引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线a和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路.作图步骤：（1）同时将直线a和点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线a与直线ｂ重合，点Ａ移动到A′（2）连接A′B交直线ｂ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥a，垂足为Ｍ，连接AM则线段MN 即为所求.（3）如图3所示.从而得到最短路径为：A→M→N→B图3 图4(三)证明线段ＭＮ的位置即为所求引导学生在直线b上异于点N任取一点Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥a,垂足为Ｈ，连接AＨ，ＧB ，A′Ｇ，如图4所示，则只需证明AM+ MN +NB ＜AH+ HG +GB.由于桥的长度不变，故MN= HG，从而只需证明AM +NB ＜AH +GB.根据平移性质可得AM=A′N ，AＨ= A′Ｇ，进而将问题转化为只需证明A′N+NB ＜A′Ｇ+ GB. 由图可知，A′Ｎ+ＮB=A′B ，最终问题可转化为只需证明A′B＜A′Ｇ+ GB.学生很容易想到根据三角形的三边关系进行证明，最终得到证明思路，证明过程如下：证明：在直线b上异于点N任取一点Ｇ,过点Ｇ作ＧＨ⊥a,垂足为H，连接AH，NB，A′G，则由平移性质得AM= A′N，AH=A′G∴AM+NB= A′N+NB= A′B，AH+GB= A′Ｇ+GB在△A′B G中，根据三边关系得：A′B <A′G+GB∴AH+GB < AM+NB又∵HG= MN∴AH+GB+ HG < AM+NB+MN从而证明线段MN的位置即为所求.故从A到B的最短路径为：A→M→N→B，线段MN即为所要建的桥的位置.（四）多种作图方法学生在自主探究时，可能会出现以下的作图方法：作法二：如图5所示，同时将直线 b 和点B 沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线ｂ与直线 a 重合，点B 移动到B ′ ，连接B ′A 交直线a 于点M ，过点M 作ＭＮ⊥b ，垂足为N ，则线段MN 即为所求.作法三：如图6所示，将点A 沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.点Ａ移动到A ′，连接A ′B 交直线ｂ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥a ，垂足为Ｍ，连接AM ，则线段MN 即为所求.点评：作法三与作法一本质上是相同的.明确平移的目的是使两条直线重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，即转化成求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小的问题.从而得到一般作法： 沿与河岸垂直的方向分别同时平移点A 和直线a ，点B 和直线b 到某个位置，使直线a 和直线b 重合,点Ａ移动到A ′，点B 移动到B ′,则同样也可以进行求解，留给学有余力的同学课后继续探究.三、运用与巩固变式 如图是一长方形公园，点A 和点B 是公园的前后门，图中阴影部分是一片定宽的草坪。
造桥选址问题教案(优质教学)
13.4课题学习最短路径问题（2）造桥选址问题教师：朱巧一、教学目标1、知识与技能理解利用平移的方法，解决最短路径问题。
2、过程与方法（1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养学生的实际动手能力；（2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。
3、情感态度与价值观（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；（3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点1、教学重点理解如何利用平移，解决造桥选址中的最短路径问题。
2、教学难点理解路径最短的证明方法。
三、教具：多媒体、三角板四、教学过程（一）、知识点回顾1、两点所有的连线中，线段最短。
2、连接直线外一点与直线上各点的所以线段中，垂线段最短。
应用1：利用轴对称的方法解决最短路径选取问题。
利用轴对称的方法把已知问题转化为容易解决的问题，这是“两点的所有连线中，线段最短”的应用。
（二）、提出问题如果把一条直线l变成两条直线，会变成生活中的什么问题呢？（三）、新课学习图（1） 图（2）环节一：（情境设置）简单介绍著名桥梁专家茅以升.环节二：把实际问题转化为数学问题.如上图（1），A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）分析图（2）：把河的两岸看成两条平行线 a 和b ，N 为直线b 上的一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M ，这样，上面的问题可以转化为下面的问题，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？引导学生发现，由于河宽是固定的，即MN 不变，求AM+MN+NB 的最小值只要求AM+NB 的最小值即可。
环节三：请同学们各抒己见如何求AM+MN+NB 的最小值.环节四：用几何画板展示造桥选址问题.通过几何画板的动画演示，让学生找到动点N 在什么位置时, AM+MN+NB 最小。
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13.4课题学习最短路径问题(2)
造桥选址问题
教师:朱巧
一、教学目标
1、知识与技能
理解利用平移的方法,解决最短路径问题。
2、过程与方法
(1)在观察、操作、归纳等探索过程中,培养学生的实际动手能力;
(2)在运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。
3、情感态度与价值观
(1)体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气与信心;
(2)会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识;
(3)使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
二、教学重点与难点
1、教学重点
理解如何利用平移,解决造桥选址中的最短路径问题。
2、教学难点
理解路径最短的证明方法。
三、教具:多媒体、三角板
四、教学过程
（一）、知识点回顾
1、两点所有的连线中,线段最短。
2、连接直线外一点与直线上各点的所以线段中,垂线段最短。
应用1:利用轴对称的方法解决最短路径选取问题。
利用轴对称
的方法把已
知问题转化
为容易解决
的问题,这
就是“两点
的所有连线
中,线段最短”的应用。
(二)、提出问题
如果把一条直线l变成两条直线,会变成生活中的什么问题呢？
(三)、新课学习
图(1) 图(2)
环节一:(情境设置)简单介绍著名桥梁专家茅以升、
环节二:把实际问题转化为数学问题、
如上图(1),A 与B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN 、桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？(假定河的两岸就是平行的直线,桥要与河垂直、)
分析图(2):把河的两岸瞧成两条平行线 a 与b ,N 为直线b 上的一个动点,MN 垂直于直线b,交直线a 于点M,这样,上面的问题可以转化为下面的问题,当点N 在直线b 的什么位置时,AM+MN+NB 最小？
引导学生发现,由于河宽就是固定的,即MN 不变,求AM+MN+NB 的最小值只要求AM+NB 的最小值即可。
环节三:请同学们各抒己见如何求AM+MN+NB 的最小值、
环节四:用几何画板展示造桥选址问题、
通
过
几
何
画
板
的
动
画
演
示,
让
学
生找到动点N 在什么位置时, AM+MN+NB 最小。
环节五:如何证明AM+MN+NB<1111AM M N N B ++ ?
环节六:引导学生归纳方法:利用平移变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而做出最短路径的选择。
(四)、拓展应用
拓展1:如图,如果A 、B 两地之间有两条平行的河,
我们要建的桥都就是与河岸垂直的。
我们如何找到这个
最短的距离呢？
(请学生分组讨论,如何作图,并请学生代表上台演示)
拓展2:如图,荆州古城河在CC`处直角拐弯,从A 处到
达B 处,需经两座桥:DD`,EE`(桥宽不计),设护城河以
及两座桥都就是东西、南北方向的,如何架桥可使
ADD`E`EB 的路程最短？
(请学生分组讨论,如何作图,并请学生代表上台演示)
(五)、小结:造桥选址问题,要使所得到的路径最短,就就是
要通过平移,使得除桥长不变外,把其它路径平移在一条直
线上,从而做出最短路径的选择。
这就是“两点所有的连
线中,线段最短”的第二个应用。
板书设计:。