方程与函数的思想方法
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用（1）一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
1.证明：若则为整数．解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得，于是此时(1)式的值等于－4．若x＋y＋z＋t≠0，则由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4．2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x 的方程f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．解：（1）g （x ）=ax 2﹣2ax+1+b ，函数的对称轴为直线x=1，由题意得： ①得②得（舍去）∴a=1，b=0 ∴g （x ）=x 2﹣2x+1，（2）不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，即k设，∴，∴k ≤（t ﹣1）2 ∵（t ﹣1）2min =0，∴k ≤0 （3）f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0，即|2x ﹣1|++﹣3t ﹣2=0． 令u=|2x ﹣1|＞0，则 u 2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0记方程①的根为u 1，u 2，当0＜u 1＜1＜u 2时，原方程有三个相异实根，记φ（u ）=u 2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或． ∴时满足题设． 3.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）若()0f x ≤ 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+（*n N ∈且1n >）解：（1）0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；易知k>0,则max 1()(1)0f x f k =+≤即1k ≥； （2）令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立, 即：ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
初中数学思想方法之函数与方程思想
初中数学思想方法之函数与方程思想
函数与方程思想是初中数学的一个重要思想，是数学学习的理论基础。
函数与方程思想是数学分析的重要方法，是数学思维方法的核心。
函数与方程思想的概念是数学分析的核心，它把复杂的问题简化为基
本概念，从而找出解决问题的办法。
它是学习数学的基础。
学会函数与方
程思想，可以帮助学生掌握数学的基本概念，把学习的内容归纳起来，提
高学习效率，为学习其他数学知识奠定坚实的基础。
函数与方程思想，所谓的函数，就是一个有输入和输出的过程，一个
函数将一个或多个未知变量的输入变换为一个输出，表示为y=f（x），
其中x是变量，f（x）是函数，y是函数的输出。
函数是数学分析的基础，它可以用数学语言表达自然现象，把复杂的问题简化，从而帮助人们更好
地理解自然现象。
方程是一个等式，表示两边（等式左边和等式右边）相等，有时也可
以表示两边的大小关系，如一元二次方程，可以表示为ax2+bx+c=0。
通
过求解方程，我们可以找到一个或多个解，这就是解方程的思想。
求解方
程是数学学习的重要方法，它不仅可以帮助我们得到问题的解决方法，还
可以丰富我们的思维方式，是理解数学的重要方式之一
函数与方程思想是初中数学学习的重要思想。
函数与方程思想
函数与方程思想作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第04期F.克莱因（F.Klein）有一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.”函数思想，就是用变量和函数来思考问题，就是通过建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决. 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决. 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间又有着密切的联系. 函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用.对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要.数列的通项或前n项和可看做自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要的.函数f（x）=（a+bx）n（n∈N？鄢）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题.解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一. 在高考试卷上，体现函数与方程思想的试题所占比例始终在25%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.下面从几个方面阐述函数与方程思想在解题中的应用.■ 函数与不等式、方程的相互转化■ 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=______.■ 已知集合M={（x，y）（x+■）（y+■）=1}，则集合M表示的图形是（）A. 直线B. 线段C. 抛物线D. 圆■ 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.（1）如果x1-1；（2）如果x1思路点拨初做前两个题目，同学们可能会先进行一些式子的变形，然后发现其后的运算较为复杂，于是便无从下手了. 如果我们用函数思想来处理方程的问题，就简单多了. 第一题可构造函数f（x）=x3-3x2+5x；第二题可构造函数f（x）=lg（x+■）；对于第三题，利用函数与方程的思想，把二次方程的根的问题转化成函数图象与x轴交点的问题，由二次函数图象的特征得出对应的不等式（组），然后进行求解. 二次方程、二次函数、二次不等式三者密不可分，应该引起我们的高度重视.破解 1. 构造函数f（x）=x3-3x2+5x=（x-1）3+2（x-1）+3，则有f（a）=1， f（b）=5，又g（t）=t3+2t在R上是单调递增的奇函数，且g（a-1）=-2，g（b-1）=2，故a+b=2.2. 构造一个常见函数f（x）=lg（x+■），则f（x）为R上的增函数，且为奇函数. 由已知得f（x）+f（y）=0，所以x+y=0，所以选A.3. 设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，则g（x）=0的两个实数根为x1和x2.（1）由a>0及x10，即4a+2b-10，即3+3·■-■-1.（2）由（x1-x2）2=■■-■，可得2a+1=■. 又x1x2=■>0，所以x1，x2同号. 所以可知x1或x2即 g（2）0，2a+1=■，或g（-2）0，2a+1=■.解之得？摇b■.■1. 已知f（x）=asinx+b■+4（其中a，b为常数），若f[lg（log310）]=5，则f[lg（lg3）]=____________.？摇2. 不等式4x+log■x+x2>5的解集为________.3. 已知关于x的方程3x2-5x+a=0的一根分布在区间（-2，0）内，另一根分布在区间（1，3）内，求实数a的取值范围.■ 函数与方程思想解决数列中的相关问题■ 求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn>■+■+■+…+■.思路点拨■+■+■+…+■无法求和，这是一个关于正整数n的具有递推关系的不等式，我们可以考虑用数学归纳法去证明.由假设■+■+■+···+■其中需要证明lnk+■■，即ln■>■.令x=■，则只要证明lnx>■（x>1）成立.所以我们想到了构造函数f（x）=lnx-■.这种思考方式对于证明数列不等式有很重要的借鉴意义.破解构造函数f（x）=lnx-■，f ′（x）=■，故f（x）在[1，+∞）上为增函数.则当x>1时， f（x）>f（1）=0，当n>1时，令x=■，则f■>0，即ln■>■.所以l n■>■，ln■>■，ln■>■，…，ln■>■，将这些不等式相加得ln■+ln■+ln■+…+ln■>■+■+■+…+■，即lnn>■+■+■+…+■.■已知不等式■+■+■+…+■>■log■（a-1）+■对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围.■ 函数与方程思想解决解析几何中的相关问题.■ 已知两条曲线：椭圆C1：■+■=1和圆C2：x2+（y+1）2=r2（r>0），若两条曲线没有公共点，求r的取值范围.思路点拨通过联立两个方程，得到一个关于y的方程-■y2+2y+10-r2=0，因为两条曲线没有公共点，所以方程没有实数根，所以Δ=4+5（10-r2）■.这个结论是否正确？我们取r=■，画图发现满足题目要求，所以上面的结论是错误的，问题出现在哪里？这也是我们在利用方程与函数思想处理解析几何问题时需要特别注意的地方——要注意变量的取值范围，注意问题的等价转化.破解思路1：用函数思想，通过联立两个方程，得-■y2+2y+10-r2=0，把r2=-■y2+2y+10看做y的函数，由椭圆知-2≤y≤2，因此r2的值域为1，■，即r∈1，■，它的补集即为所求，因此r∈（0，1）∪■，+∞.思路2：用方程思想来考虑，两条曲线没有公共点，等价于方程-■y2+2y+10-r2=0没有实数解，或者其两个根y■，y■？埸[-2，2]. 若没有实数解，则Δ=4+5（10-r2）■；若两个根y■，y■？埸[-2，2]，设h（y）= -■y2+2y+10-r2，则由h（2）>0，h（-2）>0解得0因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是0■.■1. 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-■y=4相切，圆O与x轴相交于A，B 两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求■·■的取值范围.2. 已知椭圆C：■+y2=1（m>1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A 的坐标为（2，0）.（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求PA的最大值与最小值；（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围.■ 函数与方程思想解决函数综合问题.■ 已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（1）若k∈Z，且k1恒成立，求k的最大值；（2）当n>m≥4时，证明（mnn）m>（nmm）n.思路点拨由题意易知f（x）=x+xlnx.第一问是一个恒成立问题，k1恒成立. 如果令g（x）=■，那么g′（x）=■，我们发现方程x-lnx-2=0的根求不出来，我们再次利用函数与方程思想，将方程根的问题转化成函数零点问题，通过研究函数h（x）=x-lnx-2的性质确定零点位置.对于第二问，我们可以用类似于例4的想法进行求解.破解（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f ′（x）=a+lnx+1.因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以f ′（e）=3，即a+lne+1=3. 所以a=1.所以k1恒成立，即k1恒成立.若令g（x）=■，则g′（x）=■，令h（x）=x-lnx-2（x>1），则h′（x）=1-■=■>0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增.因为h（3）=1-ln30，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）.当1当x>x0时，h（x）>0，即g′（x）>0.所以函数g（x）=■在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增.所以[g（x）]min=g（x0）=■=■=x0∈（3，4）. 所以k（2）由（1）知，g（x）=■是[4，+∞）上的增函数，所以当n>m≥4时，■>■.即n（m-1）（1+lnn）>m（n-1）（1+lnm）.整理，得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+（n-m）.因为n>m，所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn，即ln（nmnmm）>ln（mmnnn）.所以（mnn）m>（nmm）n.■1. 记函数f■（x）=（1+x）n-1（n≥2，n∈N？鄢）的导函数为f ′n（x），函数g（x）=f■（x）-nx. 若实数x0和正数k满足：■=■，求证：02. 已知偶函数f（x）的定义域为R，且当x>0时， f（x）=lnx-ax（a∈R）.若方程f（x）=0恰有5个不同的实数解.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a的取值范围.3. 已知函数f（x）=ex-x，其中e为自然对数的底.（1）若函数F（x）=f（x）-ax2-1的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；（2）求证：f■+f■+f■+…+f■>n+■，n∈N？鄢.■ 参考答案1 函数与不等式、方程的相互转化1. 32. {xx>1}3. {a-122 函数与方程思想解决数列中的相关问题{a13 函数与方程思想解决解析几何中的相关问题1. （-2，0]2. （1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0），则a=2；椭圆的焦点在x轴上，则c=■，则椭圆焦点的坐标为（■，0），（-■，0）.（2）若m=3，则椭圆的方程为■+y2=1，变形可得y2=1-■，PA2=（x-2）2+y2=x2-4x+4+y2=■-4x+5. 又由-3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得：当x=-3时，PA2=■-4x+5取得最大值，且最大值为25；当x=■时，PA2=■-4x+5取得最小值，且最小值为■. 所以PA的最大值为5，PA的最小值为■.（3）设动点P（x，y），则PA2=（x-2）2+y2=x2-4x+4+y2=■x-■■-■？摇+5，且-m≤x≤m. 当x=m时，PA取得最小值，且■>0，则■≥m，且m>1，解得14 函数与方程思想解决函数综合问题1. 由题，x0=■，要证明x0>0，只需考虑h（k）=（nk-1）·（1+k）n+1（k>0）的性质，要证明x02. （1）因为f（x）为偶函数，且f（x）=0恰有5个不同的实数解，所以f（0）=0. 设x0，f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax. 所以f（x）=lnx-ax，x>0，0，x=0，ln（-x）+ax，x（2）因为f（x）为偶函数，且f（x）=0的5个不同的实数解中有两个大于零，两个小于零，一个等于零. 由对称性，只需研究x>0时的情况.①当a≤0时， f（x）=lnx-ax为单调增函数，y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，不符合题意.②当a>0时，f ′（x）=■-a，令f ′（x）=0得x=■. 当00， f（x）单调递增，当x>■时，f ′（x）0时，y=f（x）的图象与x轴有两个不同交点，只需-lna-1>0，解得03. （1）F ′（x）=f ′（x）-2ax=（ex-1）-2ax. 由于函数F（x）的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，故[（ex-1）-2ax]′=ex-2a≥0，从而a≤■ex，x∈[0，+∞），即a的最大值为■.（2）由（1）知F′（0）=0，且当a=■时，F′（x）在[0，+∞）上是增函数，故F′（x）≥F′（0）=0，所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，此时F（0）=0，故F（x）≥0，x∈[0，+∞），即f（x）≥■x2+1，x∈[0，+∞）. 依次令x=■，■，■，…，■，可得f■≥■■■+1，f■≥■■■+1，…，f■≥■■■+1. 将以上不等式相加，有f■+f■+f■+…+f■≥■■■+■■+…+■■+n>■■+■+…+■+n=■■-■+■-■+…+■-■+n=■■-■+n=n+■，n∈N？鄢. ■。
函数与方程的思想方法二
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得：
2k x1 x 2 , 2 2k x · 2 . x 1 2 k2 2 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)+y1y2=0. 返回目录
模拟训练
即(x1－c)(x2－c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得：(k2+1)x1x2+(k－c)(x1+x2)+c2+1=0. ③
6 代入③式化简得： 2
把②式及c=
5k2+2 6 k－6=0.
6 6 6 6 或k (2, 2 )(舍去). 5 5 6 6 可知存在实数k=－ 使得以线段AB为直径的圆经 5 解得k
第一部分 常用数学思想方法 专题一 函数与方程的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问 题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或
值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想.这种思想方
法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量 动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路. 方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系.从而建立 方程(组)将问题解决的一种思想方法. 方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解，就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元 方程f(x)－y=0.确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个 或某些量的方程，通过解方程(组)来求得这些量.函数与方程之 返回目录
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。