费马和笛卡尔的解析几何世界.1
笛卡尔 费马原理
笛卡尔费马原理笛卡尔-费马原理是数学中的一个重要原理，它在解决几何问题中起到了关键作用。
它由法国数学家笛卡尔和费马独立提出，并且被广泛运用于数学、物理、工程等领域。
本文将从不同角度探讨笛卡尔-费马原理，并解释其在实际问题中的应用。
笛卡尔-费马原理是一种最短路径原理，即两点之间的路径是最短的。
它的核心思想是，从一个点出发，沿着最短路径到达另一个点，这个路径是最短的。
这个原理在几何学中有着广泛的应用。
我们来看一个经典的几何问题。
假设有一块矩形的农田，农民想要修建一条最短的道路连接农田的两个对角线上的两个点。
根据笛卡尔-费马原理，我们只需要找到这两个点之间的最短路径，就能得到最短的道路。
因为最短路径是直线，所以这条道路就是矩形的对角线。
笛卡尔-费马原理在解决这个问题时起到了关键作用。
它告诉我们，无论农田的形状如何，最短路径都是直线。
这个原理的应用使得我们能够在几何问题中更加简单地寻找最短路径，从而解决实际问题。
除了几何学，笛卡尔-费马原理在其他领域也有着广泛的应用。
在物理学中，它常常被用来描述光的传播路径。
根据笛卡尔-费马原理，光线在两个点之间传播的路径是最短的。
这个原理被应用于光的折射、反射等现象的解释中，为我们理解光的传播提供了重要的线索。
在工程学中，笛卡尔-费马原理也发挥着重要的作用。
例如，在设计光纤通信系统时，我们需要考虑信号传输的路径。
根据笛卡尔-费马原理，我们可以选择最短路径来传输信号，从而减小信号的传输延迟，提高通信质量。
这个原理在光纤通信领域得到了广泛的应用。
除了几何学、物理学和工程学，笛卡尔-费马原理还可以应用于其他领域。
例如，在交通规划中，我们可以使用这个原理来设计最短路径，优化交通流量。
在电子学中，我们可以利用这个原理来设计最短电路路径，提高电路的效率。
在计算机科学中，我们可以使用这个原理来设计最短路径算法，解决网络路由问题。
笛卡尔-费马原理是一个重要的数学原理，它在解决几何问题中起到了关键作用。
2021解析几何学的诞生及发展范文1
2021解析几何学的诞生及发展范文几何学论文精选10篇之第八篇：解析几何学的诞生及发展 摘要：解析几何的发明归功于法国数学家笛卡儿和费马，他们工作的出发点不同，但却殊途同归。
通过把坐标系引入几何中，将几何的"形"与代数的"数"对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。
解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代，在数学思想上可以看作是一次飞跃，它使数学从常量的研究时期进入了变量的研究阶段。
近代数学本质上可以说是变量数学，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。
解析几何的诞生体现了数形结合的思想，为17世纪的科学研究提供了迫切需要的科学工具，同时也为微积分的创立搭建了舞台，解析几何的诞生是数学发展史上一次划时代的变革[1]. 1解析几何学诞生的背景 古希腊亚历山大时期的著名数学家阿波罗尼奥斯写了八卷的《圆锥曲线》，其中有七卷流传下来，其中的内容被看作古希腊几何的登峰造极之作[2].但当时人们只是从静态的观点来研究圆锥曲线图形的性质的，即把他们看作是平面从不同角度圆截锥体而形成的。
文艺复兴时期人们研究行星运动和抛体运动，要求用运动和变化的观点研究圆锥曲线，即应用坐标几何把曲线看成是物体经过运动而生成的随时间的变化而变化的轨迹。
这些需要将代数学与几何学有机结合，从而开创出一个崭新的数学领域-解析几何学。
解析几何的真正发明要归功于法国的两位数学家笛卡儿（1596~1650）和费马（1601~1665） , 他们工作的出发点不同，但却殊途同归。
2笛卡儿与解析几何学 笛卡儿是法国数学家，物理学家和哲学家，是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。
笛卡儿1596年出生于法国，其父亲是一名律师，他八岁进入教会学校学习。
曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后曾到丹麦、荷兰、瑞士、意大利等地游学，他的学术研究就是在军旅和游学途中作出的。
1637年，笛卡儿出版了著名的哲学著作-《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，通常简称《方法论》，书中有三个著名的附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
解析几何是数学的一个重要分支，有着深远的影响。
它以费马和笛卡尔为代表人物，在17世纪后期创立。
费马和笛卡尔是两个著名
科学家，他们都发展了自己的数学理论，为解析几何发展奠定了基础。
费马是现代数学的先驱，也是解析几何的创始人之一。
他的贡献是建立了数学的基本概念，例如：比例、等比数列等，并用它们来构建几何形状。
他发明了一种叫做“费马图像”的原理，这种思路可以用于研究几何形状的构图和最重要的周长和面积的表达方式。
费马的数学特征被广泛运用于理解实体几何形状和绘制测量，并发展出一整套几何原理，帮助人们更好地理解几何世界。
笛卡尔是一位英国数学家、哲学家，他发展了解析几何。
他将费马的数学特征与观察法结合在一起，研究几何性质论断的理论。
他的重要贡献是用笛卡尔坐标描述图形、元素、点和直线，以及找到几何性质论断的曲线等数学概念。
笛卡尔为几何的描述和研究奠定了基础，很多关于几何的概念都来源于他的思想，也得到了费马的大量应用。
费马和笛卡尔通过费马图形和笛卡尔坐标等方法，以及他们以前发展的数学概念，共同创立了解析几何。
解析几何是现代数学的重要分支。
费马和笛卡尔的创新思想和研究方法为当今的研究和应用奠定了基础，极大地影响了现代数学和理论几何的发展。
费马和笛卡尔为解析几何发展作出了杰出贡献，他们发明的数学方法和理论对于今天的几何学研究以及理论几何的发展都起着重要
作用。
在费马和笛卡尔的贡献下，解析几何从简单的几何性质演变成
今天的全面理论。
笛卡儿和费尔玛创立解析几何
笛卡儿和费尔玛创立解析几何解析几何的创立，主要归功于法国的笛卡儿和费尔玛．若内·笛卡儿(Rene Descartes，1596～1650)，通常把他看成是近代哲学的开创者．他的哲学著作焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学名家的作品中全找不到的清新气息．笛卡儿虽然是近代数学的开创者之一，但是确切地说，他在数学和自然科学上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现．1596年3月21日，笛卡儿出生于法国图朗的拉艾，二岁丧母，深受父亲溺爱．父亲是布列塔尼地方议会的议员，握有一份还相当可观的地产．笛卡儿8岁那年(1604)被送到法国当时最好的学校“拉夫赖士的耶稣会学校”接受教育．八年中这个学校给他打下的数学根底，比当时在大多数大学里能够获得的根底似乎还强得多．1612—1616年笛卡儿遵父命去普瓦捷大学学习法律．因为感到巴黎的社会生活气氛十分繁嚣，于是退避到郊区圣日耳曼的一个隐僻处所，在那里研究几何学．然而朋友们还是刺探出了他的踪迹．他为了确保更充分的安静，便到荷兰投了军(1617)．由于那时候荷兰正太平无事，他似乎享受了两年不受干扰的沉思．然而， 30年战争(1618～1648年欧洲以德意志为主要战场的战争)一起，他又加入了巴伐利亚军(1619)．就在1619年到 1620年之间的冬天，他呆在巴伐利亚一间现在很有名的“火炉子”一般的房间里，整天潜思．据他自己述说，当他出来的时候，已经悟出了自己赋有的特殊使命，他的哲学也已经半成，笛卡儿是一个懦弱胆小、奉行教会仪式的天主教徒．1632年他完成了重要论文《宇宙论》(Le Monde)，但不敢发表，因为里面有两个异端学说：地球自转和宇宙无限．1637年他发表了《屈光、流星和几何学》，而他最有名的《方法谈》(Discours de La Method)就是这部选集的哲学导言．1641年笛卡儿发表了他的哲学杰作《第一哲学沉思集》，三年后出版巨著《哲学原理》，全面地阐述了他的形而上学和科学理论．笛卡儿在荷兰一住就是20年．由于法国驻斯德哥尔摩大使沙尼雨的介绍，他和瑞典克丽斯蒂娜女王有了书信往还，克丽斯蒂娜美丽、热情而博学．然而和大部分君主一样，以为自己既然是君主就有权浪费伟人的时间．女王请求笛卡儿亲临她的宫廷；派了一艘军舰去迎接(1649年9月)．女王想每天听笛卡儿讲课，但是除在早晨5点钟以外又腾不出其他时间．斯堪的纳维亚冬日的晨寒对不习惯起早、体质孱弱的笛卡儿实在是一种灾难．那时，沙尼雨又害了重病，笛卡尔又得去照料．大使健康复原，笛卡儿却病倒了，从此一病不起．1650年2月，这位哲学巨人终于长辞人世．笛卡儿对几何学的伟大贡献是发明坐标几何，固然还不完全是最后形式的坐标几何．他在《几何学》(中译本，袁向东译，商务印书馆，1992)中说：“在分析问题中，若认为该问题可解时，首先把要求出的线段与所求的未知量，用名称表出．然后，弄清已知和未知线段的关系，按照正确的逻辑顺序，用两种方法来表示同一量，并建立相等的关系，把最后得到的式子叫做方程式．”显然，笛卡儿几何是以“解析”作为基本的方法的，即把对图形的研究转化为对方程式的研究，这充分显示了笛卡儿的卓越睿智，确是几何学研究中的一次大革命．在上述思想指导下，他做了如下工作：(1)引入“坐标”观念根据笛卡儿的思想，当满足方程式的变数(x，y)变化的时候，坐标(x，y)的点画出的是曲线，从而，希腊人认为“线是点的集合”，笛卡儿却认为“线是点运动的结果”．由此，笛卡儿关于“线”的定义与希腊人的显著区别在于“动”与“静”．这种思维方法给牛顿等大数学家以莫大影响．(2)利用“坐标法”提出曲线表示成方程的思想考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程x，y的值无穷多，x变化时y也跟着变，x、y不同数值所确定的平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．这样一个方程就可以通过几何上的直观来采用合适的方法去处理．以后笛卡儿又进一步提出了用方程表示曲线的思想，即用代数的方法研究曲线的性质．笛卡儿创立了坐标几何，但并没有引入现今通用xoy直角坐标系．他只是在一条长为x的线段AB的端点B处，垂直地画一条长为y的线段CB，表示x与y 的对应．在17世纪的数学史上，另一位杰出的数学家是费尔玛(Pierre Fermat，1601～1665)．费尔玛，1601年8月20日出生于法国的图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专修法律，毕业后当了律师，曾经任图卢兹议会顾问三十余年．费尔玛在30岁后才从事数学研究，由于他博闻饱学，精通数种文字，掌握多门自然科学知识，又结交了笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者，经常书信往来，讨论数学问题，因此他的成就诸多．可惜生前较少发表论著；多数成果留在手稿、通信或书页空白处，死后才由儿子整理汇集成书，在图卢兹出版，才被后世誉为“业余数学之王”．费尔玛也是解析几何的一位创立者．从他与帕斯卡以及罗伯瓦尔的通信中可知，早在笛卡儿的《几何学》发表以前，费尔玛已经提出了研究曲线问题的一般方法，他从希腊几何学的成就出发，用他所提出的一般方法，对阿波罗尼关于轨迹的某些失传的证明作出补充．1630年他把这一工作写成《平面与立体轨迹引论》的小册子．可惜它被拖延到了1679年才出版，那时费尔玛已经死了14年．费尔玛通过与帕斯卡的通信讨论赌金分配问题，得出正确解答，与帕斯卡、惠更斯一起被誉为概率论的创始人．17世纪的数论几乎是费尔玛的天下，证明和提出许多命题，如形如4n＋1的素数均能唯一地表示为两个平方数之和；如果P是素数，a是正整数，则 P│(a p-a)(费尔玛小定理)等．著名的费尔玛大定理是指方程x n＋y n=z n(n＞2)没有正整数解．费尔玛在页边写道：“我发现了这定理的一个极妙的证法，但页边太窄，写不下”．但是，这一极妙的证法显然有误．此后的三百余年，无数数学家为之奋斗，始终是一悬案．1993年6月，在美国普林斯顿工作的数学家 A·怀尔斯(Wiles)和英国数学家R·泰勒(Taylor)宣布已证明了费马的猜想．但证明中有些地方不妥，经过改进之后，在1994年获得世界公认．。
1.4.2费马与他的解析几何
剧情简介
本剧讲述了笛卡尔与克里斯汀公主因数学结 缘而引发的爱情故事，由狱中老年笛卡尔的回忆 展开叙事
在数学史上，一般认为 和笛卡尔同时代的法国 业余数学家费马也是解 析几何的创建者之一， 应该分享这门学科创建
的荣誉。
费马是一个业余从事数学研究的学 者，对数论、解析几何、概率论三 个方面都有重要贡献。他性情谦和， 好静成癖，对自己所写的“书”无 意发表。但从他的通信中知道，他 早在笛卡尔发表《几何学》以前， 就已写了关于解析几何的小文，就 已经有了解析几何的思想。只是直 到1679年，费马死后，他的思想和 著述才从给友人的通信中公开发表。
费马的解析几何原理
19
1629年，在“论平面和立体轨迹引论”的论文中，费马取一条水 平的直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点。他考虑任意曲线和 它上面的一般点M。点Z的距离，E表示从Z到M的距离，ZM与轴线成固定α的 角。 （这里费马也是用倾斜坐标系，但y轴没有明显地 出现，而且不用负数）。
艾好的回信
亲爱的爸妈艾早： 来信收悉。儿在学校一切都好。
澡洗过，衣服洗过，头发理过，钱够 用，书也够看，文具纸笔还没有用完。 最近我对“费马大定理”很感兴趣，我 准备用一生的时间去研究它，不必惦 记，祝你们健康。
儿 艾好
费马大定理的定义
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或 者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总 的来说，不可能将一个高x 于2次的幂写成两个同 样次幂的和。
还有一位十八世纪的法国数学家,女性,在那个充满偏见的封建时代 里，冒名“勒布朗先生”,进入巴黎的大学函授学习,并且和当年的 “数学之王”高斯通信探讨费马大定理。她终生未婚,死于乳腺癌。
笛卡尔与解析几何的故事
笛卡尔与解析几何的故事笛卡尔与解析几何的故事个人简介：笛卡尔（René Descartes）是法国哲学家、数学家和科学家，是西方哲学史上最伟大的思想家之一，他对数学学科的发展和贡献不仅仅在于他开发了笛卡尔坐标系和解析几何，还在几何学上提出了改革的观点，并在物理学、力学、生物学等学科上进行了重要的研究。
关于解析几何的发展，笛卡尔可以说是这门学科的奠基人。
他的思想来源于当时欧洲的数学家，如福尔摩斯和费马等学者。
但在他的研究中，笛卡尔建立新的理论框架，开发了新的技术手段，使解析几何成为一个独立的数学分支。
笛卡尔成为解析几何的奠基人解析几何是如何出现的呢？在笛卡尔之前，几何的研究方式是基于传统的古希腊几何学，其基础是欧几里得几何。
欧几里得几何是一种静态的几何学，主要通过建立平面、直线、圆等几何图形之间的关系来进行研究。
唯一的分析工具是朴素几何，没有其他工具来解决更广泛的几何问题。
并不是所有的问题都可以用朴素几何来解决。
例如：给定一条线段，如何在上面切出一个等于给定线段的线段呢？在朴素几何中，没有办法解决这个问题。
这就是解析几何产生的背景。
笛卡尔对解析几何的主要贡献是将几何问题与代数问题相结合。
他发明了笛卡尔坐标系，并提出结合代数与几何的方法来解决几何问题。
笛卡尔坐标系是一种由数学表示的几何图形，其中每个点都有唯一的x坐标和y坐标。
在笛卡尔坐标系中，几何图形可以表示为代数方程或方程组的解。
这种方法被称为解析几何。
例如：在坐标系中，一条直线可以用两个点的坐标表示为y = ax + b。
笛卡尔的方法也可以应用于非线性的问题，如圆、椭圆、双曲线等曲线的研究。
这种方法的主要优点是能够让一般性的几何问题与代数问题相互转化，从而扩大了解决问题的范围和效率。
解析几何的对数方法除了笛卡尔坐标系外，笛卡尔还提出了解析几何的对数方法。
基本思想是将曲线上的一个点的坐标用对数表示，这样可以将问题转换为代数的问题，从而更容易找到代数解。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔是两位伟大的数学家，他们利用融合几何学技术和数学知识来创建几何学的解析学派，也就是现在所谓的解析几何学。
费马是一位著名的数学家，他曾使用狭义的代数和几何学知识来为真正系统地探索几何学提供基础，在17世纪，他发表了著名的《费马小定理》，而笛卡尔则以他在几何方面的贡献而闻名。
笛卡尔创立了代数几何学，他创建的数学理论成为现代解析几何的基础，并为数学家们提供了一种有效的方法来研究几何形状。
本文将详细阐述费马和笛卡尔创立解析几何的方法。
第一部分:费马的几何概念费马的几何学思想可以追溯到古希腊，他开创了几何学的数学领域。
他将数学与几何学紧密结合，他把几何学变成一门精确的数学科学，而不再只是解决几何问题的方法。
他认为，几何学的根本假设是不可矛盾的，因此可以使用数学和逻辑去推理求解几何学问题。
他的理论基础就是我们现在所熟悉的小费马定理，它被认为是历史上最重要的数学定理之一。
第二部分:笛卡尔的解析几何学笛卡尔也是一位著名的数学家，他使用费马的几何概念来创立了解析几何学。
笛卡尔创建的数学理论成为解析几何学的基础，它使用代数来描述几何形状，并为数学家们提供了一种精确的方法来研究几何形状。
笛卡尔最著名的数学成果是他的几何原理，他的几何原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这些推理看似简单，但实际上却极具深度。
第三部分:费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔共同创立了解析几何学，它是一种将几何学和数学紧密结合的学科，它使用数学方法来描述几何形状，从而解决几何问题。
费马首先提出将数学与几何学结合起来解决数学问题的概念，他把几何学变成一门精确的数学科学，这一思想为笛卡尔创建解析几何学把手。
笛卡尔利用费马的理论基础，结合几何学和数学的知识，提出了一套有效的方法，用来研究几何形状，并用它来解决几何学问题。
笛卡尔还创立几何原理，该原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这一原理也是解析几何学的核心概念之一。
费马的解析几何思想课件人教新课标(2)
谢谢观赏！
费马
17世纪的数论几乎是费马的天下，费马 大定理的魅力至今仍不减当年；在牛顿 (I．Newton)和莱布尼茨(G．W．Leib-niz) 之前，他为微积分的创建作了大量的准 备工作，取得十分出色的成果；他和帕 斯卡一起，分享了创建概率论的荣誉； 在解析几何上，他也是一位名副其实的 发明者． 关于解析几何的工作在于始于尽力恢复 失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面曲 线》而引起的，1629年《平面和立体轨 迹引论》也阐述了解析几何的原理。
费马猜想
整数解。 费马小定理：p为素数，(a, p) 1 ，则
a p1 1(mod p)
费马关于曲线与方程的思想
费马关于曲线与方程的思想，源于对阿 波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用了倾 斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述 式。
费马与笛卡儿对解析几何贡献的不同
三、费马的解析几何思想
坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 建的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
费马
费马(P．de Fermat， 1601—1665)是一 位多才多艺的学者．他在30岁以后才 开始进行数学研究．是一位数学天才， 尽管数学工作仅占据了他的一部分时 间，他那丰硕的成果却令人目不暇 接．
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项目名称: 对比分析费马和笛卡儿在解析几何方面的创建工作报告人：
指导教师:
2012年12月25日
摘要:解析几何学对近代数学的发展产生了重要的影响，解析几何的诞生促进了新时代的到来，对旧的数学做了总结，代数和几何相结合，引发的变量概念为物理学打基础。
这其中笛卡尔和费马为解析几何做了很大贡献，两者不同的解题思路也引发我们的思考。
关键词:笛卡尔费马解析几何坐标图形
背景: 解析几何:解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生不可估量的作用
解析几何的基本思想是在平面引进所谓的坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对()
，建立一一对应的关系，每对
x y
实数对()
，都对应于平面上的一个点，反之每个点都应于它的坐标
x y
()
，平面上一条曲线对
f x y=0
x y
，，以这种方式可以将一个代数方程()
应起来，于是几何问题归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
（一）笛卡尔的解析几何之路：从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
笛卡尔的方法论指导：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.
笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。
x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来
笛卡尔的基本思想几何问题算术化
（1）从解决几何作图问题入手，只要知道线段长度的有关知识，就可以完成他的。
笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题—帕波斯问题作图
（2）引入单位线段概念
（3）定义线段加,减，乘，除，乘方，开方的运算
（4）以特殊记号（a,b,c,…）表示不同的线段
（5）用数可以表示所有的几何量，而且几何量之间也可以进行数的运算：
例如求线段a与b乘积，则可以A为端点做射线AB和AC，设线段AB为单位1，AC等于a，AD等于b，联结BC，过D作DE平行于BC,则AE即是a与b乘积。
显然，若设AE等于c，则AC即是c与b的
商，再如求线段a 的平方根，则可以A 为端点作线段AD ，设线段AB 为单位1，BD 等于a ，取AD 中点O ，以O 为圆心，以AD 为直径作圆，过B 作BC 垂直于AD 交圆于C ，联结AC,CD,则BC 即是a 的平方根。
设在平面上给定3条直线123,,l l l ，过平面上的点C 作三条直线分别
与123,,l l l 交于点B,Q,R,交角分别等于已知角123,,ααα，求使
2CB CR kCQ =得点C 的轨迹；如果给定4条直线，则求使
k CB CR k CQ CS =（为常数）的点的轨迹。
笛卡尔的解法的大致步骤是：（1）设所求点C 已经找出，将AB 记为x ，CB 记为y
（2）根据三角形的边角关系，将CR,CS 及CQ 用x ，y 表示出来
（3）代入关系式CB*CR=CS*CQ,经整理就得到了满足帕普斯问题的C 的轨迹方程22y ay bxy cx dx =+++，其中a,b,c,d 是由已知量组成的简单代数式
（二）费马的解析几何之路：1629年以前，费马便着手重写阿
波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。
并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
但在1679年前很少有人了解费马的开创性工作。
《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。
他指出：“两个
未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。
”费马的发现比勒奈·笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。
费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
1629年，在论平面和立体轨迹引论的论文中，费马取一条水平的
直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点，他考虑任意曲线和他上
面的一般点M ，点M 的位置用两个字母A,E 来确定，A 表示从原点O 沿轴线到点Z 的距离，E 表示从Z 到M 的距离，ZM 与轴线成固定的角α。
222222
:):d a x by
b x y x ky -=-=-=直线（圆椭圆:b
费马后来还定义了新曲线,
m n n m n
和
x y a y ax r aν
===
（三）两人的解析几何对比：对比两人的解析几何,两人研究解析几何的方法不同，切入问题的角度不同，表达方式也大相径庭。
首先，费马主要是继承了希腊人的思想，他比较全面系统的叙述了解析几何的基本原理，但他的重点在完善阿波尼奥斯的工作且沿用了韦达以字母表示数的思想，而笛卡尔则从批判古希腊的传统出发，走的是革新古代方法的道路。
笛卡尔的方法更具有一般性，适用围更加广泛。
其次，费马从方程发研究它的轨迹，笛卡尔则从轨迹开始建立他的方程，前者是从代数到几何，后者是从几何到代数，从历史的发展角度来看，笛卡尔的几何学更胜一筹，更具有突破性。
我们今天大多数会在做圆锥曲线问题是运用解析几何的思想，在平面直角坐标系上解决所遇到的问题，在解决立体几何体是会运用建立直角坐标系的方法，算出角边的关系，或垂直或平行，或者计算空间角，而无论是怎么计算，都会运用到笛卡尔和费马的思想，解析几何问题的解决过程，和他们的创建过程密不可分：
下面两题是我们今天利用解析几何解决的问题，综合运用前人所讲知识：
利用解析几何的实例:
例1；已知两点A（-2，-2）和B（2,2），求满足条件4
MA MB
-=的动点M的轨迹方程。
解；动点M 在轨迹上的充要条件是4MA MB -=，用点M 的坐标（x ，y ）来表达就是
4=
4= （2）
两边方程整理得2x y =+- （3）
再两边平方整理得2xy = （4）因为方程（2）和（3）同解，而方程（3）和（4）却不同解，但当方程（4）附加了条件20x+y x y +-≥≥即2后，方程（3）和（4）同解，从而方程（4）和（2）同解，所以方程2xy =（x+y ≥2）为所求动点M 的轨迹方程。
例2；已知两直线121x-111:,110110
x y z y z l l +--====-： 试证明两条直线为异面直线，并求直线间距离与他们的公垂线。
解:因为直线过点1M （0,0，-1），方向向量为}{11,1,0ν=-，而直
线2l 过点2M （1,1,1），方向向量为}{21,1,0ν=，从而有
12121
12(,,)11040110v v M M ∆==-=≠
所以两直线为异面直线。
又因为1l 与2l 的公垂线0l 的方向向量可取为}{120,0,2νν⨯=，
所以1l 与2l 之间的距离为:
121212(,,)
422
d v v M M v v ===⨯ 根据公垂线计算公式可得：11100
00211111000
02x y z x y z ⎧+⎪-=⎪⎪⎪⎨---⎪⎪=⎪⎪⎩
即00
x y x y +=⎧⎨-=⎩ 这了公垂线的方程又可以写成00
x y =⎧⎨=⎩显然他就是z 轴。
综合上两题可看出，笛卡尔和费马从两个对立的方面考虑问题，
但是达到了一样的效果，都发现了解析几何，从中可以看出，从不同的出发角度看问题，可看到不同的结果，在学习中，我们也要善于发现，乐于总结，最终在实践中掌握真知，更好的运用到生活当中。