从笛卡尔的《几何学》
解析几何发展史
解析几何发展史解析几何是几何学的一个分支，主要研究几何图形的性质和结构，通过运用代数方法和分析方法来分析和解答几何问题。
解析几何的发展历史可以追溯到古希腊时期，但其真正的发展始于17世纪。
在古希腊几何学中，欧几里德的《几何原本》被视为几何学的基石，其中包含了许多几何定理和证明。
然而，欧几里德几何主要基于直观和直觉，缺乏严格的数学证明。
这一局限性在17世纪得到了克服，解析几何因此得以诞生。
法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人之一。
他在1637年出版的《几何学》一书中，首次将代数和几何相结合，建立了坐标系和坐标表示方法。
笛卡尔利用代数的符号和方程式，将几何问题转化为代数问题，从而实现了几何的解析化。
笛卡尔的贡献不仅在于引入了坐标系，而且还发展了直角坐标系下的几何分析方法。
他将几何问题转化为代数方程，通过对方程进行分析和求解，得出了许多几何图形的性质和结论。
这种代数方法的引入，不仅使几何学变得更加严谨和精确，还为后来的数学家提供了重要的工具和思路。
在笛卡尔之后，解析几何得到了进一步的发展和完善。
牛顿和莱布尼兹的微积分理论为解析几何提供了新的思想和方法。
微积分的引入，使得解析几何成为了研究曲线、曲面和其他复杂几何图形的有力工具。
通过微积分的运算和分析，数学家们能够更加深入地研究几何图形的性质和变化规律。
19世纪的数学家高斯和黎曼等人进一步推动了解析几何的发展。
高斯提出了非欧几何学的概念，打破了欧几里德几何的限制，开创了新的几何学分支。
黎曼则在复变函数理论中引入了黎曼曲面的概念，为解析几何和复变函数的研究提供了重要的理论基础。
20世纪以后，随着计算机的发展和数值计算方法的成熟，解析几何得到了更广泛的应用和发展。
计算机辅助几何设计（CAGD）成为了解析几何的一个重要分支，广泛应用于计算机图形学、工程设计和制造等领域。
通过计算机的高速运算和精确计算，解析几何得以更加深入地研究和应用。
解析几何作为几何学的一个重要分支，通过代数和分析的方法，实现了几何问题的解析化。
几何发展史简要概括
几何发展史简要概括几何学的发展史是一个漫长而丰富多彩的过程，它伴随着人类文明的发展，不断推动着人类对自然界和宇宙的认识。
以下是几何学发展史的简要概括：1. 早期几何学：早在公元前7世纪，古希腊的数学家们就开始研究几何学。
其中，欧几里德被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》一书成为了数学史上的经典之作。
在这个时期，几何学主要关注平面上图形的性质和度量，如长度、角度、面积等。
2. 解析几何学：到了17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将几何图形与代数方程结合起来，从而开创了解析几何学的新纪元。
解析几何学的出现，使得几何学的研究范围从平面扩展到了空间，同时也使得代数和几何在理论上得到了统一。
3. 微分几何学：在19世纪，高斯提出了微分几何学，将几何学的研究重点放在了曲面上。
微分几何学的研究对象包括曲线、曲面以及它们之间的变化和性质。
在这个时期，几何学的研究方法也得到了极大的发展，如微积分、线性代数等数学工具的引入，使得几何学的研究更加深入和广泛。
4. 拓扑学：拓扑学是几何学的一个重要分支，它研究的是图形在连续变形下保持不变的性质。
拓扑学的研究范围非常广泛，包括图形的连通性、紧致性、同胚性等方面。
在20世纪初，随着数学的发展和各学科之间的交叉融合，拓扑学逐渐成为了一个独立的数学分支。
5. 现代几何学：进入20世纪以后，几何学的发展更加多元化和深入。
在这个时期，出现了许多新的几何学分支，如纤维丛几何、黎曼几何、辛几何等。
这些分支的出现，使得几何学的研究范围更加广泛，同时也推动了数学和其他学科的发展。
总的来说，几何学的发展史是一个不断开拓、不断创新的过程。
在这个过程中，许多杰出的数学家们为几何学的发展做出了卓越的贡献。
他们的思想和成果不仅推动了数学的发展，也对其他学科产生了深远的影响。
今天，几何学已经成为一个庞大而复杂的学科体系，它将继续引领着人类对自然界和宇宙的认识和理解。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展可以追溯到古希腊数学，特别是毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家。
在古希腊的数学中，函数的概念最初是通过几何问题的讨论而产生的，随后逐渐发展成为独立的数学概念。
函数的概念在数学和物理学等领域中扮演着重要的角色，它的发展历程与数学和物理学领域的发展密切相关。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家开始讨论角度和传统的几何学问题，这些问题往往需要利用变量和关系式来描述。
例如，在求出一个等腰三角形的斜边与底边的关系时，需要描述角度和直角三角形之间的关系，这种描述可以看做是角度与斜边长度的函数关系。
在此过程中，数学家们开始意识到，不同的输入可以对应到不同的输出，即输入和输出之间有一定的关系，这种关系可以通过公式或者表格来表示。
在欧几里得的《几何原本》中，已经出现了对线性函数的讨论。
在古希腊时期，欧几里得就提出了比例和相似的概念，这是对函数概念的提前探索。
另外，在数学家阿基米德的著作中也出现了对曲线形状和其对应的方程关系的讨论，这也为函数的发展奠定了理论基础。
在中世纪和文艺复兴时期，数学家们又开始重新探讨古希腊时期的数学问题，特别是对函数概念的研究。
文艺复兴时期的数学家伽利略、笛卡尔等人，开始将代数和几何联系起来，提出了解析几何和坐标系的概念。
在笛卡尔的《几何学》中，首次将函数的概念和直角坐标系联系起来，提出了函数与坐标之间的对应关系。
这一理论的提出，对函数的发展起到了重要的推动作用。
在17世纪，微积分的发展进一步推动了函数概念的发展。
牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分学，引入了函数的导数和积分的概念。
微积分理论的出现，使函数概念得以系统化和深化，为函数的发展奠定了数学基础。
例如在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，函数的概念已经被广泛应用于描述物体的运动、速度和加速度等物理现象。
18世纪和19世纪，函数概念得到了进一步的发展。
在18世纪，欧拉和拉格朗日对函数的极限、连续性和泰勒级数进行了深入的研究，引入了许多函数的概念和性质。
专题42 中考数学史类试题解法(原卷版)
专题42 中考数学史类试题解法初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。
1.秦九韶秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。
他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
在世界数学史上占有崇高的地位。
2.杨辉杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。
其生卒年月及生平事迹均无从详考。
据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。
是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。
杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。
杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。
其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。
3.刘徽三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。
他是魏晋时代山东邹平人。
终生未做官。
他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。
数学知识的由来
数学知识的由来数学知识有哪些由来了？下面我们一起欣赏数学知识的由来，希望对你的学习有所帮助。
数学知识的由来勾股定理早在公元前11世纪的西周初期，家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。
利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕达哥拉斯定理。
勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。
据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。
勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。
人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达几十种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。
中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。
这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面。
整数在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。
称N 中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。
为负整数。
正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。
中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。
印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的.零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引入了负数。
《九童算术・方程》中论述的"正负术"，就是整法的加减法。
减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。
谈笛卡尔的解析几何思想
谈笛卡尔的解析几何思想作者：刘印堂来源：《教育教学论坛·中旬》2011年第08期摘要：笛卡尔所创立的解析几何可以说是数学思想中一次巨大的飞跃，这是代数和几何统一的一种体现。
然而，解析几何的诞生有其深刻的背景。
文章在充分考虑各种因素的基础之上，揭示了笛卡尔的解析几何思想的成因。
关键词：笛卡尔；解析几何；坐标系；坐标几何；思想成因笛卡尔，1596年生于法国，被公认为是解析几何的创立者。
他不仅是位伟大的数学家，还是一位伟大的科学家、哲学家。
他的解析几何思想主要是在其1637年的著作《方法论》的附录《几何学》中体现的。
然而，究竟是什么原因使得笛卡尔创立了他的解析几何呢，本文将从以下几个方面进行分析。
一、解析几何诞生的背景1.当时的数学状况。
一般的坐标思想在古希腊时代就已经产生了，例如古希腊的希帕苏斯在研究天球时就引进过点的坐标；同样，还有古希腊时期的阿波罗尼奥斯，他在推导圆锥曲线的过程中也有过点的坐标思想；还有法国的奥雷斯姆，他用“经度”和“纬度”两个坐标来表示平面上的坐标，并且在这里还有函数表示的思想。
当时对曲线的研究非常重视，即有很多的数学家追求一种用一般的方式处理曲线的问题，笛卡尔认识到了使用数量方法的重要性，而且认识到了代数和几何结合起来考虑问题的关键。
故而，解析几何的又一关键数学思想是把曲线和曲面用代数方程的形式表达出来。
当然，笛卡尔之所以能产生这种想法，也是有深刻的背景的。
例如在他之前，法国的大数学家韦达对笛卡尔产生了非常重要的影响。
韦达的两个主要科学工作，一个是将代数运用到几何的想法，另一个就是引进了系统的数学符号体系。
可以说韦达是和笛卡尔的解析几何走的最近的数学家，但是为什么韦达没有能够创立解析几何呢，就是因为他当时考虑的代数方程总是仅限于齐次的情况，而笛卡尔则没有局限在仅仅只考虑齐次方程的情形。
前人的工作为笛卡尔的解析几何思想提供了重要的源泉，笛卡尔正是在这些人的工作的基础之上而得到了解析几何中一些非常重要的成果。
解析几何的创始人笛卡尔
解析几何的创始人笛卡尔解析几何的创始人——笛卡尔法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(1596—1650)，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。
他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。
但在今天，法国首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。
笛卡尔的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。
《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。
这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。
代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。
他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。
于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。
所以学”。
1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了直角坐标系。
他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。
他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。
笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
最为可贵的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形(包括点、线、面)和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。
笛卡尔与平面直角坐标系的故事
笛卡尔与平面直角坐标系的故事
17世纪法国哲学家笛卡尔，是现代数学和哲学的奠基人之一。
在他的主要著作《几何学》中，他提出了一种新的几何学方法，即平面直角坐标系。
在笛卡尔之前，几何学是以图形为基础的，图形之间的关系是通过比较它们的大小、形状和位置来得出的。
但这种方法不够精确，也不够方便。
而笛卡尔认为，我们可以用数字来描述图形的位置和形状，这样可以更加精确地描述它们之间的关系。
于是，他想到了平面直角坐标系这一创新性的方法。
他在平面上画了两条互相垂直的直线，分别称为x轴和y轴，并在它们的交点处标记了一个原点。
然后，他把平面上的任何一个点都表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示这个点在x轴上的位置，y表示这个点在y
轴上的位置。
这样，我们就可以用数字来描述图形的位置和形状，而不用凭空想象或比较了。
这个方法之所以被称为平面直角坐标系，是因为这个坐标系中x 轴和y轴是互相垂直的，它们的交点形成了一个直角。
这个方法的优点在于，它可以用数字来描述图形的位置和形状，而且可以进行精确的计算。
它也被广泛地应用于物理学、工程学、经济学等领域中。
总之，笛卡尔的平面直角坐标系方法是几何学史上的一个里程碑，它不仅为我们提供了一种精确和方便的描述图形的方法，而且为我们带来了一种新的思维方式。
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3.向量的关系与坐标：
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
表示： AB CD 或
a b
等长同向
依轴上点的坐标定义，OB= x2 , OA= AB= x2有关系：
AC=AB+BC
例题
判断下列命题的真假： (假) 1.单位向量都相等；
(真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等； (假) 3.若 a b
则
ab ；
(真) 4.若 a b , b c，则 a c ；
小结
有大小 又 1.判断一个量是否为向量：就是要判断该量既_______ 有方向 ________. 有向线段 或______ 字母 表示. 2.向量的表示:可用_________ 长度为0 的向量;单位向量是指 3.两个特殊向量:零向量是指________ 长度为1 的向量. _________ 相同 长度________. 相等 4.相等向量:两相等向量的方向_______ 5.向量能不能比较大小? 向量的模是可以进行大小比较的 ;向量是不能比较大小的. | a || b | 有大小
数轴上的基本公式
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 下列物理量中，不能称为向量的有 质量 速度 时间 位移 力 加速度
二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示. 有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段 2. 代数法:用字母表示 向量
向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素 ;与起点无关,可以自由移动 。 （2）有向线段：起点、大小和方向三个要素，
AB,
A
a
B
AB,的坐标或数量表示为AB=a
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量
AB 的长度
表示：
表示向量 a 的大小，也叫做 a 的长（或模）.记作｜ a｜.
| AB |
2.两个特殊向量：
零向量: 长度为零的向量(没有确定方向).
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
解析几何的创立，引入了 一系列新的数学概念，特别 是将变量引入数学，使数学 进入了一个新的发展时期， 这就是变量数学的时期。解 析几何在数学发展中起了推 动作用。
恩格斯对此曾经作过评价 “数学中的转折点是笛卡尔的 变数，有了变数，运动进入了 数学；有了变数，辩证法进入 了数学；有了变数，微分和积 分也就立刻成为必要的 了，……”
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中 心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、 几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代 数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设 想，笛卡尔从天文和地 理的经纬制度出发，指 出平面上的点和实数对 (x,y)的对应关系。x,y的 不同数值可以确定平面 上许多不同的点，这样 就可以用代数的方法研 究曲线的性质。这就是 解析几何的基本思想。
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科 学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法 国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产 生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形 中,将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研 究对象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为 代数问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解 决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分 的发展，使整个数学学科有了重大进步，那次解 析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.
1637年，法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作 《方法论》，这本书的后面有 三篇附录，一篇叫《折光学》， 一篇叫《流星学》，一篇叫 《几何学》。当时的这个“几 何学”实际上指的是数学，就 像我国古代“算术”和“数学” 是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图； 第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作 图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世 的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解 析几何的起点。
解析几何的产生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展， 天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的 需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕 着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆 的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物 体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥 曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套 方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的 出现。