江苏省东台中学2021届高三十月阶段性测试数学试题

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2021年高三上学期10月段考数学试卷含解析

2021年高三上学期10月段考数学试卷含解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}2．函数f（x）=1n（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2] D．[1，2]3．下列命题的逆命题为真命题的是（）A．若x＞2，则（x﹣2）（x+1）＞0 B．若x2+y2≥4，则xy=2C．若x+y=2，则xy≤l D．若a≥b，则ac2≥bc24．已知函数f（x）=，那么f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B．C．D．6．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单 D．向右平移个单位7．函数y=ln的图象大致是（）A． B． C． D．8．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C． D．9．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，（a+1）2+（b﹣1）2的最小值为（）A． B． C． D．10．定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知向量、为不共线向量，向量=3﹣2，向量=+λ，若向量∥，则λ=．12．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．14．已知a＞0，a≠1，函数在R上是单调函数，且f（a）=5a﹣2，则实数a=．15．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①不可能是k型函数；②若函数是1型函数，则n﹣m的最大值为；③若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0；④设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为．其中正确的说法为．（填入所有正确说法的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）﹣（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的对称中心及单调增区间．17．已知集合A是函数y=lg（20+8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a ＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B，（Ⅰ）若A∩B=∅，求a的取值范围；（Ⅱ）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．19．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．20．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．xx学年山东省潍坊市青州市高三（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{0，1}C．{1，2}D．{1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由已知中U为全集，A，B是集合U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．【解答】解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（C R B）∩A={1，2}．故选C．2．函数f（x）=1n（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，故1＜x＜2，即函数的定义域为（1，2），故选：A3．下列命题的逆命题为真命题的是（）A．若x＞2，则（x﹣2）（x+1）＞0 B．若x2+y2≥4，则xy=2C．若x+y=2，则xy≤l D．若a≥b，则ac2≥bc2【考点】四种命题．【分析】分别写出相应的逆命题，再判断真假即可．【解答】解：选项A，“若x＞2，则（x﹣2）（x+1）＞0”的逆命题为“若（x﹣2）（x+1）＞0，则x＞2”因为（x﹣2）（x+1）＞0得到x＞2或x＜﹣1，所以是假命题，选项B，“若x2+y2≥4，则xy=2”的逆命题为“若xy=2，则x2+y2≥2xy=4”是真命题，选项C，“若x+y=2，则xy≤l”的逆命题为“若xy≤l，则x+y=2”，因为x=2，y=，满足xy≤l，但不满足x+y=2，所以是假命题，选项D，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，因为若c=0，a=1，b=2，满足ac2≥bc2，但不满足a≥b，所以是假命题．故选：B．4．已知函数f（x）=，那么f（）的值为（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】函数的值．【分析】由已知条件利用分段函数的性质得f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．故选：B．5．已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】首先根据向量垂直得到数量积为0，求出m的值，然后计算模长．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，所以•=2﹣2m=0，解得m=1，所以||=；故选C．6．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单 D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到的函数解析式为：y=cos[2（x ﹣）]=cos（2x﹣），故选：B．7．函数y=ln的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．8．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．9．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，（a+1）2+（b﹣1）2的最小值为（）A． B． C． D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得3a+b=1，结合a＞0，b＞0求得a的范围，再把（a+1）2+（b﹣1）2化为关于a的二次函数，利用配方法求得最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，此时3a+b=1，∵a＞0，b＞0，∴0．则（a+1）2+（b﹣1）2=（a+1）2+9a2=10a2+2a+1=10．则当a=时，（a+1）2+（b﹣1）2的最小值为．故选：D．10．定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知向量、为不共线向量，向量=3﹣2，向量=+λ，若向量∥，则λ=﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，列出方程即可求出λ的值．【解答】解：∵向量、为不共线向量，=3﹣2，=+λ，且∥，∴=m，m∈R，∴，解得λ=．故答案为：﹣．12．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．14．已知a＞0，a≠1，函数在R上是单调函数，且f（a）=5a﹣2，则实数a=2．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据二次函数，指数函数，以及分段函数的单调性便可得出a＞1，而由f（a）=5a ﹣2可以得到2a2=5a﹣2，解出该方程，取a＞1的值便可得出实数a的值．【解答】解：f（x）在R上为单调函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；∴a＞1，且2•02=a0﹣1；又f（a）=2a2=5a﹣2；解得a=2，或（舍去）；∴实数a=2．故答案为：2．15．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①不可能是k型函数；②若函数是1型函数，则n﹣m的最大值为；③若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0；④设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为．其中正确的说法为②③．（填入所有正确说法的序号）【考点】函数的值域．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；对于②，y=（a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2==≤，即n﹣m的最大值为，∴②正确；对于③，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴③正确；对于④，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴，解得0＜k＜1，∴④错误；综上，正确的命题是②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）﹣（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的对称中心及单调增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x﹣），从而可求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；（2）利用正弦函数的对称中心以及单调增区间求解函数的对称中心以及单调增区间即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4sinx（cosx+sinx）﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由2x﹣=kπ（k∈Z）得，x=+（k∈Z），∴其对称中心为：（+，0）（k∈Z）；2k≤2x﹣≤2kπ+，解得x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．17．已知集合A是函数y=lg（20+8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a ＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B，（Ⅰ）若A∩B=∅，求a的取值范围；（Ⅱ）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）分别求函数y=lg（20+8x﹣x2）的定义域和不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集化简集合A，由A∩B=∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a的取值范围；（Ⅱ）求出¬p对应的x的取值范围，由¬p是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由条件得：A={x|﹣2＜x＜10}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=φ，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥9；（Ⅱ）易得：¬p：x≥10或x≤﹣2，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥10或x≤﹣2}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤3．18．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用f（0）=3求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=4x+1求出a，b，即可求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，转化为二次函数的闭区间上的最值，求解实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴，∴．∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2．19．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域．（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=•=2﹣sin（2x+）﹣2sin2x=2﹣（sin2xcos+cos2xsin）﹣（1﹣cos2x）=cos2x ﹣sin2x+1=cos（2x+）+1．…∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤，从而有0≤f（x）≤，所以函数f（x）的值域为[0，]．…（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0＜B＜π，所以＜B+，从而B+=，即B=．…因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC==，故C=或，当C=时，A=，从而a==2，当C=时，A=，又B=，从而a=b=1综上a的值为1或2．…（用余弦定理类似给分）．20．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣xx年1月8日Gq32985 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2021-2022年高三(上)10月月考数学试卷

2021年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3} ．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i ∴a=7，b=﹣1∴a+b=6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）= 故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半析：径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，答：所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，= ∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx•天津）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，∴，，．==．点评：本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1 ∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。

江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，，故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥，由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬，所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =，即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤，解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−，即至少需要自然降解31年，故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++，则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+，当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立，所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤，即m 的最大值为3，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称；则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对；对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=，所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对；对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ，可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ，作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈；当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈；当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点，即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<，且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==，即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−，设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈，则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增，则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<，所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=，即()321x f x +>，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−，又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<，易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >，则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<，则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<，当0x <时，[]0x <，则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−，此时[]x 不存在，综上所述1011,33x∈，故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长；（2）求角C 的正弦值．【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ；（2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠，又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠，即2π3AOB ∠=，又5OA = 则5202OB =，即8OB =，216BC OB ==；【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠，即212564258492AC =+−×××=，则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列；（2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠），上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−，因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列，所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=，所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−，因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =，所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >，当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<，当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>；当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值．【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值；（2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈．（1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值（3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解，（3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−，当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增，【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=，故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=，由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==，故()121120x x x x − ⇒−−=，当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =，记()h x =()e 2x h x x ==′，当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增，当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减，故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=，且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+，故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=．（1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明．【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆，有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ，则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个，由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个，故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集，其中元素t 在1A 、2A 、、12n A −中都有，假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次，则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ，其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ，则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ，也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠，由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−，即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <，两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021年高三10月月考试题数学文含答案

开是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题数学文含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ．二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间；（2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形．（1）求证：⊥平面；（2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式；（2）设数列的前且，令的前项和。

2021年高三(上)10月段考数学试卷

2021年高三（上）10月段考数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．请把答案填写在答题卷相应位置上．1．（6分）命题“∀x∈R，x2+x＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x≤0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：将命题“∀x∈R，x2+x＞0”中的“∀”改为“∃”；结论“x2+x＞0”改为“x2+x≤0”即可．解答：解：根据含量词的命题的否定形式得到：命题“∀x∈R，x2+x＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x≤0”故答案为：∃x∈R，x2+x≤0．点评：求含量词的命题的否定，只需将量词交换，同时结论否定即可，属于基础题．2．（6分）若A={x|（x﹣1）2＜2x﹣4}，则A∩Z的元素个数为0．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，找出A与Z的公共部分，求出A与Z 的交集，即可确定出交集中的元素个数．解答：解：由集合A中的不等式（x﹣1）2＜2x﹣4，变形得：x2﹣4x+4＜﹣1，即（x﹣2）2＜﹣1，得到此不等式无解，即A=∅，则A∩Z=∅，即A∩Z的元素个数为0．故答案为：0点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（6分）若命题p：“log2x＜0”，命题q：“x＜1”，则p是q的充分不必要条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：求出命题P成立时x的范围，然后通过充要条件的判断方法判断即可．解答：解：因为命题p：“log2x＜0”，所以0＜x＜1，显然命题p：“log2x＜0”，⇒命题q：“x＜1”，x∈q时x不一定满足p；所以p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题考查充要条件的应用，对数的基本性质，考查逻辑推理能力．4．（6分）设函数则=．考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据分段函数的解析式，因为＜1，求出f（），再将f（）的值代入分段函数进行求解；解答：解：∵分段函数的解析式﹣2，因为||＜1，可得f（）=|﹣1|﹣2=﹣，因为|﹣|＞1，∴f（﹣）==，∴f（f（））=，故答案为：；点评：此题主要考查分段函数的性质及其应用，注意分段函数的定义域，此题是一道基础题；5．（6分）已知a=log0.23，b=2﹣1，，则a，b，c从小到大排列是a＜b＜c．（用“＜”连接）．考点：不等式比较大小．专题：计算题．分利用正弦函数的性质，将c与b=比较，利用对数的性质将a与0比较即可．析：解答：解：∵a=log0.23＜log0.21=0，b=2﹣1=，c=sin＞sin=，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．点评：本题考查不等式比较大小，考查正弦函数的性质与对数函数的性质，属于基础题．6．（6分）已知α为第四象限的角，且=．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用诱导公式求出cosα，然后根据α所在的象限判断出sinα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据cosα的值求得sinα的值，进而求得tanα．解答：解：∵sin（+α）=cosα= α为第四象限的角∴sinα=﹣=﹣∴tanα==﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，注重了对学生基础知识的掌握．学生做题时注意α的范围．7．（6分）已知函数，则函数y=f（3﹣x2）的定义域为．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先由函数的解析式求出函数f（x）的定义域，然后使3﹣x2在f（x）的定义域中求出x的范围，则函数y=f（3﹣x2）的定义域可求．解答：解：由得函数f（x）的定义域为（0，1）．再由0＜3﹣x2＜1，得：或，所以函数y=f（3﹣x2）的定义域为．故答案为．点评：本题考查了函数定义域的求法，训练了复合函数的定义域的求法，求解复合函数的定义域，即如果函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足a≤g（x）≤b的x的取值集合．8．（6分）已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，则g（x）•h（x）=．考点：函数奇偶性的性质．分析：因为f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，可得h（x）+g（x）=2x，再根据函数的奇偶性，可得h（﹣x）+g（x）=h（x）﹣g（﹣x）=2﹣x，从而分别求出g（x）和h（x），即可求解；解答：解：∵f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，∴h（x）+g（x）=2x，令x=﹣x，可得h（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x，①∵g（﹣x）=﹣g（x），h（﹣x）=h（x），∴h（x）﹣g（﹣x）=2﹣x，②由①②得：h（x）=，g（x）=，∴h（x）•g（x）=；故答案为：；点评：此题主要考查函数奇函数和偶函数的基本性质，我们要学会利用已知条件进行求解，此题是一道基础题；9．（6分）设x，y∈（0，+∞），且xy﹣（x+y）=1，则x+y的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x+y+1=xy≤，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解此不等式求得x+y的取值范围．解答：解：由x，y∈（0，+∞），且xy﹣（x+y）=1，可得x+y+1=xy≤，化简可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解得x+y≤2﹣2（舍去），或x+y≥2+2．综上可得x+y的取值范围是，故答案为．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，属于基础题．10．（6分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=﹣．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知中角φ的终边经过点P（1，﹣2），可求出φ角的正弦值和余弦值，由函数f （x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等，可求出函数的周期，进而求出ω，将，代入函数的解析式，利用两角和的正弦公式，展开计算可得答案．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，函数的值，其中熟练掌握三角函数的定义及正弦型函数的图象和性质是解答的关键．11．（6分）若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8．考点：函数的周期性；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=f（x），y=log5|x﹣1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解；解答：解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；点评：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题．12．（6分）（xx•盐城二模）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x）＞0．则不等式的解集为{x|1≤x＜2}．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题意可得（x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在R上是增函数，不等式即，故有＞，由此求得解集．解答：解：∵f（x）+xf′（x）＞0，∴（x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在R上是增函数．∴•=•f（），∴＞，即．解得1≤x＜2，故答案为{x|1≤x＜2}．点评：本题以积的导数为载体，考查函数的单调性，关键是条件的等价转化，属于基础题．二、解答题：本大题共5小题，共78分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m=0时，求A∩B；（2）若p：x∈A，q：x∈B，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}，分别求出集合A与B，再根据交集的定义进行求解；（2）根据（1）可知p的范围和q的范围，q是p的必要不充分条件，可知p⇒q，从而求出实数m的取值范围；解答：解：（1）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．∴A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥1或x≤﹣1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}；（2）由（1）知p为：x∈（﹣1，3），又q为：x∈（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），因为q是p的必要不充分条件，即p⇒q，且q推不出p，所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，∴m≥4或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）；点评：此题主要考查交集及其运算以及充分必要条件的定义，解决此题的关键是对一元二次方程正确求解，此题是一道基础题；14．（15分）已知函数，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：（Ⅰ）用二倍角公式可将函数化简为f（x）=sin（2ωx+）+，再由在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为可解得ω=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+）+，由正弦函数的性质，根据图象变换规律得出（x）=sin（x﹣）+，令2kπ+≤x﹣≤2kπ+（k∈Z），即可解出其单调增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=+sin2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．令2ωx+=，将x=代入可得：ω=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+）+，函数f（x）的图象向右平移个单位后得出y=sin[2（x﹣）+）]+=sin（2x﹣）+，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（x﹣）+，最大值为1+=，令2kπ+≤x﹣≤2kπ+（k∈Z），4kπ+π≤x≤4kπ+，单减区间[4kπ+π，4kπ+]，（k∈Z）．点评：本题考查了利用两角和与差的公式化简解析式，三角函数的性质，图象变换规律．15．（16分）设（a＞0）：（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）求导函数，根据f（x）在[1，+∞）上递增，可得在[1，+∞）上，恒成立，由此可求a的取值范围；（2）由，x∈[1，4]，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求f（x）在[1，4]上的最小值．解答：解：（1）求导函数，可得∵f（x）在[1，+∞）上递增，∴在[1，+∞）上，恒成立∴在[1，+∞）上，∴a≥2∴a的取值范围为[2，+∞）；（2）由，x∈[1，4]①当a≥2时，在x∈[1，4]上，f'（x）≥0，∴f min（x）=f（1）=a（8分）②当0≤a≤1时，在x∈[1，4]上，f'（x）≤0，∴f min（x）=f（4）=2a﹣2ln2（10分）③当1＜a＜2时，在上f'（x）≤0，在上f'（x）≥0此时综上所述：（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．16．（16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；应用题；压轴题；分类讨论．分析：（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．（11）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．解答：解（1）由题意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，其中当时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为（2），，令y'=0得18x4=8（400﹣x2）2，所以x2=160，即，当时，18x4＜8（400﹣x2）2，即y'＜0所以函数为单调减函数，当时，18x4＞8（400﹣x2）2，即y'＞0所以函数为单调增函数．所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值．（注：该题可用基本不等式求最小值．）点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用问题．涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题目，关键点在于把文字转化为数学符号．17．（17分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对∀x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明∃x0∈（x1，x2），使成立．（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x﹣4）=f（2﹣x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．考点：函数零点的判定定理；一元二次不等式的应用．专题：压轴题．分析：（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数．（2）令g（x）=f（x）﹣，再由函数零点的判定定理可证．（3）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，且最小值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a=c=，b=，最后验证即可．解答：解析：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+c=0，b=a+c∵△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．（2）令，则，∴∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．即∃x0∈（x1，x2），使成立．（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1，且f（x）min=0∴⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c由②知对∀x∈R，都有令x=1得0≤f（1）﹣1≤0⇒f（1）﹣1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1由得，当时，，其顶点为（﹣1，0）满足条件①，又⇒对∀x∈R，都有，满足条件②．∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．点本题主要考查函数零点的判断定理．评：31342 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2021年高三上学期10月阶段测试数学(理)含解析

2021年高三上学期10月阶段测试数学（理）含解析注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数的定义域是 ▲ ．4．若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5．函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝，则m ＝ ▲ ． 7．已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ▲ ．9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为的函数是奇函数，（1）求的值；( 2) 判断并证明函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.19．（本小题16分）已知函数．（1）若函数在R 上是增函数，求实数的取值范围；（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷：吴勇贫审核：吴勇贫江苏省南通第一中学xx 届高三阶段考试理科数学答案1. 解析由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．答案若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4．解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5．解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案－1e6．答案0,1，－12；7．解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解， ∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 8．，试题分析：由题意得：函数的值域包含，当m ＝0时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数m 的取值范围是. 9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b<54，又0<b <a ⇒a b >1，故a b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案．15．解因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分 (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅． …………8分当时，y 有最大值，． …………10分此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有，所以． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1），,42222222x x x xab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅. 4分（2）因为，所以是单调递减的.证明：设,因为所以从而，所以在上是单调递减的. 10分（3）又是奇函数，又是减函数，，即 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由在R 上是增函数，则即，则范围为；…4分（2）由题意得对任意的实数，恒成立，即，当恒成立，即，，，故只要且在上恒成立即可，在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而当时，，为增函数，；当时，，为增函数，，所以；（3）当时，在R 上是增函数，则关于x 的方程不可能有三个不等的实数根；则当时，由得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；由存在，方程有三个不相等的实根，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数的取值范围为；同理可求当时，的取值范围为；综上所述，实数的取值范围为． 20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分23177 5A89 媉l22284 570C 圌22562 5822 堢36488 8E88 躈40337 9D91 鶑"32831 803F 耿)r39891 9BD3 鯓H8。

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安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（）
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
7. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 2 ， an1 Sn ，若 an (0,2020) ，则称项 an 为“和谐
.项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（）.
A. 1 411 8
3
3
B. 1 411 4
3
3
C 1 410 8
3
3
D. 1 412 4
3
3
8.函数 f (x) ax3 bx2 cx (a，b，cR，a≠0)．若不等式 xf (x) af (x) 2 对一切 xR 恒成立，
则 b c 的最小值为（） a
1
A.
B. 1
A ， B ，与
y 轴交于点 C ， BC
2BD ，OCB
3
，| OA | 2 ，
AD
2
21 3
.则下列说法正
确的有（）.
A. f (x) 的最小正周期为 12
B. 6
C. f (x) 的最大值为 16 3
D. f (x) 在区间 (14,17) 上单调递增
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
A. (,2]
B. (,3)
C. (0,2]
D. (0,3)
2. 已知复数 z 满足 (2 i) z | 3 4i | i ，则 z 在复平面内对应的点 (x, y) 满足（）.
A. 2x y 0
B. x 2y 0
C. x 2 y 0
D. 2x y 0
3. 在 ( x 2)5 的展开式中， x2 的系数为（）．
于点 Q(x2, y2 ) . 记 f () y1 2y2 .
（1）时，求f ( ) ； 3
（2）若f () 2，求tan
y
Q
P
α
O
x
14.如图，已知长为 3 dm，宽为 1 dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为 π ，求点 A 走过的路程为__________；
（2）若函数 y f (x) 在区间[4，5]上单调递增，求实数 a 的取值范围； g(x)
1
C.
D. 1
6
6
2
2
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9.
关于双曲线 C1 :
x2 9
y2 16
1与双曲线 C2
:
y2 9
x2 16
1，下列说法正确
是（
江苏省东台中学 2021 届高三十月阶段性测试
数学试题
命题:许冬生审题:曹继东
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A {x | x2 3x 0}， B {y | y 2x , x 1}，则 A B =（）.
）.
A. 它们有相同的渐近线
B. 它们有相同的顶点
的 C. 它们的离心率不相等
D. 它们的焦距相等
10. 下列命题中正确的为（）.
A. 在 ABC 中，若 sin A sin B ，则 A B
B. 在空间中，若直线 a 、 b 、 c 满足： a b ， a c ，则 b//c
C. f x x 1 的图像的对称中心为 1,1
值时，实数 a 的值是
.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
19.（1）已知不等式|x- m|<1 成立的充分不必要条件是, 1 <x< 1 ,，求实数 m 的取值范围； 32
（2）已知 f(t)=log2t，t∈ [ 2 , 16]，则求 f ( t ) f (t 2 ) 的取值范围 2
13. 已知向量 a cos35 ,sin 35 ， b cos5 ,sin 5 ，则 a b 的值为________；
18.在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
P(x1,
y1)
，将射线 OP
绕坐标原点 O
按逆时针方向旋转
2
后与单位圆交
满足
Sn2
an (Sn
1) 2
（1）求 Sn 的表达式；
（2）设 bn
Sn 2n
1
,
求数列{bn
}的前n项和Tn
.
22. 已知函数 f (x) (1 4)ex ， g(x) a 1( a R)（e 是自然对数的底数，e≈2.718…）．
x
x
（1）求函数 f (x) 的图像在 x＝1 处的切线方程；
17.已知全集U R ，集合 A x | x2 2x 15 0 ，集合 B x | x 2a 1 x a2 0 .
（1）若 a 1，求 CU A 和 B ；（2）若 A B A ，求实数 a 的取值范围.
20.已知数列{an}中，
a1
பைடு நூலகம் 1,当n
2时，前
n
项和
Sn
x 1
D.
已知过抛物线 y2
4x 的焦点 F
的直线交抛物线于 A x1, y1 、 B x2, y2 两点，则 x1x2
1 4
11.
设a
1 4
log
2
1 3
,
b
1 2
0.3
则有(
)
A． a b ab
B． a b ab
C． a b ab
D． a b ab 1
12. 如图，已知函数 f (x) Asin(x ) （其中 A 0 ， 0 ，）的图象与 x 轴交于点 2
A． 5
B．5
C． 10
4.函数 f (x) x | x a | b 是奇函数的充要条件是（）
D．10
A. ab 0
B. a b 0
C. a b
5. 已知函数 f (x) 1 ，则 y f (x) 的图象大致为（）． x ln x 1
D. a2 b2 0
A.
B.
C.
D.
6. 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆
6
15.若函数 f (x) x3 a x2 4x 2021在区间[1，3 ]上存在极小值点，求实数 a 的取值范围_______ ； 32
16. 已知 a b 2,b 0 ，当 a 0时， 1 b 的取值范围为________；当 1 | a | 取最小
2a b a
2|a| b