高斯曲率的计算公式知识分享
曲面曲率高斯定律
曲面曲率高斯定律
曲面曲率高斯定律，又称为高斯-博内定理，是微分几何学中的一条重要定律。
它揭示了曲面在局部的几何性质与其曲率之间的关系。
具体来说，曲面曲率高斯定律指出，在曲面的任意小区域内，高斯曲率的大小与该区域内最小曲率半径的平方成正比。
换句话说，曲率半径越小，高斯曲率就越大，这意味着曲面在该点处的弯曲程度越高。
这一定律的重要性在于它揭示了曲面曲率的基本性质。
通过曲面曲率高斯定律，我们可以更好地理解曲面在各个点处的弯曲情况，这对于解决实际问题至关重要。
例如，在工程设计中，曲面曲率高斯定律可以帮助我们预测结构的应力分布和稳定性；在生物学中，它可以用来描述细胞膜的形态变化；在气象学中，它可以用来研究气候变化对地形的影响。
此外，曲面曲率高斯定律在数学和物理学中也具有广泛的应用。
在数学领域，它可以作为研究曲面几何性质的出发点，进一步推导出其他重要的几何定理，如欧拉公式和格林公式等。
在物理学领域，它可以用来描述流体的流动规律和弹性力学的基本原理。
总之，曲面曲率高斯定律是一个重要的数学定理，它不仅在数学和物理学中有广泛的应用，还对工程学、生物学和气象学等领域产生了深远的影响。
通过深入研究和应用这一定律，我们可以更好地理解自然界的规律和现象，并解决实际生产和生活中的问题。
一、高斯 ( Gauss ) 公式
斯托克斯( Stokes ) 公式
(斯托克斯公式)
n
Pd x Qd y Rd z
z
o x
Dx y
y C
引进一个向量
记作
rot A（旋度） .
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
例：设向量场 A ( y, z, x) 求其通过曲线的环流量
曲线
解：
从Z轴正向俯看为逆时针方向
dydz x y dzdx y z dxdy z x
ydx zdy xdz
dydz dzdx dxdy
①曲面∑1
z x 2 y 2 ,0 z 1)
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量.
Stokes公式的物理解释： 向量场A 沿有向闭曲线 的环流量等于其旋度 场通过边界曲线所张曲面的通量（侧与 的正向符合右手法则） 问题： 公式中，闭曲线 能张无数个曲面，那么 旋度场通过曲面的通量会改变吗？ 不变，stokes公式揭示了旋度场通过曲面 的通量与边界曲线所张曲面形状无关。
z
B
A x
y
（2）什么条件下应用stokes公式能简化运算？
而且我们发现只要向量场 A 满足在在域G内有二 阶连续偏导数，则
divrotA
由上面定理可知，沿有向闭曲线 的环流量可 以选择任一与曲线正向符合右手法则的曲面进 行计算
高斯曲率
曲率曲率说明
表示曲线弯曲程度的量.
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。
曲率的倒数就是曲率半径。
圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。
曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。
曲率半径的倒数就是曲率。
曲率k = (转过的角度/对应的弧长）。
当角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。
而对于圆，曲率不随位置变化。
高斯曲率曲面论中最重要的内蕴几何量。
设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。
它反映了曲面的一股弯曲程度。
高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。
设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域Δб* 。
这个对应称为高斯映射。
曲面在P点邻近弯曲程度可用
Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。
曲面在P点的高斯曲率的绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。
高斯曲率的计算公式解析
第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
高斯曲率与曲面在微分几何中的应用
高斯曲率与曲面在微分几何中的应用微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线和曲面的性质及其在空间中的变化规律。
在微分几何中，高斯曲率是一个重要的概念，它描述了曲面在点上的弯曲程度。
本文将介绍高斯曲率的定义、性质以及其在微分几何中的应用。
一、高斯曲率的定义高斯曲率是描述曲面弯曲程度的一个量。
在微分几何中，曲面可以用参数方程表示，即通过两个参数来确定曲面上的点的位置。
设曲面的参数方程为x(u,v)，其中u和v分别是曲面上的两个参数。
对于曲面上的一点P(x(u,v))，可以通过求取该点处的曲率来描述曲面的弯曲程度。
具体来说，设曲面上通过点P的曲线为C，该曲线在点P处的切线方向为T，曲线在该点的曲率为k。
则高斯曲率K定义为曲率k在曲面上变化的极限，即K = lim(ΔC→0) Δk/ΔA，其中ΔC表示曲线C在点P附近的一小段，ΔA表示该小段曲线围成的面积。
二、高斯曲率的性质高斯曲率具有一些重要的性质。
首先，高斯曲率是与曲面的参数方程无关的量，即不依赖于曲面的具体表示形式。
这意味着无论我们用什么参数方程来表示曲面，其高斯曲率都是相同的。
其次，高斯曲率可以用来判断曲面的形状。
对于一个平面而言，其高斯曲率为0；对于一个球面而言，其高斯曲率为正；而对于一个马鞍面而言，其高斯曲率为负。
因此，高斯曲率可以帮助我们判断曲面是平面、球面还是马鞍面等。
此外，高斯曲率还与曲面上的曲率圆有密切的关系。
曲率圆是曲线在曲面上的投影形成的圆，其半径与曲率k有关。
对于具有相同高斯曲率的曲面，其上的曲率圆半径是相等的。
三、高斯曲率在微分几何中的应用高斯曲率在微分几何中有广泛的应用。
首先，高斯曲率可以用来计算曲面的面积。
根据高斯曲率的定义，我们可以将曲面划分为许多小的面元，然后通过对这些面元的高斯曲率求和，最终得到整个曲面的高斯曲率。
而曲面的面积可以通过高斯曲率和欧拉示性数之间的关系来计算。
其次，高斯曲率还可以用来研究曲面的变形。
在实际应用中，我们常常需要对曲面进行变形，例如在计算机图形学中，对曲面进行形变可以用来模拟物体的变形。
高斯曲率的计算公式
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN M K k k EG F -==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F-=- 2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
高斯公式_精品文档
高斯公式1. 简介高斯公式，又称为高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的公式。
该公式最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，之后法国数学家阿道夫·勒让德对其进行了推广和应用。
高斯公式在数学、物理学等领域都有着广泛的应用。
它不仅适用于计算平面图形的面积，还可以用于计算球体、圆锥体、圆柱体、球面等的体积。
2. 高斯公式的数学表达高斯公式的数学表达可以表示为：∮ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy其中，P(x, y)和Q(x, y)是二元函数，表示平面上的向量场。
左侧的积分表示沿着曲线的环绕积分，右侧的积分表示沿着曲线围成的区域的面积。
3. 高斯公式的应用举例3.1 计算平面图形的面积高斯公式可以用于计算平面图形的面积。
假设有一个简单闭合曲线C，可以将其分解为若干小曲线段，然后利用高斯公式求得每个小曲线段上的向量场P和Q，并对整个曲线C进行积分。
根据高斯公式的等式关系，左侧的积分将等于右侧的面积积分，从而得到该平面图形的面积。
3.2 计算球体的体积高斯公式还可以用于计算球体的体积。
以球心为原点建立球坐标系，设球面的方程为r = f(θ, φ)，其中r为球面上一点到球心的距离，θ和φ为球坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对球面的方程进行积分，即可得到球体的体积。
3.3 计算圆锥体的体积高斯公式也可以用于计算圆锥体的体积。
以圆锥体的顶点为原点建立柱坐标系，设圆锥面的方程为z = f(θ, r)，其中z为圆锥面上一点到圆锥顶点的距离，θ和r为柱坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对圆锥面的方程进行积分，即可得到圆锥体的体积。
4. 总结高斯公式是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的重要公式。
它有着广泛的应用领域，可以用于计算平面图形的面积、球体的体积、圆锥体的体积等。
高斯公式及其应用
例1 求曲面积分
2 2
( y z) xdydz ( x y)dxdy 其中 S 是圆柱面
S
x y 1 与平面z=0，z=3所围成的闭区域 W 整个边界曲面
的外侧。 z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P Q R yz， 0， 0． x x x
3
由高斯公式，有
( y z) xdydz ( x y)dxdy
S
( y z )dxdydz ydv zdv x
W
W W
1
3
O
1
y
9 ． 2
(r sin z )rdrd dz d rdr (r sin z )dz
2 2 S: z x y
O
x x2y2 h 2
y
由高斯公式得
S S1
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 ( x y z )dv
W
2
x2 y 2 h2
dxdy
2
h x2 y2
( x y z )dz 2
x 2 y 2 h2
(3)
S为上半球面 z
I
R2 x2 y 2 的上侧．
解 (1)
1 R3
3 R3
xdydz ydzdx zdxdy
S
W
2 2 2 2 dv 4 , W : x y z R .
2 2 2 1 x y z 解法二 I dS 4 ; 三合一！ 3 R S R
S
1 1 3 3 R SS1 R S1
S1
3 3 R
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第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
）利用 u u r r E ⋅=r r ，u v r r F ⋅=r r，v v r r G ⋅=v v，可得12u uu u r r E ⋅=r r ，12u uv v r r E ⋅=r r，12v vu u r r G ⋅=v v ，12v vv v r r G ⋅=v v ，12v uu u v r r F E ⋅=-r r，12u vv v u r r F G ⋅=-r r。
由于()()uu vv uv uv uu vv u vvu u vvu uv uv r r r r r r r r r r r r ⋅-⋅=⋅+⋅-⋅+⋅r r r r r r r r r r r r()()u vv u u vu v r r r r =⋅-⋅r r r r11()()22v u u v v F G E =--1122vu uu vv F G E =-- ；或者uu vv uv uv r r r r ⋅-⋅r r r r()()uu v v v uv u r r r r =⋅-⋅r r r r11()()22u v v u u F E G =--1122uv vv uu F E G =-- ；于是得到221122111[]()22111111222222v u v v u u u vuv vv uu vu EF FG EF E K FG G F G G EG F E F E F E G E G -=----- (1)公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。
将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得2221[(2)4()v v u v u K E E G F G G EG F =-+- (242)u v v u v v u v u u F E G E G E F F F F G +--+-2(2)u u u v v G E G E F E +-+22()(2)]vv uv uu EG F E F G ---+,(2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。
高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式(1)给出。
存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。
球面片与平面片之间不存在等距对应。
u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r12211222221211221211121111022uv vv uuE F EF F GF G F E G ΓΓ=Γ-ΓΓΓΓΓ--，122112222212221122121112111[]()11022uv vv uuE FEF K F GF G EG F F E G ΓΓ=Γ-Γ-ΓΓΓΓ-- 。
特别地，当曲面∑：(,)r r u v =v v上的坐标曲线网是正交网时， 0F =， 此时2110022111[00]()22111111222222u v v u u v vv uu v u EG E E K G G G G EG E E E G E G -=----211111111111[()()]()2222222222vv uu v v u u u u vv E GE GG E G G E G E G G E G E EG =--++---211[()()]24()vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++, 即得211[()()]24()vv uu v v u u u u v v K E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++,(3) 经过观察，通过凑微分，得到211[()()]24()vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG -+-+++)()()]uu vv u u u v v v G E G EG E G E EG E G =+-+++111)()()]uu vv u u v v G E G EG E EG =-+-+]uu u u vv v v G E E =-++++111))]u u v v E =-+]u v =-+ ，故有1]u v K =+，(4)（验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。
）1[K u v ∂∂=+∂∂ 。
[Ku u v∂∂∂=+∂∂∂，21i i iKu=∂=∂∑。
如果曲面在参数坐标网(,)u v下的第一基本形式为222(,)[()()]u v du dvλI=+，则称此坐标网为等温参数网。
2,0E G Fλ===，1]u vK=+21[()()]u vu vλλλλλ=-+21[(ln)(ln)]uu vvλλλ=-+21lnλλ=-∆，其中2222u v∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v的Laplace算子.于是在曲面上取等温参数网(,)u v 时，222(,)[()()]u v du dv λI =+，2E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时 21ln K λλ=-∆。
例 求第一基本形式为222222()du dv ds u v c +=++的曲面高斯曲率 。
解 因为2221,0()E G F u v c ===++ ，所以]u v K =+()22222222222222()2()[]4()()v c u u c v u v c c u v c u v c -+--+-=-+++=++++。
例 求第一基本形式为22()(,)()du G u v dv I =+的曲面上的高斯曲率 。
由（3）式，得21124uu u u uu K G G G G G =-+= 。
半测地坐标网下， 高斯曲率的计算公式在2C 类曲面 ∑：(,)r r u v =v v上选一条测地线Γ为v --曲线：0u =；再取与Γ正交的测地线族为u --曲线，另取这测地线族的正交轨线为v --曲线，则得一半测地坐标网。
对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为22()(,)()du G u v dv I =+，其中(,)G u v 满足条件(0,)1,(0,)0u G v G v == 。
在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式2Ku∂=∂。
常高斯曲率的曲面现在设曲面∑的高斯曲率是常数，即K=常数，则得微分方程22u∂+=∂。
根据初始条件：(0,)1,(0,)0uG v G v==，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。
（1）正常数高斯曲率的曲面，K>，((A vB v=+。
根据初始条件，可得()1,()0A vB v==，于是cos=，222()cos()du dv I =+。
实例：考虑球心在原点，半径为R 的球面。
取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。
设球面上点的经度为v ，纬度为u ， 则球面的参数表示是 (cos cos ,cos sin ,sin )r R u v u v u =v。
(sin cos ,sin sin ,cos )u r R u v u v u =--v， (cos sin ,cos cos ,0)v r R u v u v =-v，2,0,u u u v E r r R F r r =⋅==⋅=v v v v22cos v v G r r R u =⋅=v v，22222()cos ()R du R u dv I =+。
在球面上重新选择参数，命 ,u Ru v Rv == 于是222()cos ()u du dv RI =+， 高斯曲率22111(cos )cos u K u u R R R∂''=-=-=∂ ，因此得到222()cos)du dv I =+，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。