第三讲 最短距离问题
小初数学升级计划之第三讲 奇妙的行程
奇妙的行程问题例1.甲乙两车同时从A、B两城同时出发相向而行，甲车每小时行38千米，乙车每小时行32千米，两车在离中点18千米处相遇，A、B两城之间的距离是多少千米？练1.客车和货车同时从A地到B地，客车每小时行45千米，货车每小时行40千米，客车到达B 地后立即返回，在距B地10千米处与货车相遇，求A、B两地的距离？例2.甲乙两人同时从距离80千米的两地出发相向而行，甲每小时行5.6千米，乙每小时行4.4千米。
甲带着一只狗每小时行12千米，这只狗同甲一块出发，往返于两人之间，一直到两人相遇为止。
求相遇时狗跑了多少千米？练1.东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米。
小强从西向东走，每小时走6千米。
小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米。
三人同时动身，图中小辉遇到小强即折回向东骑，遇见小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……，这样往返，直到三人在途中相遇为止。
请问小辉共骑了多少千米？例3.甲乙两辆汽车分别从A、B两城同时出发相向而行，第一次相遇离A城60千米，相遇后两车继续前进，分别到达B、A两城后立即返回，途中两车第二次相遇在离B城20千米处，求A、B两城之间的距离？练1.A、B是一圆形跑道的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕跑道匀速跑步（甲、乙二人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇。
求圆形跑道一圈的长度？例4.一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度为每秒17米。
求客车与货车从追上到离开所用的时间？练1.甲乙两辆火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米.坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用了13秒，问乙车多长？例5.上午8:30，小明骑自行车从家出发，8分钟后爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上他，然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明。
第3讲 直线的交点坐标与距离公式
第三讲 直线的交点坐标与距离公式一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假 枥榘视形 限长，认为围起半个地球总够大了。
数学家好好嘲笑了他们一番。
他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。
”一.自主归纳，自我查验1.自主归纳（1）．两条直线的交点已知两直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0；l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A1x ＋B1y ＋C1＝0A2x ＋B2y ＋C2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0y ＝y0，则两直线______，交点坐标为________．（（3）．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝________________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离为|OP|＝________． （4）．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________． 第二步：________________________．第三步：____________________________________． （5）（6）．三种常见的对称问题 a 点关于点的对称点P(x0，y0)关于点M(a ，b)的对称点为P ′________________． b 点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ·x1＋x22＋B ·y1＋y22＋C ＝0，可得点P1关于l 对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A ≠0，x1≠x2)．c 线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x ，y)的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称． 答案：（1）．相交 (x0，y0) （2）．无 1 无数 （3）．x2－x12y2－y12 x2＋y2 （4）．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系（5）公垂线段 |Ax0＋By0＋C|A2＋B2 |C2－C1|A2＋B2a, (2a －x0,2b －y0) b, y1－y2x1－x2＝BA自我查验（1）．直线l1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( A ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合(2)．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0(3)．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b 等于( A ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6(4)．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( D )A ．1B ．－1C ．0D ．2 （5）．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( B ) A ．2677 B ．265 C ．245 D ．275二、典型例题题型一 两点间距离公式的应用例1 已知Ａ（－３，４），Ｂ（２，3），在x 轴上找一点Ｐ使PB PA =，并求PA的值．破题思路：根据点Ｐ在ｘ轴上设出其坐标，再利用PBPA =和两点间距离公式可求．解题过程：设点Ｐ（x ，0），则有PA ＝256)40()3(222++=-++x x x ， 74)30()2(222+-=-+-=x x x PB由PBPA =得 7425622+-=++x x x x解得59-=x ．即所求点Ｐ的坐标为)0,59(-且51092)40()359(22=-++-=PA 方法与规律：熟练掌握两点间的距离公式变式训练：求函数y ＝x2－8x ＋20＋x2＋1的最小值． 解原式可化为y ＝x －420－22＋x －020－12． 考虑两点间的距离公式，如图所示， 令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P(x,0)， 使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA ′|＋|PB|≥|A ′B|， 故|PA|＋|PB|的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B|＝422－12＝5， 所以函数y ＝x2－8x ＋20＋x2＋1的最小值为5题型二 点直线间距离公式的综合应用例２. 已知Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１）和直线ｌ：0234=-+y x ，在坐标平面内求一点Ｐ，使PBPA =，且点Ｐ到直线ｌ的距离为２.破题思路：设点Ｐ的坐标，然后根据两点的距离公式和点到直线的距离公式可得 解题思路：设点Ｐ的坐标为（ａ，ｂ） ∵Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１），PBPA =，∴2222)1()2()3()4(++-=++-b a b a 整理得05=--b a ①又∵点Ｐ（ａ，ｂ）到直线ｌ：0234=-+y x 的距离为２∴25234=-+b a 即10234±=-+b a ②由①②可得4,1-==b a 或78,727-==b a所以点Ｐ的坐标)4,1(-或)78,727(- 方法与规律：点与点，点与线之间的距离公式变式训练：已知M(1,0)、N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P 的坐标． 解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点，∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得|PM|2＋|PN|2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m2－8m ＋4．(m ∈R)令f(m)＝10m2－8m ＋4＝10 ⎝⎛⎭⎫m －252＋125≥125， ∴当m ＝25时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫25，－15题型三 利用平行直线间的距离公式求直线方程例３ 求与两条平行直线0432:1=+-y x l 与0232:2=--y x l 距离相等的直线l 的方程．破题思路：由题意知可设所求平行直线l 的方程为032=+-C y x ．解题过程：设所求l 的方程为032=+-C y x ．由直线l 到两平行直线的距离相等，得2222322324++=+-C C 解得Ｃ＝１.∴所求直线l 的方程为0132=+-y x 方法与规律：平行直线系方程的考察变式训练：如图，已知直线1l ：x ＋y －1＝0，现将直线1l 向上平移到直线2l 的位置，若2l 、1l 和坐标轴围成的梯形面积为4，求2l 的方程．解 设l2的方程为y ＝－x ＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． ∴|AD|＝2，|BC|＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l2的距离，故h ＝|1＋0－b|2＝|b －1|2＝b －12(b>1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b2＝9，b ＝±3． 但b>1，∴b ＝3．从而得到直线l2的方程是x ＋y －3＝0．错例分析已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且Ｐ（４，３）到直线l 的距离为23，求直线l 的方程．错解：设直线l ：a y x =+ 由题知23234=-+a解得13,1==a a所求直线方程为013,01=-+=-+y x y x错因分析：本题忽略了直线过原点的情况，截距相等的直线方程应分为两类直线过原点和不过原点两种情况．正解：由题知，若直线过原点，设l ；kx y =所以231342=+-k k ，解得k =214312±-若直线不过原点，设直线l ：a y x =+ 由题知23234=-+a解得13,1==a a所求直线方程为：x y 214312±-=， 013,01=-+=-+y x y x应用体验1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( B ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( C ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．2104．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP|的最小值是( B )A ．10B ．2 2C ． 6D ．25．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l1： x ＋3y ＋c ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P(－1,0)， 由点P 到两直线l ，l1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c|12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a|32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．复习与巩固A 组一、选择题 1．两条直线l1：2x ＋3y －m ＝0与l2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( C ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上答案均不对2．已知直线l1：x ＋m2y ＋6＝0，l2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l1∥l2，则m 的值是( D ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－13．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率为( D )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题4．若集合{(x ，y)|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y)|y ＝3x ＋b}，则b ＝__2______． 5．已知直线l 过直线l1：3x －5y －10＝0和l2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l3：x ＋2y－5＝0，则直线l 的方程是___8x ＋16y ＋21＝06．当a 取不同实数时，直线(2＋a)x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为___(－1，－2)_____． 三、解答题7．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．8．已知△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 kDE ＝1＋33＋2＝45，所以kAB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为 y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E(3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．B 组一、选择题1．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( B ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5 2．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( B ) A ．(－1,0) B ．(1,0)C ．⎝⎛⎭⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎫0，225 3．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( A )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题4．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是____17____．5．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为 (2,10)或(－10,10)___________．6．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为___2 6 三、解答题7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A(1，－1)，过点A 作直线l1与直线l 相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x0，－2x0＋6)． 由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25， 化简得x20－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5． 当x0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)， 则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE|＝12|AB|．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．C 组一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C ) A ．95 B ．185 C ．3 D ．62．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( C ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝03．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( C ) A ．(0，＋∞) B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题4．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__2x ＋y －5＝0____________． 5．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为____4916π____．6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是__71326 三、解答题7．已知直线l 经过点P(－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解 (1)由点斜式方程得， y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29．∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．8．△ABC 的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ， 由题知kBC ＝3122＝1， 则kl ＝－1kBC ＝－1，又点A(－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A(－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|1212＝22，又|BC|＝2－221－32＝4 2则S △ABC ＝12·|BC|·d ＝12×42×22＝8．。
小升初数学专题选讲
第一讲计数原理知识纵横：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。
加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。
完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。
乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。
例题求解：【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。
若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。
【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。
在所有的三位数中，共有个“特殊数”。
【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？基础夯实1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。
选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。
徐明达班组长的基础工作方法(6H清华)
业的情况：各工序旁摆放着大量等待加工或已经加工的 零件、在制品；仓库里存放着可供2、3个月的料；随时 可买到的普通包装箱半年前采购了一大批，然后逐月慢 慢使用
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你看出问题了吗？
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一、现场生产的八大浪费
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二、生产过程的时间大有潜力可挖！
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三、 六何分析法
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四、改善四 原则
和重排。
重排
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五、合理布置工地的学问
1、能够适合90%以上的人进行正常工作。 2、主要的生产设备的布置要符合生产工艺的要求，便于工 人操作；尽量减少工人的行走距离。 3、物品放置的高度、工作台、椅子的高度都要适合操作工 人躯体的特点，使工人在操作时或取放物品时，尽量不踮脚、 不弯腰。 4、工地上多余的和不必要的物品要及时清除，以免造成工 地的过分拥挤，影响工人的正常生产活动。 5、必须满足生产工艺对工作环境的特殊要求。
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四、班组长的素质要求
良好的控制情绪能力 做事果断、勇于负责 信任部下、成果分享 明确目标、胸中有数
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五、班组长必备的六大精神和“六度”
刻苦学习的紧迫精神 探索创造的超前精神 追根问底的钻研精神 合作共事的团队精神 胸怀宽广的大度精神 雷厉风行的战斗精神
兴奋度－富有激情 热情度－微笑服务 灵敏度－反应机敏 速度－快速反应 配合度－团队精神 准确度－精确准时
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六、向平面布置要效益
某企业锻工分厂原
剪
剪
床
料
2
工
段
剪
床
1
平面流程图往返路线太
第三讲统筹与最优化
3、6、16、112、8、6、112、8、6、3、13、133、12、812、812、8、6、1312、8、6、3、112、8、6、3、1第三讲 统筹与最优化最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，既要尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。
因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛应用。
作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。
一、例题讲解例1、分析：此题是典型的过河问题，习题的特点是：两个不同时间的人一起过河时，快的要就着慢的走，因此过河的时间以慢的为主。
所以我们尽量选最快的两个人先过（即：快的可以来回过桥传递油灯）。
最慢的两个也要同时过河，不要分开。
具体操作如下图：总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟拓展练习：（1）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥.......直到4人都通过小木桥。
已知，小强单独过桥要1分钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？提示：与例题分析过程相同。
答案：1.5+1+2.5+1.5+1.5=8分钟（2）小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要1分钟，乙过河要2分钟，丙过河要5分钟，丁过河要6分钟，每次只能赶2头牛问：要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？（小明回来赶牛过河，也得骑在牛上）提示：与例题分析过程相同。
答案：2+1+6+2+2=13分钟例2、分析：此题属于排队等待的问题。
此题的特点是：最后求的总时间为所有人的等待时间（即：第一个人打水若用5分钟的话，后面个人都要等待5分钟）。
立体几何第三讲 空间几何体得最值问题
分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于 平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ， 又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的 射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则 在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面
网络技术与应用_第三讲-例题分析
②终端B →终端A
传输操作
A→B B→A E→B B→E B广播 F→E
VLAN2转发表
MAC 地址
转发 端口
MAC A
1
MAC B 2
到达终端A
VLAN3转发表
MAC 地址
转发 端口
交换机
集线器
A
B
C
D
MAC A MAC B MAC C MAC D
VLAN2
E
VLAN3
MAC E
F MAC F
【例3.4】分析题：MAC帧的传播范围
【例3.2】计算最短帧长
【题目】假定10Mbps总线形以太网由单段电缆构成，电缆长度L为 200m，电信号传播速度SR为（2/3）c （2×108m/s）， 求出对应的最短帧长LMin 。
【解析】最短帧长LMin＝2×T×S，已知数据传输速率S=10Mbps T为电信号两端之间的传播时间。
（1）求T： T＝L/SR=200/（2×108）＝10-6s （2）求Lmin： LMin ＝2×T×S＝2×10-6×10×106＝20b
4 交换机1
1
2
3
集线器
4 交换机2
123
终端A 终端B 终端C 终端D 终端E 终端F MAC A MAC B MAC C MAC D MAC E MAC F
【例3.3】分析题：交换机的工作过程
①终端A→终端B
传输操作
A→B G→H B→A H→G E→H
交换机1转发表
MAC 地址
转发 端口
MAC A
1
交换机2转发表
MAC 地址
转发 端口
MAC A 4
交换机1：记录、广播 交换机2：记录、广播
最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。
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第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等:问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题{〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】*1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.(设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题…〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为（2）抛物线的对称轴为∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB要使最大，即是使最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解析式为∴由得∴M（，－）#（二）、题中出现两个动点。
~例3、如图：在△ABC中,,,M、N分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值【难度分级】B类〖试题来源〗2003年浙江余姚中学保送生测试题〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”②掌握双动点问题的解题方法〖解题思路〗当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
解:作关于对称点,关于对称点,有(当、运动到、时等号成立),、%为正三角形【搭配课堂训练题】1、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图9是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图10是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．【难度分级】B类〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。
〖答案〗`解:⑴图9中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,∴AC=30在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40∴BP=S1=⑵图10中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40 ∴BA'=由轴对称知：PA=PA'∴S2=BA'=∴﹥！(2)如图10，在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S2=BA'为最小（3）如图12，过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X 轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求A'B'=∴所求四边形的周长为例4、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值.【难度分级】B类￥〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”②使学生掌握，在由“折”转“直”的过程中，如何做到最短。
〖解题思路〗解：作关于的对称点,在上运动,当运动到时,即，最短为【搭配课堂训练题】#如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是________．【难度分级】B类〖试题来源〗2009年陕西省中考真题。
〖答案〗4（三）、题中出现三个动点时例5、如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值【难度分级】B类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”②掌握三动点问题的解题方法？〖解题思路〗当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.解：作关于所直线的对称点,则,因为在上运动,故当和、垂直时，最短,且【搭配课堂训练题】12．如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。
【难度分级】B类〖试题来源〗经典例题。
/〖答案〗在内任取一点,过做、的对称点、则有由对称性易知为等腰三角形又因为，所以为等腰直角三角形在中，,所以的最小周长为：（四）、综合压轴例6、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；！⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.【难度分级】C类〖试题来源〗2010福建宁德中考真题〖选题意图〗强化应用〖解题思路〗（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45，容易证出△AMB≌△ENB；（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图18）；》（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.%②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长%⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.【搭配课堂训练题】1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为#，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）【难度分级】C类〖试题来源〗2009北京中考真题〖答案〗解：（1）∵，，∴．设与轴交于点．，由可得．又，∴．∴，．同理可得．∴．∴点的坐标为．（2）由（1）可得点的坐标为．由，可得轴所在直线是线段的垂直平分线．:∴点关于直线的对称点在轴上．∴与互相垂直平分．∴．∴四边形为菱形，且点为其对称中心．作直线．设与分别交于点、点．可证．∴．∵，∴．∵，…∴．∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形．由点，点在直线上，可得直线的解析式为．（3）确定点位置的方法：过点作于点．则与轴的交点为所求的点．由，可得，∴．在中，．∴点的坐标为．（或点的位置为线段的中点）$四、巩固练习基础训练题（A类）1、如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O,点E为BC边的中点，正方形边长为2cm,在BD上找点P，使EP+CP之和最小，且最小值为________。
【答案】2、（1）如图22，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；（2）几何拓展：如图23, △ABC中，AB=2，∠BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，这个最小值为；"【答案】1、2、3、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的值最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D．【答案】A[4、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A、B、C、D、3【答案】C提高训练（B类）1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）【解析】:（1）过点B作BD⊥轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。