平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中面积的求法姓名： 家长签字：1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。
2、在平面直角坐标系中，A （-5，0）、B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标。
3、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求点P 的坐标。
4、已知，点A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4）（1）求△ABC 的面积；（2）设P 为x 轴上一点，若12APC PBC SS =，试求点P 的坐标。
5、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，-1）、B （-1，4）、C （-3，1），（1）求△ABC 的面积；（2）将△ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB 扫过的面积。
6、在直角坐标系中，A （-4，0）、B （2，0）、点C 在y 轴正半轴上，18ABC S=， （1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12APC ABC SS =。
若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。
7、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。
（1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12APB ABDC S S =四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。
8、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。
以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。
（1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
平面直角坐标系三角形面积万能公式
平面直角坐标系三角形面积万能公式在平面直角坐标系中，我们常常会遇到三角形这个家伙。
说实话，三角形就像个小明星，形状简单，却又能带来不少麻烦。
你知道吗？三角形的面积其实可以通过一个万能公式轻松搞定，那就是“面积等于底乘以高再除以二”。
简单吧？但是，咱们今天要聊的可不仅仅是公式本身，更是如何在实际生活中用好它。
想象一下，你和朋友在公园里画一个三角形，底边就是你们在草地上放的毯子，高度嘛，就是你们之间的距离。
想一想，这样一来，草地的面积就显现出来了，简直像打开了新世界的大门。
当你开始深入探讨这个公式时，哇，真是惊喜不断。
公式简单易懂，但实际运用却能让你刮目相看。
比如说，想象你在家里画画，画了个三角形的房子，底边是五米，高度是三米。
根据公式，面积就是五乘三再除以二，也就是七点五平方米。
嘿，这时候你可能会想，“这面积还不够我放一个沙发。
”没问题，咱们再想办法调整一下底和高。
人生就像调配三角形面积，灵活应对，总能找到满意的方案。
生活中，我们常常会遇到各种三角形的情况。
比如说，你在搭建一个花坛，想设计成一个三角形，这个时候就得考虑面积了。
用万能公式一算，哇，心中有数，做事也就心里有底。
这个时候，底和高就成了你设计的基石。
你可以随意发挥，改变底边的长度，调整高度，最终得到的面积总是让人满意的。
像是做饭，想做什么菜，得先知道材料够不够。
就这样，生活中的每一件事，都可以用这个简单的公式来解决，绝对是一剂良方。
碰到不规则的三角形也别慌。
可以把它拆分成几个规则的三角形，再分别计算它们的面积，最后加起来就是你想要的结果。
这就像解谜，分步进行，最后拼凑出完美的答案。
就像生活中遇到的困难，有时需要把问题拆解开，逐个击破，才能找到解决之道。
记得有次朋友说他家的阳台要改造，形状不规则，他一开始愁眉苦脸，后来我给他讲了拆分的方法，结果他兴奋得像小孩子一样，感觉找到了新大陆。
在学校里，老师也常常用这个公式来教学生。
三角形的面积是个基础知识，打好基础，才能后续学习更复杂的内容。
向量叉积求平面直角坐标系三角形面积
向量叉积求平面直角坐标系三角形面
积
在平面直角坐标系中，可以使用向量叉积来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别是$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，则可以将两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示为：
$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$
然后计算两个向量的叉积：
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1) (x_3-x_1)|$
这个叉积的结果就是三角形的面积的两倍。
因此，三角形的面积可以表示为：
$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}| (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|$
这个公式可以用于计算任意平面上的三角形面积，不仅限于直角坐标系。
需要注意的是，如果三角形的三个顶点共线，那么它的面积为0。
已知三角形三顶点坐标求三角形面积
已知三角形三顶点坐标求三角形面积三角形是初中数学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过已知三角形三个顶点的坐标来求解三角形的面积。
我们需要确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
接下来，我们可以利用向量的方法来求解三角形的面积。
我们可以将向量AB和向量AC表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以通过向量的叉积来求解三角形的面积。
向量的叉积公式为：AB × AC = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和向量AC的模长，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
由于我们已知向量AB和向量AC的坐标，因此可以通过向量的叉积公式来求解三角形的面积。
具体计算过程如下：AB × AC = (x2 - x1, y2 - y1) × (x3 - x1, y3 - y1)= (x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)因此，三角形的面积为：S = 1/2 × |AB × AC| = 1/2 × |(x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)|通过这个公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
需要注意的是，如果三角形的面积为负数，则表示三个点不在同一条直线上，否则三个点在同一条直线上。
通过向量的叉积公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
这个方法不仅简单易懂，而且计算精度高，是求解三角形面积的常用方法之一。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1.
(1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2),那么线段MN的长为多少?
(2)如果y轴上有两点P(0,y1),Q(0,y2)(y1<y2),那么线段PQ的长为多少?
一、有一边在坐标轴上
例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求三角形ABC的面积？
二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.
三、三边均不与坐标轴平行
例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB的面积.
22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）.
（1）得到的是什么图形？
（2）求该图形的面积.
四．不规则四边形的面积求法
如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。
确定这个四边形的面积，你是怎么做的/。