平面直角坐标系中三角形面积的求法

-2

-1

-3

-40

-3-2-12

平面直角坐标系中三角形面积的求法

13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1.

(1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

(2)如果y轴上有两点P(0,y1),Q(0,y2)(y1

一、有一边在坐标轴上

例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求三角形ABC的面积？

二、有一边与坐标轴平行

例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.

三、三边均不与坐标轴平行

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？

21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB 的面积.

22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）.

（1）得到的是什么图形？

（2）求该图形的面积.

四．不规则四边形的面积求法

如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。确定这个四边形的面积，你是怎么做的/

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22题图

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

坐标三角形及其面积

坐标三角形及其面积坐标三角形在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的三角形叫做坐标三角形.坐标三角形是直角三角形. 如图（1）所示,直线()0≠+=k b kx y 与x 轴交于点A ?? ? ??-0,k b ,与y 轴交于点B ()b ,0,Rt △AOB 就是一个坐标三角形. 正比例函数的图象不存在坐标三角形. 与坐标三角形有关的问题: （1）已知直线的解析式,求坐标三角形的面积. （2）求原点O 到直线的距离,即求坐标三角形斜边上的高.（等积法）（3）已知坐标三角形的面积,求直线的解析式. 在图（1）中,因为点A ?? ? ??-0,k b 、B ()b ,0,所以 b OB k b k b k b OA ===-=,, △AOB 的面积为k b OB OA S AOB 2212 =?=?. 于是得到下面的结论: 在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的坐标三角形的面积为 k b S 22 =.（只用于解决选择题和填空题,以及某些解答题答案的检验）图（1）坐标三角形

图（2）在解决关于坐标三角形的问题时,应注意分类讨论思想的应用. 习题1. 直线4+-=x y 与两条坐标轴围成的三角形的面积为_________. 习题2. 若直线b x y +-=2与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则b 的值为【】（A ）4 （B ）4- （C ）4± （D ）2± 分析:使用坐标三角形的面积公式k b S 22 =解决问题. 解:由题意可知: 1222 =-b ,解之得:2±=b . 习题3. 已知直线32 1 -= x y . （1）求该直线x 轴、y 轴的交点坐标; （2）求该直线与两条坐标轴围成的三角形的面积. 习题4. 已知一次函数42+=x y . （1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象; （2）求图象与x 轴的交点A 的坐标,与y 轴的交点B 点的坐标; （3）在（2）的条件下,求△AOB 的面积.

三角形面积公式教学设计(供参考)

三角形面积教学设计教学内容：人教版五年级上册84----85页教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。教学目标：1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。教学难点：理解三角形面积的推导过程。教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。学法：小组合作、动手操作。教学准备：三角形卡片、多媒体课件教学过程：一、情境引入师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） [设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计一、活动主题的提出数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索或合作交流的方式，展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的，从表面上看，学生动手操作了，也探究了公式的形成过程，但实际上学生仅仅机械地拼了一拼，做了一次“操作工”，他们并没有自己的猜想和创造，没有真正参与知识的产生和形成，教材所提供的学习材料缺乏思维含量，缺少挑战性，学生体会不到思考的乐趣，思维得不到充分发展，为了培养学生的探究意识和探究水平，促动学生探究的有效性，特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。二、活动目标 1．探索并掌握三角形的面积计算公式，培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2．使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3．在探索活动中使学生获得积极地情感体验，感受数学的乐趣，体会成功的喜悦，进一步培养学生学习数学的兴趣。三、课前准备 1．分组：每4人为一小组。 2．每人准备3张正方形纸片。 3．每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。四、时间：一课时（不包括活动前的准备）五、活动过程 1．检查学生课前的准备情况。 2．揭示课题师：三角形的面积能够怎样计算呢？这就是我们这节课要研究的问题。板书课题：三角形面积的计算公式 3．探究操作师：（先每4人一小组分好小组）每人拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也能够。（学生剪、画）汇报展示。（选择如下三种图） ①②③ 师：这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。第三种（图③）剪法剪下的三角形面积能计算，三角形面积正好是这个正方形面积的一半，只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就能够发现他们完全一样（形状

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角形面积公式的五种推导方法摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

坐标系内三角形面积的求法

坐标系内三角形面积的求法平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？一、三角形的一边在坐标轴上例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、三角形有一边与坐标轴平行例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC

的面积为10542 1=??. 三、坐标平面内任意三角形的面积例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位. 分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题. 解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三角形BDC 的面积为5.13121=??, 三角形CEA 的面积为5.1312 1=??，三角形ABF 的面积为4422 1=??.所以三角形ABC 的面积为: 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12-(1.5+1.5+4)=5（平方单位）.

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法姓名：家长签字： 1、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。 2、在平面直角坐标系中，A（-5，0）、B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。 3、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4 PAO S=，求点P的坐标。 4、已知，点A（-2，0）、B（4，0）、C（2，4）（1）求△ABC的面积；（2）设P为x轴上一点，若 1 2 APC PBC S S =，试求点P的坐标。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1）、B（-1，4）、C（-3，1），（1）求△ABC的面积；（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A（-4，0）、B（2，0）、点C在y轴正半轴上，18 ABC S=，（1）求点C的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得 1 2 APC ABC S S =。若存在，请求出P的坐标，若不存在，说明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使 1 2 APB ABDC S S 四，若存在这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由。 8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；（2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。（1）求点D的坐标；（2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？（3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法交于点D,求点D 的坐标。 P （ 1，4），点A 在坐标轴上， S VPAO 4，求点P 的坐标。 4、已知，点 A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4）（1 ）求厶ABC 的面积； 1 （ 2 ）设P 为X 轴上一点，若S vAPC S/PBC ，试求点P 的坐标。 2 5、在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A （ 1，-1 ）、B （-1，4）、C （ -3，1），（1 ）求厶ABC 的面积；（2）将厶ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移 3个单位长度，求线段 AB 扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A （ -4，0）、B （ 2，0）、点C 在y 轴正半轴上，S MBC 18，（1）求点C 的坐标； 1 （2）是否存在位于坐标轴上的点 P,使得S/APC 1 S/ABC 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说 1、在平面直角坐标系中，△ 姓名: ABC 的三个顶点的坐标分别为: 家长签字: （2, 5）、（ 6，- 4 ）、（ -2， 0），且边AB 与x 轴相 2、在平面直角坐标系中, A （-5，0）、 B （ 3，0），点 C 在y 轴上，且△ ABC 的面积为 12，求点C 的坐标。 3、在平面直角坐标系中,

明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1 , 0)、(3, 0),现同时将点A B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C D,连接AC BD (1)求点C D的坐标及四边形ABDQ的面积； (2)在y轴上是否存在一点P,连接PA PB使S VAPB 若不存在，试说明理由。 &如图，已知长方形ABCO中，边AB=8, BC=4以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 (1 )点A的坐标为(0, 4)，写出B、C两点的坐标； (2)若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动(不超过点C)，点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动(不超过点A)，设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ勺面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B C的坐标分别是A (-3 , 1)、B( -3 , 3)、C (2, 3 )。 (1)求点D的坐标； (2)将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D四个顶点的坐标各是多少？ (3)平移(2)中的长方形A1B1C1D1，几秒钟后△ OBD的面积等于长方形ABCD勺面积？

小学数学《三角形的面积计算公式》

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计刘河小学李志强教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析：人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。教学目标： 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。 3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。教学重点：三角形面积计算公式的推导。教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。教具准备：多媒体课件一套。学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

平面直角坐标系中三角形面积的求法

-2 x y 2 34 1 -1 -3 -40 -3-2-12 1 4 3 D C B A 平面直角坐标系中三角形面积的求法 13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB 的面积. 22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）. （1）得到的是什么图形？（2）求该图形的面积. 四．不规则四边形的面积求法如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。确定这个四边形的面积，你是怎么做的/ x y 1234567 1 2 3 4 5 B A O 22题图

坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法

坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法一、学习目标 1、由数轴上两点间的距离转化为坐标系中求线段的长度，进而探索坐标系内任意两点间的距离； 2、运用所掌握的方法解决坐标系内三角形面积的解题策略； 3、体验和感受用“转化”的数学思想，指导我们探究学习数学问题. 二、学习过程【基础题型】 1、如下图所示，数轴上有A、B两点，分别表示2和-2，C是数轴上一动点. ①求AB的长；②若点C表示的数是x，请用含x的式子表示出AC和BC的长；③若AC=3，求点C. 解析：①AB=2-（-2）=4；②AC=∣x-2∣，BC=∣x-（-2）∣=∣x-2∣；③分两种情况：若点C在点A 的右边，则点C表示的数是5；若点C在点A的左边，则点C表示的数是-1. 点评：（i）绝对值的意义就是表示数轴上两点间的距离，任意实数的绝对值永远为非负数；（ii）数轴上两定点间的距离就是“大数减小数”，更确切可以记为“右减左”；（iii）若数轴上两点是一定一动，则它们的距离可以用含绝对值符号的式子表示出来. 2、如下图，在平面直角坐标系中，直线m和n分别平行于坐标轴，且交于点C，其中，m和y轴交于点D，n和x轴交于点E，已知点A（3，2）和B（1，4）分别在直线m和n上，求： ①点C的坐标；②AC和BC；③若点F（x，0）是x轴上一点，且位于直线n的右侧，表示出△CEF 的面积.若点F位于直线n的左侧呢？解析：①C（1，2）；②AC=3-1=2，BC=4-2=2；③如下图，当点F位于直线n的右侧时，即x＞1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（x-1）×2=x-1；当点F位于直线n的左侧时，即x＜1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（1-x）×2=1-x. 点评：（i）若两点在x轴上，则求它们之间的距离的方法是“右减左”，若两点在y轴上，则求它们之间的距离的方法是“上减下”；（ii）求坐标系中三角形的面积，就是用上面的方法，把底和高分别表示出来后，代入三角形的面积公式化简计算即可.

直角坐标系中求三角形面积的方法

面积问题直角坐标系中求三角形面积的方法： 1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点； (1)求△AOB的面积； (2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积； (3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积； 2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标． 3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

坐标系中三角形面积

用坐标求几何图形的面积引入：如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

（3）、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？练习： 1、已知：△ABC 中，A（0，3），B（0，-2），C(-2, 1/2)，画出图形，求△ABC的面积; 2，如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB的面积.

二，求四边形的面积：（1）求规则四边形的面积例1、已知：四边形BCDE 中，B(3，0)，C(3,2)，D(1,3), E(1,0)，画出图形，求四边形BCDE 的面积; （2）求不规则四边形的面积：例2，如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

小学五年级数学教案：三角形面积计算公式的推导

小学五年级数学教案：三角形面积计算公式的推导 1、通过让学生主动探索三角形面积计算公式，经历三角形面积公式的探索过程，进一步感受转化的数学思想和方法。 2、使学生理解三角形面积计算公式，能正确地计算三角形的面积。 3、通过操作、观察、比较，培养学生问题意识、概括能力和推理能力，发展学生的空间观念。教学过程：一、阅读质疑。先请同学们自己阅读以下材料，然后以小组为单位交流一下你们都学会了哪些知识，可以提出什么问题，并把问题随手记录下来。 1厘米学生阅读后首先回顾了平行四边形、长方形地面积公式及推导过程。然后学生提出了质疑，主要问题有：（1）数方格怎么求三角形的面积？（2）不数方格怎么求三角形的面积？有没有一个通用公式？（3）能把三角形也转化成我们学过的图形求面积吗？（4）转化成的这些图形跟三角形有什么关系吗？（析：孔子曾说：疑是思之始，学之端。这里老师打破了学生等待老师提问的常规，要求学生把阅读材料作为学习主题，通过阅读提出问题，真正体现了以生为本。）二、点拨激思 1.数方格的问题学生根据学习材料可以解答用数方格的方法求三角形的面积。

老师接着问：有一个很大的三角形池塘，你来用数方格求它的面积。学生小声笑了起来。为什么笑？老师问到。学生说数方格太麻烦了，池塘也不好划分方格。嗯，看来数方格求面积是有一定局限性的，今天我们就来研究三角形的面积。（析：一石激起千层浪，学生由数方格方法的局限性这一认识的狐疑与冲突，有用地引发了学生探究面积计算公式的生长点，使学生有了探究发现的空间。） 2.转化的问题你想把三角形转化成什么图形？学生会转化成平行四边形、长方形、正方形。梯形行吗？这时学生会有两种答案，有的说行，有的说不行，为什么不行？老师追问，学生在讨论中达成共识:必须转化成学过的，可以计算面积的图形。师：三角形怎样才能转化成这些图形？请同学们利用手中学具，通过拼一拼，折一折，剪一剪，利用转化成这些图形来解决下面的几个问题。（析：这里把新问题转化成了老问题来解决，有用地把学法指导融入到了教学中，给学生创造了更广漠、更真实的自主空间，无疑有利于学生可持续性发展。）三、探索解疑学生操作，讨论，汇报。 1.转化的图形学生的答案有很多种，把两个完全一样的三角形转化成了平行四边形、长方形和正方形，还有把一个三角形沿高剪下拼成了正方形、长方形，还有把一个三角形沿中位线对折，两边也折转化成了2层的长方形。2.解决转化前后图形间的关系

三角形面积公式

三角形的面积公式一．教学内容分析本课选自人教版五年级上册第五单元第84～85页内容，通过学习我们要探索并掌握三角形面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。三角形的面积计算，是在学生掌握了平行四边形面积计算的基础上教学的。学生已掌握了一定的学习方法，具备了将图形转化的初步推理能力。因此，本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力。主要是引导学生经历三角形面积公式的探索过程，理解三角形面积计算公式的推导过程。在教学中我注重学生自己动手操作，从操作中掌握方法，发现问题，解决问题。培养学生应用已有知识解决新问题的能力，使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。二．教学目标 1、探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。 2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。 3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。三．教学重难点 1.探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。 2.理解三角形面积公式的推导过程。四．学习者分析本节内容是在学生充分认识了三角形的特征以及掌握了长方形、平行四边形面积计算的基础上安排的。其推导方法与平行四边形面积公式的推导方法有相通之处。同时本课也是学习梯形、组合图形面积的基础，在实际生活中这部分的应用也非

初一数学坐标系中三角形(以及四边形)面积练习题(含答案)

坐标系中三角形（或四边形）面积问题 1. 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2， 1）.求三角形ABC 的面积. 2. 在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积. 3. 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积. 4、如图，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD 的面积． x y B C A O 1 1 图1 图3F E D C B A O y x -4-3-2-1-4-3-2 -1 43214321

5、如图A （-4，0），B （6，0），C （2，4），D （-3，2）．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）在y 轴上找一点P ，使△APB 的面积等于四边形的一半．求P 点坐标． 6、如图，在下面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），C （b ，c ）三点，其中a 、b 、c 满足关系式0)4(,0)3(222≤-=-+-c b a 。（1）求a 、b 、c 的值；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，2 1），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

平面坐标系内三角形的面积

7.1.2平面直角坐标系第3课时教学目标： 1、复习用坐标的方法表示点的的方法。 2、通过探究平面直角坐标系内三角形的面积的过程，发展学生问题转化的能力。教学重难点：重点：掌握如何计算平面直角坐标系内三角形的面积。难点：如何构建辅助线用割补法求三角形的面积。教学准备：几何画板课件教学过程：一、复习旧知练习：几何画板展示A、B、C三点，指名学生上黑板板演。 B(-1，-1) C(2，-1) 师生共同订正，特别强调A点坐标的写法教师操作课件：顺次连结点A、B、C，得到△ABC 提问：关于三角形我们学习了什么？关于△ABC你想探究什么？

二、探究新知 1、探究平面直角坐标系内有一边平行于x轴(或y轴)的三角形的面积。 ①小组合作得出以A (0，3) B(-1，-1) C (2，-1)为顶点的三角形面积。小组汇报结果。师生共同订正。 ②小结：1.从图形上看有一边平等于x轴(或y轴) 2.从数量上看有两点的纵坐标(或横坐标)相同。 ③变式训练：教师操作课件，移动点的坐标。求：以A (-1，3) B(-1，-1) C (1，1)为顶点的三角形面积。指名学生板演。师生共同订正。 2、探究平面直角坐标系内一般三角形的面积。 ①教师操作课件，移动顶点，使△ABC的顶点坐标变为A (-1，3) B(-2，-1) C (1，1)提出问题，现在你能告诉我△ABC的面积吗？此题有一定难度，教师提示：你能用割补法求出下图中△CEF的面积吗？(小正方形的边长为1。)

解决此问题后，教师提问，要想求△ ABC 的面积，该做怎样的辅助线？方法一：

三种方法求解笛卡尔坐标系中三角形的面积

三种方法求解平面三角形的面积判断一个点是否在一个图形内部，可以有多种方法，如叉积判断法，夹角之和判断法，交点记数法等，此外还有有向面积法。这对于某些问题的解决有着极大推动作用，是解析几何的一个重要的工具，下面就最简单的情形：三角形的有向面积来讨论下。 1裁减法思想：把不规则难以求解的问题，转化为简易求解的矩形或者直角三角形或者梯形的面积，然后通过加减，以实现间接求解三角形的面积。具体做法：从第一点开始，用前一点横坐标减后一点横坐标与两纵坐标之和的乘积求梯形面积，直到完成三角形的封闭，得到三角形的有向面积。 S S S S ADFC BEFC ABED ABC ++= S=((x1-x2)*(y1+y2)+(x2-x3)*(y2+y3)+(x3-x1)*(y3+y1))/2 化为行列式的形式就是 3 21321 11121y y y x x x S = PS ：也可以用积分的方法： 2 海伦公式 ))()((S c p b p a p p ---= 用matlab 符号求解求解 a=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)；

b=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)； c=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)； p=(a+b+c)/2； S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))； simple(S) ans = 1/2*((-x2*y1+x1*y2+y1*x3-y2*x3-x1*y3+x2*y3)^2)^(1/2) 化为矩阵形式就是 3 21 321 11121y y y x x x S = PS ：→→→→ ||2 1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=?. 在本质上和海伦公式是等价的，可以相互推倒。推倒过程如下： ab c b a 2cos 2 22-+=θ ) )()(())()()((4 1 )))(()((41 )2)(2(41 )(441)2(121cos 121sin **21222222222222222222222 c p b p a p p c b a c b a b a c b a c c b a b a c c b a ab c b a ab c b a b a ab c b a ab ab b a S ---= -++++--+=-+--=-+++--=-+-=-+-=-==θθ 3有向体积法把平面二维坐标系中的A （x1,y1）B(x2,y2),C(x3,y3)扩展到三维空间中且赋给三点以A`（x1,y1,1）B`(x2,y2,1),C`(x3,y3,1),且设以0A`0B`0C`为基向量张成的平行六面体为下求三角形的面积和以OA`，OB`，OC`三个向量而成的六面体体积在数值上的关系 S S A`B`C` ABC = 六面体0A`B`C`V 6 1 V = 1H ,H S 3 1 V A`B`C`0A`B`C`=?=

三角形面积公式

1.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2 2.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2） S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC 根据正弦定理推出来的： S三角形ABC=absinC/2 S三角形ABC=acsinB/2 S三角形ABC=bcsinA/2 4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e, f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！ 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积： S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积： SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。