2020届北师大版(文科数学) 不等关系与不等式解法单元测试

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2020届北师大版(文科数学) 函数与方程、不等式相结合问题单元测试精品版

2020届北师大版（文科数学）函数与方程、不等式相结合问题单元测试1．【2018届安徽皖南八校高三第二次联考】已知函数()220{1120x mx m x f x x m x -+>=-++≤，，，，若关于x 的方程()0f x mx -=至少有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为（）A. ()1023⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，，B. ()1113⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，C. 13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D. ()1223⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，【答案】A【解析】令()2,0{11,0x mx x g x x x ->=-+≤,关于x 的方程()0f x mx -=至少有两个不同的实数解等价于,()()2g x m x =-至少有两个不同的实数解,即函数()g x 的图象与直线()2y m x =-至少有两个交点,作出函数()g x 的图象如图所示,直线()2y m x =-过定点()2,0A ,故可以寻找出临界状态下虚线所示,联立()22{y m x y x mx=-=-,故()22x mx m x -=-,即2220x mx m -+=,令2480m m ∆=-=,解得2m =, ()1,1B -,故13AB k =-,结合图象知,实数m 的取值范围为()1,02,3⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦,故选A.2．【2018届湖北省稳派教育高三上期第二次联考】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且,若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ,则12345x x x x x ++++的取值范围是 A. ()2,1-- B. ()1,1- C. (1,2) D. (2,3) 【答案】B3．【2018届山东省烟台高三上期第三次诊断】已知定义在R 的函数()f x 是偶函数,且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,01{ 1,12x x f x x x -≤<=-≤≤,过点()3,0-作斜率为k 的直线l ,若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点,则实数k 的取值范围是A. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,6423⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C. 1,6423⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 1642,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意知道函数()f x 是偶函数,且满足()()22f x f x +=-,故函数还是周期为4的函数,根据表达式画出图像是定义在R 上的周期性的图像,一部分是开口向下的二次函数,一部分是一次函数,当k>0时,根据题意知两图像有两个交点,当直线()3y k x =+和图像2y 1x =-,01x ≤<,相切时是一种临界,要想至少有4个交点,斜率要变小；故设切点为()2,1,x x -212,2322;264 2.3x y x x x k x x -=--=⇒=-+=-=+'-故得到当k<0时,临界是过点（-6,1）时,此时13k =-,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转,斜率边大,直到和x 轴平行.故两种情况并到一起得到：实数k 的取值范围是1,6423⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：C.4．【2018届上海市浦东新区高三数一模】关于x 的方程()2arcsin cos 0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ,则222123x x x ++=（）A. 1B. 2C. 22π D. 22π【答案】B5.【2017山西省运城市高三上期期中】函数()f x 是偶函数,且在(0,)+∞内是增函数,(3)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为（）A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|303x x x -<<<<或0【答案】B【解析】函数()f x 为偶函数,故()xf x 为奇函数,()f x 在(0,)+∞内是增函数,()(3)30f f -==,所以()0,3x ∈时()0f x <,当()3,x ∈+∞时,()0f x >,根据对称性,有当()3,0x ∈-时()0f x <,当(),3x ∈-∞-时,()0f x >.由此可知()0xf x <即为两者异号的解集为{}|303x x x <-<<或.6.【2017湖北孝感高三上期第一次联考】定义域在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()12log 1,0113,1x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪--≥⎩,则关于x 的方程()()001f x a a -=<<所有根之和为12-,则实数a的值为（） A ．22 B ．12 C. 23 D ．14【答案】B【解析】因为函数)(x f 为奇函数,所以可以得到当]0,1(-∈x 时,)1(log )1(log )()(221x x x f x f -=+--=--=,当]1,(--∞∈x 时,()()(1|3|)f x f x x -=-=----|3|1x =+-,所以函数)(x f 图象如下图,函数)(x f 的零点即为函数)(x f y =与a y =的交点,如上图所示,共5个,当]1,(--∞∈x 时,令a x =-+1|3|,解得：2,421-=--=a x a x ,当]0,1(-∈x 时,令a x =-)1(log 2,解得：a x 213-=,当),1[+∞∈x 时,令a |3-x |1=-,解得：2,454+=-=a x a x ,所以所有零点之和为：123454212421212aax x x x x a a a a ++++=--+-+-+-++=-=-,12a ∴=.故本题正确答案为B.7.【2017重庆八中高三上期二调】对于函数1()1x f x x -=+,设[]2()()f x f f x =,[]32()()f x f f x =,…,[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈,且2n ≥）,令集合{}2036|(),M x f x x x R ==∈,则集合M 为（）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集【答案】B【解析】由题设可知()x x f 12-=,()113-+-=x x x f ,()x x f =4,()115+-=x x x f ,()xx f 16-=,故从()x f 2开始组成了一个以()x f 为首项,以周期为4重复出现一列代数式,由50942036⨯=得()()x x f x f ==42036,故x x =的解为R ,故选B ．8.【2017中原名校高三上期第三次质量考评】定义在实数集R 上的函数()f x ,满足()()()22f x f x f x =-=-,当[]0,1x ∈时,()2x f x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（）A ．99B ．100 C.198 D ．200 【答案】B【解析】()f x 是偶函数,图象关于直线1x =对称,周期是2,画图可得,零点个数为100,故选B.9.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】设函数31,1,()2,1,xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C【解析】令()t a f =,则()tt f 2=,当1<t 时,t t 213=-,由()tt t g 213--=的导数为()2ln 23tt g -=',在1<t 时,()0>'t g ,()t g 在()1,∞-递增,即有()()01=<g t g ,则方程t t 213=-无解；当1≥t 时,t t 22=成立,由()1≥a f ,即113≥-a ,解得32≥a ,且1<a ；或1≥a ,12≥a解得0≥a ,即为1≥a ．综上可得a 的范围是32≥a ．故选C. 10. 【2017湖北荆州高三上期第一次质量检测】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++,用{}min ,m n 表示,m n 中最小值,设()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为（）A ．1B ．2 C.3 D ．4 【答案】C【解析】由0)(=x f 可得ex e x 1,==；由0)(=x g 可得3,1=-=x x ,且当e x =时,0)(>e g ．当0<x 时无意义,结合函数的图象可知方程0)(=x h 有三个根.故应选C.Oyx11.【2017河南八市重点高中上期第三次测评】函数()221sin cos cos log 442f x x x xx ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知得2211cos 21()cos 2log cos 2log 222x f x x x x x +=+--=-,令()0f x =,即2cos 2log x x =,在同一坐标系内作出函数cos 2y x =与2log y x =的图象两个函数有两个不同的交点,所以函数()f x 的零点的个数为2,故选B.12. 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()ln f x x =,若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,方程()f x kx =有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是（）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.[]4ln 4,ln 4--C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意,1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()ln f x x =,当(]1,4x ∈时,()1111,1,44ln 44f x f x x x x ⎡⎫⎛⎫∈===-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭,如图 4ln x kx -=在(]1,4x ∈有两解,4ln x k x -=有两解,设函数()()24ln 1n ,4x l x g x g x x x--'==-g x （）在(]1,e 上单调递减,在[],4e 上单调递增,4ln 4k e∴-≤≤-.故选：D ． 13.【河北石家庄2017届高三上期第一次质检,10】已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩,则()()2f f x <的解集为（）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 【答案】B【解析】因为当1x ≥时,3()2f x x x =+≥；当1x <时,1()22x f x e-=<,所以(())2f f x <,等价于()1f x <,即121x e -<,解得1ln 2x <-,所以(())2f f x <的解集为(,1ln 2)-∞-,故选B ． 14.【2017江苏徐州丰县民族中高三上期第二次月考】设函数()x f x e x a =+-（a R ∈,e 为自然对数的底数）,若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是．【答案】[]1,e15.【2017江苏徐州丰县民族中高三上期第二次月考】已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且22()(22)5af m f m m -->-+-,则m 的取值范围是．【答案】1122m -≤<【解析】由题设可得032=+-a ,即5=a ,故)22()1(22-+->--m m f m f 可化为)22()1(22+->+m m f m f ,又3221,31122≤+-≤≤+≤m m m ,故2122122<⇒+-<+m m m m ,且21-≥m .故应填答案1122m -≤<.= 16．【2017届12月浙江省重点中期末热身联考】已知a R ∈,函数()1,0{ ,0x a x f x xe x -+><,若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则a 的取值范围是__________．【答案】(),2e -∞-【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则方程()f x ex =-存在三个不相等的实根,当0x <时, ()x f x e ex -==-,令()(0)x g x e ex x -=+<,则()x g x e e --'=+,令()0g x '=,得1x =-,当1x <-时, ()0g x '<,即()g x 在(),1-∞-上为减函数,当10x -<<时, ()0g x '>,即()g x 在()1,0-上为增函数,∴()()min 10g x g e e =-=-=,则()f x ex =-在(),0-∞上存在一个实根,∴()f x ex =-在()0,+∞上存在两个不相等的实根,即1a ex x+=-, 210ex ax ++=有两个不相等的实根,∴20{240a ea e ->∆=->,∴2a e <-,故答案为(),2e -∞-17．【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数()()()2,0{0,0k x x f x k lnx x +≤=<->,若函数()()1y f f x =-有3个零点,则实数k 的取值范围为 __________ .【答案】k 1-＜18.【2017湖南百所重点中高三上期阶段诊测】已知定义在R 上的函数()f x 的周期为3.当13x ≤≤时,2()4f x x =+.（1）求(5)(7)f f +的值；（2）若关于x 的方程2()()f x mx m R =∈在区间[4,6]上有实根,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(5)(7)13f f +=；（2）413[,]1336．【解析】（1）∵函数()f x 的周期为3,∴(5)(2)8f f ==,(7)(4)(1)5f f f ===, ∴(5)(7)13f f +=.（2）设[4,6]x ∈,则3[1,3]x -∈,∵函数()f x 的周期为3, ∴2()(3)(3)4f x f x x =-=-+.方程2()f x mx =在[4,6]上有实根22(3)4x m x-+=⇔在[4,6]上有实根,设2222(3)4136134()113()1313x g x x x x x -+==-+=-+,∵[4,6]x ∈,∴111[,]64x ∈,∵311[,]1364∈, ∴min 4()13g x =,又∵1331||||413136-<-,∴max 13()(6)36g x g ==,∴413()[,]1336g x ∈, ∴实数m 的取值范围为413[,]1336.19.定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 及二次函数()g x 满足：211()2()ln xf x f x x+-=,(1)(3)3,g g =-=,且()g x 的最小值是1-．（Ⅰ）求()f x 和()g x 的解析式；（Ⅱ）若对于12,[1,2]x x ∈,均有2112211()2()2ln 222g x ax x f x +≤++-成立,求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设()()(),0(),(),0f x x x g x x ϕ>⎧⎪=⎨≤⎪⎩讨论方程[]()1x ϕϕ=-的解的个数情况．【答案】（Ⅰ）()ln(1)f x x =-+,2()2g x x x =+ （Ⅱ）(,4]-∞- （Ⅲ）三个解．【解析】（Ⅰ）∵211()2()lnx f x f x x +-=①,则1()2()ln[(1)]f f x x x x-=+②由①②联立解得： ()ln(1)f x x =-+；()g x 是二次函数,可设2()(),0g x A x m n A =-+≠又(1)(3)3,g g =-=,∴抛物线对称轴为1312x -==-．∴1m =-．根据题意函数有最小值为1n =-,∴2()(1)1g x A x =+-．又2(1)(11)131g A A =+-=⇒=,故22()(1)12g x x x x =+-=+ （Ⅱ）设()2()()2G x g x ax x a x =+=++,211()2ln(1)2ln 222F x x x =-++-, 依题意知：当12x ≤≤时, max min ()()G x F x ≤∵222(2)(1)()0111x x x x F x x x x x +-+-'=-==≥+++,()F x 在[1,2]上单调递增, min ()(1)0F x F ∴==()()1302280G a G a =+≤⎧⎪∴⎨=+≤⎪⎩,解得4a ≤-,∴实数a 的取值范围是(,4]-∞-；（Ⅲ）图像解法：()x ϕ的图象如图所示：令()T x ϕ=,则()1T ϕ=-121,1T T e ∴=-=-而()1x ϕ=-有两个解, ()1x e ϕ=-有1个解．[]()1x ϕϕ∴=-有3个解．代数解法：令()T x ϕ=,则() 1.T ϕ=-（1）由()1T ϕ=-得：221(0)T T T +=-≤或ln(1)1(0)T T -+=->,解得121,1T T e =-=-．（2）若1()1x T ϕ==-,则221(0)x x x +=-≤或ln(1)1(0)x x -+=->,∴121,1x x e =-=-；若2()1x T e ϕ==-,则221(0)x x e x +=-≤或ln(1)1(0)x e x -+=->由221(0)x x e x +=-≤解得31x e =--,而ln(1)1(0)x e x -+=->无解综上所述,方程[]()1x ϕϕ=-共有三个解．20.已知函数()()211ln ,2f x ax a x x a R =-+-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,1x ∈时,()()11f x f x -<+；（3）若函数()f x 有两个零点1x ,2x ,比较12+2x x f ⎛⎫' ⎪⎝⎭与0的大小,并证明你的结论. 【答案】（1）1a <-时,f （x ）在1(0,)a -上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增；1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a -+∞上递增；0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）见解析；（3）12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭．C ．1>1a -,即10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a-+∞上递增；且(1)102a f =-<,故此时f （x ）在(0,)+∞上有且只有一个零点．综上所述：1a <-时,f （x ）在1(0,)a -上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增； 1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a -+∞上递增； 0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）()()11f x f x -<+⇔2211(1)(1)(1)ln(1)(1)(1)(1)ln(1)22a x a x x a x a x x --+--+-<-++-+++ ⇔2ln(1)ln(1)0x x x +--+<设()2ln(1)ln(1),(0,1)g x x x x x =+--+∈∴2112'()2011(1)(1)x g x x x x x --=+-=<-+-+ ∴()g x 在(0,1)x ∈上单调递减∴()g(0)0g x <=得证．（3）由（1）知,函数()f x 要有两个零点1x ,2x ,则0(1)102a a f >⎧⎪⎨=->⎪⎩ ∴2a >,不妨设1201x x <<<∴由（2）得222(2)(11)()=0f x f x f x -=+->∴212x x ->,∴12+12x x <,∴12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭ 21.已知函数2()3,()21()f x x a g x ax a =+=+∈R（1）若函数()f x 在(0,2)上无零点,请你探究函数()y g x =在(0,2)上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-,若对任意的(0,1)x ∈,恒有()1F x <成立,求实数a 的取值范围．【答案】（1）若0a =：在(0,2)上无单调性,若0a >：在(0,2)上单调递增,若12a ≤-：在1(0,)2a -上单调递减,在1(,)2a-+∞上单调递增；（2）[1,2]．【解析】（1）令()0f x =,从而可知23a x =-,∵(0,2)x ∈,∴23(12,0)x -∈-,故满足()f x 在(0,2)上无零点的实数a 的取值范围是(,12][0,)-∞-+∞,若0a =：|()|1g x =,在(0,2)上无单调性,若0a >：|()||21|21g x ax ax =+=+,在(0,2)上单调递增,若12a ≤-：则110224a <-≤,∴|()|g x 在1(0,)2a -上单调递减,在1(,)2a-+∞上单调递增；（2）2()()()321(01)F x f x g x x ax a x =-=-+-≤≤,而|()|1F x ≤在(0,1)上恒成立等价于1(1)11(0)1121()13F F a a F ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⇒≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎩,∴实数a 的取值范围是[1,2]．22.【2018届海南省八校高三上期新起点联盟考试】设函数()32231,0{ 21,0x x x x f x axe x -->=-≤,其中0a >. (1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点,求m 的取值范围；(2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当0x ≤时, ()()'21xf x a x e =+, 0a >,令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得10x -<≤, ()f x 递增；令()'0f x <得1x <-, ()f x 递减,∴()f x 在1x =-处取得极小值,且极小值为()211a f e -=--, ∵0a >,∴210a e --<, ∵当212a e --≥-即02e a <≤时, ()()min 12f x f ==-,∴2a -≤-,即2a ≥,∴无解, 当212a e --<-即2e a >时, ()()max 211a f x f e =-=--,∴21a a e -≤--,即2e a e ≥-,又22e e e >-,∴2e a e ≥-,综上, ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭.。

2020_2021学年高中数学第三章不等式1不等关系练习(含解析)北师大版必修5

5π b 11π
两式相加，得－ <3a－ < .
6
39
π 5π
b 5π 11π
故 2a∈(－， )，3a－ ∈(－， )．
26
3
69
8．(2019·广东模拟)设 f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中 x>0 且 x≠1，试比较 f(x) 与 g(x)的大小．
3x [解析] f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logx .
3
4
4
当 1<x< 时，f(x)<g(x)；当 x＝时，f(x)＝g(x)．
3
3
6
因为 y＝x3 在 R 上是增函数，当 a>b 时，a3>b3，即 a3－b3>0，故 C 成立．
因为当 a＝3，b＝－6 时，a>b，但|a|<|b|，
所以 D 不一定成立．故选 C．
5．若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系为( A )
A．f(x)>g(x)
B．f(x)＝g(x)
C．f(x)<g(x)
D．随 x 值变化而变化
[解析] 因为 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，所以 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x
1
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－1)2＋1≥1，所以 f(x)>g(x)，故选 A．
－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，

2020届北师大版(文科数学) 不等式选讲单元测试

2020届北师大版（文科数学）不等式选讲单元测试1．[考点一]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2．[考点二](2018·保定模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R)． (1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥5的解集； (2)若f (x )≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝4时，不等式即为|x －1|＋|x －4|≥5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎨⎧1≤x ≤4，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5，解得x ≤0或x ≥5，故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}． (2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|，故|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5. 故a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．3．[考点一]已知函数f (x )＝ax 2＋x －a 的定义域为[－1,1]． (1)若f (0)＝f (1)，解不等式|f (x )－1|<ax ＋34；(2)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.解：(1)f (0)＝f (1)，即－a ＝a ＋1－a ，则a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋x ＋1，所以不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34，①当－1≤x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，解得－32<x <0； ②当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，解得0≤x <12.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. (2)证明：由已知x ∈[－1,1], 所以|x |≤1，又|a |≤1，则|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54. 4．[考点一](2018·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0. (1)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，求a 的取值范围．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪－1x －a ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪1x ＋a≥⎪⎪⎪⎪(x －a )＋⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0.当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，则f (x )＋f (2x )≥－a ；当a <x < a 2时， f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ，则－a2<f (x )＋f (2x )<－a ；当x ≥a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ，则f (x )＋f (2x )≥－a2，则f (x )＋f (2x )的值域为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，即为12>－a 2，解得，a >－1，由于a <0，则a 的取值范围是(－1,0)． 5．(2018·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 6．(2018·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2018·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. 9．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．。

【优化方案】2020高考数学总复习 6-8章不等关系与不等式课时卷北师大版

§6.1 不等关系与不等式1．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 22 D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.由1a <1b<0，得b <a <0，则A 、B 、C 三项均正确．但|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选D项．2．(2020年高考安徽卷)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.易得a >b 且c >d 时，必有a ＋c >b ＋d .若a ＋c >b ＋d 时，则不一定有a >d 且c >b .3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝(ln x )3，则( ) A ．a 0，∴a >b .∵c －a ＝t 3－t ＝t (t ＋1)(t －1)，又－1<t <0， ∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1. ∴c >a .∴c >a >b .故选C.法二：取x ＝e －12∈(e －1,1)，则a ＝－12，b ＝－1，c ＝－18.∴b <a <c .故选C.4．(2020年南阳质检)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：(1)ad >bc ；(2)a d ＋bc<0；(3)a －c >b －d ；(4)a ·(d －c )>b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，∴(1)错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，∴(2)正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ， ∴(3)正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， ∴(4)正确，故选C.5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ·a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2sa ＋b＝s ·a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B 项．6．下列四个不等式：①a <0b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c 2，y ＝b 2＋c ＋a 2，z ＝c 2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．解析：法一：y 2－x 2＝2c (a －b )>0， ∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .法二：令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故有z >y >x . 答案：z >y >x 8．(2020年焦作调研)已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，则4a －2b 的取值范围是________．解析：设u ＝a ＋b ，v ＝a －b ，得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，所以4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . 又因为1≤u ≤4，－1≤v ≤2，所以－3≤3v ≤6.故－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 答案：[－2,10]9．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆珠笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本分别为x 支，y 本．则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ≤20，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋.10．(1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ； (2)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．解：(1)(x 6＋1)－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)(x 2－1)(x 2＋1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)．当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x ≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2.(2)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．11．(探究选做)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即为a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .作业35§6.2 一元二次不等式1．不等式|x |(1－2x )>0的解集是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，0)∪(0，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)答案：B2．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则不等式0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 11 x <1的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(1，2)解析：选C.由题意可知0<x 2－1<1⇔1<x 2<2⇔1<|x |<2⇔－2<x <－1或1<x < 2.故选C.3．(2020年高考山东卷)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：选B.根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)·(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2，1)．4．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选D.方程x 2－3x ＋2＝0的解是x 1＝1，x 2＝2.又函数y ＝x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以不等式x 2－3x ＋2<0的解集为{x |1<x <2}．5．(2020年宿州联考)若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a＋b 的值为( )A ．5B ．4C.83D.163解析：选A.令f (x )＝34(x －2)2＋1.若a ≥2，则由a ，b 是方程f (x )＝x 的两个实根，解得a ＝43，b ＝4，矛盾；若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，相减得a ＋b ＝83，代入可得a ＝b ＝43，矛盾；若a <20的解集是________．解析：原不等式可化为(2－x )(4＋x )>0，即(x －2)(x ＋4)<0，解得－4<x <2. 答案：{x |－4<x <2}7．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )<2f (4)的解集为________．解析：由已知得f (x ＋6)＋f (x )＝f [(x ＋6)x ]，2f (4)＝f (16)．根据单调性得(x ＋6)x <16，解得－8<x <2.又x ＋6>0，x >0，所以0<x <2. 答案：(0,2)8．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________．解析：由题可知不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，即函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图像在x轴上方，因为此函数是偶函数，故我们只需要研究x >0时的情况即可，要使函数f (x )＝ax2－x ＋2a (x >0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－8a 2<0，解得a >24. 答案：a >249．(2020年亳州质检)已知关于x 的不等式x ＋2x 2－1＋a x ＋a>0. (1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．解：(1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2x －1x －2>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2x －1x －a>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}；当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．10．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解：由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.01x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于x >0，从而可得：x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．11．(探究选做)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0.由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f (x )的最小值为g (a )．我们有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a 32＋2a 23，x >a ①x ＋a 2－2a 2，x ≤a ②.当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a23，a <0.(3)当a ∈(－∞，－62]∪(22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)；当a ∈[－22，22]时，解集为[a ＋3－2a23，＋∞)；当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a23，＋∞)．作业36§6.3 基本不等式1．(2020年高考重庆卷)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112 解析：选B.依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4，选B.2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C.由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1，故选C.3．(2020年阜阳质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：选B.由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b2＝－1.解得a ＝b 2＋1b 2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b.又因为b >0，故b＋1b≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取“＝”． 4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由图易求得函数解析式为y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润 y x ＝－x －62＋11x＝12－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤12－225＝2，当y x最大时，x ＝25x，解得x ＝5. 5．(2020年蚌埠质检)已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 解析：选D.∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.6．(2020年高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，此时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.答案：－27．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．解析：因为1＝x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3.答案：38．(2020年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤a ＋b 24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b 24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤9．设a ，b ，c 都是正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b . 同理可证12(12b ＋12c )≥1b ＋c，12(12c ＋12a )≥1c ＋a. 三式相加得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 10．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？ (2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x[1500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y ＝1x[1500x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1426(x ≥20)．又函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451.而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件． 11．(探究选做)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3. (1)求ab 的取值范围； (2)求a ＋b 的取值范围．解：(1)∵a >0，b >0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令ab ＝t (t >0)，∴t 2≥2t ＋3，∴t 2－2t －3≥0，∴(t ＋1)(t －3)≥0，又t >0， ∴t ≥3，即ab ≥3，∴ab ≥9，所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． (2)∵a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3.∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，令a ＋b ＝t (t >0)，∴t ＋3≤(t2)2，∴t 2－4t －12≥0， ∴(t ＋2)(t －6)≥0，又∵t >0， ∴t ≥6，所以a ＋b 的取值范围为[6，＋∞)．作业37§6.4 简单线性规划1．(2020年高考福建卷)若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图中阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2×1＝3.2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选 D.由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3. 3．(2020年高考重庆卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选C.在坐标平面内画出题中不等式组表示的可行域及直线3x －2y ＝0，平移该直线，当直线3x －2y ＝0经过可行域内的点(0，－2)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝3x －2y 取得最大值，其最大值是z ＝3×0－2×(－2)＝4，选C.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y ，画出可行域，由线性规划知识可知当直线z ＝280x＋200y 经过x ＋y ＝70与10x ＋6y ＝480的交点(15,55)时，z ＝280x ＋200y 取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱，每天能够获得最大利润，选B.5．(2020年高考课标全国卷)已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：选B.由题可知，平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标为(0，－4)，点(x ，y )在平行四边形内部，如图，所以在D (0，－4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最大值为20，在点B (3,4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最小值为－14，由题知点(x ，y )在平行四边形内部，所以端点取不到，故z ＝2x －5y 的取值范围是(－14,20)，故选B.6．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝42m ＋3<3，解得m ＝－3.答案：－37．(2020年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴a ＋b ≥2ab ＝ 4.答案：48．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 62万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 答案：159．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yx －y ＋5≥0－3≤x ≤3表示的平面区域的面积．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yx －y ＋5≥0－3≤x ≤3所表示的可行域如下图所示：其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为12与112，所以，可行域的面积为12×1×12＋12×11×112＝612.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z＝y ＋1x ＋1的范围．解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4>0，将C (7,9)代入得z 最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率的变化范围．因为k QA ＝2，k QB ＝12，故z 的范围是[12，2]．11．(探究选做)某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大？方木料(m 3) 五合板(m 2) 利润(元) 书桌(张) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤9002x ＋y ≤600x ≥0y ≥0，z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时 z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝9002x ＋y ＝600，解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．作业38§6.5 合情推理与演绎推理1．(2020年高考山东卷)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，故选D.2．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第一列第二列第三列第四列第五列1 3 5 715 13 11 917 19 21 23 31 29 27 25 …A ．第一列B ．第二列C ．第三列D ．第四列解析：选D.正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．3．(2020年高考广东卷)2020年广州亚运会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A 为起点，E 为终点，每个城市经 A B C D E A 0 5 4 5 6 B 5 0 7 6 2 C 4 7 0 9 8.6 D 5 6 9 0 5 E 6 2 8.6 5 0A.20.6 C ．22 D ．23解析：选B.由于“以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A 中20.6在表中只有C 和E 之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE 必定是经过的路线，又因为A 为起点，E 为终点，故如果A 正确，那么路线必然是：1.A －B －D －C －E 或2.A －D －B －C －E ，进行验证：路线1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故路线1不符合；路线2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，路线2也不符合，故排除A ；再验证选项B ，发现路线A －C －D －B －E 的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.4．(2020年铜川质检)正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.10232048a 2B.1023768a 2C.5111024a 2D.20474096a 2 解析：选A.由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－1210]1－12＝10232048a 2.5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )A.1140B.1105C.160D.142解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.6．(2020年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.即V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶87．(2020年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于等式右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．(2020年高考浙江卷)设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________.解析：根据已知条件，总结规律，进而可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为偶数时12n －13n ，当n 为奇数时.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为偶数时12n －13n ，当n 为奇数时9．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解：(1)由已知a 1＝5，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3. ∴S n ＝n (n ＋4)．(2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]，∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n . 10．观察：①tan10°·tan20°＋tan10°·tan60°＋tan20°·tan60°＝1； ②tan5°·tan10°＋tan5°·tan75°＋tan10°·tan75°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解：观察10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，因此猜测推广为：若α＋β＋γ＝π2，则tan α·tan β＋tan α·tan γ＋tan β·tan γ＝1，证明如下：由α＋β＝π2－γ，∴tan(α＋β)＝tan(π2－γ)＝1tan γ.又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)＝1tan γ(1－tan α·tan β)．∴tan α·tan β＋tan α·tan γ＋tan β·tan γ ＝tan α·tan β＋(tan α＋tan β)·tan γ＝tan α·tan β＋1tan γ·(1－tan α·tan β)·tan γ＝1.命题得证．11．(探究选做)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D .(1)求证：1AD2＝1AB 2＋1AC2；(2)在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：(1)证明：如图(1)所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC (1) ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. (2)猜想：在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.理由如下：如图(2)，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD 2. (2)∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．作业39§6.6 直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：选 B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.2．(2020年汉中调研)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 解析：选B.∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2(b a ＋ab)．∵5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.3．已知△ABC 的顶点A (x ，y )，B (－1,0)，C (1,0)，若△ABC 满足的条件分别是：(1)△ABC 的周长是6；(2)∠A ＝90°；(3)k AB ·k AC ＝1；(4)k AB －k AC ＝－2.下列给出了点A 的轨迹方程：(a)x 2＋y 2＝1(y ≠0)，(b)x 2－y 2＝1(y ≠0)，(c)x 24＋y 23＝1(y ≠0)，(d)y ＝x 2－1(y ≠0)．其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是( )A ．(a)(b)(c)(d)B ．(d)(a)(b)(c)C ．(c)(a)(d)(b)D ．(c)(a)(b)(d) 解析：选D.由△ABC 的周长是6，|BC |＝2，可知点A 位于以B ，C 为焦点的椭圆上，y ≠0，与(c)相对应；由∠A ＝90°，可知点A 位于以B ，C 为端点的圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)上；由k AB ·k AC＝1，化简得x 2－y 2＝1(y ≠0)；显然(4)与(d)相对应．4．设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D.利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而a ＋1b＋b ＋1c ＋c ＋1a≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D. 5．(2020年高考浙江卷)对于正实数α，记M α为满足下述的条件的函数f (x )构成的集合：对任意的x 1，x 2∈R 且x 2>x 1，有－α·(x 2－x 1)<f (x 2)－f (x 1)<α(x 2－x 1)．下列结论中正确的是( )A ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )·g (x )∈Mα1·α2B ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且g (x )≠0，则f xg x ∈M α1α2C ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2D ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且α1>α2，则f (x )－g (x )∈Mα1－α2 解析：选C.∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0.∴－α<f x 2－f x 1x 2－x 1<α，即M α具有的特征是|f x 2－f x 1x 2－x 1|<α.∴f x 2＋g x 2－f x 1－g x 1x 2－x 1＝[f x 2－f x 1]＋[g x 2－g x 1]x 2－x 1＝f x 2－f x 1x 2－x 1＋g x 2－g x 1x 2－x 1.∵f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，∴－α1<f x 2－f x 1x 2－x 1<α1，－α2<g x 2－g x 1x 2－x 1<α2.∴－(α1＋α2)<[f x 2－f x 1]＋[g x 2－g x 1]x 2－x 1<α1＋α2.∴－(α1＋α2)<f x 2＋g x 2－f x 1－g x 1x 2－x 1<α1＋α2，即f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2.6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为________．解析：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2＞v ＞0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝s v 2＋v ＋s v 2－v ＝2v 2s v 22－v 2，平均速度v 1＝2st＝v 22－v2v 2.∵v 1－v 2＝v 22－v2v 2－v 2＝－v 2v 2＜0，∴v 1＜v 2.答案：v 1＜v 28．已知三棱锥S －ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC .其中所有正确命题的代号是________．解析：由三视图知，在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为Rt△ 且∠ACB ＝90°. 又SA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥AC ，且BC ⊥SA ，并且SA ∩AC ＝A . ∴BC ⊥平面SAC .命题①正确．由已知推证不出②③命题正确．答案：①9．(2020年蚌埠质检)已知a 、b 、c >0，求证：a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．证明：∵a 、b 、c >0，∴a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )，∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2ab (a ＋b )＝2a 2b ＋2ab 2，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，将三式相加得，2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2.∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋b 2a ＋b 2c )＋(c 3＋c 2a ＋c 2b )＝(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．∴a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．10．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b 2＋lgb ＋c 2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果)因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc (中间结果)所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .11．(探究选做)如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．解：(1)取CD 的中点G ，连结MG 、NG . 设正方形ABCD 、DCEF 的边长为2，则MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，所以MG ⊥平面DCEF .可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角．因为MN ＝6，所以sin ∠MNG ＝63为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值．(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB 平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN . 由已知，两正方形不共面，故A B ⃘平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN .又AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．作业40§6.7 数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N )，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案：C2. 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案：C3．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可以推出k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时该命题不成立，那么( )A ．n ＝4时成立B ．n ＝6时不成立C ．n 为大于5的某个自然数时命题成立D ．以上均不对答案：C4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：B5．(2020年铜川调研)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立答案：D6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋27．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是________．解析：将n 的值依次代入验证即可．答案：108．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ≥n 2n ＋13时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．解析：当n ＝k 时，左端为12＋22＋32＋…＋k 2＋…＋22＋12；当n ＝k ＋1时，左端为1＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12.答案：(k ＋1)2＋k 29．(2020年高考大纲全国卷Ⅰ )已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n <a n ＋1<3成立的c 的取值范围．解：(1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.所以b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1.所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，∴b n ＋23＝(－13)×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2>a 1，得c >2. 用数学归纳法证明：当c >2时，a n <a n ＋1.(i)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1>a 1，命题成立；(ii)假设当n ＝k 时，a k <a k ＋1，则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＝c －1a k ＋1>c －1a k＝a k ＋1.故由(i)(ii)知，当c >2时，a n <a n ＋1.当c >2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n <a n ＋1＋1a n＝c ，得a n <α；当2<c ≤103时，a n <α≤3.当c >103时，α>3，且1≤a n <α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )，α－a n ＋1≤13n (α－1)．所以当n >log 3α－1α－3时，α－a n ＋1<α－3，a n ＋1>3.因此c >103不符合要求．所以c 的取值范围是(2，103]．10．(2020年高考安徽卷)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1) ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d . 假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式： 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，①1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ＋，都有a n ＝a 1＋(n －1)d .所以{a n }是公差为d 的等差数列．11．(探究选做)在数列{a n }与{b n }中，a 1＝1，b 1＝4，数列{a n }的前n 项和S n 满足nS n ＋1－(n ＋3)S n ＝0,2a n ＋1为b n 与b n ＋1的等比中项，n ∈N ＋.(1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：(1)由题设有a 1＋a 2－4a 1＝0，a 1＝1，解得a 2＝3.由题设又有4a 22＝b 2b 1，b 1＝4，解得b 2＝9.(2)由题设nS n ＋1－(n ＋3)S n ＝0，a 1＝1，b 1＝4，及a 2＝3，b 2＝9，进一步可得a 3＝6，b 3＝16，a 4＝10，b 4＝25，由此猜想a n ＝n n ＋12，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N ＋.先证a n ＝n n ＋12，n ∈N ＋.当n ＝1时，a 1＝1×1＋12，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：当n ＝2时，a 2＝2×2＋12，等式成立．假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋12，k ≥2.由题设，kS k ＋1＝(k ＋3)S k ，① (k －1)S k ＝(k ＋2)S k －1.②①的两边分别减去②的两边，整理得ka k ＋1＝(k ＋2)a k ，从而a k ＋1＝k ＋2k a k ＝k ＋2k ·k k ＋12＝k ＋1[k ＋1＋1]2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．综上可知，等式a n ＝n n ＋12对任何的n ∈N ＋都成立．下证b n ＝(n ＋1)2，n ∈N ＋，当n ＝1时，b 1＝4，∴等式成立．假设n ＝k 时，等式成立，即b k ＝(k ＋1)2，那么n ＝k ＋1时，∵(2a k ＋1)2＝b k ·b k ＋1，。

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(答案解析)

一、选择题1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b-D ．()20a b c -≥2．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（） A ．log log a b c c b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b c b a c a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 7．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 28．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 9．若a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >10．给出以下四个命题：（） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③11．若0a b >>，则（）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.14．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______. 17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是．19．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 20．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三、解答题21．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象；（2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 22．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.24．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 25．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()222f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确；对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确；对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.3．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断．【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误，对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确，对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确；对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误；对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确；对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ．【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．C解析：C 【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(含答案解析)(5)

一、选择题1．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤152．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3172⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-4．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤5．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集6．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（）A ．11x y >B ．11()()22x y<C ．1122x y <D ．sin sin x y >7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A b a -8．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(][),22,-∞-+∞B ．(][),31,-∞-+∞C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),04,-∞+∞9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b| B ．若a ＞b ，则11a b< C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2 12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则B ．22a b ac bc >>若，则C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．在平面直角坐标系中，定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的直角距离为：1212(,)d P Q x x y y =-+-现有以下命题：①若,P Q 是x 轴上的两点，则12(,)d P Q x x =-； ②已知()22(2,3),sin ,cos P Q αα，则(,)d P Q 为定值；③原点O 与直线10x y -+=上任意一点P 之间的直角距离(,)d O P 的最小值为2；④若||PQ 表示,P Q 两点间的距离，那么||(,)2PQ d P Q ≥. 其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.15．设434411e m e +=+，424311e n e +=+，比较m ，n 的大小__________（用“>”“＜”“=”表示）．16．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．17．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______18．若关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则m 的取值范围是_________19．设5x >，P Q ，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .20．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数2()|1|5f x mx a x =-++．（1）当0,1m a ==时，求不等式()|2|f x x -的解集；（2）当1m =时，存在0[0,2]x ∈，使()00|1|f x a x -成立，求实数a 的取值范围． 22．已知函数()54f x x x =-++. （1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()13210af x ---≥恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知()211f x x x =++-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 24．已知函数()||,f x x x a a R =-∈. （1）当(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式5()||4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞．（1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．26．已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号，所以113x x ++的最大值为15，所以15a ≥.故选：A 【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.2．D解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<，当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=，所以11x x +--的最小值为-2，所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.3．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．4．B解析：B 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.5．C解析：C 【分析】先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =．【详解】 |||1|3x x +-<，∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，P Q ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当11,2x y ==时，1112x y =<=，则A 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；当3,22x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误；故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.7．C解析：C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第七章+不等式、推理与证明+单元质检卷7+Word版含答案

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东、湖北部分重点中学模拟五,3)若2m>2n,则下列结论一定成立的是()A. B.m|m|>n|n|C.ln(m-n)>0D.πm-n<12.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A. B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2018河南中原名校质检三,3)下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=sin x+,x∈0,C.y=D.y=x+-3,x>15.(2019广东化州一模,9)已知实数x,y满足则z=x+的最大值为()A.7B.1C.10D.06.(2018辽宁凌源二中三模,8)大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文7.(2019届湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-38.(2019届四川成都石室中学模拟,8)已知a>0,实数x,y满足若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-D.-1或19.(2018吉林梅河口五中三模,7)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N+”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的两边加上()A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.10.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件11.已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1 C. D.12.(2018山东日照联考,7)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.(2018四川广元适应性统考,15)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)= n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)= n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.。

北师大版(文科数学) 不等式测试单元测试(含答案)

不等式测试一、单选题(共10道，每道10分)1.如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次不等式的性质2.若不等式的解集为，则的值为( )A.5B.-5C.7D.-7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次不等式的解法3.设函数，则不等式的解集是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值不等式的解法4.不等式，对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值三角不等式5.若，且，则下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本不等式6.若，，则的取值范围为( )A. B.C. D.不确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：柯西不等式7.若实数满足，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线性规划问题8.不等式组的解集为，下列命题中正确的是( )A.，B.，C.，D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线性规划问题9.某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立.现已知当时，该命题不成立，那么可推得( )A.当时，该命题不成立B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立D.当时，该命题成立答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数学归纳法10.用数学归纳法证明：，则当时，左端应在的基础上加上( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由数学归纳法，归纳递推可得，选D.试题难度：三颗星知识点：数学归纳法。

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（）A ．1B ．2C ．52D ．32．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 3．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>4．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤6．已知x y z >>，2x y z ++=，则（）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A b a -8．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+9．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（）A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >011．已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（） A ．mx my > B ．m m x y> C ．22mx my > D ．22m m x y>12．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（） A ．[,)22ππ-，(,0)2π-B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______.15．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 16．（卷号）1570711643127808 （题号）1570711648378880 （题文）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的取值范围为_____________．17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 19．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．20．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．三、解答题21．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 22．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 23．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 24．证明下列问题（1）已知0n >，1n mmn->，证明：0>；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若112a b c+=，证明：π2C <． 25．设函数()231f x x x =++-．（1）解不等式()4f x >；（2）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围． 26．已知()15f x x x =---，（1）解不等式()2f x <；（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥，即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a mb b m ba bm ab am a a m a a m a a m ，因为0,0a b m >>>，所以()()-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ，因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+，所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

(部编版)2020学年高中数学第一章不等关系与基本不等式测评北师大版选修2

第一章不等关系与基本不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④>2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知得b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,>0,从而>2,因此①④正确.答案:B2.若a∈R,且p=,q=a2-a+1,则有()A.p≥qB.p>qC.p≤qD.p<q解析:由于a∈R,显然有p>0,q>0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+1≥1,因此q≥p.答案:C3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为()A.[0,+∞)B.(0,2)C.[0,2)D.(0,+∞)答案:A4.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=x2-2x+4C.y=x2+D.y=解析:在函数y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时函数取最小值2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8B.2C.-4D.-2解析:由-4<ax+2<4,得-6<ax<2.因为不等式的解集为(-1,3),所以a=-2.答案:D6.已知函数f(x)是R上的增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(x)是R上的增函数且为奇函数,a3>0,所以f(a3)>f(0)=0.又a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,所以f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.答案:A7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥B.b<C.a≤D.a>解析:由|f(x)-1|<a可得<x<,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由题意可得解得b≥.答案:A8.若x∈(0,π),则y=sin cos2的最大值等于()A. B.C. D.解析:y2=sin2cos4·2sin2·cos2·cos2,当且仅当2sin2=cos2,x∈(0,π)时等号成立.所以y≤,故所求最大值为.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是()A.(-∞,5)B.(-∞,13)C.(-∞,9)D.(-∞,4)解析:|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.答案:B10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-∞,7)B.(-∞,7]C.(-∞,5)D.(-∞,5]解析:不等式x2<|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a<0.设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则解得a≤5,故选D.答案:D11.设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是()A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,-1]D.[-1,1]解析:显然x≠0,由x2+2xy-1=0可得y=,因此x+y=x+,当x>0时,≥2=1,当x<0时,≤-1,故x+y的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).答案:A12.已知x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥+1解析:由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2,即()2-2-1≥0,所以+1,则xy≥(+1)2,排除B和D;又xy=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x>-2,且x≠0,则的取值范围是.解析:因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时有>0;当-2<x<0时有<-,综上可知,的取值范围是(0,+∞)∪.答案:(0,+∞)∪14.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是.解析:“|f(x1)-f(x2)|<”的否定是|f(x1)-f(x2)|≥.答案:|f(x1)-f(x2)|≥15.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由绝对值不等式的意义可得a+≤4,所以≤0,解得a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.答案:(-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7 000米级.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7 000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,那么平均速度的最小值是.解析:平均速度为v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,当且仅当0.2t=,即t=100时,取得最小值.答案:26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a(a∈N+)的解集为A,且∈A,∉A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为∈A,且∉A,所以<a,且≥a,解得<a≤.又a∈N+,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.故f(x)的最小值为3.18.(本小题满分12分)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请举出一个使它不成立的x值.(1)证明x是正实数,由平均值不等式知x+1≥2,1+x2≥2x,1+x3≥2,故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时,等号成立).(2)解若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3依然成立.证明如下:由(1)知,当x>0时不等式成立.当x≤0时,8x3≤0,又(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)·≥0,故此时不等式依然成立.19.(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证:.证明由已知及平均值不等式可得≥3==≥,当且仅当a=b=c=2时等号成立.故原不等式成立.20.导学号35664028(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x≤1时,4≤8不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以原不等式的解集为{x|x≤-5或x≥3}.(2)证明f(ab)>|a|f,即|ab-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故原不等式成立.21.导学号35664029(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.(1)求的最小值;(2)证明:3≤x2+y2+z2<9.(1)解因为x+y+z≥3>0,>0,所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅当x=y=z=1时,取得最小值3.(2)证明x2+y2+z2=≥=3,当且仅当x=y=z时等号成立.又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3≤x2+y2+z2<9.22.导学号35664030(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,f(x)>x,得1-2x+x+1>x,解得x<-1;当-1≤x≤时,f(x)>x,得1-2x-x-1>x,解得-1≤x<0;当x>时,f(x)>x,得2x-1-(x+1)>x,解得-2>0无解;综上可知x<0,即f(x)>x的解集为{x|x<0}.(2)f(x)=画出图像如图所示:因为a,b∈(0,+∞),且a+b=1,所以(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当a=,b=时等号成立.由≥|2x-1|-|x+1|恒成立,得|2x-1|-|x+1|≤9,结合图像知-7≤x≤11,故x的取值范围是[-7,11].。

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2020届北师大版（文科数学）不等关系与不等式解法单元测试
1..已知函数，则满足的实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，利用换元法求解的范围，可得的范围，解不等式组即可求解实数的取值范围.
【详解】设，
，即求解函数
，
可得或,
解得：；
即；
由函数，
或,解得：或，
所以实数的范围是，故选A．
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，常见题型：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）
2.已知关于的不等式( a，b，c R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则
的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可
【详解】由不等式解集知a<0,由根与系数的关系知
则，当且仅当-24a=即取等
故答案为
【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题。