圆的证明与计算PPT
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和 计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形 式由原来的单图题演变成双图题;
第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中 简单性质进行计算和证明; 第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查 学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线 段比、三角函数的有关问题的能力。
圆的证明与计算
（双图题）专题探究
华科附中初三备课组 主讲人：常静
一、圆中的有关知识点：
1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明— —弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
原创例题2：
来源：课本九年级上册86页例2
第一问考查：
利用弦切角 找特殊直角三 角形
构题的出发点：
以切割线为背景合理 运用圆的有关性质和 勾股定理建立方程进 行计算。
第二问考查：（基本策略）
看见等弧找等弦；看见直径找直角； 看见三角函数找直角三角形； 看见切割线找相似 目标线段旁有特殊角的情况下，作垂 线构造直角三角形。
（3）如图（3）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE； 1 CK= 2 BE=DC；AE+AB=2AK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB
原创例题4：
来源：课本九年级上册103页第14题
第一问构题的出发点： 利用垂径定理构造直 角找相似
基本模型： 基本图形3 垂径定理 与矩形
此题也可建构直角三角形运用勾股定理，表示AD， 联立方程求解
条件共同特征： 等弧、等弦、 圆内接等腰三 角形
知识点的考查： 共同点： 同弧所对圆周角等于圆心角的一半、 角平分线的性质构造全等三角形转换等量线段关系 不同点：第一题，由三角函数出发，给出线段关系 第二题，给出具体线段长和特殊角，需要合理利用条件组织 线段关系
看见弧中点连半径， 看见直径找直角， 看见三角函数找 直角三角形
知 识 点 解 题 思 想 与 方 法
基本图形1
基本图形2
基本图形3
角平分线与圆 的有关性质
切线长定理与 切割线定理
垂径定理与矩形
方程思想：运用未知数表示线段，运用勾股定理，比例线 段，面积等寻找线段关系建立方程。 数学方法：面积法，勾股定理，相似，三角函数
基本分析策略：联系条件与设问，首尾综合进行分析
谢谢指导！ 休息休息 一会儿!
思路二： 由切线长定理，转设问为求解AP:EP的值
（看见同一直线上的线段比想到平行线分线段成比例）
（看见三角函数想到直角三角形）
把∠ABE看作是Rt△ABD中的∠OBF，利用母 子型和中位线特点寻找平行线AD与OP的关系
典型例题4：
利用基本 图形应用 勾股定理 即可
条件特征：等腰三角形，切线，三角函数值 基本解题策略： 等腰三角形关注三线合一 切线连半径，找直角 三角函数找直角三角形或建构直角三角形 设问特征：求三角函数，而所求角就在切线所在的 直角三角形中，即寻找ED和OE的关系即可
典型例题2：
条件特征： 等弧
条件特征： 垂直、 45度特殊角、 两具体线段长
思路： 1、45度角一般与等腰直角三角形结合，在圆 中连半径OA,OD即可 2、由第一问AD为角平分线，联想到角平分 线的性质，作垂线DF,DE 3、具体线段OM,以及OM ┴ CD,组成直角边 已知的直角三角形； 结合1、2，可找到 △DOM∽△ADE,求解AE. 4、结合设问在RT△DEA中，表示AE、AD
原创例题1：
来源：课本九年级上册88页12题
知识点的考查： 等弧对等角 等弧对等弦 特殊的三角形
知识点的考查: 同弧所对圆周角 等于圆心角一半； 角平分线的性质; 三角形全等
典型图形2
如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点， 以OC为半径作⊙O交AC于点E，AB切⊙O于点D。
从图形的上半部分，它主要应用的是切线长定理，得到BC=BD，BO为角平分线； 利用垂径定理，得到F为CD的中点；利用中位线得到OF与DE的关系；利用平行 线分线段成比例得到BH与HE的比；利用等腰三角形性质得到G为⊿ BCD的内心； 利用射影定理得到线段BC,CO,OF,BF的关系 从图形的下半部分，它主要应用的是切线与过直径的弦构成的切割线定理， 由△ADE ∽ △ADC,得到线段之间的关系
具体方案：
思路二： 思路一： 根据中位线和切线的性质， 作垂线建构∠EDM在直角 ∠EDM就在Rt△DEN中， 三角形中DMH中， 出现基本， 利用平行线得EN=EM, 利用勾股 则出现基本图形 定理，平 行线HM//ED， 找EO与OD的 关系即可求解 利用勾股定理即可求解。
思路三： 看到切线和过圆心的割线， 想到切割线定理，补全图 像。转换∠EDM成直角三 角形中的∠EID，利用三角 形相似即可。
原创例题3：
来源：课本九年级上册102页第5题
第一问构题的出发点： 利用切线长定理以及 面积法进行计算
第二问构题的出发点：
利用切线长定理、垂 径定理、平行线分线段成 比例以及面积法进行计算
基本模型： 旁切圆 基本模型： 基本图形2
典型图形3
如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有： （1）“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”知一推二 （2）如图2，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF
基本思路：
看见三角函数值要么找直角三角形转换角， 要么构造直角三角形，表示边长
思路三： 转换∠BPC至等腰△ABC中的∠BAC中，作垂 线构造直角三角形ABH,应用三角函数值表示线 段； 把设问∠PAB转至直角三角形MHC中，应用面 积法证明CH:BC=MH:BM,表示MH与CH即可；
常用的分析方法： 由条件入手，再从设问探究，首尾结合综合分析
三、解题思想与方法
（1）方程思想：
设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，运用勾股定理、 比例线段或三角函数建立方程，解决问题。
（2）数学方法：如面积法，勾股定理，相似，三角函数等 （3）建模思想：
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形, 通过 基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
考查：应用三角函数、 垂径定理、勾股定理 建立方程，求解线段 关系的能力
基本思路：
看见三角函数值要么找直角三角形转换角， 要么构造直角三角形，表示边长
思路一： 转换∠BPC至Rt△FOC中的∠FOC中，表示线 段； 再建构设问∠PAB所在的直角三角形，应用垂径 定理连PO； 思路二： 转换∠BPC至Rt△FOC中的∠FOC中，表示线 段； 转换设问∠PAB至Rt△EFC中的∠EOC ，应用 角平分线的性质求EF.
典型例题3：
考查：应用三角 形全等证明直角
从问题与设问分析： 已知三角函数值，求解三角函数值
即从 AEB分析开始至 BEP各边线段关系
知识点的考查： 相似，勾股定理，
思路一： 直接在Rt△ABD表示线段AD和AB的关系； 应用切割线定理有△AED∽ △BEA,得AE,DE,BE 关系； 利用切线长定理，有BP=AP; 在Rt△BPE中，利用勾股定理，表示BP,EP关系
（4）构造策略：如：①构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；
②构造勾股定理模型（已知线段长度） ③构造三角函数(已知有角度的情况）； ④构建矩形转化线段； ⑤构建“射影定理”基本图形研究线段; ⑥构造切割线，找相似； ⑦构造平行线，找线段比
目录：
典型图形1——典型例题若干——原创例题1 （主要知识点：圆的有关性质）
典型图形2——典型例题若干——原创例题2、3 （主要知识点：切割线与切线长定理） 典型图形3——典型例题若干——原创例题4 （主要知识点：切线与矩形结合）
典型图形1
如图：CD是△ABC的外角平分线，CD交△ABC的外接圆⊙O于点D，
典型例题1：
条件特征： 等弦、等弧
考查：等边三角 形的证明
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初中圆 ppt课件
作圆的切线
切线的定义
切线是与圆只有一个公共点的直 线，这个公共点叫做切点。
切线的判定
要判定一条直线是否为圆的切线， 可以通过切线的定义进行判定，即 看直线与圆是否只有一个公共点。
切线的作法
在已知圆上任取一点，过这一点作 圆的切线，这样的切线有且只有一 条。
作圆的直径和半径
01
02
03
直径的定义
通过圆心并且两端都在圆 上的线段叫做圆的直径。
详细描述：在几何证明题中，有时需要通过添加辅助线 来构造与圆相关的图形，从而利用圆的性质来证明题目 中的结论。
详细描述：解决与圆相关的几何证明题需要掌握一些解 题技巧，如利用圆的性质进行等量代换、利用切线性质 进行转化等，这些技巧能够简化问题并提高解题效率。
圆与其他几何图形的关系
总结词：相交和相切 总结词：组合图形
详细描述
圆内接四边形定理指出，圆内接 四边形的对角线互相平分。这个 定理是解决与圆内接四边形相关 问题的重要依据。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线与经过切点的半径之间关系的定 理。
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线 长相等。这个定理在证明其他与圆有关的定理时经常用到， 如垂径定理。
详细描述：圆与其他几何图形如三角形、矩形等 经常出现相交或相切的情况，这些关系涉及到一 些重要的几何定理和性质，如切线长定理、相交 弦定理等。
详细描述：在解决几何问题时，有时需要将圆与 其他几何图形组合起来形成复杂的组合图形，这 些组合图形具有一些特殊的性质和定理，能够为 解题提供重要的思路和方法。
详细描述：圆形具有优美的对称性和流畅的线条，常用 于装饰和艺术设计中，如建筑设计、绘画和雕塑等。
圆的认识ppt课件
很多交通工具如轮胎、轮毂和车盖等都采用 圆形设计，因为这种形状可以减少摩擦和风 阻，提高行驶效率。
管道
在建筑和家庭装修中，圆形管道通常被用来 连接水管、电线和暖气管道等，因为这种形 状可以保证液体或气体流畅地流动，减少堵 塞和磨损。
艺术中的圆的应用
雕塑
许多雕塑作品如球体、花瓶和头 像等都采用圆形设计，因为这种 形状可以增强作品的美感和立体
对未来进一步学习和研究圆的展望
01
深入研究圆的性质
进一步学习和研究圆的性质， 包括圆与其他图形的联系和区 别，以及圆在各种不同情况下 的表现。
02
探讨圆的实际应用
通过研究和实践，进一步探索 圆在各个领域中的应用，如建 筑设计、机械设计、包装设计 等。
03
圆的拓展学习
学习与圆有关的其他知识，如 立体几何、解析几何等，以更 全面地了解圆的性质和应用。
平面图形。
圆的相关公式和定理
圆的中心位置由圆心决定，圆心到圆周上任 意一点的距离都相等。圆的面积和周长与半 径有关，半径越大，面积和周长也越大。
圆的性质
包括圆的周长公式（C=2πr）、圆的面积公 式（S=πr²）以及垂径定理、圆周角定理等
。
圆的应用
圆在现实生活中有着广泛的应用，如车轮、 方向盘、钟表等都采用了圆形的形状，因为 它具有旋转不变性和对称性。
04
发展圆的创新应用
通过研究和创新，发展更多具 有创新性和实用性的圆的应用 ，推动科学技术的发展。
感谢您的观看
THANKS
使用铅笔和尺子，从圆心 开始，以确定的半径为长 度，绘制出一条弧线。
完成绘制
在完成绘制后，检查是否 符合所需的形状和大小。
使用代码绘制圆
定义圆心和半径
管道
在建筑和家庭装修中，圆形管道通常被用来 连接水管、电线和暖气管道等，因为这种形 状可以保证液体或气体流畅地流动，减少堵 塞和磨损。
艺术中的圆的应用
雕塑
许多雕塑作品如球体、花瓶和头 像等都采用圆形设计，因为这种 形状可以增强作品的美感和立体
对未来进一步学习和研究圆的展望
01
深入研究圆的性质
进一步学习和研究圆的性质， 包括圆与其他图形的联系和区 别，以及圆在各种不同情况下 的表现。
02
探讨圆的实际应用
通过研究和实践，进一步探索 圆在各个领域中的应用，如建 筑设计、机械设计、包装设计 等。
03
圆的拓展学习
学习与圆有关的其他知识，如 立体几何、解析几何等，以更 全面地了解圆的性质和应用。
平面图形。
圆的相关公式和定理
圆的中心位置由圆心决定，圆心到圆周上任 意一点的距离都相等。圆的面积和周长与半 径有关，半径越大，面积和周长也越大。
圆的性质
包括圆的周长公式（C=2πr）、圆的面积公 式（S=πr²）以及垂径定理、圆周角定理等
。
圆的应用
圆在现实生活中有着广泛的应用，如车轮、 方向盘、钟表等都采用了圆形的形状，因为 它具有旋转不变性和对称性。
04
发展圆的创新应用
通过研究和创新，发展更多具 有创新性和实用性的圆的应用 ，推动科学技术的发展。
感谢您的观看
THANKS
使用铅笔和尺子，从圆心 开始，以确定的半径为长 度，绘制出一条弧线。
完成绘制
在完成绘制后，检查是否 符合所需的形状和大小。
使用代码绘制圆
定义圆心和半径
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
2021年中考数学专题四 圆的证明与计算(65PPT)
BE EF
∴ 2 6 , 6
2 EF
∴EF= 6.
考点二 与四边形有关的证明和计算 【示范题2】
(2020·桂林中考)如图,将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一 平面内,其中∠CAB=30°,∠DAB=45°,点O为斜边AB的中点,连接CD交AB于点E. (1)求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上; (2)求证:CD平分∠ACB; (3)过点D作DF∥BC交AB于点F,求证:BO2+OF2=EF·BF.
∴△ABE∽△DEF, ∴ DF ,DE
AE AB
∴ 2 , x
x 2x
即得:x=2 2,
即DE=22 .
4.(2020·北京顺义区一模)如图,在▱ABCD中,∠B=45°,点C恰好在以AB为直径 的☉O上. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)连接BD,若AB=8,求BD的长.
【解析】(1)连接OC. ∵OB=OC,∠B=45°, ∴∠BCO=∠B=45°. ∴∠BOC=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠OCD=∠BOC=90°, ∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线.
专题四 圆的证明与计算
与切线有关的证明和计算的考查,一般作为几何压轴题出现,常利用圆的知 识,与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等结合在一起考查.
考点一 与三角形有关的证明和计算 【示范题1】(2020·咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA 为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F. (1)求证:BF=DF; (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
2
(2)连接OF,OB,如图2, ∵AB是切线,∴∠OBF=90°, ∵BF=3 3,OB=3, ∴tan∠BOF= BF , 3
∴ 2 6 , 6
2 EF
∴EF= 6.
考点二 与四边形有关的证明和计算 【示范题2】
(2020·桂林中考)如图,将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一 平面内,其中∠CAB=30°,∠DAB=45°,点O为斜边AB的中点,连接CD交AB于点E. (1)求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上; (2)求证:CD平分∠ACB; (3)过点D作DF∥BC交AB于点F,求证:BO2+OF2=EF·BF.
∴△ABE∽△DEF, ∴ DF ,DE
AE AB
∴ 2 , x
x 2x
即得:x=2 2,
即DE=22 .
4.(2020·北京顺义区一模)如图,在▱ABCD中,∠B=45°,点C恰好在以AB为直径 的☉O上. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)连接BD,若AB=8,求BD的长.
【解析】(1)连接OC. ∵OB=OC,∠B=45°, ∴∠BCO=∠B=45°. ∴∠BOC=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠OCD=∠BOC=90°, ∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线.
专题四 圆的证明与计算
与切线有关的证明和计算的考查,一般作为几何压轴题出现,常利用圆的知 识,与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等结合在一起考查.
考点一 与三角形有关的证明和计算 【示范题1】(2020·咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA 为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F. (1)求证:BF=DF; (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
2
(2)连接OF,OB,如图2, ∵AB是切线,∴∠OBF=90°, ∵BF=3 3,OB=3, ∴tan∠BOF= BF , 3
人教版数学九年级上册第二十四章.. 圆 完美课件
弦、直径
E
D
C O
A
B
F
弦
E
B
C
O
D
A F
直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
经过圆心的弦叫做直径．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
A B 探究
⊙O中有没有最长的弦？
证明： 连接OA、OB．
A
在△OAB中，
O
OA＋OB > AB
（三角形两边之和大于第三边）
∵ OA、OB 均是半径
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
观察
观察车轮，你发现了什么？
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
车轮
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
G
F
D
K
5．在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧．
弦：GH 、CD；
CHK、CHG、CKH、CKI..优弧： KD 、 GK、 GC、 KC...... 劣弧：
6． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上， 另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
5
参考答案：
5m 4m o
5m 4m o
6． 一个8×10米的长方形草地，现要安装自 动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准 备安装几个? 怎样安装? 请说明理由．
静态定义：
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离 等于定长 r 的点的集合．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
第4课时 以圆为背景的证明与计算
类型之二 圆的切线有关的计算与证明
[2019·成都]如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为圆上
的两点，OC∥BD，弦 AD，BC 相交于点 E.
(1)求证：A︵C＝C︵D； (2)若 CE＝1，EB＝3，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于
点 P，过点 P 作 PQ∥CB 交⊙O 于 F，Q 两点(点 F 在线段 PQ
∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF.
又∵∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF. 又∵∠OAD＝∠DAC，∴△ABD∽△ADF， ∴AADB＝AADF，∴AD2＝AB·AF，∴AD＝ xy.
1．如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于 点 F.
∴OD∥AF.
又∵DE⊥AC，
答图
∴DE⊥OD，
∴直线 DE 与⊙O 相切．
(2)如答图，连接 BD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠FAD＝∠BAD＝30°，∠B＝60°，
∴∠DFE＝∠B＝60°.
∵⊙O 的半径为 2，∴AB＝4，
∴AD＝AB·cos 30°＝4× 23＝2 3，
∴4PA2＝PA×(PA＋2 5)， ∴PA＝23 5，∴PO＝53 5，
答图2
∵PQ∥BC，∴∠CBA＝∠BPQ.
又∵∠PHO＝∠ACB＝90°，
∴△PHO∽△BCA，
∴OACH＝PBHC＝PAOB，
即O2H＝P4H＝25 3
55＝65，
∴PH＝130，OH＝53，
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5