卡方独立性检验
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
08卡方检验
知识分子
25
11
4. 初步统计频数卡方独立性检验：SPSS
New file > Variable View > define variables Data View > input data Data > Weight Cases > “Counts” to be weighted Run “Crosstabs” analysis
统计方法与数据分析
第七讲 卡方检验
1. 卡方检验：概述
卡方（Chi-square）, 数学符号表示为χ2, 是一种非 参数检验方法。它适用于比较两组（或以上）互斥 的频数数据之间是否存在显著差异。 卡方比较的是观测频数（observed frequency）和 期待频数（expected frequency）之间的比例，以 考察是否存在显著差异。 期待频数也称理论频数，通常是指假定各组均等的 频数。
卡方检验结果显示，对语言教学影响因素的看法受教龄的 影响显著（χ2=35.300，df=2，p<0.05）。教龄5年以上的教 师认为语言/学习因素是主要的；教龄5年以下的教师认为 环境和学习者因素是主要的（下表）。这可能是因为…
4. 初步统计频数卡方独立性检验：练习
一项研究得到家庭背景不同的学生（农民、干部、 知识分子）的英语学习成绩（及格、不及格）。 现要考察“家庭背景”与“英语成绩”之间是否 彼此独立？
卡方拟合检验SPSS结果(2)
卡方拟合检验结果在论文中的呈现方式
卡方检验结果显示，双语教师的课堂用语有显著差异 （χ2=340.556，df=5，p<0.05）。大多数双语教师使用英语 的量多于汉语，或至少英语汉语使用比例差不多。仅使用 英语或汉语授课的教师极少（下表）。这可能是因为…
卡方检验和精确概率法-概述说明以及解释
卡方检验和精确概率法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述卡方检验和精确概率法是统计学中常用的两种假设检验方法。
它们都是用于检验数据之间的相关性或者关联度，以判断某种因素与某种结果之间是否存在显著的统计关系。
卡方检验是一种非参数的假设检验方法，主要用于分析分类数据的关联性。
它通过统计观察值与期望值之间的差异，来决定变量之间是否存在显著性关系。
卡方检验可以处理多个分类变量之间的相关性问题，并且不受数据分布的限制。
在实际应用中，卡方检验经常用于医学研究、社会科学调研等领域，帮助研究者发现变量之间的关联性，从而进一步分析和解读数据。
精确概率法，又称为精确检验法，是一种基于排列组合原理的计算方法。
它主要用于处理小样本或者数据限制条件较多的情况下的假设检验问题。
与卡方检验不同的是，精确概率法通过枚举出所有可能的组合情况，计算出达到当前观察值或更极端情况下的事件发生概率，从而得出假设检验的结果。
精确概率法的主要优势在于其统计推断的准确性和稳定性，适用于小样本和稀有事件的研究。
本文将会介绍卡方检验和精确概率法的原理和应用，并比较它们的优缺点。
在结论部分，将会对两种方法进行对比分析，进一步探讨它们适用的场景和应用前景。
通过本文的阐述，读者将对卡方检验和精确概率法有更加全面的了解，并能够根据具体问题的特点选择适合的检验方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，将对卡方检验和精确概率法的背景和概述进行介绍。
首先会对这两种方法进行简要的概述，包括其原理和应用领域。
接下来会明确本文的结构和目的，为读者提供整体上的概括。
在正文部分，将详细探讨卡方检验和精确概率法。
首先，在2.1节将详细介绍卡方检验的原理和应用。
会对卡方检验的基本原理进行解释，包括假设检验的流程和计算统计量的方法。
同时，会介绍卡方检验的应用领域，包括医学、社会科学和市场调研等。
接着，会对卡方检验的优缺点进行分析和讨论，以便读者全面了解其适用范围和局限性。
高二独立性检验知识点总结
高二独立性检验知识点总结独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。
在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。
本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。
1. 独立性检验的概念独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。
其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。
独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。
2. 卡方检验卡方检验是一种常用的独立性检验方法。
它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。
卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。
3. 单样本卡方检验单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。
通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。
单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。
4. 独立性卡方检验独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。
通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。
5. 列联表和期望频数独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。
观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。
为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。
6. 自由度和显著性水平在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。
自由度取决于列联表的行数和列数。
自由度的选择会影响卡方统计量的分布。
显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。
通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。
7. 应用案例独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。
卡方独立性检验步骤答题
卡方独立性检验步骤答题
卡方独立性检验是一种检测假设性质的统计检验，主要用于实证检验相关属性间是否独立。
主要步骤如下：
1、检验假设：确定待检验的原假设，以及备择假设，并确定数据分析方法和统计量。
2、样本收集：根据假设和研究目的，收集有关的样本数据，按照假设和备择假设的设定，分类数据，进行归类编码。
3、确定检验的水平：在检验假设时要确定检验的显著水平，一般来说，0.05或0.01级
别的水平是常用的统计检验中“显著水平”，但也可以根据需要而定。
4、计算卡方值：根据所收集的样本数据，计算其卡方值，有可能涉及到计算频数表，然
后对样本中不同分类数据应用公式计算出卡方值。
5、判断卡方值：判断样本使用的检验水平与卡方值的比较，如果检验水平小于卡方值，
则拒绝原假设，接受备择假设；反之亦然。
6、结果分析：根据前面的检验结果，得出有关假设的结论，分析影响因素对研究的影响
程度，同时记录本次研究的主要结论，以便以后参考。
卡方检验的结果解读
卡方检验的结果解读1.引言1.1 概述卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个分类变量之间是否存在相关性或者一致性。
它是基于统计推断的方法，通过比较实际观察值与理论期望值之间的差异来进行判断。
在实际应用中，卡方检验被广泛用于比较两个或多个分类变量的分布情况，包括但不限于医学研究、社会调查以及市场分析等领域。
它能够帮助我们判断两个或多个分类变量是否独立，从而揭示变量之间的关联关系。
本文旨在对卡方检验的结果进行解读和分析。
首先，我们将介绍卡方检验的基本原理，包括计算卡方值和自由度的方法。
其次，我们将探讨卡方检验在实际应用中的一些典型场景，比如用于比较不同人群中某一特征的分布情况，或者用于评估某一策略对用户行为变化的影响等。
在解读卡方检验结果时，我们需要关注卡方值和P值。
卡方值反映了观察值与理论期望值之间的差异程度，而P值则是用来判断这种差异是否具有统计学意义的指标。
通常来说，如果P值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，即认为变量之间存在相关性或一致性。
然而，卡方检验也有其局限性。
例如，样本量过小可能导致研究结论不准确，而样本量过大则可能会使得小的差异也变得显著。
此外，卡方检验只能判断变量是否相关，而不能确定其具体的关系强度和方向性。
综上所述，卡方检验是一种重要的统计方法，可以帮助我们判断变量之间的关系。
对于卡方检验结果的解读，我们需要综合考虑卡方值和P值，并且意识到其存在的局限性。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的卡方检验方法，并合理解读其结果，以便得出准确的结论。
1.2文章结构文章结构部分应该对整篇长文的大致结构进行介绍，并说明各个部分内容的关联性和重要性。
具体内容如下：1.2 文章结构本文主要围绕卡方检验的结果进行解读展开。
全文分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对卡方检验进行概述，介绍其基本原理，并明确文章的目的。
同时，我们也会提及本文的结构，让读者对文章整体有个初步的认识。
卡方检验专题知识讲座
这阐明aabb不符合理论百分比
p 0.05
2 检验中旳适合性检验一般要求样本量应大某些， 样本较小会影响到检验旳正确性，尤其是当理论 百分比中有较小值时（上一例中旳aabb），更应 该注意样本容量，这一例即有样本偏小旳倾向
第二节 独立性检验
独立性检验是检验两个变量、两个事件是否 相互独立旳这么一种检验
不消毒 580（438.19） 630（771.81） 1210
合计 880
1550
2430
表中，括弧内旳就是理论值
需要注意旳是，这种构造旳 2检验其自由度是横行
数减1乘以纵列数减1：2 12 1 1
所以这里应该使用校正公式 计算 c2 值
2 c
| O E | 0.52
E
同学们先自行计算
设置无效假设
现需验证这次试验旳成果是否符合这一分离百分比
1477+493+446+143=2559
2559
9 16
1439.44
2559
3 16
479.81
2559
1 16
159.94
2
1477 1439.44 2
143 159.942
...
5.519
1439.44
159.94
以上三个例子都要求我们判断观察值与理论值之间 是否相符，而我们都能够得到一种 2值
438.19
771.81
142.30
2 0.01,1
6.635
p 0.01
否定无效假设，即鱼池消毒是否极明显地影响着鱼
苗旳发病（或鱼苗旳发病情况直接受鱼池消毒是
否旳影响）
二、R×C表（R：行 C：列） R×C表是2×2表旳扩展，反之， 2×2表也能够看
卡方检验公式卡方拟合优度检验卡方独立性检验的计算方法
卡方检验公式卡方拟合优度检验卡方独立性检验的计算方法卡方检验公式：卡方拟合优度检验和卡方独立性检验的计算方法卡方检验是一种常用的统计假设检验方法，用于判断实际观测值与理论期望值之间的差异是否显著。
在卡方检验中，常见的包括卡方拟合优度检验和卡方独立性检验两种类型。
本文将介绍这两种卡方检验的公式和计算方法。
一、卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验用于检验观测值与理论期望值是否具有显著的差异。
它适用于当我们想要检验一组观测数据是否符合某种理论分布时使用。
假设我们有一个分类变量，有 k 个不同的类别，对于每个类别，我们希望计算出理论上的期望频数 Ei，并与实际观测频数 Oi 进行比较。
卡方检验的原假设（H0）是观测值与理论期望值没有差异，备择假设（H1）是观测值与理论期望值存在差异。
卡方拟合优度检验的卡方统计量计算公式如下：χ² = Σ(Oi - Ei)² / Ei其中，Oi 为观测频数，Ei 为理论期望频数。
以一个例子来说明卡方拟合优度检验的计算方法。
假设我们有一组观测数据，其中有4个类别，分别观测到的频数为120、150、130和100。
我们假设这些观测值符合某种理论分布，理论期望频数为125、135、128和112。
首先，我们需要计算出每个观测值的卡方值，然后将得到的卡方值相加，得到最终的卡方统计量。
下面是具体的计算过程：Observed (Oi) Expected (Ei) (Oi - Ei)² / Ei120 125 0.20150 135 1.67130 128 0.02100 112 1.57计算完每个类别的卡方值后，我们将它们相加得到最终的卡方统计量。
χ² = 0.20 + 1.67 + 0.02 + 1.57 = 3.46这个卡方统计量可以用来判断观测值与理论期望值之间的差异是否显著。
通过查阅卡方分布表，我们可以根据自由度和显著水平确定临界值，从而进行假设检验。
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第八章记数数据统计法—卡方检验法知识引入在各个研究领域中，有些研究问题只能划分为不同性质的类别，各类别没有量的联系。
例如，性别分男女，职业分为公务员、教师、工人、……，教师职称又分为教授、副教授、……。
有时虽有量的关系，因研究需要将其按一定的标准分为不同的类别，例如，学习成绩、能力水平、态度等都是连续数据，只是研究者依一定标准将其划分为优良中差，喜欢与不喜欢等少数几个等级。
对这些非连续等距性数据，要判别这些分类间的差异或者多个变量间的相关性方法称为计数数据统计方法。
卡方检验是专用于解决计数数据统计分析的假设检验法。
本章主要介绍卡方检验的两个应用：拟合性检验和独立性检验。
拟合性检验是用于分析实际次数与理论次数是否相同，适用于单个因素分类的计数数据。
独立性检验用于分析各有多项分类的两个或两个以上的因素之间是否有关联或是否独立的问题。
在计数数据进行统计分析时要特别注意取样的代表性。
我们知道，统计分析就是依据样本所提供的信息，正确推论总体的情况。
在这一过程中，最根本的一环是确保样本的代表性及对实验的良好控制。
在心理与教育研究中，所搜集到的有些数据属于定性资料，它们常常是通过调查、访问或问卷获得，除了少数实验可以事先计划外，大部分收集数据的过程是难于控制的。
例如，某研究者关于某项教育措施的问卷调查，由于有一部分教师和学生对该项措施存有意见，或对问卷本身有偏见，根本就不填写问卷。
这样该研究所能收回的问卷只能代表一部分观点，所以它是一个有偏样本，若据此对总体进行推论，就会产生一定的偏差，势必不能真实地反映出教师与学生对这项教育措施的意见。
因此应用计数资料进行统计推断时，要特别小心谨慎，防止样本的偏倚性，只有具有代表性的样本才能作出正确的推论。
第一节卡方拟合性检验一、卡方检验的一般问题卡方检验应用于计数数据的分析，对于总体的分布不作任何假设，因此它又是非参数检验法中的一种。
它由统计学家皮尔逊推导。
理论证明，实际观察次数（f o）与理论次数（f e），又称期望次数）之差的平方再除以理论次数所得的统计量，近似服从卡方分布，可表示为：这是卡方检验的原始公式，其中当f e越大（f e≥5）,近似得越好。
显然f o与f e相差越大，卡方值就越大；f o与f e相差越小，卡方值就越小；因此它能够用来表示f o与f e相差的程度。
根据这个公式，可认为卡方检验的一般问题是要检验名义型变量的实际观测次数和理论次数分布之间是否存在显著差异。
它主要应用于两种情况：卡方检验能检验单个多项分类名义型变量各分类间的实际观测次数与理论次数之间是否一致的问题，这里的观测次数是根据样本数据得多的实计数，理论次数则是根据理论或经验得到的期望次数。
这一类检验称为拟合性检验。
拟合性检验的零假设是观测次数与理论次数之间无差异。
其中理论次数的计算一般是根据某种理论，按一定的概率通过样本即实际观测次数来计算。
这里所说的某种理论，可能是经验规律，也可能是理论分布。
确定理论次数是卡方检验的关键。
拟合性检验自由度的确定与两个因素有关：一是分类的项数，二是在计算理论次数时，所用统计量或约束条件的个数，这两者之差即为自由度。
由于一般情况下，计算理论次数时只用到“总数”这一统计量，所以自由度一般是分类的项数减1。
但在对连续数据分布的配合度检验中，常常会用数据个数、平均数、标准差等统计量来计算理论次数，所以此时的自由度应从总分类项中减去更多的个数。
按照检验中理论次数的定义不同，拟合性检验有以下集中应用。
二、检验无差假设所谓无差假设，是指各项分类的实计数之间没有差异，也就是说各项分类之间的概率相等（均匀分布），因此理论次数完全按概率相等的条件来计算。
即任一项的理论次数都等于总数/分类项数。
因此自由度也就等于分类项数减1。
【例1】随机地将麻将色子抛掷300次，检验该色子的六个面是否均匀。
结果1-6点向上的次数依次是，43，49，56，45，66，41。
解：每个类的理论次数是300/6 = 50，代入公式：因此，在0.05的显著性水平下，可以说这个色子的六面是均匀的。
【例2】随机抽取60名高一学生，问他们文理要不要分科，回答赞成的39人，反对的21人，问对分科的意见是否有显著的差异。
解：如果没有显著的差异，则赞成与反对的各占一半，因此是一个无差假设的检验，于是理论次数为60/2=30，代入公式：所以对于文理分科，学生们的态度是有显著的差异的。
三、检验假设分布的概率这里的假设分布可以是经验性的，也可以是某理论分布。
公式中所需的理论次数则按照这里假设的分布进行计算。
【例3】国际色觉障碍讨论会宣布，每12个男子中，有一个是先天性色盲。
从某校抽取的132名男生中有4人是色盲，问该校男子色盲比率与上述比例是否有显著差异？解：按国际色觉障碍讨论会的统计结果，132人应该有132/12=11人是色盲，剩下的121人非色盲，代入公式有：因此，在0.05和显著性水平下，该校男子色盲比率与国际色觉障碍讨论会的统计结果有显著差异，显然根据比例可知该校的色盲率小于国际色觉障碍讨论会的统计结果。
【例4】在英语四级考试中，某学生做对了80个四择一选择题中的28题，现在要判断该生是否是完全凭猜测做题。
解：假如该生完全凭猜测做题，那么平均而言每道题做对的可能性是1/4，因此80个题中平均而能做对80/4=20题，代入公式有：因此，该生可能会做一些题。
四、连续变量分布的拟合性检验对于一组连续数据，经常需要对其次数分布究竟服从哪种理论分布进行探讨，这一方面的主要应用就是在前面经常所提到的总体正态性检验。
首先要将测量数据整理成次数分布表和画出次分布图，并据此选择恰当的理论分布。
这些理论分布是多种多样的，例如有正态分布、均匀分布等。
然后根据选择的理论分布计算出理论次数，就可以计算卡方统计量并进行显著性检验了。
若差异显著，说明所选择的理论分布不合适，可以再选一个理论分布进行检验，直至完全拟合。
当然有时也只需检验是否与某确定的理论分布相符，如正态性检验（参见教材有关内容）。
对连续随机变量分布的吻合性检验，关键的步骤是计算理论次数与确定自由度。
理论次数的计算是按所选理论分布规律，并利用观测数据的有关统计量来计算各分组（次数分布表中）理论次数。
自由度则是用分组数减去计算理论次数时所用统计量的数目。
这种拟合性检验计算较为繁琐，不做要求。
五、小理论次数时的连续性校正卡方检验中，当某分类理论次数小于5时，卡方统计量不能很好地满足卡方分布，此时需要对卡方统计量进行校正，称为卡方的连续性校正，其公式如下：尽管采用此方法校正后，卡方统计量能较为接近卡方分布，不过我们仍然建议在实际中最好增大样本的容量，尽量减少出现这种不大服从理论分布的情况。
第二节独立性检验卡方检验还可以用于检验两个或两个以上因素（各有两项或以上的分类）之间是否相互影响的问题，这种检验称为独立性检验。
例如要讨论血型与性格的关系，血型有A、B、AB、O四类，性格采用心理学上的A型性格来划分，即有A型和B型两种，每个人可能是它们之间交叉所形成的8种类型中的一种，那么倒底它们之间有不有关系，就可以用卡方独立性检验。
卡方独立性检验用于检验两个或两个以上因素（各有两项或以上的分类）之间是否相互影响的问题。
所谓独立，即无关联，互不影响，就意味着一个因素各个分类之间的比例关系，在另一个因素的各项分类下都是相同的，比如在血型与性格关系中，如果A型性格人群中各血型的比例关系，与B型性格人群中各血型的比例关系相同，就可能说血型与性格相互独立，当然这里的“两者比例相同”在统计的意义下，应表述为“两比例差异不超过误差范围”，因为就算总体之间相互独立，收集到两个比例完全相同的样本的可能是很小很小的，甚至是不可能的。
相反，若一个因素各个分类之间的比例关系，在另一个因素的各项分类下是不同的，则它们之间相关。
假如A型性格中A型血的比例高于B型性格中A型血的比例，而且达到显著水平，那么就可以说血型与性格之间相关，不相互独立。
卡方独立性检验的零假设是各因素之间相互独立。
因此理论次数的计算也是基于这一假设，具体计算时，采用列联表的方式，后面将举例说明。
【例1】某校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成下表，表中彩色格子里的数是原始数据的汇总数，括号内的数是理论次数（是按下面将要介绍的原理计算得来的），此外的是原始数据。
性别(因素2)课外活动内容(因素1)小计和(fx) 体育文娱阅读男生21(15.3) 11(10.2) 23(29.5) 55女生 6(11.7) 7(7.8) 29(22.5) 42小计和(fy) 27 18 52 97由于所有学生参加三项活动的比例是27:18:52，因此如果课外活动的选择与性别没有关系的话，男女生参加这三项活动的比例也应是这同一比例，而男女各自的人数可以计算，所以每格内的理论次数的计算方法如下：男生中参加体育活动的理论人数：55×27/97=15.3参加文娱活动的理论人数：55×18/97=10.2参加阅读活动的理论人数：55×52/97=29.5女生中参加体育活动的理论人数：42×27/97=11.7参加文娱活动的理论人数：42×18/97= 7.8参加阅读活动的理论人数：42×52/97=22.5我们将行列的小计和分别用f x和f y来表示，总人数用N 来表示时，上述计算理论次数的方法可以表示为：fe ij = fx i× fy j/N所以，卡方独立性检验的公式可以表示如下，其中最后一个式子比较便于计算，fxy 表示每格的原始数据。
由于在计算理论次数时，用了按每个因素分类的小计和（fx 和fy，其个数分别记为R 个和C 个），和总和N ，而总和又可由按每个因素分类的小计和计算得来，因此若从总分类个数R×C中减去R+C，则将总和重复减去了，因此要补1 个自由度回来，所以最终独立性检验的自由度表示为：上述例题最终计算得：或者：这两个公式的计算结果有一点点差异，这完全是计算误差即四舍五入引起的。
df = (3-1)(2-1) = 2，而χ20.05(2) = 5.99，所以在0.05的显著性水平下，拒绝零假设，即可以认为性别与课外活动内容有关联，或者说男女生在选择课外活动上存在显著的差异。
四格表独立性检验对于两个都只作两项分类的因素，它们的数据整理成的是一个2×2 的表格，一般称为四格表，对于四格表教材里给出了一个更简洁的公式：公式中，a、b、c、d的规定要求是a和d必须呈对角线。
该公式的含义非常明确，即当对角线单元格中的次数差异越大时，卡方检验越容易显著，自然也就意味着两变量间的关联越密切。
掌握了一般的R*C表计算后，四格表计算相对简单地多。