高思奥数导引小学六年级含详解答案第03讲 方程解应用题
六年级思维导引1-3讲答案
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第三讲 递推计数
提高巩固 1. 一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这 10 级台阶，一共可以有 多少种不同的走法？
2. 小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
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3. 用 l×2 的小方格覆盖 2×7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
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3. 10 名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一 场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名 多 20 分，第四名得分与后四名所得总分相等，问：前六名的分数各为多少？
2
5．定义运算符号“△”满足： ab
ab 计算下列各式： ab
(3) (1 2)3 1(23)
(1) 100△102;
(2) (3△4) △5
6．已知 333
111 54 55 56 57 58 :□ 37 : ，那么方框所代表的数是什么？ 112 4567 8
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超常挑战
6 9 11 6 3 17 4 2 3 13 13 12 1. 1 (2 ) 7 3 2 33 4 17 3 4 3 2 1 7 11 21
2. 定义运算“Ω”满足： ①a1 a, ②an 2 [a(n 1)] a. 已知m4 30 。问： (1)m 等于多少？ (2)m Ω 8 等于多少？
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2. 用 10 个 1×3 的长方形纸片覆盖一个 10×3 的方格表，共有多少种覆盖方法？
高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲 递推计数
第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？例2．用10个13⨯的长方形纸片覆盖一个103「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？练习2、用7个12⨯的长方形纸片覆盖一个72例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量．．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D ．如下图，最开始时，球在A 手上，第一次传球由A 传给B 、C 、D ，也就是第一层有三个字母就够了．然后B 、C 、D 都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到836561 个字母，这要多大的一个树形图啊！可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？BC DACDABDABCAB C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．例6．圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽．不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序．这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法．假设有n 片，移动次数是()f n ．显然(1)1f =，(2)3f =，(3)7f =，且(1)2()1f k f k +=+．此后不难证明()21n f n =-．64n =时，64(64)2118446744073709551615f =-=．假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年．这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年．真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭．课 堂 内 外作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？5. 用8个的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？12第五讲 进位制问题例题：例7． 答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解： （1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10． 答案：212．a =5、b =5、c =2例11． 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12． 答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。
六年级数学下册1数与代数_第03讲简易方程(学生版)(北师大)
高思爱提分演示（KJ)初中语文学生辅导讲义[学生版]学员姓名寒假班年级初一辅导科目初中语文学科教师李红娟上课时间2020-02-05 08:00:00-09:00:00课前小测课程目标知识图谱字母及方程知识精讲一、用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系时，可以先把字母看成一个实际的数，找出题中的数量关系，再用含有字母的式子表示出来．二、化简含有字母的式子运算乘法分配律可以把含有字母的式子化简，即．（其中x是字母，a、b既可以是字母，也可以是数）用字母表示数及数量关系例题例题1、一套衣服，上衣x元，比裤子贵120元，用含有字母的式子表示，这套衣服共________元；当x＝300时，这套衣服共________元．例题2、三个连续偶数，中间一个是m，另外两个分别是________和________．例题3、用“*”表示一种新运算，它是这样定义的：A*B＝A×B－（A＋B），则3*6＝________．例题4、一个等腰三角形两条相邻边的长度分别是a厘米和b厘米，用含有字母的式子表示这个三角形的周长可能是________厘米或________厘米．如果当a＝4，b＝8时，这个三角形的周长是________厘米．例题5、一个三位数，百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是8．你能用式子表示出这个三位数吗？例题6、把边长为1厘米的正方形按下图的规律拼搭．则第6个图形由________个正方形拼成，第10个图形的周长是________厘米．随练随练1、工地原有沙子200吨，每天运走a吨，运了4天，剩下的沙子要5天运完，平均每天要运________吨．当10a=时，剩下的沙子平均每天要________吨．随练2、三个连续的自然数，最小的一个数是b，则最大的一个数是________．随练3、一种定义新运算：假设*()()=+⨯-，算13*5=________，13*(5*4)=________．a b a b a b随练4、一个等腰三角形的底是12厘米，腰是a厘米，高是b厘米．这个三角形的周长是________厘米，面积是________平方厘米．随练5、一个三位数，它的百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，这个三位数怎样表示？随练6、如图，在棋盘上个棋子摆了一些正方形，第一个正方形（n=1）用了4枚棋子，第二个正方形（n=2）用了8枚棋子，……，依此类推，那么第10个正方形用了多少枚棋子？第n个呢？知识精讲一、形如的方程的解法及方程的解和解方程的意义1、使方程左右两边相等的未知数的解，叫做方程的解．2、求方程的解的过程叫做解方程．3、应用等式的性质1，可以解形如的方程．4、形如的方程的解法：5、判断一个方程解得是否正确，可以把未知数的值代入原方程中进行检验．二、形如和的方程的解法1、应用等式的性质2，可以解形如和的方程．2、和的方程的解法：三、形如的方程的解法解形如的方程时，可以根据等式的性质1，先在方程左右两边同时加上x ，使其转化为形如的方程，再求x 的值．四、形如的方程的解法解形如的方程时，可以根据等式的性质2，先在方程左右两边同时乘x ，使其转化为形如的方程，再求x 的值．四、形如的方程的解法解形如的方程时，可以把ax 看成一个整体，先求出这个整体是多少，再求x 的值．五、形如的方程的解法解形如的方程时，可以先把看成一个整体，再根据等式的性质分步求解；也可以先利用乘法分配律把括号去掉，转化为形如的方程，再求解．解方程例题例题1、解方程．32.618x -= 72560x += 4( 5.6)16.4x -=例题2、解方程． 214315x = 3443x ÷=例题3、解下列方程并检验。
高斯小学奥数六年级下册含答案第03讲_分数计算综合提高
第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分） 二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数 三、 比较与估算 四、 分数裂项 五、 分数数列、数表例1． （1）333399999914444++++； （2）12399234100⨯⨯⨯⨯L ；（3）222111(1)(1)(1)2399-⨯-⨯⨯-L ； （4）111222989899231003410099100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ． 「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？练习1、．11122218181923203420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L例2． （1）19191919019019001900199898989809809800980098⎛⎫++÷⎪⎝⎭；（2）166********1665666999+⨯⨯+；（3）201120122013201220132014201320142015201420152016201020112012201311112010201120122013++++++++-+--+-；（4）515973597315515973155973153795379551153795513795⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 「分析」约分和换元法．练习2、（1）； （2）．例3． 算式1111111111234567891011+++++++++结果的小数点后第2013位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．练习3、算式：的计算结果，小数点后第2012位是数字多少？例4． （1）111112334455620122013+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； （2）11111133557791315+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； 11111111112345678910+++++++++ 1352463694812261048126121881624⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2020202002002000200013202013131313013013001300201313⎛⎫++÷⨯⎪⎝⎭（3）357911131517192612203042567290-+-+-+-+；（4）48121620242832315356399143195255-+-+-+-．「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．练习4、（1）； （2）．例5． 已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：11(1)()a b ab a b A *=+++，已知2*3=14，那么： （1）A 等于多少？（2）计算()()()()12345699100*+*+*++*L ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：11； 21，12； 31，22，13； 41，32，23，14；51，42，33，24，15； … … … … … … … …． 根据前五行数所表达的规律，19911949这个数位于由上而下的第几行；151119209239261220210240++++++L 111112446688101618+++++⨯⨯⨯⨯⨯L在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．作业1. 计算：．2. 算式结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3. 计算：．4. 计算：．5. 将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？11112345222235643333567444445678L LL LM M M M O11111123234345456111213+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 11113353537+++⨯⨯⨯L 1111111136789101112+++++++ 11122233388923103410451091010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、1100、5099、2475． 解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．解答：（1）191010119010011900100019819983398101019801001980010001199819⨯⨯⨯⎛⎫=++⨯=⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭原式； （2）()166566616641665666166416656661664116656669991664166699916646661665+⨯+⨯+⨯===⨯++⨯+⨯+；（3）12312312312333332010201120122013=11112010201120122013++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-原式66662010201120122013==611112010201120122013-+--+-；（4）设：59733795X =+；515973153795Y =++，()1515151515151Y X Y X Y X ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9． 答案：4；448773．解答：首先，不考虑：12、14、15、18、110、这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：1110.1428570.1111110.0909090.3448777911++=++=&&&&&&&&，所以第2013位数字是4，注意到18会影响到小数点后第3位，所以循环节是877344．例10． 答案：20114026；715；1110；1617． 解答：（1）111111112011=233420122013220134026=-+-++-=-L 原式； （2）11111111171133513153351315215⎛⎫+++=-+-++-⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭L L ； （3）12233445566778899101223344556677889910111111112233491011111010+++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=L 原式； （4）1335577991111131315151716=1335577991111131315151717++++++++=-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式． 例11． 答案：1；100101． 1136+解答：（1）11(1)()a b ab a b A *=+++；1112323(21)(3)4A *=+=⨯++；A =1； （2）()()()1111100123499100=122399100100101101*+*++*++++=⨯⨯⨯⨯L L ．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是1，第2列分数的分母都是2，第3列分数的分母都是3，第4列分数的分母都是4，……，第1949列分数的分母都是1949，且第1949列、第1949行的分数是11949，所以第1949列，3939行得到的是19911949． 练习：练习1、答案：95．简答：分母是2、3、4、……，的分数之和依次是0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是()0.59.519952+⨯=．练习2、答案：240002197；18． 简答：（1）202020202024000=13131313132197⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭原式；（2）135126108⨯⨯=⨯⨯，……，48121816248⨯⨯=⨯⨯， 135246369481212610481261218816248⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯练习3、答案：5．简答： 小数点后第2012位只与11113679、、、有关，而111=362+，11=0.25396879&&+，20126÷余2，所以，2012位是5． 练习4、答案：940；1021． 简答：（1）11111112=2446161829⎛⎫=-+-++-⨯ ⎪⎝⎭L 原式；（2）11111=111=151=14262401515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 原式．作业6. 答案：22.5．简答：11122233388923103410451091010112123129233444101010112313419102324210212392222191022452⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯=+⨯+⨯++⨯=++++⨯=⨯=L L L L L L L L7. 答案：第666位、2013位数字分别是0、8．简答：同例3的算法． 8. 答案：1837．简答：111133535371111111233535371112371837+++⨯⨯⨯⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=L L ．9. 答案：77312．简答：： 111111232343454561112131111111()21223233411121213111()22121377312+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯=L L ．10. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出394272．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲递推计数
第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的.一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”.那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子.例1.老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇•如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口.如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶•走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系. 可具体从什么样的情形入手呢？练习2、用7个1 2的长方形纸片覆盖一个7 2的方格表，共有多少种覆盖方法？例3.在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可.但现在有100条，画图数并不现实.我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分?下面我们来学习一类很经典的递推计数问题------ 传球问题.例4.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中•请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试.设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D .如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C、D，也就是第一层有三个字母就够了•然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母•再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到38 6 561个字母，这要多大的一个树形图啊！BCD A B D A B C BCD A C D ABC BCD A C D A B D可见画树形图的方案不可行. 但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此. 它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系. 事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量一一树形图每一层分支的数量. 因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数. 请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行. 然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系?练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中.请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法” •“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法.例5. 一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部.简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式. 下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题.例6.圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举. 像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手.那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？课堂内外神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针. 印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔•不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序•这需要多少次移动呢？这里需要递归的方法•假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1) 1 , f(2) 3, f(3) 7，且f(k 1) 2f(k) 1 .此后不难证明f(n) 2n 1 . n 64 时，f (64) 264 1 18446744073709551615 .假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400 秒，平均每年31556952 秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855 年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年•真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取•每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止•那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2 .这样的七位数有多少个？5. 用8个1 2的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？第五讲进位制问题例题:例7.答案：(1) 31023、3735、11B9、7DD ; (2) 257; ( 3) 1742详解： (1)(2) 2 53 0 52 1 5 232(3) 2 12 0 121 12例& 答案：(1) 5； (2) 13121、731详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换； 二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换.例9.答案：15031详解：列竖式计算.例 10. 答案：212. a=5、b=5、c=2例11 . 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量 1克到1023克的所 有重量，此时需要10个砝码.例12 . 答案：1250 257 ;2 1201742 .详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989.练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248. a=5、b=0、c=3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1 ，再根据进位制展开解方程得出b、c 均为0，所以原数十进制是100.4. 答案：22 简答：由题意有abc 3 cba 4 ，其中a、b、c 均小于3，则有9a 3b c 16c 4b a ，化简得8a b 15c，符合条件的a、b、c为2、1、1,化成十进制是22.5. 答案：24简答：由题意有47 a 74 b ,其中a、b 均要大于7,则有4a 77b 4 ,符合条件的最小的a、b为15、9,和是24.。
六年级奥数题列方程解应用题定稿版
六年级奥数题列方程解应用题精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】列方程解应用题训练1.一个分数约分后将是54,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是94.那么原分数是 . 2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是 .3,□,□,□,□,□,□1803.一个长方形的长与宽之比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是 平方厘米.4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元.5.粮店中的大米占粮食总量的73,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的31.这个粮店原来共有粮食 千克.6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 .7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水 克.8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2:3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需 工时.9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.6元,那么,在运输过程中共损坏 套茶具.10.摄制组从A 市到B 市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C 市到这里的二分之一,就到达目的地了.那么A ,B 两市相距 千米.11.A 、B 两地相距30千米.甲骑自行车从A 到B ,开始速度为每小时20千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时48千米的速度也由A 到B ,中途因加油耽误了10.5分钟.结果甲乙两人同时到达B 地.甲出发后多少分钟开始减速的?12.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的101,第二班取走200棵又取走剩下树苗的101.第三班取走300棵又取走剩下树苗的101,照此类推,第i 班取走树苗100i 棵又取走剩下树苗的101.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵有几个班每个班取走树苗多少棵13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了31的时间走上坡路,然后用了31的时间走下坡路,最后用了31的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离.14.兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里? 1. 335268. 设原分数是x x 54,由题意有941151244=--x x ,解得x =67,所以原分数是335268675674=⨯⨯. 2. 12设第二个数是x ,则这八个数可写为3,x ,3+x ,3+2x ,6+3x ,9+5x ,15+8x ,24+13x .由24+13x =180,解得 x =12.3. 630设原长方形的长是14a 厘米,则宽是5a 厘米.由题意可列方程14a 5a +182=(14a -13)(5a +13)70a 2+182=70a 2+117a -169解得a =3,所以原长方形的面积为14a 5a =70a 2=630(平方厘米)4. 55设成本是x 元.根据题意可列方程(x +5)11=(x +11)10,解得x =55(元).5. 4200设原来有粮食x 千克,根据现有大米可列方程,31)600(60073⨯-=-⨯x x 解得x =4200(千克).6. 42设离火车开车时刻还有x 分钟,根据从家到火车站的距离,可列方程)5(6020)15(6030+⨯=-⨯x x ,解得x =55(分钟),所求速度应是30[(55-15)(55-5)]=24(千米/小)7. 200浓度为30%与20%的食盐水混合成25%的食盐水,则30%与20%的食盐水的质量应相同,所以40%与10%的食盐水混合成30%的食盐水有300克.设原有40%的食盐水x 克,则10%的食盐水有300-x (克).由x 40%+(300-x )10%=30030%,解得x =200(克).8. 20设缝纫师做一件衬衣的时间为x ,则一条裤子的时间为2x ,做一件上衣用时为3x .由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x +3(2x )+4(3x )=10(工时). 即20x =10(工时),则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：2(3x )+10(2x )+14x =40x =20(工时).9. 7设共损坏x 套茶具,依题意,得1.6(1998-x )-18x =3059.6,解得x =7.10. 600设BC =x 千米,则AC =(x +1)千米,依题意,得x x x x ++=+++)1(31400)100(31 解得x =250,两地相距(x +1)+x =2x +1=600(千米).11. 设甲出发后x 分钟开始减速的,依题意,得 2030601)605.10604830(1560=⨯-++⨯⨯+x x .解得x =36(分钟). 答:甲出发后36分钟开始减速.12. 设这批树苗有x 棵,则第一班取走树苗(100+)10100-x 棵,第二班取走 树苗10)1010100(200200-+--+x x 棵.依题意,得10)10100100(20020010100100-+--+=-+x x x ,解得x =8100,于是第一班取走的棵数,也就是每个班取走的棵数为900101008100100=-+,参加栽树的班数为99008100=,所以这批树苗有8100棵,共有9个班,每个班取走的树苗都是900棵. 13. 设汽车从甲到乙所用时间为3x 小时,依题意,得60153504040504545+=++x x x x ,解得x =5,故甲、乙两地的距离为40x +50x +45x =135x =675(千米).14. 设哥哥步行了x 千米,则骑马行了51-x 千米.而弟弟正好相反,步行了51-x 千米,骑马行x 千米,依题意,得1245112515x x x x +-=-+,解得x =30(千米).所以两人用的时间同为437476123051530=+=-+(小时)=7小时45分.早晨6点动身,下午1点45分到达.。
六年级奥数列方程解应用题含答案
列方程解应用题知识框架方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、列方程解应用题的要点（1）设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.（2）翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.（3）等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.二、列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.重难点（1）重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2）难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论例题精讲一、列一般方程解应用题【例 1】已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题【难度】1星【题型】解答【解析】设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：15x+x+8+x+10=35×3， 解得x=29.所以每个篮球x+10=29+10=39元.【答案】29【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x 人，5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块．【答案】70【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为122aa-，则分子、分母都减去19为19191==(122)191035a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389方法二：设这个分数为变化后为5a a ，那么原来这个分数为19519a a ++，并且有(19)(519)a a +++=122, ，解得.=14．所以原来的分数是3389． 【答案】3389【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a 的2倍．求这个自然数．【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由题意知()()878181172174,a a +⨯+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．【答案】1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=38再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有92828=-++axa x把a=38代入，得938283828=⨯-+⨯+x x解得x=20.【答案】20【巩固】 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65米，乙从B 出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在 正方形的哪一条边上？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设追上甲时乙走了x 分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x ＝65x+270.解得7270=x .在这段时间内乙走了712777727072=⨯（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上. 【答案】DA 边上二、 列一般方程组解应用题【例 4】 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设用x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底.⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 43216150解得x y ==⎧⎨⎩8664 所以86张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设乙车运x 箱，每箱装y 个苹果，列表如下：车别 甲 乙 丙 箱数 x ＋4 x x －4 每箱苹果数y －3yy ＋5（x+4）（y-3）-xy=3 xy-（x-4）（y+5）=5化简为： 4y-3x=15, ①5x-4y=15,②①+②，得：2x=30，于是x=15． 将x=15代人①或②，可得：y=15．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个． 三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．【答案】673【例 5】 有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x 、y 、z 、w ，⎧⎨⎩①+②+③十④得：2(x +y+z+w )=90， 则3x y z w+++=15…………………………………………⑤①-⑤得：2143x = , x =21； ④-⑤得：223z =， z=3； 所以最大年龄与最小年龄的差为x w - =21—3=18(岁) 【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据题意，设面值20分的x 张，面值40分的y 张，面值50分的z 张，可列方程得152********x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得672x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20分的6张，40分的7张，50分的2张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x 人，二等奖y 人，三等奖z 人，可列方程得632229422x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得125x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x 根，5米管子y 根，可列方程得3578x y +=解得260x y =⎧⎨=⎩或213x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或119x y =⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩所以共有6种取法.【答案】6【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x 个，2分有y 个，1分有z 个，可列方程得52100x y z ++=5分取20个，有1种.5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩.但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足．那么男职工数只能为12名.【答案】12【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.4，3.6……，即7x +8y =34，36，37，38，39. 将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．【答案】3.4【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①、②，得将③代入①，得x ＝4.8所以汽车站每隔4.8分钟发一班车 【答案】4.8【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x 千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y 千瓦时电，可列方程得8533x y +=解得15x y =⎧⎨=⎩所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.【答案】51；45【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l ＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．【答案】3【巩固】 一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A ．请问有多少学生只答对B?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设不只答对A 的为x 人，仅答对B 的为y 人，没有答对A 但答对B 与C 的为z 人．解得：253233x y z x-⎧=⎪⎨⎪=-⎩，,6,y z x ≥≥x =7时，y 、z 都是正整数，所以7,6,2x y z ===. 故只答对B 的有6人． 【答案】6课堂检测【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）解得x ＝500所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）【答案】600【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x 个男生和y 个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y ），化简后得8x=7y.从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x ＝21，y=24. 【答案】21；24【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31． 又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7． 60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．【答案】31；7【随练4】在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题【难度】4星【题型】解答【解析】设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a，b，c，d，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y．有(①+③)×2一(②+④)，得310()x c d=+，即10()3x c d =+设骑自行车的在t时遇见骑助力车的，则(12)(), x t c d=-⨯+即10123t-=，所以1153t=．所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的．【答案】15时20分家庭作业【作业1】甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.【答案】6【作业2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26.解得x=14.所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）.【答案】286【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次.根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=41－3y.显然y 越小，x 越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5.【答案】5【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x 个，摸出标有数字3的y 个，摸出标有数字5的z 个，可列方程得23543x y z ++=，x 最大为所求.解得2010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，摸出标有数字2的最多为20个.【答案】20【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x ，晚上见面的次数为y ，可列方程得3561x y +=白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x 最大为所求.解得125x y =⎧⎨=⎩所以，波斯猫至少叫125327+⨯=（声）. 【答案】27【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．【答案】13。
六年级【小升初】小学数学专题课程《列方程解应用题》(含答案)
21.列方程解应用题知识要点梳理一、列方程解应用题的意义列方程解应用题就是用字母表示实际问题里的某个未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，即方程。
二、列方程解应用题的一般步骤1.审题：了解题中的已知条件和未知量，明确各个数量之间的关系，找出等量关系。
2.设：用字母表示题中的一个未知量，并用含该字母的代数式表示其他的未知量。
3.列：找出能够表示应用题全部含义的一个数量关系，列出方程4.解：解列出的方程5.答：检验所求的解是否符合题意，写出答案。
列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系。
方法：（1）直接设未知数；（2）间接设未知数。
途径：（1）根据关键句设未知数；（2）根据单位“1”设未知数；（3）根据公式设未知数。
考点精讲分析典例精讲考点1 直接列方程解应用题【例1】甲和乙一共有100元钱，甲用去49，乙用去27后，两人一共还剩下60元，甲原来有多少钱？【精析】设甲原有x 元，则乙原有（100－x ）。
甲剩下的钱可以用x×(1－49)元表示，乙剩下的钱可以用(100－x)×(1－27)元表示，然后根据两人一共剩下60元列出方程。
【答案】设甲原有x 元，则乙原有(100－x ）。
x ×(1－49)+(100－x)×(1－27)=605x +(100−x )×(1−2)=60 x =60答：甲原来有72元钱。
【归纳总结】此题比较简单，直接设未知数即可，利用两个等量关系设未知数和列方程。
考点2 间接列方程解应用题【例2】东方小学体育室的足球个数是篮球的3倍，体育课上，每班借6个足球，5个篮球，篮球借完时，还有72个足球。
体育室里原有足球和篮球各多少个？【精析】设班级数共为x个，那么借出的足球为6x个，借出的篮球为5x个。
【答案】设借球的班级数为x个。
5x×3=6x+729x=72x=8篮球：5×8=40个足球：40×3=120个答：体育室里原有足球120个，篮球40个。
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第
兴趣篇
1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知 厘米， 厘米， 厘米，求图形的面积。
【分析】
2. 如图所示， 等于多少度？
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 ，列方程得
，
所以
3. 如图，平行四边形 的周长为75厘米。以 为底时高是14厘米，以 为底时高是16厘米。求平行四边形 的面积。
【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以 ,因此 ,平行四边形 的面积是 平方厘米
4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平方米、 平方米和 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
【分析】 ,因此 , , ,所以 , ,因此 ,那么它的面积是 平方米
【分析】
从A点向BC做垂线交BC于F点，交BD于H点。
三角形ABH面积等于三角形CDE的面积，又四边形AEDH为平行四边形。
所以三角形AED的面积=75-45=30。
7. 在长方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的点，将长方形的四个角分别沿着 、 、 、 对折后， 点与 点重合， 点与 点重合。已知 =3， =4，求线段 与 的长度比。
2. 如图， 是正五边形， 是正三角形， 等于多少度？
【分析】 ,因为 ,所以 ,因此
3. 一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
【分析】设 ，有 ，解得 ，所以 平方厘米
4. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。请问：图中阴影部分的面积是多少？
5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。那么，正方体盒子的底面积是多少？
【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为 .根据公式可知，空白处面积 黄 绿 红 ，则正方形盒底面积是 .
12. 如图，在三角形 中，三角形 的面积是1，三角形 的面积是2，三角形 的面积是3，则四边形 的面积是多少？
【分析】连接 ,设 ， ,所以 ，则
有 , ，所以 ，因此
◇
1. 如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形。请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？
【分析】设 、 分别为 、 的中点，连接 、 、 ．
可得 ，
对角线 被 、 、 平均分成四段，又 ∥ ，所以 ， ，
所以 (平方厘米)， (平方厘米)．
同理可得 平方厘米， 平方厘米．
所以 (平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为 (平方厘米)．
10. 如图，在三角形 中， = ， 是 的中点，三角形 的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？
所以
，ห้องสมุดไป่ตู้ 。
所以
所以长方形的面积为52。
（第9届日本算术奥林匹克决赛试题）
8、如图，正方形 有三个顶点分别在三角形 的三条边上，且 。请求出正方形 的面积。
【分析】
令整个三角形ABC的面积为1
根据鸟头模型可知
则
所以
将三角形c与三角形d分别以逆时针和顺时针旋转90°即可以得到一个新的四边形。
这个心的四边形的面积为：b+c+d=7×6÷2+9×2÷2=30。
【分析】如图，阴影部分的面积等于 ，所以，设大长方形的长为 厘米，宽为 厘米，则有： 的长度为： 所以，阴影部分的面积为 (平方厘米)
5. 三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。
【分析】将中间的正方形卡片往左移动，可得到新的下右图的长方形盒子
第
兴趣篇
1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知 厘米， 厘米， 厘米，求图形的面积。
【分析】
2. 如图所示， 等于多少度？
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 ，列方程得
，
所以
3. 如图，平行四边形 的周长为75厘米。以 为底时高是14厘米，以 为底时高是16厘米。求平行四边形 的面积。
【分析】如图，添加辅助线，长方形被分成了12份。
梯形占5份，所以，
梯形面积=60÷12×5=25（平方厘米）
2. 如图， 是三角形 内一点， 平行于 ， 平行于 ， 平行于 ，四边形 的面积是12，四边形 的面积是15，四边形 的面积是20。请问：三角形 的面积是多少？
【解析】
本题主要应用：夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比（等高）。
6. 如图，在三角形 中， 和 平行， 和 平行， 和 平行。已知 ： ： =4:3:2，那么 ： ： 和 ： ： 分别是多少？
【分析】连接 ,设 ，则 ， ，那么 ， ，根据相似 ,所以 ,则 ，又 ,所以 ， ,因此 ，那么 ，因此
7.如图，已知三角形 的面积为1平方厘米， 、 分别是 、 边的中点，求三角形 的面积。
6. 如图，三角形 的面积为1。 、 分别为 、 的中点。 、 分别为 边上的三等分点。请问：三角形 的面积是多少？三角形 的面积是多少？
【分析】连接 , , , ,所以 ,设 ，则 ,所以 ，因此 ，即 ，所以 ，
7. 如图，梯形 的上底 长10厘米，下底 长15厘米。如果 与上、下底平行，那么 的长度是多少？
【分析】因为 是 的中线，所以 ,设 ，根据梯形蝴蝶定理有 ，所以 所以
8. 在图中的正方形中， 、 、 分别是 、 、 的中点。请问：三角形 的面积是三角形 面积的几倍？
【分析】设正方形的面积为 ，则 , ,所以 ,因此三角形 的面积是三角形 面积的 倍
9. 如图， 是平行四边形，面积为72平方厘米， 、 分别为边 、 的中点，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。那么，正方体盒子的底面积是多少？
【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为 .根据公式可知，空白处面积 黄 绿 红 ，则正方形盒底面积是 .
【分析】如图，阴影部分的面积等于 ，所以，设大长方形的长为 厘米，宽为 厘米，则有： 的长度为： 所以，阴影部分的面积为 (平方厘米)
5. 三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。
【分析】因为 是 的中线，所以 ,设 ，根据梯形蝴蝶定理有 ，所以 所以
8. 在图中的正方形中， 、 、 分别是 、 、 的中点。请问：三角形 的面积是三角形 面积的几倍？
【分析】设正方形的面积为 ，则 , ,所以 ,因此三角形 的面积是三角形 面积的 倍
9. 如图， 是平行四边形，面积为72平方厘米， 、 分别为边 、 的中点，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
【分析】设 、 分别为 、 的中点，连接 、 、 ．
可得 ，
对角线 被 、 、 平均分成四段，又 ∥ ，所以 ， ，
所以 (平方厘米)， (平方厘米)．
同理可得 平方厘米， 平方厘米．
所以 (平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为 (平方厘米)．
10. 如图，在三角形 中， = ， 是 的中点，三角形 的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？
【分析】连接 ，
根据燕尾定理， ， ,
设 份，则 份， 份， 份，如图所标
所以
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1.如图， 、 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度。问： 、 中阴影部分的周长哪个长？长多少？
【分析】 ， ，因此 的周长大，长了 ,因为两个长方形的长比宽长8厘米，即 ，即 ，所以长了 厘米
【分析】
如图可知，令K为A与B重合的点，L为C与D重合的点。则有：
E为AE中点，且等于EK长度，由于 , ,所以有：
,所以HF=5，EK= ；所以 ，由于 .
所以：
8. 如图，在长方形 中， 。已知 的面积为20， 的面积为16，那么长方形 的面积是多少？
【分析】令 ， ， ， ，则有：
，由于
由 知， ，代入 得： 。
【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以 ,因此 ,平行四边形 的面积是 平方厘米
4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平方米、 平方米和 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
【分析】 ,因此 , , ,所以 , ,因此 ,那么它的面积是 平方米
【分析】连接 ，
根据燕尾定理， ， ,
设 份，则 份， 份， 份，如图所标
所以
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 如图， 、 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度。问： 、 中阴影部分的周长哪个长？长多少？
【分析】 ， ，因此 的周长大，长了 ,因为两个长方形的长比宽长8厘米，即 ，即 ，所以长了 厘米
由于SAIPD:SPHCG=IP:PH
所以，IP:PH=12:15=4:5
同理可推，PD:PE=3:5，FP:PE=4:3