§10.5 磁场对电流的作用

讨论 (1) 线圈所受的力矩 —— 运动趋势
r r r M = pm × B
θ = 0⇒M = 0 稳定平衡 π θ = ⇒ M = Mmax 力矩最大 2 θ =π ⇒M = 0 非稳定平衡
§10.5 磁场对电流的作用
第10章 恒定磁场 章
(2) 载流矩形小线圈受的磁力矩 r r r dM = IdSn × B
I1
I2 R
分析： 解：分析： I2 电流上各 的距离不同， 点距 I1 的距离不同，各 点的电流方向不同， 点的电流方向不同，所以 各点受力大小和方向也不 同。
第10章 恒定磁场 章
a
§10.5 磁场对电流的作用
分割电流元; 分割电流元 电流元处磁场方 向和受力的方向如图； 向和受力的方向如图； 电流元受力大小
Fx = ∫ dFx ,
5.由 由
2 x
Fy = ∫ dFy
2 y
F = F +F
第10章 恒定磁场 章
求安培力。 求安培力。
§10.5 磁场对电流的作用
例：在均匀磁场中，放置 在均匀磁场中， 一半圆形半径为 R 通有电 的载流导线， 流为 I 的载流导线，求载 流导线所受的安培力。 流导线所受的安培力。
I1
dF = I 2 dl B1 sin θ
o a
dFy dF I 2 dl R dFx
x
⊗ B1
根据电流环的对称性， 根据电流环的对称性，找出 dl 在 x 轴下方的一个对称点 dl’
第10章 恒定磁场 章
§10.5 磁场对电流的作用
dl 和 dl’ 在磁场中受 进行分解， 力 dF与 dF’进行分解， 与 进行分解 由对称性可知 dF 与 dF’ 在 x 方向分量大 小相等方向相同， 小相等方向相同，在y 方向分量大小相等方 向相反，相互抵消。 向相反，相互抵消。
= I ( ∫ dl ) × B
b a
b L θ a I B
由于 ∫ d l = L
b a
F = IL × B
F = ILB sin θ
第10章 恒定磁场 章 §10.5 磁场对电流的作用
利用安培定律解题方法 1.分割电流元； 分割电流元； 分割电流元 2.建立坐标系； 建立坐标系； 建立坐标系 3.确定电流元所受的安培力 确定电流元所受的安培力; 确定电流元所受的安培力 4.求分量 Fx、Fy； 求分量
I
o
R F⊙
B
解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电 由均匀磁场中曲线电流受力的结论： 流受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培； 流受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培；
F = ILB sin
第10章 恒定磁场 章
π
2
= 2RIB
§10.5 磁场对电流的作用
例：在无限长载流直导
线旁， 线旁，距 a 放置一半径为 R 通有电流为 I 的载流圆 环，求载流圆环受到的安 培力。 培力。
EF
f3 = I2bB3= I2b
2πa
µ0 I1
4πa
D
I2
E
b
π CF f2 = ∫a I2dlB1 sin 2 2a µ I µII = ∫a 0 1 I2dx = 0 1 2 ln 2 2πx 2π
2a
方向向右
a C
a
F
v v v v v v v 整个线圈所受的合力： 整个线圈所受的合力： F = f1 + f2 + f3 + f4 = f1 + f3 v v ∴ 线圈向左做平动 Q f1 > f3
第10章 恒定磁场 章 §10.5 磁场对电流的作用
DE
f4 = f2
o
x
8.5.2.均匀磁场对载流线圈的作用 . 在均匀磁场中的刚性矩形载流线圈 已知载流线圈受的合力为零 对 ab 段 fab = Il2 B 对 cd 段 fcd = Il2 B 大小相等， 大小相等， 方向相反
l1
d
r B
a
l2 I
ϕ2
φ2
讨论 (1) 上述公式也适用于非均匀磁场。 上述公式也适用于非均匀磁场。 (2) 磁偶极子的势能 (设磁矩与 B 相互垂直时， 设磁矩与 相互垂直时， 为势能零点) 为势能零点 ϕ π /2 A = −∫ Bpm sinϕdϕ = −Bpm ∫ sinϕdϕ ϕ ϕ r r = − pm B cosϕ = − pm ⋅ B = U
8.5 磁场对电流的作用 8.5.1. 磁场对载流导线的作用力 载流导体产生磁场
v v v 安培力 dF = Idl × B
磁场对电流有作用
大小：dF = IdlBsinθ 大小：
v v 方向： 方向：Idl × B
Idl
⊗ dF
θ
B
从 dl 右旋到 B，大拇指指向。 ，大拇指指向。 任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力
在有限过程中， 在有限过程中，磁力所作的功
a
I
l a'
b
r F
b'
A = F(ab) = IBl (ab)
= IB∆S = I∆Φ
2. 磁力矩对转动载流线圈的功
安培力所做的功等于电流强度乘以导线所扫过的磁通量
r r r M = pm × B
M = ISBsin ϕ
§10.5 磁场对电流的作用
在一微元过程中， 在一微元过程中，磁力矩所作的功
r r r r M = ∫ dM = In × B∫ dS r r = IS × B
r r r M = pm × B
适用于任意形状 的平面载流线圈
(3) 磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到和外磁场一致的 方向上。 方向上。
第10章 恒定磁场 章
§10.5 磁场对电流的作用
例1： ：
在均匀磁场 B 中， 一半径为 R、通有电流为 I 、 的环形载流线圈可绕直径 自由转动,求 轴 oo’ 自由转动 求：环形 载流线圈受到的力矩。 载流线圈受到的力矩。
2 1
第10章 恒定磁场 章
§10.5 磁场对电流的作用
第10章 恒定磁场 章
§10.5 磁场对电流的作用
c
b
r fcd
不在一条直线上，不能抵消， 不在一条直线上，不能抵消，为 一对力偶， 一对力偶，产生力矩 d (c) 对 bc 段 fbc = Il1Bsin θ 大小相等， 大小相等， I θ ϕ r r 方向相反 l1 n B 对 da 段 fda = Il1Bsin(π −θ ) a(b)
fab = Il2 B = fcd —— 形成力偶
2π ( a + R cosθ )
I1
o a
R cos α dα
I2 dα R α
dFy dF dl α
dFx
µ0 I
x
⊗ B1
F = ∫ I2
2π 0
µ 0 I1
1 1 − = µ 0 I1 I 2 2 2 a +R
第10章 恒定磁场 章
§直导线磁场中的受力和运动趋势 µ0 I1 解 CD f1 = I2bB1 = I2b I1 方向向左
I1
o a
dFy dF I 2 dl R dFx
F = F +F
2 x
2 y
= Fx
⊗ B1 dl' dF ' dFy '
x dFx '
第10章 恒定磁场 章
§10.5 磁场对电流的作用
F = Fx = ∫ dFx = ∫ dF cosα
= ∫ I 2dlB1 cosα 其中 dl = Rdα
B1 = 2π ( a + R cosα )
第10章 恒定磁场 章
r fab
§10.5 磁场对电流的作用
线圈所受的力矩 M = fcdl1 cosθ = BIl1l2 cosθ = BIS sin ϕ r r r r r r M = pm × B M = IS × B 结论
pm = NIS n0 与电流满足右手定则的法线方向为正向
在匀强磁场中， 在匀强磁场中，平面线圈所受的安培力 为零， 为零，仅受磁力矩的作用
v v v v F = ∫ dF =∫ Idl × B
第10章 恒定磁场 章 §10.5 磁场对电流的作用
讨论 均匀磁场中曲线电流受的安培力， 均匀磁场中曲线电流受的安培力，等于从起点到 终点的直线电流所受的安培力。 终点的直线电流所受的安培力。
F = ∫ dF = ∫ Idl × B
b a b a
第10章 恒定磁场 章
dA = −BIS sin ϕdϕ
负号表示在转动过程中， 负号表示在转动过程中，磁 力矩对载流线圈做负功 dA = BISd(cosϕ) = Id(BS cosϕ)= Idφm
A = −∫ BIS sinϕdϕ = ∫ IdΦ = I∆Φ ϕ φ
1 1
在一有限过程中， 在一有限过程中，磁力矩所作的功
M I
o
B
解：在图示位置中，线圈 在图示位置中， 的磁矩垂直向外； 的磁矩垂直向外； 线圈受力矩方向向上； 线圈受力矩方向向上；
o ⊙R pm
o'
2
M = N I S B sin θ
= I S B sin
第10章 恒定磁场 章
π
=Iπ R B 2
§10.5 磁场对电流的作用
8.5.3 磁力的功 1. 安培力对运动载流导线的功 r B F = IBl 方向向右