2杆系静力分析2.2

2011-3-15
[N] = [N1
N2 ]
T
y EA，l ， p u1,F1 1 2 u2,F2 i x j 右手系
δ u e = δu1 δu2 d FN = EA [N] u e = EA[B] u e dx
[] [ []
]
T
[]
[F]e = [F1 F2 ]T l T δW外 = [F]e δ[u]e + ∫ p[N]dxδ[u]e 0 l δW变 = ∫ (EA[B][u]e )T[B]dxδ[u]e 0
[ ] ∫[
]
[ ]
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下
2011-3-15 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下 单元刚度矩阵 l T k = B EI B dx 0
[ ] ∫[
]
[ ]
和转 角位 移方 程结 果相 同
2011-3-15
12 6l −12 6l 6l 4l 2 − 6l 2l 2 EI = 3 l −12 − 6l 12 − 6l 2 2 6l 2l − 6l 4l
v = [N1 N2 N3 N4 ] d e
EI dv dx2
2
[]
= M( x) =
12EI
积分二次， 积分二次，利用边界条件
2011-3-15
l3 l2 x = 0,v = 1,v′ = 0 可得
x−
6EI
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
x v1 = N1 = 2ξ − 3ξ + 1; ξ = l 2 同理， 同理，可得 N2 = lξ (1−ξ ) 2 N3 = ξ 2 (3 − 2ξ ) N4 = −lξ (1-ξ )
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
i
0
3.2 等直杆单元的单元分析
2-3）总势能 Π =U +Pf 2-4）势能原理列式结果为
−1 GJ 1 −1 l T ke = [FE ]e = ∫0 m( x)[N] dx l −1 1 3）小结
[]
[F]e +[FE]e = [k]e[θ ]e [F ] = 0.5ml[1 1]
4）小结 4-1）单元位移场可用“广义坐标法”建立。 单元位移场可用“广义坐标法”建立。 4-2）形函数“本点1，它点0，任意点总和1”。 形函数“本点1 它点0 任意点总和1”。 4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为
[F]e +[FE]e = [k]e[u]e
满跨均布轴力时
[]
EA 1 −1 ke = −1 1 l
Ee
y GJ，l ， m 2 θ2,M2 θ1,M1 1 i x j 右手系 满跨均布扭矩时
T
3-1）形函数可根据其性质通过试凑来建立。 形函数可根据其性质通过试凑来建立。 3-2）将总势能表为结点位移的函数，可由变分为零 将总势能表为结点位移的函数， 列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。 列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。
[ ][] [ ][]
m
[]
1 T l T Π = d e ∫ [B] EI[B]dx d e 0 2
2011-3-15
[] [] l T d[N] = −[F] [d]e − ∫ (-q[N] + m )dx[d]e 0 dx
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
3-4）单元列式 由势能原理可得 单元刚度方程
3.2 等直杆单元的单元分析
y EA，l ， ３）用虚位移原理列式 p u1,F1 1 2 u2,F2 3-1）虚位移 i x j 设结点虚位移为δ i=1 设结点虚位移为δui （i=1，2）， 右手系 则 δ u=Ｎ1 δ u1＋Ｎ２ δ u２
3-2）外力虚功 l δW外 = ∑Fi δui + ∫ p(x)δudx 3-3）虚变形功 轴力
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
3-5）单元刚度方程 由虚位移原理可得 引入如下矩阵： 引入如下矩阵： 单元刚度矩阵 单元等效荷载
EA 1 −1 k = l l l u [F]e + ∫0 p[N]Tdx = ∫0[B] EA[B]dx[−]1 1 e
3.2 等直杆单元的单元分析
在图示荷载作用下（ 在图示荷载作用下（ 坐标正向为正） 坐标正向为正）外力势为
q
3-3）总势能为
dv P = − F d e − ∫ (−qv + m )dx f 0 dx l T d[N] = − F d e − ∫ (−q[N] + m )dx d e 0 dx
T l
由拉压单元建立
2011-3-15
[d] = [u v]
T
由纯弯单元建立
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
1-2) 单元形函数由3.2.1和3.2.3组合得到 单元形函数由3.2.1和3.2.3组合得到
u u N1 0 0 N2 0 0 [N] = v v v v 0 N1 N2 0 N3 N4 1-3) 任意点位移 d = N de
[]
y EA，l ， p u1,F1 1 2 u2,F2 i x j e T
[FE ]e = ∫0 p(x)[N]Tdx
l
[k]e = ∫0[B]T EA[B]dx
lLeabharlann 则单元刚度方程改写为[F]e +[FE]e = [k]e[u]e
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
2011-3-15
3.2 等直杆单元的单元分析
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
29
3.2 等直杆单元的单元分析
3-5) 小结 3-5-1) 杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。 杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。 3-5-2) 利用虚位移原理或势能原理列式所的结果和 用叠加原理建立的杆端位移-力关系一样。 用叠加原理建立的杆端位移-力关系一样。 3-5-3) 所得单元刚度矩阵对称、奇异（1、3行1、3 所得单元刚度矩阵对称、奇异（ 列是相关的）。 列是相关的）。 3.2.4 考虑轴向变形直杆弯曲单元 1) 单元上任一点的位移 1-1) 单元上任一点的位移包含轴向和横向位移分量
第三章 杆系结构单元分析
最基本的概念都在第三、四章， 最基本的概念都在第三、四章， 因此必须下功夫学好
2011-3-15 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
第三章 杆系结构单元分析
引 言 等直杆单元的单元分析 杆系结构单元分析的实质 杆系结构单元分析子程序
2011-3-15
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
利用边界条件可得 a1＝ u1； a2＝(u2- u1)／l
u1,F1 1 2 u2,F2 i x j 它点处为0 它点处为0 右手系 y EA，l ， 本点处为1 本点处为1 p
将广义坐标代回 u=a1+ a2x，整理后可得 处总和为1 ξ处总和为1 u=(1-x／l)u1+ u2x／l u=(12）形函数及性质 形函数 自然坐标 x x N1 =1- = 1-ξ N2 = = ξ l l 任意点的位移可用形函数表为 1 1 u=(1-x／l)u1+ u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２ u=(12011-3-15 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
2-2) 应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。 应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。
1 du 2 dv 2 拉压 U = ∫ [EA( ) + EI( ) ]dx 20 dx dx2 3) 外力势能 l dv Pf = −∫ [ p⋅ u + q ⋅ v + m⋅ ( )]dx 0 dx
l
2
y EA，l ， 3.2.1 等直拉压杆 p u1,F1 1 2 u2,F2 j 结构中拆出的单元如图所示。 结构中拆出的单元如图所示。 i x 右手系
广义坐标， 广义坐标，边界条件只两个 1）广义坐标法 设任意点位移为 u=a1+ a2x 幂级数简单
2011-3-15 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
式中 d e = u1 v1 2) 应变能 2-1) 应变由两部分 引起：拉压和弯曲。 引起：拉压和弯曲。
2011-3-15
[] [
[ ] [ ][
θ
1
]
u2 v 2 θ 2
2
]
T
du d v [ε ] = 2 dx dx 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
T
3.2 等直杆单元的单元分析
2011-3-15 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2 等直杆单元的单元分析
3.2.3 等直弯曲杆单元 1）杆端位移（不计轴向变形） 杆端位移（不计轴向变形） 6EI T d e = [v1 θ1 v2 θ2 ] l2 2）杆中任意点位移 2-1）设挠度为
[]
12EI 3 l M(x)
x
2-2）由此可见， N1是图示v1=1的挠曲线，因此由 由此可见， 是图示v =1的挠曲线 的挠曲线，
3 2
3）势能原理单元列式 3-1）应变能为
则
2011-3-15
1 l d2v 2 d2 U = ∫ EI( 2 ) dx; 若记 2 [N] = [B] 2 0 dx dx l 1 T T U = d e ∫ [B] EI[B]dx d e 0 2
[]
[]
3-2）外力势能为
哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
1）试凑法 由性质试凑得到 为满足“ 设任意点自然坐标为 ξ ，为满足“本1，它0” 可设 N1=1-ξ ，N2= ξ 。θ = N1 θ 1+ N2 θ 2。 =12）势能原理列式 l P = −(∑Fiθi + ∫ m( x)θdx) 2-1）外力势能 f 2-2）应变能