2019-2020学年人教版九年级数学上学期同步测试专题24-2：点和圆、直线和圆的位置关系

专题24.2点和圆、直线和圆的位置关系（测试）一、单选题1．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P （点 E ，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）A ．OP ＝5B ．OE ＝OFC ．O 到直线 EF 的距离是 4D ．OP ⊥EF【答案】D【解析】 ∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP ⊥EF 即可， 故选：D ．2．如图，O 内切于ABC ∆，切点分别为,,D E F 。

已知0055,60EDF C ∠=∠=，连接,,DE,DF OE OF ，那么B Ð等于（ ）A ．55°B ．50°C ．60°D ．65°【答案】B 【解析】解：∵E ，F 是圆的切点，∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠AEO=∠AFO=90°，∵∠EOF=2∠EDF=255110⨯︒=︒，∴A 18011070∠=︒-︒=︒，∴B 180706050∠=︒-︒-︒=︒故选择：B.3．如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5A B A C ==，6BC =，则DE 的长是( )A B ．5 C D ．5【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，FOA ∴平分BAC ∠， OE BC ⊥， ⊥OD AB ，BE BD =，AB AC =，AO BC ∴⊥，∴点A 、O 、E 共线，即AE BC ⊥，3BE CE ∴==，在Rt ABE ∆中， 4AE ==，3BD BE ==，2AD ∴=，设⊙O 的半径为r ，则OD OE r ==， 4AO r =-，在Rt AOD ∆中，2222(4)r r +=-，解得32r =，在Rt BOE ∆中，OB = BE BD =，OE OD =，OB ∴垂直平分DE ，DH EH ∴=，OB DE ⊥， 1122HE OB OE BE ⋅=⋅，33OE BEHEOB⨯⋅∴===2DE EH∴==，故选D．4．如图，在Rt ABC∆中，90︒∠=C，4AC=，3BC=，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP BC⊥垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP OF-，∵4AC=，3BC=，∴5AB=∵90OPB︒∠=，∴OP AC∵点O是AB的三等分点，∴210533OB=⨯=，23OP OBAC AB==，∴83OP=，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD AC⊥，∴OD BC∥，∴13 OD OABC AB==，∴1 OD=，∴MN最小值为85133 OP OF-=-=，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值1013133=+=，513+=633,∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．5．三角形的外心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点【答案】C【解析】解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，故选：C．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是()A．5≥r≥3B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，当圆A 的半径0＜r ＜3或r ＞5时，圆A 与线段BC 没有公共点；故选D ．7．如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 与小圆相切，已知AB=10cm ，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）A ．25πcmB ．225πcmC ．250πcmD ．2100πcm【答案】B【解析】 连接OC 、OA ，则OC ⊥AB ，在Rt △AOC 中，22221()2OA OC AC AB -===25 ∴环形的面积为2225OA OC πππ-=8．如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则O 的半径为（ ）A ．B ．3C ．4D ．4 【答案】A【解析】设O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE ，∵等边三角形ABC 的边长为8，∴8AC =，60C BAC ∠=∠=︒，∵圆分别与边AB ，AC 相切， ∴1302BAO CAO BAC ∠=∠=∠=︒， ∴90AOC ∠=︒， ∴142OC AC ==， ∵OE AC ⊥，∴2OE OC ==∴O 的半径为故选：A ．9．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AD ＝2，△ABC 的周长为14，则BC 的长为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵△ABC的周长为14，∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14∴2(BE+CE)＝10∴BC＝5故选：C．10．如图，AB为O的切线，切点为A，连接AO BO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，∠的度数为( )连接AD，若36∠=o，则ADCABOA．54o B．36o C．32o D．27o【答案】D【解析】切线性质得到90∠=oBAOo o oAOB903654∴∠=-=QOD OA=∠=∠∴OAD ODAQ∠=∠+∠AOB OAD ODA∴∠=∠=o27ADC ADO故选D11．平面上O与直线1l，2l，3l，4l的位置关系如图.如果O的半径为20 cm，且点O到其中一直线的距离为14 cm，那么此直线为（）A ．1lB ．2lC ．3lD ．4l【答案】B 【解析】因为所求直线到圆心O 点的距离为14cm<半径20 cm ，所以此直线为圆O 的割线,即为直线2l .故选B.12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，AD 、AB 、BC 分别与O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）.A ．133B ．92CD ．【答案】A【解析】连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5-2-MN=3-MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，∴43x=，∴413333 DM=+=.故选A.13．如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I 是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于（）A．180°1 2-βB．180°-βC．90°+ 12βD．90°+β【答案】A【解析】连接IC，∵CD∥OA ，∴∠AOC=∠OCD,∵∠AOC＋∠COB=∠AOB= β ,∴∠OCD+∠COB= β ,∵点I是△OCD的内心,∴∠COI＋∠OCI=11 ()22OCD COBβ∠+∠=,∴∠OIC=180°-(∠COI＋∠OCI)= 180°- 12β ;在△COI与△BOI中，∵OC=OB,∠COI=∠BOI,OI=OI, ∴△COI≌△BOI,∴∠OIB =∠OIC= 180°- 1 2β.故答案为：A.14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤133B．4≤OC≤133C．4＜OC143≤D．4≤OC143≤【答案】B【解析】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤133；故选：B．15．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．25【答案】C【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选：C．16．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解析】连接AI、BI，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB 5∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝5故选：C．17．如图，已知直线y＝34x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】C【解析】解：过D作DM⊥AB于M，连接BD，如图，由题意：B（8，0），C（0，﹣6），∴OB＝8，OC＝6，BC＝10，则由三角形面积公式得，12×BC×DM＝12×OB×DC，∴10×DM＝64，∴DM＝6.4，∴圆D上点到直线y＝x﹣6的最小距离是6.4﹣2＝4.4，∴△ABC面积的最小值是12×10×4.4＝22，故选：C．二、填空题18．如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为___.【答案】11【解析】如图设DE 、BD 、BC 、CE 与I 的切点分别为F. G 、H 、M ，由切线长定理知：BH=BG 、CH=CM 、EM=EF 、FD=DG 、AM=AG ；则AG+AM=AB+AC −BC=11；所以△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11.19．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．【答案】2【解析】直角三角形的斜边13==， 所以它的内切圆半径5121322+-==. 20．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，点D 在边BC 上，5CD =，13BD =.点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的圆P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为________.【答案】132或【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴AB =在Rt △ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴13AD =，当⊙P 于BC 相切时，点P 到BC 的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴PD PH DA AC＝，∴6 1312 PD=，∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，过P作PG⊥AB于G，则PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴AP PG AB AC＝，612=，∴∵CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或故答案为：6.5或21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，0l ，1l ，2l ，3l ，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中0l 与y 轴重合若半径为2的圆与1l 在第一象限内交于点1P ，半径为3的圆与2l 在第一象限内交于点2P ，…，半径为1n +的圆与n l 在第一象限内交于点n P ，则点n P 的坐标为_____．（n 为正整数）【答案】(n 【解析】连接1OP ，2OP ，3OP ，1l 、2l 、3l 与x 轴分别交于1A 、2A 、3A ，如图所示：在11Rt OA P ∆中11OA =，12OP =，∴11A P ===同理：22A P ==33A P ==……，∴1P 的坐标为(，2P 的坐标为(，3P 的坐标为(，……，…按照此规律可得点n P 的坐标是(n ，即(n ，故答案为：(n ．三、解答题22．如图所示，已知矩形 的边 ， ．(1)以点为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何？(2)若以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是什么？【答案】(1)点在内，点在上，点在外；(2)的半径的取值范围是：．【解析】(1)连接，∵，，∴，∴点在内，点在上，点在外；(2)∵以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴的半径的取值范围是：．23．如图，⊙O为∆ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若D为AB的中点，CD=3，AB=8.①求⊙O的半径；②求∆ABC的内心I到点O的距离.【答案】（1）见解析；（2）①⊙O的半径256r=；②∆ABC的内心I到点O的距离为52.【解析】(1)如图，连接AO则∠EAC =∠ABC=1AOC 2∠.又∵AO=BO,∴∠ACO=∠CAO=18019022AOC AOC -∠=-∠ ∴∠EAO=∠EAC+∠CAO=12∠AOC +1902AOC -∠=90 ∴EA ⊥AO ∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）①设⊙O 的半径为r,则OD=r-3，∵D 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∠ADO=90，AD=4∴222AD OD AO +=,即22243)r r +-=（ 解得256r = ②如下图，∵D 为AB 的中点，∴5AC BC ==且CO 是ACB ∠的平分线，则内心I 在CO 上，连接AI,BI,过I 作AC,BC 的垂线，垂足分别为F,G.易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：11112222ABC S AB CD AB DI AC FI BC DI ∆==++ 即1111838552222a a a ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得43a = ∴42553362OI DI DO =+=+-= ∴∆ABC 的内心I 到点O 的距离为5224．如图，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线PO 与⊙O 相交于点A 、B .（1）若∠A ＝30°，求证：P A ＝3PB ；（2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有∠BCP ＝12（90°﹣∠P ）成立.请你写出推理过程.【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析.【解析】(1)连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC=OC ，∠COB=60°，∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径，∴∠OCP=90°，∴∠P ＝90°-∠BOC ＝30°，∴PO=2OC ，∴PB=OB ，∵AB=2OB ，∴AP=AB+PB=3PB ；(2)如图，连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径，∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，∴∠BCP=∠ACO ，∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，∴∠BCP ＝∠A ，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP ＝180°，且∠ACB ＝90°，∴2∠BCP ＝180°﹣∠P ，∴∠BCP ＝12(90°﹣∠P). 25．如图，Rt ACB ∆中，ACB=90∠︒，O 为AB 上一点，O 经过点，与AC 相交于点E ，与AB 交于点，连接EF .(I).如图，若B=30∠︒，AE=2，求AF 的长.(II)如图，DA 平分CAB ∠，交CB 于点D ，O 经过点D . ①求证：BC 为O 的切线；②若AE=3，CD=2，求AF 的长.【答案】(Ⅰ)AF=4；(Ⅱ)①证明见解析；②AF=5.【解析】（Ⅰ）∵AF 为⊙O 的直径， ∴ AEF=90∠︒.∵ACB=90∠︒，B=30∠︒，∴ BAC=60∠︒，∴ AFE=30∠︒，∴AF=2AE=4.（Ⅱ）①连接OD.∵DA 平分CAB ∠，CAD=DAB ∠∠∴，∵OA=OD ，∴ DAB=ODA ∠∠，∴ CAD=ODA ∠∠，∴ OD//AC ，∵∠C=90°，∴ ODB=C=90∠∠︒，即CB OD ⊥，∴BC 为⊙O 的切线.②设OD 与EF 交于点H ，∵AEF=C=ODC=90∠∠∠︒，∴四边形CDHE 为矩形.∴EH=CD=2，OHE=90∠︒.∴ OD EF ⊥.∴EF=2EH=4.∴.26．木匠黄师傅用长3AB =，宽2BC =的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如图1三种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：沿对角线AC 将矩形ABCD 锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案三：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.（1）求出方案一、方案二中圆的半径.（2）在方案三中，设()01CE x x =<<，圆的半径为y .①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？（3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大.【答案】（1）1，65;（2）①见解析；②54;（3）见解析. 【解析】（1）方案一：因为长方形的长宽分别为3、2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1； 方案二：如图2，作ON BF ⊥于N ，OMAB ⊥于M .设半径为r ，在AOM ∆和OFN ∆中， A FON ∠=∠，OMA FNO ∠=∠，∴AOMOFN ∆∆， ∴OM FN AM ON =，∴23r r r r -=-，解得65r =.（2）①∵()01CE x x =<<，∴新拼图形水平方向最大跨度为3x -，竖直方向最大跨度为2x +.类似（1），所截出圆的直径最大为3x -或2x +中较小的.当32x x -<+时，即当112x <<时，()132y x =-； 当32x x -=+时，即当12x =时，1153224y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 当32x x ->+时，即当102x <<时，()122y x =+. ②当112x <<时，()1115332224y x ⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭；当12x =时，1153224y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 当102x <<时，()1115222224y x ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭； ∴当12x =时，方案三中y 最大为54. （3）∵65154<<，∴方案三可取得圆桌的面积最大.。