2017届广东省清远第三中学高三上学期第四次周考数学理试题
最新广东省2017届高三上学期第四次质量检查数学(文)试题
数学 (文)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是A. 1<aB.1≤aC.21<a D. 21≤a 2.i 为虚数单位，则复数341ii-+的虚部为 A. 72-B.72 C. 72i -D. 72i3.下列命题中，真命题是 A. 2,2x x R x ∀∈> B. ,0x x R e ∃∈<C.若,a b c d a c b d >>->-，则D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件4. 已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+n a a nn ，则na n 的最小值为 A. 10 B.1152-C.9D.4275.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=aA.1B.21 C.2 D.416. 已知函数x x x f ωωcos sin 3)(+=（ω>0）的最小正周期为4π，则该函数的图像A ．关于直线x = π3对称 B ．关于直线x =5π3对称 C ．关于点（π3,0）对称 D ．关于点（5π3,0）对称7.已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O的表面积为36π，则O ，P 两点间的距离为A. B. C.3D.68.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A. 6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米9.右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A ．5≥k B ．5<kC ．5>kD ．6≤k10.已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-10012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数x e y =的图像上，那么实数a 的取值范围为A.[)4,eB.[)+∞,eC.[)3,1D.[)∞+，211.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线330x +=垂直，以C的右焦点F 为圆心的圆()222x c y -+=与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为A.4B.2 D.12.已知函数x x x g kx x f ln )(,)(==，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210e ，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a，如果向量b a λ+与b 垂直，则ba λ-2的值为14.一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥侧面中面积最大的是15.圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是16.已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得)(x f ＞－)(x f x '⋅，则实数b 的取值范围是三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17. （本小题满分12分）函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示. （I ）求()f x 的解析式，并求函数(),124f x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在上的值域； （II ）在()=32,1ABC AB AC f A ∆==中，，，求sin 2B .18．(本小题满分12分)在各项均为正数的等比数列{a n }中，108,124321=+=+a a a a ， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式 ；（Ⅱ）记n n na b =，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，底面ABCD 是等腰梯形，.,//BD AC BC AD ⊥ （Ⅰ）证明：PC BD ⊥；（Ⅱ）若2,4==BC AD ，直线PD 与平面PAC 所成的角为 30，求四棱锥ABCD P -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的两个顶点恰好是双曲线131522=-x y 的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点)3,2(),3,2(-Q P ，在椭圆上，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点， ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当B A ,运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()ln af x b x x=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y x =. （I ）求函数()f x 的单调区间及极值； （II ）对()1,x f x kx ∀≥≤，求k 的取值范围.请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （I ）求1C 和2C 的参数方程； （II ）已知射线1:(0)2l πθαα=<<, 将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+, 且1l 与1C 交于O 、P 两点，2l 与2C 交于O 、Q 两点，求OP OQ ⋅取最大值时点P 的极坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈（Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值高三毕业班第四次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.） AADDD DBBCB DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 55 15. ]41,(-∞ 16. 49<b三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）18. 解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的首项为1a ，公比为q （q ＞0），由已知得 ⎩⎨⎧=+=+10812312111q a q a q a a ，则解得31=a 3=q所以数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列， ………………4分即n n n a 3331=∙=- ……………………………………………6分 解法2：等比数列的性质也可以解答。
广东省清远市第三中学高三上学期第四次周考——数学文
广东省清远市第三中学 2017届高三上学期第四次周考数学（文）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1. 设全集为R , 函数的定义域为M , 则为（ ）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．D ．2. 下列命题中，真命题是（ ）A ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 B ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 C ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数D ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数3. 设是虚数单位，复数=（ ）A ．B ．C ．D ． 4. 若，，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．79. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 10. 设是等比数列，则“”是数列是递增数列的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.12. 设函数f’(x)是奇函数的导函数，f （-1）=0，当时，，则使得成立的x 的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题（20分，每题5分） 13.不等式的解集为_____.14.2123n a a a n n +=+，则________.15.在中，，，是边上的一点，，的面积为1，则边的长为________.16.已知直线与函数312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围是_______.三、解答题（70分） 17．（12分）．已知幂函数223*()()k k f x xk N --=∈的图象关于轴对称，且在区间上是减函数，（1）求函数的解析式；（（2）若，比较与的大小；18．（12分）求经过三点A (1,-1)、B (1,4)、C (4,-2)的圆的方程.19．（12分）在中，点的坐标分别是,点是的重心，轴上一点满足，且． （Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．20．（12分）（14分） 已知圆方程为：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量（为原点），求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧棱底面ABCD ，，E 是PC 的中点．ECBD P（Ⅰ）证明平面EDB ；（Ⅱ）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．22.（10分）已知等差数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设2sin 22πn a b n a n n⋅+=，求数列的前项和.参考答案一、BADBC BCADC AA 二、13. 14. 15. 16.三、 17．(1) (2) 当时，，； 当时，，； 当时，，；解：（1）∵幂函数223()()k k f x x k Z --=∈在区间上是减函数，∴，，而，∴只能取0,1或2， 又幂函数223()()k k f x x k Z --=∈的图象关于轴对称，即为偶函数，∴， 故； （2）由（1）知， 当时，，； 当时，，； 当时，，；18．圆的方程为x 2+y 2-7x -3y +2=0. 解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 将A 、B 、C 三点坐标代入,整理得方程组解得∴所求圆的方程为x 2+y 2-7x -3y +2=0. 19．（Ⅰ）；（Ⅱ）66(,[,)-∞+∞．解：（I ）设,因为点是的重心，故点坐标为,由得2222233y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即∴的顶点的轨迹的的方程是 （Ⅱ）设直线与的两交点为,联立：消去得：()2223260k x kmx m +++-=()()()222222443612260k m k m k m ∴∆=-+-=-+>（1） 且212122226,.33km m x x x x k k -+=-=++ 因为四边形为平行四边形，所以线段的中点即为线段的中点，所以点的坐标为，整理得由点在椭圆上，所以22222633126km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得（2） 将（2）代入（1）得，，由（2）得，或，所以的取值范围为6(,[,)22-∞-+∞． 20．解：（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐 标为和，其距离为 满足题意 …1分 ②若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得……3分 ∴，，故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 …………7分 （2）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是 …………9分 ∵，∴ 即， …………11分又∵，∴∴点的轨迹方程是， …13分轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去长轴端点。
【真题】2017-2018年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．2505．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．8007．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2] 11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1 12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵Z=1+i+（1+i）6=1+i+[（1+i）2]3=1+i+（2i）3=1﹣7i，∴在复平面上对应的点P的坐标为（1，﹣7），在第四象限．故选：D．2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：函数y=sin（+2x）=cos2x，它的周期为=π，且为偶函数，故选：C．3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选：D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．250【解答】解：产量在75件以上（含75件）的工人包括第4组和第5组的工人，∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．∴该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为：1000×0.15=150．故选：C．5．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题【解答】解：A={x∈R|≤0}={x|x＜0}，则∁R A={x∈R|x≥0}，即命题p是假命题，当sinx=1时，满足sinx≥1，即命题q是真命题，则p∨（￢q）是假命题，故选：A．6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．800【解答】解：∵=225，=1650，∴=22.5，=165，由165=4×22.5+，解得：=75，故选：B．7．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 【解答】解：由程序框图知，f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x）=e x+xe x，∴f2（x）=f1′（x）=e x+e x+xe x=2e x+xe x；…；∴输出f2017（x）=f2016′（x）=2017e x+xe x．故选：D．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里【解答】解：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．∴S6=378=，解得a1=192．∴该人最后一天走的路程=a1q5==6．故选：C．9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥【解答】解：几何体的直观图如图：由题意可得几何体的底面积为：=3，体积为：V=．故选：B．10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2]【解答】解：（x﹣1）2+（y+1）2的几何意义是P（1，﹣1）到可行域上的点的距离的平方，d min==，最小值为：；由可得B（2，2），最大值为可行域内的第一象限三角形的顶点到P（1，﹣1）的距离的平方：（2﹣1）2+（2+1）2=10，故选：C．11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1【解答】解：圆（x﹣5）2+（y+4）2=4的圆心（5，﹣4），半径为2．抛物线x2=4y的准线方程为：y=﹣1，如图：d为P到y=﹣2的距离，P为抛物线x2=4y上一动点，M为（x﹣5）2+（y+4）2=4上一动点，d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，过P作PN垂直直线y=﹣1的交点为N，有抛物线的定义可知：PF=PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，∵F（0，1），C2（5，﹣4），∴|FC2|==5，∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2=5﹣1所以d+PM最小值为5﹣1，故选：B．12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°可得A（1，0），B（﹣，），由若=x（1，0）+y（﹣，）得，x﹣y=cosθ，y=sinθ，∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+30°），∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴1≤2sin（θ+30°）≤2∴x+y的范围为[1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=5．【解答】解：∵（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则×4=40，求得n2﹣n﹣20=0，∴n=5，或n=﹣4（舍去），故答案为：5．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【解答】解：小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，基本事件总数n=24=16，所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数m=24﹣2=14，∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率：p===．故答案为：．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽2米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2，∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．【解答】解：由题意，圆心到球心的距离为1，∵AB=BC=，AC=6，∴AC的高为，其中一个底角的正弦值为；由正弦定理：2r=；则r=外接球半径R==三棱柱的外接球表面积S=4πR2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．则：当n≥2时，，整理得：S n﹣S n=2S n﹣1S n，﹣1所以：（常数）．所以：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以：，当n=1时，符合通项．故：，所以：，=，=18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则P（A）=×+×+××=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；【解法二】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则事件为“走路线L1遇到3次红灯”，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值为0，1，2；计算P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=，P（X=2）=×=，∴X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×=；（Ⅲ）设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B（3，），∴E（Y）=3×=，由E（X）＜E（Y），∴选择路线L2上班更好些．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b=1，因为椭圆的离心率为，所以e2===，即a2=4，∴椭圆方程为+x2=1；（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=．所以x2=．同理可得，x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）解：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，﹣y1），=（﹣1﹣x2，﹣y2），因为•≤10，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤10，即x12+y12≤11，因为点P在双曲线上，则x1﹣=1，所以x12+4x12﹣4≤11，即x12≤3．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤．因为S1=|AB|•|y2|=|y2|，S2=|OB|•|y1|=|y1|，所以S12﹣S22=y22﹣y12=（4﹣4x22）﹣（x12﹣1）=5﹣x12﹣4x22．由（Ⅱ）知，x1•x2=1，即x2=．设t=x12，则1＜t≤3，则S12﹣S22=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣=5﹣（t+）=5﹣4=1，当且仅当t=，即t=2时取等号，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为f（3）=5﹣3﹣=，f（1）=0，所以f（1）＜f（3）所以S12﹣S22的取值范围为（0，1]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．【解答】（I）解：f′（x）=﹣3x2+2m，m≤0时，f′（x）≤0，∴函数f（x）在R上单调递减，无极值．m＞0时，f′（x）=﹣3（x+）（x﹣），可得：﹣＜x＜时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＜﹣，或x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣，函数f（x）取得极小值，=﹣﹣m．x=时，函数f（x）取得极大值，f=﹣m．（II）证明：当m＞，0≤x≤1时，要证明﹣m＜f（x）＜m﹣．即证明：f （x）﹣＜0．由（I）可得：0＜x＜时，此时函数f（x）单调递增；x＞时，函数f（x）单调递减．①当≥1时，m≥时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤f（1）．这时f（x）﹣＜f（1）﹣|m﹣|=﹣1+2m﹣m﹣（m﹣）=﹣＜0．②当＜1时，＜m＜时，f（x）≤f，∴f（x）﹣≤f（）﹣|m﹣|=﹣2m+．令=t，则t∈，m=．g（t）=﹣2m+=t3﹣+．∵g′（x）=﹣t=t（t﹣3）＜0，∴g（t）在t∈上单调递减，∴g（t）＜g（）=﹣＜0，综上所述：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程（θ是参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．转换为直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（2）设曲线C1上的点P（），则：点P到直线x+y﹣1=0的距离d==．故：d的最大值为．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，必须f（x）﹣8≥0，当x≤﹣1时，﹣（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x；当﹣1＜x≤1时，（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x∈∅；当x＞1时，（2x+2）+（3x﹣3）﹣8≥0，解得x．综上所述，函数的定义域是（﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵f（x）=∴f（x）≥f（1）=4又∵g （x ）=|x +2m |+|x ﹣m |≥|（x +2m ）﹣（x ﹣m ）|=3|m | ∴若∀x ∈R ，∃x 0∈R ，使得f （x ）=g （x 0），都有3|m |≤4， ∴m 的取值范围为[﹣，]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q) ()2b f a-0xx<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
广东省清远市第三中学2017-2018学年高三上学期第一次周考数学(理)试题 Word版含解析
广东省清远市清城区三中2017-2018学年高三第一学期第一次周考 数学（理）试题本卷满分150分，时间120分钟一、选择题（60分，每题5分）1.设全集I R =，集合2{|log 2}A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A ．AB A = B ．A B ⊆C ．A B =∅D ．()I A C B ≠∅2.知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ）A ．14-B ．14C ．12D ．12- 3.知3{(,)|3}2y M x y x -==-，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N =∅，则a =（ ）A ．2或-6B ．-6C ．-6或-2D ．-2 4.设:P 函数1y x =在定义域上是减函数；:,(0,)q a b ∃∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，以下说法正确的是（ ）A ．P q ∨为真B ．P q ∧为真C ．P 真q 假D ．.P q 均为假 5.函数2lg(2)y x x a =-+的值域不可能是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．R6.设246(0)()6(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩则不等式()(1)f x f <-的解集是（ ）A ．(3,1)(3,)--+∞ B ．(3,1)(2,)--+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)(1,3)-∞--7.若[1,2]x ∈，[2,3]y ∈时，22210ax y xy+->，恒成立，则a 的取值范围（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(,1)-∞- C ．[1,)-+∞ D ．(,1)-∞- 8.函数()x f x x a=+的图像关于点(1,1)对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则a b +=（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．32-9.函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．[2,3) D. (2,3)10.知21()21x x f x -=+，则不等式2(2)(4)0f x f x -+-<的解集为（ ）A ．(-1,6)B ．(-6,1)C ．(-2,3)D ．(-3,2)11.设集合2{|230}A x x x =+->，2{|2100}B x x ax a =--≤>，若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4B ．34[,)43C ．3[,)4+∞ D ．(1,)+∞12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，任意实数x 都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，若函数()()log (1)(0,1)a g x f x x a a =-+>≠，在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)(7,)9+∞B ．11(,)(1,3)95 C ．11(,)(3,7)95 D ．11(,)(3,7)73二、填空题（20分，每题5分）13．（5分）设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ______________.14．（5分）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的序号是____________________．15．已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a+2）x+1相切，则a 的值为_________________.16．若线性回归方程为y ＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均 减少__________个单位.三、解答题（70分）17.设a R ∈,函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为A ，{12},B x x =<<,AB =∅求实数a 的取值范围（10分）18. （本小题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件。
广东省清远市第三中学高三上学期第四次周考——物理(
广东省清远市第三中学2017届高三上学期第四次周考物理试题(本卷满分100分，时间90分钟)一、选择题（共48分，每题4分；漏选得2分，多选、错选不得分，其中1-8为单选，9-12题为多选）1．关于电场场强的概念，下列说法正确的是（）A．由E=可知，某电场的场强E与q成反比，与F成正比B．正负试探电荷在同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与试探电荷的正负有关C．电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷正负无关D．电场中某一点不放试探电荷时，该点场强等于零2．关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法中不正确．．．的是（）A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳在椭圆的一个焦点上B.火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相同C.所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相同D. 所有行星的公转周期与行星的轨道的半径成正比3．甲、乙两质点同时开始做直线运动，它们的位移s与时间t的图象如图所示，则（）A．乙物体做减速运动B．甲、乙两物体从同一地点出发C．当甲、乙两物体速度相同时，二者之间的距离为零D．当甲、乙两物体两次相遇时，二者的速度大小不相等4．如图所示，人站立在体重计上，下列说法正确的是A．人对体重计的压力和体重计对人的支持力是一对平衡力B ．人对体重计的压力和体重计对人的支持力是一对作用力和反作用力C ．人所受的重力和人对体重计的压力是一对平衡力D ．人所受的重力和人对体重计的压力是一对作用力和反作用力5．钓鱼岛自古以来就是我国的固有领土，在距温州市约356km 、距福州 市约385km 、距基隆市约190km 的位置．若我国某海监船为维护我国对钓鱼岛的主权，从温州出发去钓鱼岛巡航，到达钓鱼岛时共航行了480km ，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该海监船的位移大小为480km ，路程为356kmB ．该海监船的位移大小为356km ，路程为480kmC ．确定该海监船在海上的位置时可以将该海监船看成质点D ．若知道此次航行的时间，则可求出此次航行的平均速度6．下列说法正确的是A ．温度升高，物体的每一个分子的动能都增大B ．气体的压强是由气体分子间的吸引和排斥产生的C ．当两个分子间的距离为r 0(平衡位置)时，分子力为零，分子势能最小D ．温度越高，布朗运动越剧烈，所以布朗运动也叫做热运动7．某放射性元素经过11.4天有78的原子核发生了衰变，该元素的半衰期为（ ） （A ）11.4天 （B ）7.6天 （C ）5. 7天 （D ）3.8天8．从某一高处平抛一物体,物体着地时末速度与水平方向成α角,取地面处重力势能为零,则物体抛出时,动能与重力势能之比为( )A.sin 2αB.cos 2αC.tan 2αD.cot 2α9.如图所示为汽车的加速度和车速的倒数1v的关系图象。
广东省清远市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣12．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i3．下列函数是偶函数的是（）A．B．y=x3C．D．y=x2+14．如图所示程序框图，输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}的前n项和为，则a3+a17=（）A．36 B．35 C．34 D．336．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．B．2C．3D．47．已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（0，﹣）8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．110．下列正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆是真；B．p：x≠2或y≠3，q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．411．已知数列{a n}满足：，，若{C n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．λB．λC．λD．λ12．定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0，+∞）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a 与b是“和谐关系”的是（）A．B．C．（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]D．|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]二.填空题13．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=______14．已知（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=______．15．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用______年时，它的年平均费用最少．16．已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是______．三.解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R），设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0．（1）求C的值．（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．18．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中==．20．如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上运动，且S=4．△AOB （1）求x1•x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由．21．设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2．（1）求曲线C1、C2的普通方程．（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求△ABO的面积．24．设f（x）=|x|+|1+|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）已知正数a，b，c，当x＞0时，f（x）≥++恒成立，求证：a+b+c≥3．2015-2016学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1【考点】交集及其运算．【分析】由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．2．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】首先由iz=1+i，求出z，根据复数的定义求出虚部．【解答】解：因为iz=1+i，所以z=﹣i+1；所以z的虚部为﹣1；故选C．3．下列函数是偶函数的是（）A．B．y=x3C．D．y=x2+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A.的定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）=﹣﹣x=﹣（+x）=﹣f（x），则函数为奇函数，B．f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），则函数为奇函数．、C．函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数．D．f（﹣x）=（﹣x）2+1=x2+1=f（x），则函数为偶函数，故选：D．4．如图所示程序框图，输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，i=2，a=3，不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后：S=3，i=3，a=12，满足退出循环的条件；故输出的i的值为3，故选：B5．已知数列{a n}的前n项和为，则a3+a17=（）A．36 B．35 C．34 D．33【考点】数列递推式．【分析】前n项和为，当n≥2时，a n=S n﹣S n，代入即可得出．﹣1【解答】解：∵前n项和为，=n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=2n﹣3．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则a3+a17=（2×3﹣3）+（2×17﹣3）=34．故选：C．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图三角形的高，底面为直角梯形．【解答】解：由三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图中等边三角形的高，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为（1+2）×2=3．∴V==．故选A．7．已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（0，﹣）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件，可得m=﹣，再由抛物线方程，注意化为标准方程，可得焦点坐标．【解答】解：双曲线C：x2+2my2=1（m＜0），可得渐近线方程为y=±x，由渐近线垂直可得=1，解得m=﹣，即有抛物线E：y=mx2的方程为x2=﹣2y，可得焦点为（0，﹣）．故选：D．8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由已知可得P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（A∩B）+P（A∩）+P（∩B），解得答案．【解答】解：投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（A∩B）+P（A∩）+P（∩B）=，故选：C9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m 的值为（）A．B．C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由选项知m＞0，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大为8，即3x+y=8由，解得，即A（2，2），同时A也在2mx﹣y﹣2=0上，∴4m﹣2﹣2=0，得m=1，故选：D．10．下列正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆是真；B．p：x≠2或y≠3，q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】A项根据正弦定理以及四种之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该是否正确；C项根据全称和存在性的否定的判断；D项写出一个的否的关键是正确找出原的条件和结论．【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆为“在△ABC中，若A ＞B，则sinA＞sinB”，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆是真，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．11．已知数列{a n}满足：，，若{C n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．λB．λC．λD．λ【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}满足：，两边取倒数可得：=+1，变形为： +1=2，利用等比数列的通项公式可得，代入=2n．由于{C n}是单调递减数列，可得c n＜c n，化+1简整理，利用函数的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：，∴=+1，变形为： +1=2，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴+1=2n，∴=2n，∵{C n}是单调递减数列，∴c n＜c n，+1∴2n+1＜2n，化为：λ＞=，令f（x）=x++3，（x∈[1，+∞））．f′（x）=1﹣=，可知当x≥时，单调递增；而f（1）=6，f（2）=6，∴f（x）的最小值为6，因此的最大值为，∴．故选：B．12．定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0，+∞）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a 与b是“和谐关系”的是（）A．B．C．（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]D．|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]【考点】元素与集合关系的判断．【分析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵，则a＞sina，∴b′==＞0，因此函数b在上单调递增，正确；B．∵a∈，b′=3a2+5a+2=（3a+2）（a+1），∴a∈（﹣2，﹣1）时单调递增；a ∈（﹣1，﹣）时单调递减，因此不符合题意；C．∵（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]，∴b=±，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]，∴b=±（1﹣|a|），b不是a的函数，舍去．故选：A．二.填空题13．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=（2，﹣2）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】根据图形，求出向量、的坐标表示，再求出的坐标表示．【解答】解：根据题意，向量=（4﹣1，3﹣2）=（3，1），=（3﹣4，0﹣3）=（﹣1，﹣3），∴=（3﹣1，1﹣3）=（2，﹣2）．故答案为（2，﹣2）．14．已知（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=2或﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，列出方程•a2﹣•a=6，求出a的值即可．【解答】解：（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为•a2﹣•a=6，即a2﹣a﹣6=0，解得a=2或a=﹣1．故答案为：2或﹣1．15．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】通过记第n年维修费用为a n，计算可知a n=0.1n+0.1（万元），进而可知前n年维修费用A n=（万元），化简可知年平均费用S=++，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：依题意，记第n年维修费用为a n，则a n=0.2+0.1（n﹣1）=0.1n+0.1（万元），则前n年维修费用A n===（万元），故年平均费用S==++，∵+≥2=，当且仅当=即n=10时取等号，∴这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少，故答案为：10．16．已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】正实数a，b满足=3，可得，b+2a=3ab．展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足=3，∴，化为，当且仅当b=2a=时取等号．b+2a=3ab．∴（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2．故答案为：．三.解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R），设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0．（1）求C的值．（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由f（C）=0得sin（2C﹣）=1，结合范围﹣＜2C﹣＜，即可解得C的值．（2）利用向量共线可得2sinA=sinB，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理得a2+b2﹣ab=3，联立解得a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，…f（x）=sin（2x﹣）﹣1，…由f（C）=0得sin（2C﹣）=1，…又∵﹣＜2C﹣＜，…∴2C﹣=，…即C=…（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴2sinA=sinB，…∴b=2a，①…由余弦定理，得a2+b2﹣ab=3，②…∴由①②得：a=1，b=2…∴△ABC的面积为absinC=．…18．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．【考点】平面与平面垂直的判定；空间图形的公理；异面直线及其所成的角．【分析】（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．【解答】（1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN∴M、N、P、Q四点共面．…（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC又AD∩CD=D，∴DE⊥面ACD，又DE∥BC∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD…（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR=ED，连结RC …则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形…∴RC∥EB，又AC∥QM∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，∴由勾股定理得AC=AR=RC=，…∵△ACR为正三角形，∴∠ACR=60°，∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）观察表格数据可知y与x成反比关系，故选y=；（2）令t=，将回归方程转化为线性回归方程解出．【解答】解：（1）y=更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程．（2）令t=，则y=tc+d，原数据变为：∴=（4+2+1+0.5+0.25）=1.55，=（16+12+5+2+1）=7.2．=64+24+5+1+0.25=94.25，=16+4+1+0.25+0.0625=21.3125．∴c=≈4.13．d=﹣c≈0.8．∴y=0.8+4.13 t．∴y与x的回归方程是y=0.8+20．如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上运动，且S=4．△AOB （1）求x1•x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，由y=2x，得tanθ=k=2，=4，能求出x1•x2的值．从而求出sin2θ，由|OA|=，|OB|=，利用S△AOB（2）由M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，得，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程．（3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，由此能推导出中点M到两射线的距离积为定值．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，由y=2x，得tanθ=k=2，∴sin2θ==，∵|OA|=，|OB|=，=|OA|•|OB|•sin2θ==4，∴S△AOB解得x1•x2=2．（2）∵M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=﹣2x2，联立，得，并代入x1•x2=2，得4x2﹣y2=8，x＞0．∴线段AB的中点M的轨迹方程为4x2﹣y2=8，x＞0．（3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，则，∴d1•d2==．∴中点M到两射线的距离积为定值．…21．设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，得到a的具体范围即可；（3）问题转化为只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为．所求切线方程为，即x+y﹣ln2﹣1=0．（2），令f′（x）=0得，x1=1，x2=a﹣1，综上所述，当a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．即所求取值范围是（2，+∞）．（3）假设当a＜1时，在存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可．由（2）知，当a＜1时，函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，∴．所以只需证明f（e）＞e﹣1或即可．∵=由a＜1知，∴f（e）﹣（e﹣1）＞0即f（e）＞e﹣1成立所以假设正确，即当a＜1时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，从而∠FBC=∠FCB，由此能证明FB=FC．（2）由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC=∠EAC=60°，由此能求出AD．【解答】证明：（1）因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=∠DAC．…因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC=∠FBC．…因为∠EAD=∠FAB=∠FCB，…所以∠FBC=∠FCB，…，所以FB=FC．…解：（2）因为AB是圆的直径，所以∠ACB=90°，…又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…∠DAC=∠EAC=60°，…因为BC=6，所以AC=BCtan∠ABC=2，…所以AD==4（cm）．…23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2．（1）求曲线C1、C2的普通方程．（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求△ABO的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），消去参数α可得普通方程．设P（x，y），M（x0，y0），利用P点满足=，可得x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程即为点P的轨迹方程．（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）+=0，利用即可化为直角坐标方程．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联=d|AB|即可得出．立解得A，B，利用S△AOB【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），消去参数α可得普通方程：y2=2x．设P（x，y），M（x0，y0），∵P点满足=，∴x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程可得：4y2=4x，化为y2=x，即为点P的轨迹方程．（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）+=0，化为直角坐标方程：y﹣x+2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣y﹣2=0，解得，，∴|AB|==3．原点到直线l的距离d==．=d|AB|=3．∴S△AOB24．设f（x）=|x|+|1+|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）已知正数a，b，c，当x＞0时，f（x）≥++恒成立，求证：a+b+c≥3．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）显然，x≠0，∴当x≤﹣1时，得，…即﹣x2+1≥0，即x=﹣1；…当﹣1＜x＜0时，得，即（x+1）2≤0，x无解；…当x＞0时，得，即x2+1≤0，x无解；…综上，不等式f（x）≤1的解集是{x|x=﹣1}…（2）∵x＞0，∴f（x）=|x|+|1+|=x++1≥2+1=3， (6)当且仅当x=1时等号成立…∵当x＞0时，f（x）≥++恒成立，∴…∴，∴a+b+c≥3…2016年9月27日。
2016-2017年广东省清远三中高三(上)数学期中试卷和答案(理科)
5． （5 分） 已知： sin （ A． B． C．
6． （5 分）不等式|x﹣5|+|x+1|＜8 的解集为（
A． （﹣∞，2） B． （﹣2，6） C． （6，+∞） D． （﹣1，5） 7． （5 分）函数 y= 的图象可能是（ ）
A．
B．
C． ）
D．
8． （5 分）下列四个命题，其中正确命题的个数（ ①若 a＞|b|，则 a2＞b2
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2016-2017 学年广东省清远三中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（60 分，每题 5 分） 1． （5 分）设函数 f（x）=1﹣ ，g（x）=ln（ax2﹣3x+1） ，若对任意的 x1∈[0， ）
+∞） ，都存在 x2∈R，使得 f（x1）=g（x2）成立，则实数 a 的最大值为（ A．2 B． C．4 D．
15． （5 分）已知函数 f（x） （x∈R）满足 f（﹣x）=4﹣f（x） ，若函数 y= y=f （x） 图象的交点为 （x1， y1） ， （x2， y2） ， …， （xm， ym） ， 则 （xi+yi） =
16． （5 分）设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数 y=f（x）﹣g（x）在 x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称 f（x）和 g（x）在[a， b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若 f（x）=x2﹣3x+4 与 g（x） =2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则 m 的取值范围
12． （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（0，1） ， =（﹣2，k） ，若（ +2 ）∥ ， 则 k=（ ） D．8
广东省清远市第三中学高三数学上学期第四次周考试题
广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（文）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1. 设全集为R , 函数()f x =的定义域为M , 则C M R 为（ ）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2. 下列命题中，真命题是（ ）A ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 B ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 C ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 D ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数3. 设i 是虚数单位，复数321iii++=（ ） A ． i - B ．i C ．1- D ．1 4. 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b d c >B ．a b d c <C ．a b c d >D ． a b c d<5. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8πB ．4πC ．83π D ．43π6. 已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ）A ．d ac =B ．a cd =C ．c ad =D ．d a c =+ 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．158. 一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ）A ．233 B ．476C ．6D ．7 9. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM 10. 设{}n a 是等比数列，则“123a <a <a ”是数列{}n a 是递增数列的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11. 过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x12. 设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） （A ）(,1)(0,1)-∞-⋃ （B ）(1,0)(1,)-⋃+∞ （C ）(,1)(1,0)-∞-⋃- （D ）(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题（20分，每题5分） 13.不等式(12)0x x ->的解集为_____. 14.若数列{}n a 是正项数列，且23n a n n++=+，则12231na a a n +++=+________. 15.在ABC∆中，60A ∠=，BC =D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为1，则AC 边的长为________.16.已知直线()y mx m R =∈与函数312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（70分） 17．（12分）．已知幂函数223*()()k k f x xk N --=∈的图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞上是减函数，（1）求函数()f x 的解析式；（（2）若a k >，比较0.7(ln )a 与0.6(ln )a 的大小；18．（12分）求经过三点A (1,-1)、B (1,4)、C (4,-2)的圆的方程.19．（12分）在ABC ∆中，点,A B的坐标分别是()),,点G 是ABC ∆的重心，y 轴上一点M 满足GMAB ，且MC MB =．（Ⅰ）求ABC ∆的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线:l y kx m =+与轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．20．（12分）（14分） 已知圆C 方程为：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程；（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+（O 为原点），求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.21．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．ECABD P（Ⅰ）证明 ∥PA 平面EDB ；（Ⅱ）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．22.（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n N *∈，35a =，10100S =.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2sin 22πn a b n a n n⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .数学（文）答案 一、BADBC BCADC AA 二、13. 1{|0}2x x << 14. 226n n +3(,)2+∞ 三、17．(1) 4()f x x -=(2) 当1a e <<时，0ln 1a <<，0.7(ln )a <0.6(ln )a ；当a e =时，ln 1a =，0.7(ln )a =0.6(ln )a ； 当a e >时，ln 1a >，0.7(ln )a >0.6(ln )a ；解：（1）∵幂函数223()()kk f x x k Z --=∈在区间(0,)+∞上是减函数，∴2230k k --<，13k -<<，而k Z ∈，∴k 只能取0,1或2， 又幂函数223()()kk f x x k Z --=∈的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，∴1k =， 故4()f x x -=； （2）由（1）知，1a >当1a e <<时，0ln 1a <<，0.7(ln )a <0.6(ln )a ；当a e =时，ln 1a =，0.7(ln )a =0.6(ln )a ； 当a e >时，ln 1a >，0.7(ln )a >0.6(ln )a ；18．圆的方程为x 2+y 2-7x -3y +2=0. 解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 将A 、B 、C 三点坐标代入,整理得方程组解得∴所求圆的方程为x 2+y 2-7x -3y +2=0.19．（Ⅰ）()221026x y y +=≠；（Ⅱ）6(,[,)-∞+∞． 解：（I ）设(),C x y ,因为点G 是ABC ∆的重心，故G 点坐标为,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭,0,3y M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭由MC MB =得2222233y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()221026x y y +=≠ ∴ABC ∆的顶点C 的轨迹E 的的方程是()221026x y y +=≠ （Ⅱ）设直线:l y kx m =+与22126x y +=的两交点为()11,P x y ,()22,Q x y 联立：2236y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：()2223260k x kmx m +++-=()()()222222443612260k m k m k m ∴∆=-+-=-+>（1） 且212122226,.33km m x x x x k k -+=-=++ 因为四边形OPRQ 为平行四边形，所以线段PQ 的中点即为线段OR 的中点，所以R 点的坐标为()1212,x x y y ++，整理得2226,33km m R k k -⎛⎫⎪++⎝⎭由点R 在椭圆上，所以22222633126km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得2223m k =+（2）将（2）代入（1）得20m >，0m ∴≠，由（2）得223m ≥，2m ∴≥或2m ≤-，所以m 的取值范围为6(,[,)22-∞-+∞． 20．解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐 标为()3,1和()3,1-，其距离为32 满足题意 …1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ……3分 ∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+=综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………7分 （2）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x , 则N 点坐标是()0,0y …………9分 ∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =…………11分又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠， …13分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去长轴端点。
广东省清远市第三中学高三数学上学期第四次周考试题理
广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i＝A.6B.7C.8D.95．若，则的大小关系A．B． C． D．6．已知，则的值是A．B．－C．－2 D．27．函数是偶函数，是奇函数，则A．1 B．C． D．8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是A． B.C． D.9.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A.（－1，＋）B.（－2,0）C.（－2，＋）D.（0,1］10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为A． B．C．D．11. 已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是A.B.C.D.二、填空题（20分，每题5分）13．已知14log 7,145,b a == 用,a b 表示35log 70= .14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=1688AB C AA ===，B ，, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ；15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3a =，8b =，C=3π，则边c = ．16三、解答题（70分）17.（本小题10分） 已知函数2lg(34)y x x =+-+的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C（2）若c =ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A ，求点B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-uu r uu r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.数学（理）答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13．1ba b++ 14．164π 15．7． 16三、 17.解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分 ABC∴∆的周长为5........................................................................................................12分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ， 则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q，EF DO ∴==，∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则B ，(1,0,0)C -，E -，(1,BC ∴=-uu u r(0,BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uuu r u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B的横坐标为21cos()cos.332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα= 211(sin cos )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=11(sin 22)42αα=++1sin(2)43πα=+分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅=，即122c ⨯=，,2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=， 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立， 即1m x≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分 综上，实数m的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分11 0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。
广东省清远市清城区2017届高三上学期期末数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析
2016-2017学年广东省清远市清城区高三（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（60分，每题5分）1．若集合A={2，3}，B={x|x2﹣5x+6=0}，则A∩B=（）A．{x=2，x=3}B．{（2，3）}C．{2，3}D．2，32．已知复数z=（i为虚数单位）．则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则tan2α的值为（）A．B．C．D．4．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．10 B．12 C．100 D．1026．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．40B ．30C ．36D ．427．如图所示，点A （1，0），B 是曲线y=3x 2+1上一点，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知矩形ABCD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且BC=2AB=2，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A ﹣FEC 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p≠q ，若不等式＞1恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[11，+∞）B ．[13，+∞）C ．[15，+∞）D ．[17，+∞）10．函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于点对称B ．关于x=对称C ．关于点（，0）对称 D ．关于x=对称11．已知双曲线c ： =1（a ＞b ＞0），以右焦点F 为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN |=2a ，则双曲线C 的离心率是（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0∉A则实数b的取值范围是（）A．0≤b≤4 B．b≤0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b＜0或b≥4二、填空题（20分，每题5分）13．已知向量，满足||=2，||=且（+）⊥，则与的夹角β为．14．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是．15．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．16．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为．三、解答题17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点．（1）求证：CD⊥AB；（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．18．已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．（1）求函数y=﹣af（x）﹣h（x）+x2+2x的单调区间：（2）是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说理由：（参考数据：）19．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．20．以椭圆M： +y2=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x2+y2=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．2016-2017学年广东省清远市清城区高三（上）期末数学试卷（理科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．若集合A={2，3}，B={x |x 2﹣5x +6=0}，则A ∩B=（ ） A ．{x=2，x=3} B ．{（2，3）} C ．{2，3} D ．2，3 【考点】交集及其运算．【分析】直接求解一元二次方程得集合B ，再利用交集的运算性质求解得答案． 【解答】解：由集合A={2，3}，B={x |x 2﹣5x +6=0}={2，3}， 则A ∩B={2，3}∩{2，3}={2，3}． 故选：C ．2．已知复数z=（i 为虚数单位）．则z 的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先对已知复数z 化简，然后求出共轭复数，判断位置．【解答】解：z====7﹣i ；所以=7+i ，对应点（7，1）在第一象限； 故选A ．3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ﹣2y +2=0平行，则tan2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的正切；直线的倾斜角．【分析】由题意可得tanα=，代入二倍角公式ta n2α=可求【解答】解：由题意可得tanα=∴tan2α===故选C4．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．10 B．12 C．100 D．102【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=63时满足条件i＞50，退出循环，输出S的值为10．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1，不满足条件i＞50，执行循环体，S=2，i=3不满足条件i＞50，执行循环体，S=4，i=7不满足条件i＞50，执行循环体，S=6，i=15不满足条件i＞50，执行循环体，S=8，i=31不满足条件i＞50，执行循环体，S=10，i=63满足条件i＞50，退出循环，输出S的值为10．故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．40 B．30 C．36 D．42【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是长方体削去一个三棱锥，截面三角形为等腰三角形，根据长方体的边长计算截面三角形的边长，求出截面的面积，再求几何体的其他各面的面积，然后相加．【解答】解：由三视图知几何体是长为4，宽为2，高为2的长方体削去一个三棱锥，其直观图如图：截面三角形为等腰三角形，腰长为=2，底边长为2，∴截面的面积为×2×=6，∴几何体的表面积S=4×2+×4×2+×2×2+2×2+4×2+×4×2+6=36．故选：C．7．如图所示，点A（1，0），B是曲线y=3x2+1上一点，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形OABC的面积，并将他们代入几何概型计算公式进行解答．【解答】解：将x=1代入y=3x2+1得y=4，故B点坐标为（1，4）S矩形OABC=4而阴影部分面积为：∫01（3x2+1）dx=2故投点落在图中阴影内的概率P==故选A8．已知矩形ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC的外接球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出几何体的外接球的半径，然后求解额居前的体积即可．【解答】解：几何体的外接球就是棱柱的外接球，也就是扩展的正方体的外接球，正方体的边长为1，对角线的长度就是外接球的直径，所求外接球的体积为：=．故选：B．9．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[11，+∞）B．[13，+∞）C．[15，+∞）D．[17，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由＞1的几何意义：得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）在（1，2）内恒成立．分离参数后转化为a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求出a的范围．【解答】解：∵＞1的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故选C．10．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再根据奇偶性求出φ，可得函数的解析式；再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，可得=π，求得ω=2．把f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），再根据得到的函数为奇函数，可得φ﹣=kπ，k∈z，即φ=kπ+，故φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．令x=，求得f（x）=0，可得函数f（x）的图象关于点对称，故选：A．11．已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：连接NF，设MN交x轴于点B∵⊙F中，M、N关于OF对称，∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，设N（m，），可得=，得m=Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（）2+（）2=c2化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2故选：C12．已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0∉A则实数b的取值范围是（）A．0≤b≤4 B．b≤0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b＜0或b≥4【考点】二次函数的性质．【分析】根据已知条件容易求出c=0，并判断出f（x）有非零实根，从而解f（x）=0即可得到A={0，﹣b}．而由f（f（x））=0得到x（x+b）（x2+bx+b）=0，显然0，﹣b是方程的实根，从而判断出方程x2+bx+b=0有实根，并且实根为，从而得到△≥0并b≠0，这样解不等式即得实数b的取值范围．【解答】解：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合；由f（f（x））=0，可得（x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0；∴f（x）=x2+bx；存在x0∈B，x0∉A；∴f（f（x0））=0，而f（x0）≠0；∴x0≠0；∴说明f（x）=0有非零实根；∴解f（x）=0得x=0，或﹣b，b≠0；∴A={0，﹣b}；f（f（x））=（x2+bx）2+b（x2+bx）=x（x+b）（x2+bx+b）；∵存在x0∈B，x0≠A；∴方程x2+bx+b=0有解；∴△=b2﹣4b≥0；又b≠0；∴解得b＜0，或b≥4；∴实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }．故选：D．二、填空题（20分，每题5分）13．已知向量，满足||=2，||=且（+）⊥，则与的夹角β为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0列出关系式，将两向量的模代入求出夹角即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）•=0，即•+||2=0，∵||=2，||=，∴2×cosβ+3=0，即cosβ=﹣，则与的夹角β为，故答案为：14．已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令ln（1﹣x）=0解得x=0，即f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，所以f（x）在[1，+∞）上有1个零点，即﹣a=0在[1，+∞）上有一解，即a的范围为的值域．【解答】解：当x＜1时，令ln（1﹣x）=0解得x=0，故f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．当x≥1时，令=0得a=≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．15．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=5151．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】求出数列{a n}的前8项，由不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=a101，由此能求出结果．【解答】解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．故答案为：5151．16．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为2．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简g（x）=x+﹣1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x﹣1）2+1，从而求函数的最大值．【解答】解：∵g（x）==x+﹣1≥2﹣1=1；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）∴g（x）在x=1处取得最小值1；又∵f（x）与g（x）是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，∴f（x）在x=1处取得最小值1；∴f（x）=x2+px+q=（x﹣1）2+1；又∵|﹣1|＜|2﹣1|，∴f max（x）=f（2）=1+1=2；故答案为：2．三、解答题17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点．（1）求证：CD⊥AB；（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，推导出DE∥BC1，从而D为AB的中点，再由△ABC是等边三角形，能证明CD⊥AB．（2）推出A1A⊥AD，A1A⊥BC，从而A1A⊥平面ABC，设BC的中点为O，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，∵BC1∥平面A1CD，DE=平面A1CD∩平面ABC1，∴DE∥BC1，∴D为AB的中点，又∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB．解：（2）∵，∴A1A⊥AD，又B1B⊥BC，B1B∥A1A，∴A1A⊥BC，又AD∩BC=B，∴A1A⊥平面ABC，设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则，即，设平面DA1C的法向量为，由，得，令x1=1，得，设平面A1CB1的法向量为，由，得，令x2=1，得，∴，故二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值是．18．已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．（1）求函数y=﹣af（x）﹣h（x）+x2+2x的单调区间：（2）是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说理由：（参考数据：）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为m＜e x﹣xlnx对恒成立，令r（x）=e x﹣xlnx，根据函数的单调性求出r（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），．当a≤0时，f'（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）假设存在实数m满足题意，则不等式对恒成立即m＜e x﹣xlnx对恒成立，令r（x）=e x﹣xlnx，则r'（x）=e x﹣lnx﹣1，令φ（x）=e x﹣lnx﹣1，则，∵φ'（x）在上单调递增，，且φ'（x）的图象在上连续，∴存在，使得φ'（x0）=0，即，则x0=﹣lnx0，∴当时，φ（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，φ（x）单调递增，则φ（x）取到最小值，∴r'（x）＞0，即r（x）在区间内单调递增，，∴存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1．19．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求得销售量为1.5吨的概率p=0.5，然后利用二项分布求得其概率．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5，设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），∴．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X=4）=0.22=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.5=0.2，P（X=6）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（X=7）=2×0.3×0.5=0.3，P（X=8）=0.32=0.09，∴X的分布列为：X的数学期望E（X）=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．20．以椭圆M： +y2=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x2+y2=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，从而得到a=，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，此时|PQ|=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与⊙O相切，得m2=1+k2，由，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，∵tan∠OAB=，∴，∴a=，∴椭圆方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得y=，此时|PQ|=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，∵直线l与⊙O相切，∴=1，即m2=1+k2，由，消去y，整理，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（13k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，，∴|x1﹣x2|==．∴|PQ|==|x1﹣x2|=|x1﹣x2|=•=•≤2•=．∴当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．综上所述，|PQ|的最大值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）依题意设A（），B（），将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n 使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．2017年1月30日。
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广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合，，则A．B．C．D．2．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i＝A.6B.7C.8D.95．若，则的大小关系A．B． C． D．6．已知，则的值是A．B．－C．－2 D．27．函数是偶函数，是奇函数，则A．1 B．C．D．8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是A． B.C． D.9.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A.（－1，＋）B.（－2,0）C.（－2，＋）D.（0,1］10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为A．B．C．D．11. 已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是A.B.C.D.二、填空题（20分，每题5分）13．已知14log 7,145,b a == 用,a b 表示35log 70= .14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=1688AB C AA ===，B ，, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ；15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3a =，8b =，C=3π，则边c = ．16三、解答题（70分）17.（本小题10分） 已知函数2lg(34)y x x =-+的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2c o s (c o s c o s )Ca Bb Ac +=. （1）求C（2）若c =ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以椭圆的一个短轴C 方程为222()()()ax a y b b-+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-u u r u u r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.数学（理）答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13．1ba b++ 14．164π 15．7． 16三、17. 解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分 （2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分 18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分ABC ∴∆的周长为5分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ， 则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ， 60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q，EF DO ∴=∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则B ，(1,0,0)C -，E ，(1,BC ∴=-u u u r(0,3)BE ∴=-u u u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分 设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ur u u v uu ur u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴=⋅u v u u vu v u u v u v u u v ，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B 的横坐标为21cos()cos .332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅-11(s i n c o s )c o s 22ααα=+211(s i nc o c o s )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=+11(sin 22)42αα=++1sin(2)43πα=++............................................................9分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S............................................................................12分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅，即122c ⨯=，2,1c a b ∴==所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=， 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+ 222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++ 而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--u u r 22(2,1)CB x y =--u u r， 所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-u u r u u r， 即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=-所以222222124242521111k k k k k k k k ++-⨯+-+=-++++解得0k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x'=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立，即1m x ≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分综上，实数m 的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>=所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。