电动力学 郭硕鸿 第三版 第12次课(2.6 电多极矩)
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章电磁现象得普遍规律1、根据算符得微分性与向量性,推导下列公式:２。
设就是空间坐标得函数,证明:,,证明:3。
设为源点到场点得距离,得方向规定为从源点指向场点。
(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商得关系:; ; ;, 。
(２)求,,, ,及,其中、及均为常向量。
4。
应用高斯定理证明,应用斯托克斯(Sｔokeｓ)定理证明5、已知一个电荷系统得偶极矩定义为,利用电荷守恒定律证明ｐ得变化率为:6。
若ｍ就是常向量,证明除点以外,向量得旋度等于标量得梯度得负值,即,其中Ｒ为坐标原点到场点得距离,方向由原点指向场点、７、有一内外半径分别为与得空心介质球,介质得电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷,求:(１)空间各点得电场;(２)极化体电荷与极化面电荷分布。
8. 内外半径分别为与得无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流,导体得磁导率为,求磁感应强度与磁化电流。
９.证明均匀介质内部得体极化电荷密度总就是等于体自由电荷密度得倍。
１０、证明两个闭合得恒定电流圈之间得相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间得相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)11。
平行板电容器内有两层介质,它们得厚度分别为与,电容率为与,今在两板接上电动势为Ｅ得电池,求:(1)电容器两极板上得自由电荷面密度与;(2)介质分界面上得自由电荷面密度。
(若介质就是漏电得,电导率分别为与当电流达到恒定时,上述两物体得结果如何？)12、证明:(1)当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时,电场线得曲折满足其中与分别为两种介质得介电常数,与分别为界面两侧电场线与法线得夹角。
(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线得曲折满足其中与分别为两种介质得电导率。
13。
试用边值关系证明:在绝缘介质与导体得分界面上,在静电情况下,导体外得电场线总就是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总就是平行于导体表面。
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学习题解答电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符' 的微分性与向量性，推导下列公式：1( A B ) =B ('、A) ■ ( B ^ ) A A (I B) ' (A '、、) B A (∖ A) ∖ A -(A '、) A 2.设U是空间坐标X, y,z的函数，证明:'、f (U)dfUd U：：/∙A(U)=d AU —dU ∖ A (U) =VUd Adu证明:电动力学习题解答3. 设r = (X - χ')亠(y _ y')亠(Z -z') 为源点X'到场点X 的距离，r的方向规定为从源点指向场点。
(1)证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：Ir= 一1 'r = r / r ；I (1 / r) _ -■• ' (1 / r) _ -r / r3；3'、(r/ r ) =0 ；∖ (r / r ) = '(r / r ) = O ，(r = 0)。
(2 )求r ，'∙∙ r，(a •''、) r ，1(a r)，∖ [ E o Sin( k r)]及''、[E O Sin( k r)],其中a、k及E O均为常向量。
,应用斯托克斯(StokeS)定理证明dS = d I”^S ^L4.应用高斯定理证明 f dS f5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为P(t) = Vj(X',t)X'dV',利用电荷守恒定律∖=0证明P的变化率为：Ctd PJ ( X',t)dVdt -V6.若m是常向量，证明除R=O点以外，向量A =( m R)/ R3 的旋度等于标量:护^m R/R3的梯度的负值，即V A --，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7.有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为;,使介质球内均匀带静止自由电荷「f ,求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
郭硕鸿《电动力学》课后答案
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
电动力学课件：2-6-电多极矩法
( x)
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处
理，解析求解。条件 l r 。
r R (x)
Q
4 0 R
2. 1 的麦克劳林展开
r
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
f (x) f (0) 1 df (0) x 1 df 2 (0) x 2
1! dx
2! dx2
(2) 三元函数的麦克劳林展开
f (x) f (x1, x2, x3)
f
(0,
0,
0)
1 1!
(
x1
f
(0, 0, 0) x1
x2
f
(0, 0, 0) x2
x3
f
(0, 0, 0) )
x3
1[ 2!
x12
2
f
(0, 0, 0) x1
x22
2
f
(0, 0, 0) x2
x32
2
电多极矩
z
0
y
x
y
0
a
x
电多极矩
上图椭球方程为：
x2 y2 a2
z2 b2
1
椭球电荷密度为： 0 3Q 4a2b
根据电四极矩公式：
Dij V 3xixj (r)dV
电多极矩
分别可得：
D12 D23 D13 0
D11
D22
1 5
(a2
b2 )Q
D33
2 5
(a2
b2 )Q
1
1[
3xx
(x
)dV
] :
1
4 0 6
R
1
1[
《电动力学》课后题答案_第三版_郭硕鸿
若 S → ∞, 则 ( xj ) ⋅ dS = 0, ( j 同理
(
r ∂ρ ) ∂t
∫
r
r
r
S
= 0)
y
= ∫ j y dV ' , (
r ∂ρ ) z = ∫ j z dV ' ∂t
即
r r r dP = ∫ j ( x ' , t )dV ' V dt
r r r r r m ×R m⋅R r 的旋度等于标量 ϕ = 的梯 6. 若 m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 A = R3 R3
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
'
微商 (∇ = e x
r ∂ r ∂ r ∂ + ey + e z ) 的关系 ∂x ∂y ∂z r r r r r r 1 r r r ' ' 1 ' r ∇r = −∇ r = , ∇ = −∇ = − 3 , ∇ × 3 = 0, ∇ ⋅ 3 = −∇ 3 = 0.(r ≠ 0) r r r r r r r
而 dl φ = (φ i dl x + φ j dl y + φ k dl z )
l l
∫
r
∫
-3-
电动力学电动力学二六(电多极矩)
xkj Dij 3qk xki
k
▲下面主要证明电四极矩 D 的9个分量，只有5个分
量是独立的： a）因为 D12 D21 ， D13 D31 ， D32 D23 。则
D 的9个分量只有6个分量独立。
b) 又令
Dij * (3 xixj r 2 ij ) ( x)d
ρ o
y
V
考虑源点到场点的距离远大于带电区域V 的线度， 在原点附近作泰勒级数展开。 故可将 1 对 x r
在一元函数f (x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒
级数为：
1 2 f ( x) f (0) xf (0) x f (0) 2! 如果在x=a 邻域展开，泰勒级数是： 2 1 f ( x) f (a) ( x a) f (a) ( x a) f (a) 2! 对于三元函数f (x,y,z)，在原点x=0, y=0, z=0邻域
2 r rk 2 k R (1 2 2 cos ) R R
2
x r
rk rk l 令 1 ， 则相对于原点，有 R
qk 1 2 2 p (1 2 cos ) 4 0 k R 1
展开
qk 4 0 k R 1
§2.6 电多极矩(Electric multipole moment)
本节所要讨论的问题是：在真空中，假若激发电场 的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子 核内），而要求的空间是距源电荷较远，这时可以 采用多极矩近似法来解决问题。
1、多极矩的概念
对于带电体系而言，若电荷分布在有限区域V内，
在V中任取一点o作为坐标原点，区域V的线度为l， 场点P距o点距离为R。多极矩法是讨论R>>l情况下
郭硕鸿《电动力学》第三版 课后答案详细解释
证明： （1） f (u )
f (u ) f (u ) f (u ) df u df u df u ex ey ez ex ey ez x y z du x du y du z df u u u df ( ex ey ez ) u du x y z du Ax (u ) Ay (u ) Az (u ) dAx u dAy u dAz u （2） A(u ) x y z du x du y du z d Ay dA dA u u u dA ( x ex e y z ez ) ( ex ey e z ) u du du du x y z du
（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
即
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
方向由原点指向场点。 证明： （ 1 / r ) r / r
3
方法（II）
mr 1 1 ) [m ( )] [( ) m ] 3 r r r 1 1 1 1 ( m ) (m ) [ ( )]m [( ) ]m r r r r 1 1 (m ) [ 2 ]m r r 2 其中 (1 / r ) 0 ， （r 0） 1 A (m ) ， （ r 0 ） r mr 1 又 ( 3 ) [ m ( )] r r 1 1 1 1 m [ ( )] ( ) ( m ) (m )( ) [( ) ]m r r r r 1 (m )( ) r 所以，当 r 0 时， A 7. 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内均匀带静 A (
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )(， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰S VV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=VV t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
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电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。
（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。
4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。
(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。
13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
郭硕宏第三版电动力学课件资源
微分方程与特殊函数
微分方程
描述物理量之间关系的数学方程，包 括常微分方程和偏微分方程等。
特殊函数
具有特定性质和结构的函数，如三角 函数、指数函数、对数函数、贝塞尔 函数等，它们在电动力学中有广泛应 用。
02
静电场
库仑定律与电场强度
库仑定律
描述两个点电荷之间的相互作用力，是静电 场的基本定律。
电场强度
表示电荷在电场中受到的力与其所带电荷量 的比值，是矢量场。
电场强度的叠加原理
多个点电荷产生的电场强度可以矢量叠加。
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能与电荷量的比值，是 标量场。
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点 移动到另一点时电场力所做的功。
等势面
电势相等的点构成的面，与电场强度方向垂直。
06
数值计算方法与仿真技术在电动力 学中的应用
有限差分法求解静电场问题
01
差分格式的构造
通过泰勒级数展开等方法，将静 电场问题的偏微分方程转化为差 分方程。
02
03
边界条件的处理
求解方法
针对不同类型的边界条件，如狄 利克雷边界、诺依曼边界等，采 用相应的差分格式进行处理。
利用迭代法、追赶法等数值计算 方法求解差分方程，得到静电场 的数值解。
磁场
磁体周围空间存在着一种特殊形态的物质，磁场对放 入其中的磁体有力的作用。
电磁波
电场与磁场在空间中相互激发、相互转化并传播出去， 形成电磁波。
矢量分析与场论基础
矢量分析
研究矢量场性质及其运算的数学分支， 包括矢量函数的极限、连续、微分和 积分等运算。
场论基础
研究物理量在空间中的分布和变化规律 的理论，包括标量场、矢量场和张量场 等。
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z
b +
D33
V
3 zz ( x )dV
r+ r-
P
3 z1 z1Q 3 z2 z2Q 3 z3 z3Q 3z4 z 4Q 3(b 2 a 2 a 2 b 2 )Q 6Q (b 2 a 2 ) 6Q (b a )(b a ) 6 pl
§2.6 电多极矩 Electric multipole moment
主要内容 一、电势的多极展开 二、电多极矩
三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)
一、电势的多极展开
若已知 ( x) ，原则上可通过 ( x)dV ( x) 求电势。 4 r 0
3
1 1 1 1 f ( x x), x 0, r x x r R 1 ) f ( x ) ( x ) f ( x ) ( x ) 2 f ( x ) f (x x 2
1 1 1 1 1 ) ) 2 (x (x r R r x 0 2 r x 0 1 1 1 2 1 ( x ) ( x ) R R 2 R 1 1 1 1 ( x ) ( xx : ) R R 2 R 1 1 1 2 其中 ( , aa : bb (a b ) ) r x 0 r x 0 R
1 1 1 1 V ( x)[ R x R 2 xx : R ]dV
电偶极矩矢量 p ( x) xdV
V
D 3xx ( x)dV
V
Q
V
( x)dV
电四极矩张量
Dij 3xixj ( x)dV
3 e (0) W ( x )e (0)dV [ ( x ) xi dV ] V V xi i 1
2e (0) 1 [ 3 xi x j ( x )dV ] 6 ij V xi x j 1 Qe (0) ( p )e (0) ( D : )e (0) 6 W (0) W (1) W (2)
此公式也被称为泰勒公式。
在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：
其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。
2.
1 的麦克劳林展开 r
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
1 df (0) 1 df (0) 2 f ( x) f (0) x x 2 1! dx 2! dx (2) 三元函数的麦克劳林展开
f ( x ) f ( x1 , x2 , x3 ) 1 f (0,0,0) f (0,0,0) f (0,0,0) f (0,0,0) ( x1 x2 x3 ) 1! x1 x2 x3
1 2 2 f (0, 0, 0) 2 f (0, 0, 0) 2 f (0, 0, 0) 2 2 [ x1 x2 x3 2! x12 x2 2 x32 2 f 2 f 2 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 ] x1x2 x1x3 x2 x3
4. 带电体系在外场 Ee 中受到的力和力矩
设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场 中受到的力 F W （假定Q不变）以下仅讨论 (0)和 W (1) W
1
l R ）：
l
z
b +
r+ r-
P
- R a
O
-a -b +
x
1 1 p ( ) ( p pez ) 4 0 z r r 1 1 r r l cos l l r R cos r R cos r r r r R2 2 2 1 1 R 1 z cos 2 2 2 ( z R cos ) z R R z R R R R z 2 2 2 2 R x y z 1 1 z R pl ( )
4 0
z 2 R
D33
讨论：（1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须 如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电 势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分 布才有电四极矩。
（2）对电四极矩 D 的进一步认识 电偶极矩 D 是一个张量，有9个分量，即
考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；
y
o Q
+ y
x
x
o -Q a Q
y
z
o Q
零级近似 x
y
z =
z + y x
z o -Q a Q
x
o a Q
y
o Q
y
x
如果作为一级近似，且
z = z + x z -Q a/2 x Q +
z
+Q -Q
x
a Q
o
x
y
o Q
o Q
o
-Q
z =
z + x z
z -Q a/2 x z Q +
z +Q -Q
D : Dij ei e j :
ij kl 2
2 ek el xk xl
2
Dij jk il Dij xi x j ij kl xk xl ij
等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简
( 2)
单的体系为坐标原点附近（+，-，- ，+）四个点 电荷产生的电势
( 2)
kl Dij 3xixj ( x)dV ij
D : Dij ei e j :
1 1 1 1 2 1 D : Dij x x R 4 0 6 R 4 0 6 ij i j 1
2 ek el xk xl
电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按（+， -，-，+）排列，可看作一对正 负电偶极子。
r+ r-
P
l a b p上 Q(b a)ez p p下 Q(b a)ez p
体系总电荷、总电偶极矩为零
- R a
l
O
-a -b +
x
依定义 D33 0 其它分量均为零
布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四
极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生 一个电八极子分布的误差；……。
3. 电四极矩张量 有9个分量
D 3xx ( x) dV V Dij 3xi x j ( x )dV
z
b +
2、多极矩的概念
对于带电体系而言，若电荷分布在有限区域V内，在V中任取一 点o作为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距o点为R。多极矩法是 讨论 R>>l 情况下的场分布问题。
以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于 （a,0,0）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于 z z z o a Q = x
2
1 f (0) ( x1 x2 x3 ) f (0) 1! x1 x2 x3 1 2 ( x1 x2 x3 ) f (0) 2! x1 x2 x3
1 2 f (0) xi f (0) xi x j f (0) xi 2 ij xi x j i 1 1 f (0) ( x ) f (0) ( x ) 2 f (0) 2 1 (3) 将 在 x 0 点展开 r
( x) Q 1
i 1 3, j 1 3
1 1 1 1 p D : 4 0 R 4 0 R 4 0 6 R
(0)
(1)
(2)
二、电多极矩
1. 展开式的物理意义
( 0)
Q 40 R
等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。
( x)dV 3. 小区域电荷分布产生的电势 ( x ) 4 0 r
1 (x) 4 0
1 1 1 1 V ( x)[ R x R 2 xx : R ]dV
1 ( x) 4 0
3．相互作用能的意义：
W
W
W
(0)
Q e (0)
体系电荷集中在原点时，在外场 中的能量； 体系等效电偶极子在 外场中的能量； 体系等效电四极子在 外场中的能量。若外 场为均匀场 Ee 0
(1)
p e (0) p Ee (0)
(2)
1 1 D : e (0) D : Ee (0) 6 6
- R a
l
O
-a -b +
2
x
1 1 1 1 6 plez ez : pl 2 ( ) 4 0 6 R 4 0 z R 1
它与直接计算结果完全一致（
p r p r 3 4 0 r 4 0 r3 1 1 p [ ] 4 0 r r 1
1 1 1 R pR (1) p p ( 3 ) 4 0 R 4 0 R 4 0 R3
等效电偶极矩 p 产生的电势。最简单的体系为
两个点电荷产生的电势。
( 2)
1 1 1 1 2 1 D : Dij x x R 4 0 6 R 4 0 6 ij i j 1
一般若体电荷分布不均匀或 区域不规则，积分十分困难 （用计算机可数值求解）。 但是在许多实际情况中，电 荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处 理，解析求解。条件 l r 。