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郭硕鸿《电动力学》课件4-chapter2
第二章静电场的标势及其微分方程一二三唯一性定理镜像法格林函数四五六电多极矩拉普拉斯方程、分离变量法静电场本章主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。
静电场的标势及其微分方程一静电场的标势；静电势的微分方程和边值关系；静电场的能量静电场标势201520182020D E 01.静电场的标势—电势差和电势由于无旋性，电场强度E 可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。
无旋性的积分形式，0d l E 设C 1和C 2为连接P 1和P 2点的两条不同路径，二者构成闭合回路，则12C C d d lE l E 即静电场对电荷作功与路径无关，只与起点和终点有关。
静电场标势201520201.静电场的标势—电势差和电势将单位正电荷由P 1点移到P 2点，电场对它所作的功为：21P P d lE 定义为P 1和P 2两点之间的电势差。
即21P P 21d )()(lE P P )(1P 和)(2P 分别为P 1点和P 2点的电势。
注意：由定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
需要选取某个参考点，规定其上的电势为零。
静电场标势参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。
令 ( )=0有20201.静电场的标势—电势差和电势PlE Pd )( 相距为d l 的两点的电势差lEd d 由于lz zy y x x d d d d d 则电场强度E 等于电势 的负梯度，即E当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
静电场标势201520181.静电场的标势—给定电荷分布所激发的电势点电荷Q 激发的电场强度r rQ E 304 r 为源点到场点的距离。
把此式沿径向由场点到无穷远点积分，电势为rQr r Q P r 0204d 4)(iiirQ P 04)(rV x x 04d )()(静电场标势201520181.静电场的标势—给定电荷分布所激发的电势讨论：若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出。
电动力学郭硕鸿课件
S 162e20c3r2 v2(1c vco()1 s2 v(1co c v2 2))s6 si2nco2s n ˆ
c
c) 辐射功率角分布
dd (p t)16e22 0c3v2(1c vco(1 )s2v(1 coc v 2 2)s)5si2nco2s
c d) 辐射功率
p(t) e2
1620c3
我们知道，任意运动的带电粒子的电磁场包括
两部分，一部分场量与r2成反比，其能量主要分布于
粒子附近，其能量可以辐射到任意远处，称此为粒 子加速时激发的辐射场。
现在，为了求出粒子的电磁质量，我们从自有 场对粒子的反作用出发。
因为自有场总是和粒子不可分割地联系在一起
的，它的能量不能从粒子运动能量中分离出去。因 此，测出一个带电粒子的总能量和总质量，总是包 含粒子自有场的能量和质量在内。带电粒子的质量
vc)v
(nˆ
v)(nˆ
v)
(1
v
nˆ )v
vsin
c
cos(nˆ
v)
c (1
v
cos)v
c
c
nˆ (nˆ
vc)v
2
v2
(1
v c
cos)2
(1
v2 c2
) sin2
cos2
a) 场分布
E
e
vsincos(nˆvc)(1cvcos)v
40c2r
(1vcos)3
B1cnˆE
c
b) 辐射能流
电动力学郭硕鸿课件
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本章讨论带电粒子与电关场的相互作用。喧 是进一步认识许多物理过程的本质以及物质微观 结构的重要基础。我们将首先在一般情况下讨论 带电粒子产生电磁场 问题，求出作任意运动的带 电粒子产生的电关势表达式。这样，原则上对于 任何带电的体系都可以通过叠加而求得它的热和 场。
《电动力学郭硕鸿版》课件
电场与电势
本章将介绍电场和电势的概念及其相互关系，以及如何计算电场和电势在不同场景下的数值。
电场的高斯定律
本章将详细解释电场的高斯定律及其应用，帮助你理解电场分布和电通量的 计算方法。
电势的计算
本章将介绍如何计算不同电荷分布情况下的电势，以及如何利用电势计算电荷之间的相对势场对电荷的影响以及 能量转化的过程。
电动力学郭硕鸿版PPT课 件
本课程将介绍电动力学的基础概念，包括电场与电势，电场的高斯定律，电 势的计算，电场的能量，
以及恒定电流与电路定律。通过本课程，你将深入了解电动力学的原理和应 用。
课程介绍
本章将对电动力学课程进行详细介绍，包括学习目标、课程大纲、教学方法等内容。
电动力学基础概念
本章将深入探讨电动力学的基本概念，如电荷、电场、电势差等，为后续内 容打下坚实基础。
恒定电流与电路定律
本章将介绍电路中的恒定电流和电路定律，包括欧姆定律、基尔霍夫定律等，帮助你分析和解决实际电路问题。
电动力学第2章郭硕鸿版ppt
第二章静电场本章我们把电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场本章内容：1.静电场的标势及其微分方程2. 唯一性定理3. 分离变量法4. 镜像法5. 格林函数法6. 电多级矩⎩⎨⎧=⋅∇=×∇ρD E 0麦克斯韦方程组的电场部分为：（1.1）（1.2）这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础●静电场的无旋性是它的一个重要特性●由于无旋性，电场强度E 可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样讨论：(a) 只有两点的电势差才有物理意义(b) 在实际计算中，常常选取某个点为参考点，规定其上的电势为零，这样全空间的电势就完全确定了(d) 一个具体问题中只能选一个零势点∫∞⋅=PP l E d )(ϕ(c) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选取无穷远的电势为零0)(=∞ϕ（2）给定电荷分布所激发的电势根据电势和电场强度的关系:●当已知电场强度时,可以由积分公式求出电势●已知电势时，通过求梯度就可以求出电场强度由以上讨论可知:①若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出②但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须找出电荷与电场相互作用的微分方程P 2，由于电场强度时，将电荷从P 1 移到P 2，电场σ−§2.2 唯一性定理一、静电问题的唯一性定理下面研究可以均匀分区的区域V :iV iε电容率2314L)(x ρ自由电荷分布2 1342 134二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，为了确定电场，所需条件有两种类型：①一类是给定每个导体上的电势ϕi②另一类是给定每个导体上的总电荷Qi给定时，即给出了V’所有值，因而由唯一性定理可设区域V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷Q i 以及V 的边界S 上的ϕ或∂ϕ/∂n 值，则V 内的电场唯一地确定.对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：)∫′∇+V V V d d 2ϕϕ例：两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2，设内球壳带总电荷Q ，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布.解：设两介质内的电势、电场强度和电位移矢量分别为由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解，，，，，，222111D E D E ϕϕ§2.3 拉普拉斯方程分离变量法静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如：①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的②电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布二、分离变量法①将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解不同坐标系中拉普拉斯方程的通解不同分离变量法就是:②然后再根据给定的边界条件求出实际问题的解)()()(y x y x,υψu =。
电动力学 郭硕鸿 第三版 第6次课(1.5电磁场的边值关系)
1. 场的能量密度w(x,t), 它是场内单位
体积的能量。
2. 场的能流密度S， S在数值上等于
单位时间垂直流过单位横截面的
能量其方向代表能力传输方向.
场和电荷之间,场的一区域与另一 区域之间,都有可能发生能量转移.在转 移过程中总能量是守恒的.
D , B E , t B 0, D H J . t
S d E dl L B dS dt S B dS 0 S d H dl I f D dS L dt S
n2
介质2 介质1
D1
D2
n1
n2
介质2 介质1
D1
D2
n1
D dS D1 dS1 D2 dS2 D侧 dS侧
S S1 S2 S侧
由于匣的高度h→0，所以通过侧面的 D 的通量也可以
L
M dl I m
M 2t M1t m
m n ( M 2 M1 )
I m m l
同理，应用
d L E dl dt S B dS ,
可得电场切向分 量的边值关系：
n E2 E1 0
束缚电荷分布于介质表面上。在 两介质界面处， f=0
由
0 E2n E1n f P
+ f
E2 E1
0 0 得 P 0 E2 E1 f 1 2
在介质1与下板分界处
由 得
0 E2n E1n f P
电动力学 郭硕鸿 第三版 第11次课(镜像法)
已知） ϕ S ，i = 1,2,3L （已知）
b）数学表示为 ）数学表示为:
2
ρ ∇ ϕ =− εi ∂ϕ ϕS或
∂n
S
（ 在 V ′内 ） （已知） 已知） 已知） （已知） 待定） （待定）
Q S ，i = 1,2,3L
2
ϕ S = 常数
i
i
电动 力学
第二章 静电场
强调：唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体 强调：唯一性定理并不给出求解泊松方程的 并不给出求解泊松方程
13
电动 力学
第二章 静电场
P r Q r’
导体板上部空间 的电场可以看作 原电荷与镜象电 荷共同激发的电 场点P的电 场。场点 的电 势
导体板上的感应 电荷确实可以用 板下方一个假想 电荷Q’代替 代替。 电荷 代替。
Q’
可以看出，引入象电荷取代感应电荷， 可以看出，引入象电荷取代感应电荷， 的确是一种求解泊松方程的简洁方法。 的确是一种求解泊松方程的简洁方法。
8
电动 力学
第二章 静电场
应用举例
1. (P71)接地无限大平面导体板附近 接地无限大平面导体板附近 有一点电荷，求空间电势。 有一点电荷，求空间电势。
解：根据唯一性定理左半空间 ϕ = 0 右半空间， 在 右半空间，Q在（0，0，a）点， ， ， ） 电势满足泊松方程。 电势满足泊松方程。 边界上 ϕ z=0 = 0 Q/
∂ϕ ϕS或 ∂n
1
S
在整个区域V 的边界面S上给定 上给定, （在整个区域 的边界面 上给定 v 按约定，边界面法线 n指向V 外） 按约定， 指向
电动 力学
2. 有导体存在的唯一性定理
a）数学表述如下: ）数学表述如下 ρ 2 ∇ ϕ =− εi ∂ϕ ϕS或
郭硕宏第三版电动力学课件资源
微分方程与特殊函数
微分方程
描述物理量之间关系的数学方程，包 括常微分方程和偏微分方程等。
特殊函数
具有特定性质和结构的函数，如三角 函数、指数函数、对数函数、贝塞尔 函数等，它们在电动力学中有广泛应 用。
02
静电场
库仑定律与电场强度
库仑定律
描述两个点电荷之间的相互作用力，是静电 场的基本定律。
电场强度
表示电荷在电场中受到的力与其所带电荷量 的比值，是矢量场。
电场强度的叠加原理
多个点电荷产生的电场强度可以矢量叠加。
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能与电荷量的比值，是 标量场。
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点 移动到另一点时电场力所做的功。
等势面
电势相等的点构成的面，与电场强度方向垂直。
06
数值计算方法与仿真技术在电动力 学中的应用
有限差分法求解静电场问题
01
差分格式的构造
通过泰勒级数展开等方法，将静 电场问题的偏微分方程转化为差 分方程。
02
03
边界条件的处理
求解方法
针对不同类型的边界条件，如狄 利克雷边界、诺依曼边界等，采 用相应的差分格式进行处理。
利用迭代法、追赶法等数值计算 方法求解差分方程，得到静电场 的数值解。
磁场
磁体周围空间存在着一种特殊形态的物质，磁场对放 入其中的磁体有力的作用。
电磁波
电场与磁场在空间中相互激发、相互转化并传播出去， 形成电磁波。
矢量分析与场论基础
矢量分析
研究矢量场性质及其运算的数学分支， 包括矢量函数的极限、连续、微分和 积分等运算。
场论基础
研究物理量在空间中的分布和变化规律 的理论，包括标量场、矢量场和张量场 等。
郭硕鸿《电动力学》课件1-概述
2021-2022电动力学ELECTRODYNAMICS目录在物理学中的位置课本目录一二三内容概述一在物理学中的位置01电磁相互作用中的位置宇宙历史：t～0，宇宙大爆炸；Array t～10-44s，引力相互作用分离；t～10-36s，强相互作用分离；t～10-10s，弱相互作用分离；->四种基本相互作用的世界t～10-6s，夸克开始结合为强子；t～1012s，原子开始形成；...强力如中子质子结合为原子、α衰变，弱力如β衰变02物理学理论（本科课程）：中的位置五小力学：力、热、光、电、磁；四大力学：理论力学、电动力学、量子力学、热力学与统计力学。
五小力学->四大力学：理论更加抽象；需要的数理功底更深；更贴近实际应用。
03物理学理论（整个物理学体系）：中的位置引力作用：牛顿引力、广义相对论...强相互作用：核物理、QCD...弱相互作用电磁相互作用：电磁学、电动力学...电弱相互作用：弱电统一理论粒子物理标准模型标准宇宙学模型大一统？量子力学体现在哪里？量子和场的概念贯穿其中04物理学实验：中的位置2016年前：所有的物理学实验和观测均源自于电磁相互作用；2016年起：引力波探测开启了引力相互作用的探测时代。
为什么？提示：机械力的本质？四种力的特点和关系？应用前景宏观现象中表现丰富的各种力在本源上都是引力和电磁力，他们是自然界仅有的两种长程力。
二内容概述内容概述01《经典电动力学与狭义相对论》量子电动力学、广义相对论狭义相对论起源研究对象：宏观物体电磁作用的动力学理论，包括电磁场的基02本性质、运动规律以及它和带电物质的相互作用。
03研究内容：阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。
讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射以及电动力学的参考系问题。
内容概述04学习目标：1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。
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p1 p0
cos n p1
cos
l
n
该式表明：
c o s n ˆl gra ld
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投 影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场(x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有方向性质。在任
v cosθ为高的斜柱体的体积，即 d v c N d o v d s s s 称为矢量v通过面元ds的通量。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
增长 的方向。
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1p2 0, p1p0 0时,
p1p2
p1p0
cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
所以 即
lim ( p 2 ) ( p1 )
l P1
p1 p0 0
p1 p2
cos lim ( p 0 ) ( p1 )
p1 p0
学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽 终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”， 站得高，看得远。
学习参考书：
1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社
2、电动力学
吴寿煌 丁士章 编
西安交通大学出版社
3、Classical Electrodynamics J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
学习电动力学课程的主要目的是：
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和 时空概念的理解；
2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的 初步能力，为以后解决实际问题打下基础；
3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更 深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义 的世界观。
学习电动力学课程的主要意义是：
学习成绩评定方法：
总成绩 = 平时成绩20%（作业+笔记） + 期中考试成绩20% + 期终考试成绩60%
第0 章
预备知识—矢量场论复习
Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概 念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者 之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算 和算符 运算的重要公式。
意方向l上移动线元距离dl，的增量d 称为方向微
分，即
dd ldl
l
显然，任意两点值差为
BAA B dl
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v方向通过ds的流量是dN，而dN是以ds为底，以
则可引进梯度概念。记作
gradn ˆ
n 称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小 |grad|n ，(其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ 表示。
方向导数与梯度的关系：
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和 刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解 上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这 些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树 木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数 学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容 进行推导，并明确它们的物理意义和图象。
若下列极限
(p2)(p1)
lim lim (p2)(p1)
l 0l l 0
l
存在，则该极限值记作 (x，) 称之为标量场
沿 的方l向导数。 3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场
(x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数，
电动力学
Electrodynamics
主讲教师： 刘堂昆（教授、博士） 辅导教师： 丁 逊（讲师、硕士）
引言
Introduction
电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规 律以及它和带电物质之间的相互作用。
电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要 从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射 及电动力学的参考系问题。
本章主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
§0-1 标量场的梯度，算符
Gradient of Scalar Field,
Operator
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁 场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为