集合
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合是什么意思
集合是什么意思集合是数学中的一个重要概念，指的是具有某种共性的事物或对象的整体。
通常用大写字母表示一个集合，集合中的元素用小写字母表示，用大括号{}括起来表示集合。
集合中的元素可以是数字、字母、符号、其他集合，甚至可以是各种不同的非数学概念。
集合可以根据其元素的特性进行分类。
比如，一个包含整数1、2、3、4、5的集合可以表示为{1, 2, 3, 4, 5}，这个集合可以称为自然数集合。
另一个包含字母a、b、c、d、e的集合可以表示为{a, b, c, d, e}，这个集合可以称为字母集合。
集合中的元素可以按照不同的条件进行选择和描述。
比如，可以用一个条件来描述一个集合，这个条件是某个属性的判断。
例如，我们可以用条件"x是偶数"来描述一个整数集合，这个集合包含了所有的偶数。
用集合的形式表示为{2, 4, 6, 8, ...}。
类似地，我们可以用条件"x是素数"来描述一个整数集合，这个集合包含了所有的素数。
用集合的形式表示为{2, 3, 5, 7, 11, ...}。
集合中的元素是无序的，也就是说元素之间没有明确的先后关系。
集合中的元素可以重复，但是在同一个集合中，每个元素只能出现一次。
如果一个元素在集合中出现了多次，那么它也只算作一个元素。
比如{1, 1, 2, 2, 3, 3}与{1, 2, 3}是等价的，表示同一个集合。
集合还有一些基本的运算。
最常见的集合运算有并集、交集和补集。
并集指的是将两个或多个集合中的所有元素放在一起构成一个新的集合。
交集指的是两个或多个集合中共有的元素所构成的集合。
补集指的是一个集合中不属于另一个集合的所有元素所构成的集合。
集合的表示方式有多种，除了用列举元素的方法外，还可以用描述性的语句来表示一个集合。
常用的描述性表示方法有定义法和描述性法。
定义法是直接给出集合的某个特性或某个性质来定义集合。
描述性法是通过描述集合中的元素的共同特点来定义集合。
集合名词解释
集合名词解释集合是数学中用来描述事物的一个重要概念。
它的基本意思是说“某些或全部确定的对象的全体所组成的整体”。
集合指的是元素个数相同，最多不超过两个的具有共同属性的一类对象的总体。
集合具有两大特点：(1)集合与属于同一集合的每个对象之间具有一一对应关系;(2)集合中的任一对象都有唯一确定的属于它自身的元素。
集合既可以按其元素进行分类，又可以按集合中元素间的关系进行分类。
其中，我们把第一类称为元素集合;把第二类称为属性集合。
而事实上，任何事物都可以看作是由许多部分组成的，各个部分又都可以再分成更小的单位，并且这些单位还可能发生重叠。
所谓集合，是指大于或等于两个集体(或对象)的可以被考虑为一个整体的一切对象的总体。
在现实生活中，没有绝对的空间和时间，只有相对的、形式化了的空间和时间，因此人们通常研究集合的外延，即集合的表示法。
集合论是一门建立在集合概念基础上的逻辑理论。
一般地，集合论研究的是用公理化的方法构造集合，并研究集合之间的关系。
从本质上说，集合论的主要目标是构造一种一般性的理论结构来描述现实世界的模型。
尽管关于集合的真正内涵至今还是一个谜，但是人们却已经给出了各种各样的解释，大致可以分为四类：第一类是以代数结构为研究对象的数理逻辑的集合论;第二类是以函数为研究对象的代数函数论;第三类是以图形为研究对象的图论;第四类是以集合为研究对象的代数集合论。
集合是抽象出来的一类实际事物的典型例子，反映了人类认识的一个层次，可以说，研究集合论就是研究实际问题的数学模型，探索如何使实际问题简单化。
研究集合论，可以为设计智能机器人提供必要的数学工具，为探讨软件设计方法开辟新途径。
因此，搞好集合论的教学对提高人们的计算机水平和工程技术水平有着极其重要的意义。
在哲学中，集合是一个非常古老的概念。
古希腊时期，毕达哥拉斯学派曾将数分为数和形，这里的数就是后来所说的“数”，形则是点、线、面等几何图形。
当时的“数”就是元素，即组成事物的基本单位。
集合的所有概念
集合的所有概念
集合是现代数学的一个重要概念，它是指由一些确定的元素所组成的整体。
以下是集合的一些基本概念：
1. 元素：组成集合的个体。
2. 子集：如果集合A 中的所有元素都属于集合B，则称集合A 是集合B 的子集。
3. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但A 不等于B，则称集合A 是集合B 的真子集。
4. 并集：由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
5. 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集。
6. 补集：在一个给定的集合中，除了该集合中的元素之外的所有元素组成的集合，称为该集合的补集。
7. 空集：不包含任何元素的集合。
8. 列举法：将集合中的元素一一列举出来表示集合的方法。
9. 描述法：用集合所满足的条件来表示集合的方法。
10. 文氏图：用平面上的矩形框来表示集合及集合之间的关系的图形。
集合的概念
集合的概念一、集合的有关概念由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作（3）整数集：全体整数的集合记作（4）有理数集：全体有理数的集合记作（5）实数集：全体实数的集合记作3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如元素通常用小写的拉丁字母表示，如⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写二、集合的表示方法1.列举法：将所给集合中的元素出来，写在里，元素与元素之间用分开适用情况：（1）集合是有限集，元素又不太多；例如：15的所有正因数构成的集合表示为：（2）集合是有限集，元素较多但有一定规律；例如：不大于100的正整数的全体构成的集合表示为：（3）有规律的无限集；例如：2.描述法：将所给集合中元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来。
其一般格式如下：{x|x适合的条件}大括号内竖线左边的x表示：；大括号内竖线右边表示：；3.Venn图三、集合的基本关系1.子集一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作A ⊆B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集合B的子集.2.真子集如果A⊆B，但存在元素x ∈B，且x ∉A，称A是B的真子集.3.空集不含任何元素的集合为空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何集合的真子集.4.集合相等对于两个集合A与B，若A⊆B且B⊆A，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；⑶写出所有{a，b，c，d }的所有子集总结：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个. 例2 设集合A＝{1, a, b}，B＝{a, a2, ab}，若A＝B，求实数a，b.例3 已知A＝{x | x2－2x－3＝0},B＝{x | ax－1＝0},若B⊆A, 求实数a的值．四、集合的基本运算1.并集（1）并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A ∪B（读作“A并B”）；（2）并集的符号表示A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.并集定义的数学表达式中“或”字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.x∈A，或x∈B包括如下三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B中只出现一次，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.2、交集（1）交集的定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）.（2）交集的符号表示A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝.（3）交集的图形表示如下所示Venn图.BA)()23(1)(图（1）表示集合A与集合B的关系是A⊆B，此时集合A与B的公共部分就是A，即A∩B=A.图（2）表示集合A与集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即A∩B≠A，且A∩B ≠B.图（3）表示集合A与集合B的公共部分是空集，即A∩B=∅.3、补集一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集)记作CsA.例4 已知M =｛y |y =2x 2+1，x ∈R ｝，N =｛y |y =－x 2+1，x ∈R ｝，则M ∩N =________，M ∪N =________.例5 设A =｛x |x 2+4x =0｝，B =｛x |x 2+2（a +1）x +a 2－1=0｝.（1）若A ∩B =B ，求a 的值；（2）若A ∪B =B ，求a 的值.1． 下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2-- Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是 ( )Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形一、选择题１.已知{}|22,M x R x a π=∈≥=,给定下列关系：①a M ∈,②{}a M ③a M ④{}a M ∈其中正确的是 ( )Ａ①② Ｂ④ Ｃ③ Ｄ①②④２.若,x y R ∈,集合{}(,)|,(,)|1y A x y y x B x y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则Ａ,Ｂ的关系为( ) Ａ Ａ＝Ｂ Ｂ Ａ⊆Ｂ Ｃ ＡＢ Ｄ ＢＡ ３.若,A B A⊆C,且Ａ中含有两个元素,{}{}0,1,2,3,0,2,4,5B C ==则满足上述条件的集合Ａ可能为( ).Ａ {}0,1 Ｂ {}0,3 Ｃ {}2,4 Ｄ {}0,2４.满足{}a M ⊆{},,,a b c d 的集合Ｍ共有( )Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个二、填空题５.已知{}{}{}A B C ===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ６.已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A ,则实数a 的值为＿＿.７.已知集合{}{}|40,|12A x R x p B x x x A B =∈+≤=≤≥⊆或且,则实数p 的取值集合为＿＿＿＿＿＿＿. ８.集合{}|21,A x x k k Z ==-∈,集合{}|21,B x x k k Z ==+∈,则Ａ与Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ９.已知Ａ＝{},a b ,{}|B x x A =∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三.解答题10.写出满足{},a b A⊆{},,,a b c d 的所有集合Ａ.11.已知集合{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.12.已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ⊆,求实数a 的取值范围.。
集合的概念和定义
集合的概念和定义
集合是指具有一定特性的事物的总体，是由一些个体构成的整体。
集合中的个体称为元素，元素不重复，且没有顺序。
集合的定义包括以下几个要素：
1. 元素：集合中的个体，可以是任意事物，例如数字、字母、人、动物等。
2. 集合符号：用大括号{}表示一个集合，元素用逗号分隔并放入大括号中。
例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合。
3. 空集：不包含任何元素的集合，用符号{}表示。
4. 元素的判断：对于集合中的任意一个元素，要么属于集合，要么不属于集合，用符号"∈"表示属于，用符号"∉"表示不属于。
5. 元素的重复：集合中的元素是唯一的，不会有重复的元素。
即使多次出现同一个元素，也只算作一个元素。
6. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间没有先后关系。
7. 相等性：集合的相等性是指两个集合包含的元素完全相同，不考虑元素的顺序。
8. 子集和超集：若集合A中的所有元素都属于集合B，那么
集合A称为集合B的子集，集合B称为集合A的超集，用符号"⊆"表示子集，用符号"⊇"表示超集。
以上是集合的基本概念和定义，集合理论是数学中的一个基础概念，被广泛应用于各个领域。
名词解释：集合
名词解释：集合
集合在数学中是一个基本概念，它是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。
构成集合的这些对象称为该集合的元素。
例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。
通常用大写字母如A,B,S,T,...表
示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。
此外，根据集合中元素的数目，可以将集合分为有限集和无限集。
当集合中元素的数目是有限的时候，称为有限集；当集合中元素的数目是无限的时候，称为无限集。
此外，还有一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集，记为∅。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。
集合的含义及其表示
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
集合的概念及运算
A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}.
③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, … 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示.
2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集
(元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等.
集合中的每个对象叫做这个集合的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示.
A∪B=B∪A, (-∞, -9)∪[1, +∞)
元素与集合之间的关系
A∪BA,
A∪BB,
A∪A=A,
A∪ =A, AB A∪B=B. a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根,
注: 集合与集合的关系特例:
设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有:
M∪Cs(N∩P) D.
(1)求证: A B; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B.
C (C A)=A, C =S, C S= A∩(C A)= , A∪(C A)=S, s s s s 元素与集合之间是个体与整体的关系, 不存在大小与相等关系.
则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得:
集合的概念详细讲解
集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。
一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。
二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。
描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。
三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。
2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。
3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。
4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。
5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。
6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。
7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。
8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。
9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
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1.1集合
一、集合的含义与表示
1、集合的含义：
的总体叫做集合。
2、集合中元素的特性
⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。
也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
例如，①“我班高个子男生”“较大的数”都不能构成集合，因为组成集合的云阿苏都是不确定的。
②“中国的直辖市”构成了一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。
⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。
也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
例如，1,2,2,3,4,4,5组成的集合有5个元素。
⑶无序性：组成集合的元素没有先后顺序之分。
3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就成这两个集合
是相等的。
4、元素与集合的表示:我们通常用大写拉丁字母A,B,C…表示集合，用小写
拉丁字母a,b,c…表示集合中的元素。
5、元素与集合的关系：如果a是A的元素，就说a属于A，记作a∈A；
如果a不属于A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
注：∈和∉刻画的是元素与集合间的关系。
对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果。
6、常用数集及其记法
7、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
（2）述法描:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
其具
体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，在画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如，{x ∈R ∣x>10}.
注：（1）用列举法表示集合时，要注意:
①元素与元素之间必须用“，”隔开，且元素不重复。
②若元素个数较多或无限多，且具有明显的规律时，可用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示。
如N ﹡={1,2,3，…}。
(2)对于描述法给出的集合，首先要清楚集合中的元素是什么，元素满足什么条件。
例如，①{x ∣y=x ²}表示满足y=x ²的所有x 的集合，即{x ∣y=x ²}=R ；
②{y ∣y=x ²}表示满足y=x ²的所有y 的集合，即{y ∣y=x ²}={y ∣y ≥0}； ③{（x,y ）∣y=x ²}即满足y=x ²的有序数对（x,y ）的集合，也可以认为
是由抛物线y=x ²上的点组成的集合。
二、集合间的基本关系
1、 子集
（1） 子集的定义：一般地，对于两个集合A,B ，如果集合A 中任意一个元素都
是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B （B ⊇A ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）。
（2） Venn 图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。
A ⊆B 用Venn 图表示如图。
注：用Venn 图表示的集合通常元素个数较少且为有限个。
如果元素个数为无限个时，如{x ︱x>0},我们常借助于数轴表示。
2、 集合相等
如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ）,且集合B 是集合A 的子集（B ⊆A ），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合相等，记住A=B 。
用Venn 图表示如图。
注：证明两个集合相等的方法：
（1）若两个集合为元素个数较少的有限集，可以从元素完全相同的角度来加以证明。
（2）若A、B两个集合是无限集时，欲证A⊆B和B⊆A都成立即可。
3、真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B,且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AØB（或BÙA）.用Venn图表示如图。
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。
规定：空集是任何集合的子集。
注意:
（1）空集是任何非空集合的真子集。
（2）{0}与∅的区别：{0}是含有一个元素的集合，而∅是不含任何元素的集合，
因此，∅⊆{0}.
(3)含有n个元素的集合有个子集，有—1个真子集，有—2个非空真子集。
5、集合之间基本关系的结论
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。
（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆B。
三、集合的基本运算
1、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集
合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即 A ∪B={x ︱x ∈A ，或x ∈B}。
用Venn 图表示如图。
A ∪B
注：
（1） A ∪
B=B ∪A; A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ； A ∪A=A ，A ∪∅=A 。
（2） 若A ⊆B ，则A ∪B=B ；反之，若A ∪B=B ，则A ⊆B 。
由于B=B ∪∅，因此A ∪B=B 中的A 可以为空集。
2、交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B （读作“A 交B ”），即 A ∩B={ x ∈A ，且x ∈B}。
用Venn 图表示如图。
注意：（1）A ∩B=B ∩A ；A ∩B ⊆A ；A ∩B ⊆B ；A ∩A=A ，A ∩∅=∅。
（2）若A ⊆B ，则A ∩B=A ；反之，若A ∩B=A ，则A ⊆B 。
由于∅∩B=∅，因此，A ∩B=A 中的A 可以为空集。
3、补集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作 A B
Cu A，即Cu A={ x∈A，且x∉A}。
用Venn图表示如图。
注意：
b)A∪Cu A=U，A∩（Cu A）=∅，Cu（Cu A）=A，Cu U=∅，
Cu∅=U。
（2）Cu（A∩B）=（Cu A）∪（Cu B），
Cu（A∪B）=（Cu A）∩（Cu B）。
c)若A=B，则Cu A=Cu B；反之，若Cu A=Cu B，则A=B。