[精品]2019学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一学案含解析新人教A版必修2
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
高中数学人教A版必修函数y=sinωx+φ的图像PPT精品课件
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2020年12月13日星期日
对于函数y sin 2x.
1.列表 x
0
4
2
3
4
2x
0
2
3 2
2
sin 2x 0
1
0
-1
0
2.描点
y 2
y=sin2x
1
y=sinx
纵坐标不变 ，横坐标
变为原来的1/2倍
y=sin2x
y=sinx
称为频率
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2020年12月13日星期日
例5 作函数y = 2sin(1 x- )的简图。
36
解：列表
Z0
x
2
Sin(Z) 0
y0
2
π
2π 7
2
10
20
3 2π
2
5π 13 2
-1 0
-2 0
练习：作函数y
=
3sin(2x
+
3
)的简图。
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2020年12月13日星期日
.
O
.
3
.
2
x
-1
2
.2
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2020年12月13日星期日
y sin(x )与y sin x的图象关系
例1.
试研究y
sin
x
3
、y
sin
x
-
6
与y sin x的图象关系.
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2020年12月13日星期日
y
【高中数学必修四】复习讲义 专题1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第一章 三角函数1.5 函数()sin y A x ωϕ=+的图象一、,,A ϕω对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 1．(0)ϕϕ≠对函数sin()y x ϕ=+的图象的影响()sin y x ϕ=+（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当φ<0时）或向 （当φ>0时）平行移动ϕ个单位长度而得到的. 2．(0)ωω>对函数sin()y x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或 （当ω>1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的.3．(0)A A >对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y A x ωϕ=+（其中A >0）的图象，可以看作是把函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（当A >1时）或缩短（当0<A <1时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到的. 4．函数sin y x =到函数sin()y A x ωϕ=+(其中0,0A ω>>)的图象变换将函数sin y x =的图象变换得到函数sin()y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图象的过程为: （1）作出函数sin y x =在长度为2π的某闭区间上的简图;（2）将图象沿x 轴向左或向右平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的简图； （3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到函数sin()y x ωϕ=+的简图;（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的简图; （5）沿x 轴扩展得到函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 的简图. 由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法：（1）先平移后伸缩：（2）先伸缩后平移：二、函数(),[)sin 0,y A x x ωϕ∈++∞=(其中0,0A ω>>)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数sin()y A x ωϕ=+中的常数有关： A ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为 （amplitude of vibration ）. T ：2πT ω=,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).f ：12πf T ω==，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency). x ωϕ+：称为 (phase).ϕ：x =0时的相位，称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤（1）函数y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换； （2）函数y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图象变换称为周期变换； （3）函数y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．（4）函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．K 知识参考答案：一、1．右 左2．缩短3．A二、振幅 周期 频率 相位 初相K —重点 函数图象的变换以及由图象确定函数解析式 K —难点 函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 K —易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1．函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数sin y x =，(n )si y A x ωϕ=＋或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（3）确定函数sin y x =的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出,,A ωϕ的值.（4）由(n )si y A x ωϕ=＋的图象得到sin y x =的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 【例1】要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B【解析】因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．故选B ．【例2】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-【答案】C【解析】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，得sin()10y x π=-的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin()210y x π=-．故选C ．【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误. 2．由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法： （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：【例3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．【解析】(逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ， ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 【名师点睛】给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．【例4】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【答案】62【解析】由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数图象经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (0)＝2sin π3＝62.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现. 确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.3．函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性： ①对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．②对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称．【例5】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，图象关于直线x ＝π3对称．（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数f (x )的单调递增区间；（3）在给定的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．（2）由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .（3）列表如下：x 0 π12 π3 7π12 5π6 π y－121－1－12描点、作图．【例6】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴当x ＝0时f (x )取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.【名师点睛】此类题目是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等．求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式． 4．不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B ．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【答案】A【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．1．要得到y =sin2x 的图象，只需将y =cos2x 的图象A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位 2．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．143．已知函数f （x ）=sin （2x +φ）（–π<φ<0），将函数f （x ）图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）=sin （2x +φ） A ．在区间[–ππ63，]上单调递减B ．在区间[–ππ63，]上单调递增C ．在区间[ππ36-，]上单调递减D ．在区间[ππ36-，]上单调递增4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin(1011x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(1011x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)5．将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π3个长度单位，所得函数图象的一个对称中心为 A ．()0,0B ．π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．(π,0)6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.7．已知函数f (x )＝3sin(3x ＋π3)表示一个振动．（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2）说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到函数f (x )的图象．8．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式．9．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．（1）写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； （2）求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．10．要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点A ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）11．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位长度 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度C ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）12．先把函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把新得到的图象向左平移π6个单位长度,得到y =g (x )的图象，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,函数g (x )的值域为A ．3⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C ．33⎛ ⎝⎭D ．[)1,0-13．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间[]0,π上是单调函数，则ωϕ+=A ．π223+ B ．π22+ C ．π322+D ．π1023+14．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为M ，则下列结论中正确的是 A ．图象M 关于直线π12x =-对称 B ．将2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到MC ．图象M 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移7π24个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间π,3θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(π3θ>-)上的值域为[]1,2-，则θ等于A ．π6 B ．π4 C ．2π3D ．7π1216．已知函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<的最大值是1，其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，则3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 17．已知把函数x x g 2sin 2)(=的图象向右平移π6个单位，再向上平移一个单位得到函数)(x f 的图象． （1）求)(x f 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求)(x f 在π[0,]2x ∈时的值域；（3）若)()(x f x -=ϕ，求)(x ϕ的单调增区间．18．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x192y =的两相邻交点之间的距离为π，且（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 2倍，得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 的取值范围.20．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示． （1）求f (x )的解析式；（2）把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？21．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. （1）在该函数的图象的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；（2）将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．22．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2， 2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.（1）试求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的单调区间．23．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（0<m<2）在x∈[π11π33，]时所有的实数根之和．24．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）–b（ω>0，0<φ<π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π63g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．25．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cos x–sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π26．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C227．（新课标Ⅰ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．528．（新课标Ⅰ）将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)29．（新课标Ⅱ）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)30．（新课标Ⅱ）若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．x =26k ππ-(k ∈Z ) B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-(k ∈Z )D ．x =212k ππ+(k ∈Z )31．（2018•江苏）已知函数y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，则φ的值为______．32．（2018•北京）设函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_____________．1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 30 BBBCABCAACBDBDAB1．【答案】B【解析】y =cos2x =sin （2x +π2）=sin2（x +π4）．所以将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，可得函数y =sin[2（x –π4）+π2]=sin2x 的图象，故选B ． 2．【答案】B【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的 图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=k π+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ．4．【答案】C【解析】∵f (0)＝1，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又ω×11π12＋π6＝2π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．5．【答案】A【解析】将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再向左平移π3个长度单位，得到1π1cos sin 222y x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.将选项代入验证可知A 选项符合.6．【答案】π4【解析】由题意可知，函数f (x )的最小周期T ＝2(5π4－π4)＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．又∵x ＝π4是函数f (x )的图象的一条对称轴，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．【解析】（1）振幅A ＝3，周期T ＝2π3，初相φ＝π3.（2）先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(3x ＋π3)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f (x )＝3sin(3x ＋π3)的图象．8．【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，得A ＝12(y max －y min )＝12×(3＋5)＝4，b ＝12(y max ＋y min )＝12×(3－5)＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2，即T ＝π.由T ＝2πω，得ω＝2. ∴y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∴2×π12＋φ＝π2+2kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1.【思路点拨】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0)的图象可看作把y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个长度单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A 、b ，进而再求ω、φ. 9．【解析】（1）f (x )的最小正周期为2π2＝π.∵(x 0，y 0)是最大值点，令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π6，y 0＝3.（2）因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.10．【答案】B【解析】由题可知，正弦型为sin()y A x ωϕ=+，其中，A 代表振幅，ω用来控制函数的横坐标变化，ϕ用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移π4个单位长度，得到π2sin()4y x =+的图象，再把横坐标缩短为原来的12倍，得到π2sin(2)4y x =+，故选B ．【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 11．【答案】C【解析】根据函数(f 故可以把函数()f x 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象，故选C ． 12．【答案】A【解析】依题意得()1πππsin 2sin 2636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，x －π6∈π2π()33-，，所以πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，即函数g (x )的值域是.⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos ,cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量x 而言. 13．【答案】A【解析】由于()f x 是R 上的偶函数，且0πϕ≤≤()f x 在区间[]0,π上是单调函数，且0ω>A ． 【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法： （1）利用最值求出A ； （2）利用周期公式求出ω； （3）利用特殊点或对称性求出ϕ.在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性. 14．【答案】C【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移,故B 错；()f x D 错；π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭M A 错误，C 正确， 故选C ． 15．【答案】B【解析】由图象可知，π2,π,2,4A T ωϕ=-===， 所以()()()π7πππ2sin 22sin 2,2sin 242443f x x g x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，， 当π,3x θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（π3θ>-）时，ππ2π,233x θ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为值域里有12，所以ππ236θ-=，π4θ=，选B ． 【名师点睛】本题学生容易经验性的认为2A =,但此时ϕ在π2ϕ<内无解，所以2A =-. 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2π,.T ωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求.16．【答案】2-【解析】由函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<，x ∈R 的最大值是1，得1A =； 又其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π36k ϕ+=+或π5π2π36k ϕ+=+，k ∈Z ；∴π2π6k ϕ=-+或π2π2k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，∴π2ϕ=，∴()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴3π3πcos 442f ⎛⎫==-⎪⎝⎭.故答案为2-． 17．【解析】（1）由已知得π()2sin(2)13f x x =-+．当πsin(2)13x -=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时ππ22π,32x k k -=-+∈Z ，即ππ,12x k k =-∈Z ， 故)(x f 取最小值时x 的集合为π{|π,}12x x k k =-∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以πsin(2)13x ≤-≤，从而π12sin(2)133x ≤-+≤，即)(x f 的值域为[1,3]． （3）()()ππ2sin 212sin 2133φxf x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭(),即求函数πy x =+2sin(2)3的单调递减区间． 令πππππk x k k +≤+≤+∈Z 3222,232，解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212，故)(x ϕ的单调增区间为()ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 7,1212． 18．【解析】（1）故解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为π02x -≤≤， 所以5πππ2666x -≤+≤，所以π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 2-.当ππ266x +=，即0x =时，()f x 1. 【名师点睛】本题主要考查由函数sin y A x ωϕ=+（）的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题．（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递增区间．（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（2）由（1）可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π2π262k x k -≤+≤+，得2ππ2π2π33k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴()g x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ∵π2sin 36x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴π3sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π2π2π363k x k +≤+≤+，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为ππ|2π2π, 62x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键. （1）由已知可得πT =，进而求解ω值，再根据()f x 的图象关于π3x =对称，求解ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）可得()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质，即可求解()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥时x 的取值范围.21．【解析】（1）由2x ＋2π3＝k π，得函数的对称轴方程是x ＝－π3＋k π2，k ∈Z .所以函数的图象离y 轴距离最近的那条对称轴方程为x ＝π6.（2）将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. 因为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ的图象关于原点对称，所以2π3－2φ＝π2＋k π.所以φ＝π12－k π2，k ∈Z . 所以φ的最小正值是π12．22．【解析】（1）依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π， ∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1. ∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z .∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.（2）令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．23．【解析】（1）由图象知，周期T =11π12–（–π12）=π，∴ω=2πT=2．∵点（–π12，0）在函数图象上， ∴A sin （–2×π12+φ）=0，即sin （φ–π6）=0，又∵–π2<φ<π2，∴–2π3<φ–ππ63<，从而φ=π6． 又∵点（0，1）在函数图象上，∴1=A sinπ6，∴A =2． 故函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x +π6）． 令2x +π6=k π+π2，k ∈Z ，解得x =π2k +π6，k ∈Z ． 即为函数f （x ）图象的对称轴方程．（2）依题意，得g （x ）=2sin （x +π3）， ∵g （x ）=2sin （x +π3）的周期T =2π， ∴g （x ）=2sin （x +π3）在x ∈[–π3，11π3]内有2个周期． 令x +π3=k ππ2+（k ∈Z ），则x =π6+k π（k ∈Z ）， 即函数g （x ）=2sin （x +π3）的对称轴为x =π6+k π（k ∈Z ）． 又x ∈[π11π33-，]，则x +π3∈[0，4π]，且0<m <2，所以g （x ）=m ，（0<m <2）在x ∈[π11π33-，]内有4个实根，不妨从小到大依次设为x i （i =1，2，3，4）， 则12π26x x +=，3413π26x x +=． ∴关于x 的方程g （x ）=m （0<m <2）在x ∈[π11π33-，]时，所有的实数根之和为x 1+x 2+x 3+x 4=14π3． 24．【解析】（1）由2ππ22ω=⨯可得ω=2，则f （x ）=sin （2x +φ）+b ，又()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0<φ<π，则π3b ϕ==，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）结合（1）的结论可得对称轴满足ππ2π32x k k +=+∈Z ，， 据此可得对称轴方程为ππ122k x k =+∈Z ，， 函数的增区间满足()πππ22π2π322x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，， 故增区间为()5ππππ1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．（3）因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以()()111f x f x ≤--≤而f 2（x ）–（2+m ）f （x ）+2+m ≤0恒成立，整理可得()()111m f x f x ≤+--，由()1313f x --≤-≤-，得()()13314311f x f x --≤+-≤--， 故133m --≤，即m 取值范围是133⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，． 25．【答案】C【解析】f （x ）=cos x –sin x =–（sin x –cos x ）=–2sin （x –π4），由–π2+2k π≤x –π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得–π4+2k π≤x ≤3π4+2k π，k ∈Z ，取k =0，得f （x ）的一个减区间为[–π4，3π4]，由f （x ）在[0，a ]是减函数，得a ≤3π4．则a 的最大值是3π4．故选C ．26．【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D ．【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-. 28．【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x 而言的,不要忘记乘以系数. 29．【答案】A【解析】由题图知，2A =，最小正周期ππ2[()]π36T =--=，所以2π2πω==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点π(,2)3，所以π22sin(2)3ϕ=⨯+，所以2πsin()13ϕ+=，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，令0k =，得π6ϕ=-，所以π2sin(2)6y x =-，故选A. 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 30．【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得函数ππ2sin 2()2sin(2)126y x x =+=+的图象，则平移后函数图象的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ，即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B. 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值． 31．【答案】D【解析】由图象可知，1π++2π42()53π++2π42m m m ωϕωϕ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩Z ，解得=πω，π=+2π()4m m ϕ∈Z ，所以ππ()cos(π+2π)=cos(π)()44f x x m x m =++∈Z ，令π2ππ2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得124k -<x <324k +,k ∈Z ,故函数()f x 的单调减区间为（124k -，324k +）,k ∈Z ,故选D ． 31．【答案】–π6【解析】∵y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，∴2×π3+φ=k π+π2，k ∈Z ，即φ=k π–π6，∵–π2<φ<π2，∴当k =0时，φ=–π6，故答案为：–π6．32．【答案】23【解析】函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ππ2π46k ω⋅-=，k ∈Z ，解得ω=283k +，k ∈Z ，ω>0，则ω的最小值为：23．故答案为：23．。
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
1-5-1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象
π 将函数y＝sinx的图象向左平移 3 个单位长度后所得图象的 解析式为( ) π B．y＝sinx＋3
π D．y＝sinx＋3
π A．y＝sinx－3
π C．y＝sinx－3
[答案]
D
第一章
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章
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新课引入 电在人类社会中起着非常重要的作用，交流电中电流强度 I 与时间 t 的关系，物理学中波的传播等，都可以用函数 y＝ Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 为常数)来表示．由于图象是函数最直观 的模型，那么如何作这类函数的图象，这类函数的图象与正弦 曲线有什么关系？
第一章
1．5.1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一章 三角函数
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
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课前自主预习
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3．比较大小 tan1________tan4.
[答案]
>
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[解析]
由正切函数的图象易知tan1>0，tan4＝tan(4－
π π)，而0<4－π<1< ， 2
三角函数y=Asin(ωxφ)图像解读
函数 y =sin x , x R（其中 >0且 1） 的图像，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐 标缩短（当 >1时）或伸长（当 0< <1时） 到原来的1/ 倍（纵坐标不变）而得到。
问题：画出y=sin(x+ 3 ), x R, y=sin(x- )的 4
图像。演示
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
复习：函数 y=Asin ( x+ ) ,x R中, A是指振幅, T= 2 。
要求：弄清楚 A ， ， 这三个变量对 图像的影响。
1 画出函数y= 2 sinx, x R , y= sinx, x R的图像 2
解：
x sinx 0 0
2
1
0
3 2
-1
2
0
2sinx
0
0
2
0
0
-2
0
0
1 sinx 2
1 2
1 2
y
-2
1
2
o -1
2
3 2
2
x
-2
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不 作把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的 变）而得到。从而函数 y= 2 sinx, x R 的值域是[-2,2], 1/2（横坐标不变）而得到。 最大值是2，最小值是 –2。
6
12
3
7 12
5 6
0
2
3
0
3 2
-3
2
0
0
演示：
高中数学必修4第一章《三角函数》第五节《1.5函数yAsin(ωx+φ)的图象》 教案
高中数学必修4第一章《三角函数》第五节《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计第一课时湖南师大附中海口中学刘兵一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修4第一章《三角函数》第五节的内容，是中学数学的重要内容之一。
它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，通过函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系，揭示参数A、ω、φ对函数图象变化的作用（本课时只讨论ω和φ），充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
在此基础之上，更进一步推广到一般函数y=f(x)的情况，使学生能借助三角函数桥梁，达到能解决所有函数变换的问题，从而提升学生对数学知识的应用能力。
通过学习y=Asin(ωx+φ)的图象变换有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。
（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。
学生学习了正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。
学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。
通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
（三）教学环境分析由于本节课涉及到的函数图象较多，对老师的的作图提出了很高的要求。
而且该节课还涉及到函数图象的多种变换，比较注重变换的过程，采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。
多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。
在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，让学生亲手操作演示，感受函数图象“变”的过程。
φ、ω对函数y=sin(ωx+φ)的图象变化的影响能够得到直观的反映，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。
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第一课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)[提出问题]问题1：由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin x ＋π4的图象吗？提示：能，向左平移π4个单位长度即可．问题2：函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的最小正周期分别是什么？提示：它们的最小正周期分别为2π，π，4π.问题3：y ＝sin 2x 和y ＝sin 12的图象是否可以由y ＝sin x 的图象得到？提示：可以．只要“压缩”或“拉伸”y ＝sin x 的图象即可．问题4：对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x ，y ＝12sin x 的函数值有什么关系？提示：y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12倍．[导入新知]1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．3．A (A >0)对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0且A ≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域为[－A ，A ]．最大值为A ，最小值为－A .[化解疑难]由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法 (1)先平移后伸缩：(2)先伸缩后平移：[例1] 作出函数y ＝32sin 3x －3在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] 列表：描点画图([类题通法]1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象． [活学活用]画出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图．解：由T ＝2π2，得T ＝π.(1)列表：2x ＋π3取值为0，π2，π，3π2，2π得到对应的x 与y 的值如下表：(2)描点．(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．[例2] 为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度[答案] C [类题通法]三角函数的平移变换问题的分类及策略(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，即确定A ，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．(2)确定函数y ＝sin x 的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A ，ω，φ的值．[活学活用]1．(全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案：D2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9答案：C[例3] (1)将函数y ＝为( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝12sin xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝sin 12x(2)如何由y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象？ [解] (1)D[类题通法]三角函数图象伸缩变换的两种思路(1)y ＝A 1sin ω1x y ＝A 2sin ω1x y ＝A 2sin ω2x .(2)y ＝A 1sin ω1x y ＝A 1sin ω2x y ＝A 2sin ω2x .[活学活用]把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12答案：B6.平移变换中的误区[典例] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π12 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋3π4[解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向左平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4的图象，即函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋3π4的图象．[答案] D [易错防范]1．在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－π4，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π12.从而误选C.2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x 的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4等类似的错误答案．3．图象的左右平移是针对x 而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍．[成功破障]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4 答案：D[随堂即时演练]1．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案：A2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案：A3．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝________.答案：11π64．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就会得到函数________的图象．答案：y ＝－sin 2x5．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．答案：f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2[课时达标检测]一、选择题1．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案：B3．若函数y ＝sin 2x 的图象经过适当变换可以得到y ＝cos 2x 的图象，则这种变换可以是( ) A ．沿x 轴向左平移π2个单位长度B ．沿x 轴向右平移π2个单位长度C ．沿x 轴向右平移π4个单位长度D ．沿x 轴向左平移π4个单位长度答案：D4．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )答案：A5．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2答案：D 二、填空题6．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π12，07．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度． 答案：11π38．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z 三、解答题9．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：描点，连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？解：法一：∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π8， ∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.法二：∵y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＋2π＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π8，∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π8个单位长度．11．将函数y ＝lg x 的图象向左平移1个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象．(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图．(2)由图象可知：两个图象共有5个交点． 即方程f (x )＝g (x )解的个数为5.。